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2011年高考数学真题理科(陕西卷)WORD精校版


2011 年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 数学(理工农医类) 一. 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本

大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 设 a , b 是向量,命题“若 a ? ?b ,则∣ a ∣= ∣ b ∣”的逆命题是 (A)若 a ? ?b ,则∣ a ∣ ? ∣ b ∣ (C)若∣ a

∣ ? ∣ b ∣, 则∣ a ∣ ? ∣ b ∣ ( )

(B)若 a ? b ,则∣ a ∣ ? ∣ b ∣ (D)若∣ a ∣=∣ b ∣,则 a = - b ( )

2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物线的方程是 (A) y 2 ? ?8x (B) y 2 ? 8x (C) y 2 ? ?4x (D) y 2 ? 4x

3.设函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (? x) ? f ( x), f ( x ? 2) ? f ( x), ,则 y ? f ( x) 的图像可能是 ( )

x ?x 6 4. (4 ?2 ) (x∈R 展开式中的常数项是





(A)-20 (B)-15

(C)15

(D)20 )

5. 某几何体的三视图如图所示,则它的体积是(
8? 2 3

(A)

? ? 8? (B) 3

(C)8-2π
2

(D) 3

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6. 函数 f(x)= x —cosx 在[0,+∞)内 ( 17. 没有零点



(B)有且仅有一个零点

(C)有且仅有两个零点 (D)有无穷多个零点 15. 设集合 M={y| cos x— sin x|,x∈R},
1 N={x||x— i |< 2 ,i 为虚数单位,x∈R},则 M∩N 为(
2 2



(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1] 16. 右图中, x1 , x2 , x3 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分,P 为该 题的最终得分。当 x1 =6, x2 =9,p=8.5 时, x3 等于 ( (A)11 (B)10 (C)8 (D)7 )

9.设( x1 , y1 )( x2 , y2 ) , ,?, xn , yn )是变量 x 和 y 的 n 个样本点,直线 l ( 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图) ,以下结论中正确 的是【D】 (A) x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 (B) x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间

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(C)当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 (D)直线 l 过点 10.甲乙两人一起去游“2011 西安世园会” ,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号 景点中任选 4 个进行游览, 每个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在一个景 点的概率是【D】 (A)
1 36

(B)

1 9

(C)

5 36

(D)

1 6

11.设

若 f ( f (1)) ? 1 ,则 a =

1 3或4

12.设 n ? N? ,一元二次方程 x2 ? 4 x ? n ? 0 有正数根的充要条件是 n = 13.观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?? 照此规律,第 n 个等式为 n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ... ? (3n ? 2) ? (2n ?1)2 。

14.植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相 距 10 米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出 发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 2000(米) 。 15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 评分) A. (不等式选做题)若关于 x 的不等式 a ? x ? 1 ? x ? 2 存在实数解,则实数 a 的 取值范围是 (??, ?3] ? [3, ??) 。 B. (几何证明选做题)如图, ?B ? ?D, AE ? BC, ?ACD ? 90? , 且 AB ? 6, AC ? 4, AD ? 12 ,则 BE ? 4 2 。 C. (坐标系与参数方程选做题)直角坐标系 xoy 中,以原点为极点, x 轴的正半
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轴为极轴建立极坐标系, 设点 A, 分别在曲线 B 为参数)和曲线 C2 : ? ? 1 上,则 AB 的最小值为 3 。

(?

三、解答题:解答写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 。 16. (本小题满分 12 分) 如图, ?ABC 中,?ABC ? 60? , ?BAC ? 90? , AD 是 BC 上的高, AD 把 ?ABC 折 在 沿 起,使 ?BCD ? 90? 。

(Ⅰ)证明:平面ADB

⊥平面BDC;
?? 夹角的余 ? DB

? (Ⅱ )设E为BC的中点,求 ?? 与 AE

弦值。 解(Ⅰ)∵折起前AD是BC边上的高, ∴ 当 Δ ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB, 又 DB ? DC=D, ∴AD⊥平面BDC, ∵AD 平面 平面 BDC.

(Ⅱ ) 由∠ BDC= 90? 及 (Ⅰ) DA, 知 DB, 两两垂直, DC 不防设 DB =1,
? ? ? 以 D 为坐标原点,以 ?? , ?? , ?? 所在直线 x, y, z 轴建 DB DA DC

立如图所示的空间直角坐标系,易得 D(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C (0,3,0) ,A(0,0, 3 ) ,E(
1 3 , ,0) , 2 2
第 4 页 共 10 页

?1 3 ? ? ?? = ? , , ? 3 ? , ? AE ?2 2 ?
?? =(1,0,0,) ? , DB ? ?? 与 ?? 夹角的余弦值为 ? ? AE DB

?? ??? ? DB ? AE ? ? cos < ?? , ?? >= ? AE DB ?? ? ?? ? ? AE DB
17.(本小题满分 12 分)

1 2 1? 22 4

?

22 . 22

如图,设 P 是圆 x2 ? y 2 ? 25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的摄影,M 为 PD 上一点,且 MD ?
4 PD 5

(Ⅰ)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程 (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为
4 的直线被 C 所截线段的长度 5

解: (Ⅰ)设 M 的坐标为(x,y)P 的坐标为(xp,yp) 由已知 xp=x
yp ? 5 y 4



P 在圆上, ∴

x2 y 2 ?5 ? ?1 x2 ? ? y ? ? 25 ,即 C 的方程为 ? 25 16 ?4 ?
4 4 的直线方程为 y ? ? x ? 3 ? , 5 5

2

(Ⅱ)过点(3,0)且斜率为

设直线与 C 的交点为 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 将直线方程 y ?
4 ? x ? 3? 代入 C 的方程,得 5
2

x2 ? x ? 3? ? ?1 25 25

即 x 2 ? 3x ? 8 ? 0

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x1 ?

3 ? 41 3 ? 41 , x2 ? 2 2



线

段 AB 的长度为

AB ?

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

41 41 2 ? 16 ? ? ?1 ? ? ? x1 ? x2 ? ? ? 41 ? 25 5 ? 25 ?

注:求 AB 长度时,利用韦达定理或弦长公式求得正确结果,同样得分。 18.(本小题满分 12 分) 叙述并证明余弦定理。 解 余弦定理: 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他

们夹角的余弦之积的两倍。或:在 ? ABC 中,a,b,c 为 A,B,C 的对边,有
a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C

证法一 如图

??? ??? ? ? a 2 ? BC ? BC

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ( AC ? AB) ? ( AC ? AB) ??? 2 ??? ??? ??? 2 ? ? ? ? ? AC ? 2 AC ? AB ? AB
???? 2 ???? ??? ? ??? 2 ? ? AC ? 2 AC ? AB COSA ? AB
? b2 ? 2bc cos A ? c2

即 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 同理可证 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B

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c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C

证法二 已知 ? ABC 中 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,则

C (b cos A, b sin A), B(c,0) ,
? a 2 ? BC 2 ? (b cos A ? c) 2 ? (b sin A) 2

? b2 cos2 A ? 2bc cos A ? c2 ? b2 sin 2 A
? b2 ? c2 ? 2bc cos A

同理可证 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B
19.(本小题满分 12 分)如图,从点 P1(0,0)作 x 轴 的垂线交于曲线 y=ex 于点 Q1(0,1) ,曲线在 Q1 点处 的切线与 x 轴交与点 P2。再从 P2 作 x 轴的垂线交曲线于点 Q2,依次重复上述过程得到一系 列点:P1,QI;P2,Q2…Pn,Qn,记 P 点的坐标为( xk ,0) (k=1,2,…,n) 。 k (Ⅰ)试求 xk 与 xk ?1 的关系(2≤k≤n) ; ( Ⅱ)求 PQ1 ? PQ2 ? PQ3 ? ... ? PQn 1 2 3 n 解(Ⅰ)设 P ?1 ( xk ?1 ,0) ,由 y? ? e 得 Qk ?1 ( xk ?1 , e k
x

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C

xk ?1

) 点处切线方程为

y ? exk?1 ? exk?1 ( x ? xk ?1 )
由 y ? 0 得 xk ? xk ?1 ?1(2 ? k ? n) 。 ( Ⅱ) x1 ? 0, xk ? xk ?1 ? ?1 ,得 xk ? ?(k ? 1) ,

P Qk ? exk ? e?(k ?1) k Sn ? PQ1 ? PQ2 ? PQ3 ? ... ? P Qn 1 2 3 n
? 1 ? e?1 ? e?2 ? ... ? e? ( n?1) ? 1 ? e? n e ? e1?n ? 1 ? e?1 e ?1

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20.(本小题满分 13 分) 如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,据统计,通过两条路径所用的时间 互不影响,所用时间落在各时间段内的频率如下表:

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站。 (Ⅰ) 为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自 的路径? (Ⅱ)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(Ⅰ) 的选择方案,求 X 的分布列和数学期望。 解 (Ⅰ)Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时,40 分钟内赶到火车站” i 表示事 ,B

件“乙选择路径 Li 时,50 分钟内赶到火车站” ,i=1,2.用频率估计相应的概率可 得 P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,

? ?

P(A1) >P(A2),

? 甲应选择 L ? 乙应选择 L

i

P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9, P(B2) >P(B1),
2.

(Ⅱ)A,B 分别表示针对(Ⅰ)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火 车站,由(Ⅰ)知 P( A) ? 0.6, P( B) ? 0.9 ,又由题意知,A,B 独立,

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P( X ? 2) ? P( AB) ? P( A)( B) ? 0.6 ? 0.9 ? 0.54

EX ? 0 ? 0.04 ? 1? 0.42 ? 2 ? 0.54 ? 1.5.

21.(本小题满分 14 分)
1 设函数 f ( x) 定义在 (0, ??) 上, f (1) ? 0 ,导函数 f ?( x) ? , g ( x) ? f ( x) ? f ?( x). x

(Ⅰ)求 g ( x) 的单调区间和最小值;
1 (Ⅱ)讨论 g ( x) 与 g ( ) 的大小关系; x 1 (Ⅲ)是否存在 x 0 ? 0 ,使得 g ( x ) ? g ( x0 ) ? 对任意成立?若存在,求出 x0 的取 x
值范围;若不存在,请说明理由.

解 (Ⅰ)由题设易知 f ( x) ? ln x , g ( x) ? ln x ?

? g '( x ) ?

x ?1 ,令 g '( x) ? 0 得 x ? 1 , x2

1 , x

当 x ? (0,1) 时, g '( x) ? 0 ,故(0,1)是 g ( x) 的单调减区间, 当 x ? (1, ??) 时, g '( x) ? 0 ,故 (1, ??) 是 g ( x) 的单调增区间, 因此, x ? 1 是 g ( x) 的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小 值为 g (1) ? 1 .
1 (Ⅱ) g ( ) ? ? ln x ? x , x
1 1 ( x ? 1)2 设 h( x) ? g ( x) ? g ( ) ? 2 ln x ? x ? ,则 h '( x) ? ? , x x x2

1 当 x ? 1 时, h(1) ? 0 ,即 g ( x ) ? g ( ) , x

当 x ? (0,1) ? (1, ??) 时 h '( x) ? 0 , h '(1) ? 0 , 因此, h( x) 在 (0, ??) 内单调递减,
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1 当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 g ( x ) ? g ( ) , x 1 当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 g ( x ) ? g ( ) . x

(Ⅲ)满足条件的 x0 不存在. 证明如下: 证法一 假设存在 x0 ? 0 ,使 | g ( x) ? g ( x0 ) |? 即对任意 x ? 0 ,有 Inx ? g ( x0 ) ? Inx ? 但对上述 x0 ,取 x1 ? eg ( x0 ) 时,有
1 对任意 x ? 0 成立, x

2 , (*) x

Inx1 ? g ( x0 ) ,这与(*)左边不等式矛盾,

因此,不存在 x0 ? 0 ,使 | g ( x) ? g ( x0 ) |? 证法二

1 对任意 x ? 0 成立。 x 1 假设存在 x0 ? 0 ,使 | g ( x) ? g ( x0 ) |? 对任意的 x ? 0 成立。 x

由(Ⅰ)知, e g ( x0 ) 的最小值为 g ( x) ? 1 。 又 g ( x) ? Inx ? ∴
1 ? I nx ,而 x ? 1 时, Inx 的值域为 (0, ??) , x

x ? 1 时, g ( x) 的值域为 [1, ??) ,

从而可取一个 x1 ? 1 ,使 g ( x1 ) ? g ( x0 ) ? 1 , 即 g ( x1 ) ? g ( x0 ) ? 1 ,故 | g ( x1 ) ? g ( x0 ) |? 1 ? ∴ 不存在 x0 ? 0 ,使 | g ( x) ? g ( x0 ) |? B 卷选择题答案 1.C 2.C 3.D 4.B 5.A 6.C 7.B 8.B 9.D 10.A
1 ,与假设矛盾。 x1

1 对任意 x ? 0 成立。 x

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