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2015-2016学年云南省昆明市第三中学高一下学期期中考试数学试卷 word版


昆明三中 2015--2016 学年下学期期中考试

高一数学试题
命题人: 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) ,共 150 分,时间 120 分钟

注意事项
1. 答题前,考生务必将自己的班级、姓名、学号、考场号、座位号等信息填写清楚。 2. 第 I 卷答题区域使用 2B 铅笔填涂,第 II 卷答题区域

用黑色碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚,按 照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区书写的答案无效,在草稿纸、试卷上答题无效。 3.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄皱,第 I 卷答题区域修改时用橡皮擦擦干净,第 II 卷答题区域修 改禁用涂改液及涂改胶条。 4. 考试结束,监考人员将答题卡收回,试卷由考生妥善保管。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 个小题, 每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 ) 1. sin( ?

2? ) ?( 3
B.



A.

1 2

3 2

C.

?

3 2

D. ? ) D. 3 ) D.60

1 2

2.已知向量 a=(x,3),b=(2,x-5),若 a⊥b ,则 x=( A. ?2 B. ?3 C. 2 3. 数列{an }中若an ?1 ? 2an,且a2 =4,则S4 的值等于( A. 30 B. 15 C. 20

4. 等差数列 {an } 的公差为 2,若 a1 ? a3 ? a5 ? 3 ,则 a4 ? a6 ? a8 ? ( A.30 B.21 C.18 D.15

)

??? ? ???? ??? ? 5. 已知正方形 ABCD 的边长为 1, AB ? a , BC ? b , AC ? c , 则 a ? b ? c 等于 (
A. 3 B. 2 3 C. 2 D. 2 2

)

6 . 已 知 △ ABC 的 内角 A 、 B 、 C 的 对 边分 别为 a 、 b 、 c, 若 b=4 ,

A=

7? ,c ? 4 2 ,则△ABC 的面积为( 12
B. 2 3 ? 2 C. 2 3 ? 2

)
D. 4 3 ? 4

A. 4 3 ? 4

7. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |? 如下结论中正确的是( ) A. f ( x ) 图象 C 关于直线 x ? 11 ? 对称;
12
C. 函数

?
2

) 的部分图象 C 如图所示,

f ( x)在区间(

5? 4? ? 内是增函数; D .把 y ? sin 2 x 向右平移 个单位可以得到 f ( x ) 的图象 , ) 6 3 3

B. f ( x ) 图象 C 关于点 ( 2? ,0) 对称; 3

8.正三角形 ABC 中, D 是线段 BC 上的点, AB ? 6, BD ? 2 ,则 AB ? AD ? ( A. 12 B. 18 C. 24 D. 30

??? ? ????

)

9.在△ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a, b, c. 若 cosB=

1 A?C B 则 tan 2 ? sin 2 的值为( 3, 2 2
D.

)

A.

7 3

B.

17 50

C.

11 3

5 3
)

10.已知等差数列 {an } 满足, a1 ? 0,5a8 ? 8a13 ,则前 n 项和 S n 取最大值时,n 的值为( A.20 B.21 C.22 D.23

11. 设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列, | q |? 1 ,令 bn ? an ? 1(n ? 1, 2, ?) ,若数列 ?bn ? 有连续四项 在集合 ??53, ?23,19,37,82? 中,则 8 q 等于( A. 9 B. ?12

)
D. ?9

C. 12

12. 已 知 数 列 {an } 的 通 项 公 式 为 an ? ? n ? p , 数 列 {bn } 的 通 项 公 式 为 bn ? 2 n ? 5 , 设

?an , an ? bn ? cn ? ? ,若在数列 {cn } 中, c8 ? cn (n ? N , n ? 8) ,则实数 p 的取值范围是( ?bn , an ? bn
A. (7,8) B.(8,9) C.(9,11) D.(12,17)

).

第 II 卷(非选择题共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的横线上。) 13. 已知? 在第二象限且 tan ? = ? 2, 则 sin ? cos ? ? _______ .

14. 设向量 a ? (1, ?1) , b ? (4,3) . 则向量a与b夹角的余弦值为_______.

15.

在 ?ABC 中, 已知 A ? 120? . 若该三角形三条边长构成一个公差为 4 的等差数列, 则 ?ABC

的周长为_________.

16. 已 知 数 列 {an } 满 足 : a1 , a2 ? 1, a3 成 等 差 数 列 , 且 对 任 意 的 正 整 数 n , 均 有
Sn ? 1 3 an ?1 ? 2 n ? 成立,其中 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和. 则 n≥2 时,数列 {a n } 的通项公式 2 2

为 an ? ______________.

三、解答题(本大题共 6 小题;第 17 题满分 10 分,18-22 题每题满分 12 分,共 70 分,解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。) 17.(本题满分 10 分) 若公差不为零的等差数列 ?an ? 中, a4 ? 10 且 a3,a6,a10 成等比数列. ( I )求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 10 项和 S10 .

18.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 1+2 3 sin x cos x ? 2sin 2 x,x ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ) 若把 f ( x) 向右平移

?
6

个单位得到函数 g ( x) , 求 g( x) 在区间 ? ?

? π ? , 0 上的最小值和最大值. ? 2 ? ?

19. (本题满分 12 分)已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ), a ? b ? (Ⅰ)求 cos(? ? ? )的值 ; (Ⅱ)若 ?

?

?

? ?

2 5 5

?
2

? ? ? 0 ?? ?

?
2

,且 sin ? ? ?

5 , 求 cos ? 的值. 13

20. (本题满分 12 分)已知数列 {a n } 的通项公式 an ? 2n ,设数列 {bn } 满足 b1 ?

1 , 2

1 1 ? ? 1 ( n ? N * , n ? 2) bn bn ?1
(Ⅰ)求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? an (

2 ? 1) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn

21. (本题满分 12 分) ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 2b cos C ? c ? 2a (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 BD 为 AC 边上的中线, cos A ?

1 129 求 ?ABC 的面积. ,BD ? , 7 2

2 22. (本题满分 12 分)已知正项数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: S n ? (n 2 ? n ? 1) S n ? (n 2 ? n) ? 0 ,

(Ⅰ)求 S1和S 2的值 ; (Ⅱ)求 {an } 的通项公式 an ; (Ⅲ)若令 bn ?

1 5 n ?1 ,设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn .求证: . ? Tn ? 2 2 18 64 (n ? 2) an

昆明三中 2015--2016 学年下学期期中考试

高一数学参考答案
命题人:张兴锋 1-5 C D A B D 13. ? 6-10 A C D A B 14. 11-12 BD 16. an =3n-1 -2n

2 5

2 10

15.30

12.方法一:特值验证法 方法二:论证法

三、解答题(本大题共 6 小题;共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 17. 若公差不为零的等差数列 ?an ? 中, a4 ? 10 且 a3,a6,a10 成等比数列. (I)求数列 ?an ? 的通项公式(2)求数列 ?an ? 的前 10 项和.

解:a4 =a1 +3d (a1 ? 5d ) 2 ? (a1 ? 2d) (a1 ? 9d) 解之a1 =7,d =1或(舍), 0 an ? n ? 6 (2) S10 ? 10(a1 ? a10 ) ? 115 2

18.已知函数 f ( x) ? 1+2 3 sin x cos x ? 2sin 2 x,x ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若把 f ( x) 向右平移 间 ??

?
6

个单位得到函数 g ( x) ,求 g( x) 在区

? π ? , 0 上的最小值和最大值. ? 2 ? ?

18.解:f ( x) ? 1+2 3 sin x cos x ? 2sin 2 x = 3 sin 2 x + cos 2 x =2sin (2 x + ) 6 由 ?

?

?
2

+2k? ? 2 x +

?
6

?

?
2

+2k?



增区间是: [?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ], k ? Z
3? +2k? 2



?
2

+2k? ? 2 x +

?
6

?



减区间是: [

?
6

? k? ,

2? ? k? ], k ? Z 3

(2) g ( x) ? 2sin[2( x ? ) ? ] 6 6 ? 2sin(2 x ? ), 6 x ? [?

?

?

?

?
2

, 0], 2 x ? [?? , 0], 2 x ?

?
6

? [?

7? ? ,? ] 6 6

y ? 2sin(2 x ? ) ? [?2,1] 6 g ( x) max ? 1, g ( x) min ? ?2

?

19.已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ), a ? b ? (1) 求 cos(? ? ? )的值 . (2)若 ?

?

?

? ?

2 5 5

?
2

? ? ? 0 ?? ?

?
2

,且 sin ? ? ?

5 , 求 cos ? 的值 13

? ? ? ? 解: a ? (cos ? ,sin ? ),|a|=1, b ? (cos ? ,sin ? ),|b|=1 ? ?2 ?2 ?? ? 2 4 ?? 3 2 a ? b ? ( 5) 2 ,|a| ? 2ab ? |b| ? , ab ? , 5 5 5 ?? 3 又ab = cos ? cos ? +sin ? sin ? = cos (? ? ?) = 5 3 所以 cos (? ? ?) = 5

(2) cos ? = cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? ) sin ? , 可以论证得到? ? ? ? (0,?)再由(1)可知? ? ? ? (0, ) 2 3 12 4 ?5 56 ? ? ? ?( ) ? 5 13 5 13 65

?

20. 设数列 {a n } 的通项公式 an ? 2n ,设数列 {bn } 满足 b1 ? (1)求数列 {bn } 的通项公式;

1 1 1 , ? ? 1 ( n ? N * , n ? 2) 2 bn b n-1

(2)若令cn ? an (

2 ? 1),设 求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ; bn

解:令d n =

1 1 ,则 ? d n?1 , d n ? d n?1 =1,所以{d n }是公差为1的等差数列 bn b n-1 1 1 ? d n n +1

所以d n =d1 +(n-1) ?1=n+1,bn =

(2)cn ? (2n ? 2 ? 1)?2n ? (2n ? 1)?2 n Tn ? c1 2Tn ? Tn ? Tn Tn Tn Tn ? ? ?6 ? ?c2 ? ??? ? cn Tn ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? 7 ? 23 ? ??? ? (2n ? 1)?2 n 3 ? 22 ? 5 ? 22 ? ??? ? (2n ? 1)?2 n ? (2n ? 1)?2 n?1 6 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ??? ? 2 ? 2n ? (2n ? 1)?2n?1

8(1 ? 2n?1 ) ? (2n ? 1)?2n?1 1? 2 ? ? 6 ? 8(1 ? 2n?1 ) ? (2n ? 1)?2n?1 ? 2 ? 2?2n?1 ? 2n?2n?1 ? 2n?1 ? 2 ? (2n ? 1)?2n?1

21. ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 2b cos C ? c ? 2a (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 BD 为 AC 边上的中线, cos A ?

1 129 求 ?ABC 的面积。 ,BD ? , 7 2

(1) 2b cos C ? c ? 2a ,由正弦定理,得 2 sin B cos C ? sin C ? 2 sin A ,

? A ? B ? C ? ? ? sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C
2 sin B cos C ? sin C ? 2(sin B cos C ? cos B sin C ) sin C ? 2 cos B sin C

因为 0 ? C ? ? ,所以 sin C ? 0 ,所以 cos B (2)

?

1 ? ,因为 0 ? B ? ? ,所以 B ? . 2 3

解法1: sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? sin A ? 5 3 14

4 3 3 ,sin B ? , 7 2 4 3 3 5 3 所以a:b:c = : : =8: 7: 5 7 2 14 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? ???? 2 BD= BA+ BC,平方4 BD = BA + BC +2 BA?BC 129 2 2 2 )=c +a +ac(*)(此处亦可在△ABD中用余弦定理得到有关c,b的方程) 2 设a =8k,b=7k,c=5k ( 4 (3)(4)代入(*)解得k=1 1 故c=5,b=7,a=8,S= ac sin B=10 3 2 小结:平面向量可以在解三角形中解决和中线有关的问题
2 ? 129 ? b ?b? 2 (2)解法 2:在三角形 ABD 中,由余弦定理得 ? ? c ? ? 2 c ? cos A ? ? ? ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? 2

所以

129 b2 1 c b ,由已知得 ? c 2 ? ? bc , 在 三 角 形 ABC 中 , 由 正 弦 定 理 得 ? 4 4 7 sin C sin B
4 3 5 3 5 所以 sin C ? sin( A ? B ) ? sin A cos B ? cos A sin B ? ,所以 c ? b 7 14 7

sin A ?

由(1) , (2)解得 ?

?b ? 7 1 所以 S? ABC ? bc sin A ? 10 3 2 ?c ? 5

2 22. 正项数列 {a n } 的前项和 Sn 满足: S n (1)求 S1, S 2 , (2)求{an} ? (n 2 ? n ? 1) S n ? (n 2 ? n) ? 0 ,

的通项公式 an (3)设 bn ?

1 5 n ?1 ,且数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn .求证: ? Tn ? 2 2 18 64 (n ? 2) an

2 解:(1)S n ? (n 2 ? n ? 1) S n ? (n 2 ? n) ? 0

令n=1,解得a1 ? S1 =2, 令n=2,S 2 2 ? 5S 2 ? 6=0,S2 =6=a1 +a2 =2+a2,a2 ? 4 解得S2 =6 (2)一般的分解因式 ( S n ? 1)[ S n ? (n 2 ? n)] ? 0, 因为正项数列故S n ? 0 S n ? n 2 ? n, an ? S n ? S n ?1 ? 2n 所以an ? 2n

(3)bn ? =

n ?1 n ?1 = 2 2 (n ? 2) an 4(n ? 2) 2 n 2

1 n ?1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? [ 2? ]? [ 2 ? ] 2 2 2 4 (n ? 2) n 4 4 n (n ? 2) 16 n (n ? 2) 2 Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? bn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [( 2 ? 2 ) ? ( 2 ? 2 ) ? ( 2 ? 2 ) ? ??? ? ( ? )?( 2 ? )] 2 2 16 1 3 2 4 3 5 ( n ? 1) ( n ? 1) n ( n ? 2) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [( 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ) ? ( 2 ? 2 ? 2 ??? ? ? 2? ? )] 2 2 16 1 2 3 n 3 4 5 (n ? 1) n (n ? 1) (n ? 2) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 5 ? [ 2? 2? ? ] ? [ 2 ? 2 ? 0 ? 0] ? , 2 2 16 1 2 (n ? 1) ( n ? 2) 16 1 2 64 5 所以对任意的正整数Tn ? ?????? (*) 64 1 1 1 1 1 又因为Tn = [ 2 ? 2 ? ? ]看成关于n的函数, 2 16 1 2 (n ? 1) (n ? 2) 2 1 1 1 1 1 当n ? 1时u(n)= [ 2 ? 2 ? ? ]为增函数 2 16 1 2 (n ? 1) ( n ? 2) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以(Tn) [ 2? 2? ? ]= [ 2 ? ]= min =u(1)= 2 2 16 1 2 (1 ? 1) (1 ? 2) 16 1 9 18 1 所以对任意的正整数n,Tn ? ?????? (**) 18 由(*)和(**)可知对任意的正整数n总有 ? 1 5 ? Tn ? 18 64


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