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2015-2016学年高中数学必修4分层演练:1.3.2 三角函数的图象与性质(含答案)


1.3 1.3.2

三角函数的图象和性质 三角函数的图象与性质

情景:前面我们学习了三角函数的诱导公式,我们是借助于单位圆推导出来的. 思考:我们能否借助三角函数的图象来推导或直接得出三角函数的一些性质呢?

基 础 巩 固 1.下列函数的图象相同的是( A.y=sin x 与 y=sin(π+x) B.y=sin?x-
? ? ?π ? π? ?与 y=sin? -x? 2? ?2 ?

)

C.y=sin x 与 y=sin(-x) D.y=sin(2π+x)与 y=sin x

答案:D

2.函数 y=1-sin x,x∈[0,2π]上的大致图象是(

)

答案:B

3.把函数 y=sin x 的图象向________平移________个单位长度可得 y=cos x 的 图象.

答案:左

π 2

4.函数 f(x)=sin?2x+
?

?

3π? ?的奇偶性为________. 2 ?

答案:偶函数

5.已知 a∈R,函数 f(x)=sin x-|a|,x∈R 为奇函数,则 a 等于________.

答案:0

6.使函数 y=sin(2x+φ)为奇函数的φ值可以是(

)

A.

π 4

π B. 2

C.π

D.

3π 2

答案:C

?1 π? 7.y=3tan? x+ ?的一个对称中心是( 3? ?2 ?π ? A.? ,0? ?6 ? ?2π ? ,-3 3? B.? ? 3 ?

)

C.?-

?

? 2π ,0? 3 ? ?

D.(0,0)

答案:C

?πx π? - ?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( 8.函数 y=2sin? 3? ? 6

)

A.2- 3

B.0

C.-1

D.-1- 3

答案:A

π π 9.函数 f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线 y= 所得线段长为 , 4 4
?π? 则 f? ?的值是( ?4?

) B.0 D.2

A.

π 4

C. 1

π 解析:∵y=tan ωx 的周期 T= ,

ω

π π π π ∴y= 与 y=tan ωx 的图象的交点中相邻两点间的距离为 , 故 = , ω=4, 4 ω ω 4 ∴f(x)=tan 4x.
?π? ? π? ∴f? ?=tan?4× ?=tan π=0,故选 B. 4? ?4? ?

答案:B

10.函数 y= sin x+ tan x的定义域为________.

答案:?x2kπ≤x<2kπ+
?

?

? π ,k∈Z?∪{x|x=2kπ+π,k∈Z} 2 ?

11.函数 y=lg tan x+ 16-x2的定义域为________.

? π? ? π? 答案:?-π,- ?∪?0, ?∪(π,4] 2? ? 2? ?

能 力 升 级 12 . 已 知 f(x) = x · sin x , x ∈ R. 则 f ?- ______________.
? ?π? π? ? , f(1) 及 f ? ? 的 大 小 关 系 为 ? 4? ?3?

解析:f?- =

?

? π? π? π ?=- sin?- ? 4 ? 4? ? 4?

π π π sin <sin , 4 4 4

π π sin <sin 1<sin , 4 3

f? ?= sin >sin .
?3?

?π?

π 3

π 3

π 3

? π? ?π? ∴f?- ?<f(1)<f? ?. ? 4? ?3? ?π? ? π? 答案:f? ?>f(1)>f?- ? ?3? ? 4?

13.已知 f(x)是定义在(-3,3)上的

奇函数,当 0<x<3 时,f(x)的图象如图所示,那么不等式 f(x)cos x<0 的解集是 ________________.

解析:∵f(x)是(-3,3)上的奇函数,∴g(x)=f(x)·cos x 是(-3,3)上的偶函
? π ? ?π ? 数,从而观察图象可知解集为:?- ,-1?∪(0,1)∪? ,3?. ? 2 ? ?2 ?

答案:?-

?

? ?π ? π ,-1?∪(0,1)∪? ,3? ? 2 ? ?2 ?

?1 π? 14.求函数 y=cos? x- ?,x∈[-2π,2π]的单调递增区间. 3? ?2

1 π 解析:令 z= x- . 2 3 函数 y=cos z 的单调递增区间是[2kπ-π,2kπ],

k∈Z.

1 π 4π 2π 由 2kπ-π≤ x- ≤2kπ得 4kπ- ≤x≤4kπ+ (k∈Z). 2 3 3 3 取 k=0,得- 而?-
?

4π 2π ≤x≤ , 3 3 [-2π,2π],

4π 2π? ? , 3 3 ? ?

?1 ? 4π 2π? π? ?. , 因此,函数 y=cos? x- ?,x∈[-2π,2π]的单调递增区间是?- 3? 3 3 ? ?2 ?

?π 2x? 1 15.求函数 y= sin? - ?的单调区间. 3? 2 ?4

?π 2x? ?2x π? 1 1 解析:y= sin? - ?=- sin? - ?. 3? 4? 2 2 ?4 ?3

故由 2kπ-

π 2x π π 3π 9π ≤ - ≤2kπ+ (k∈Z)? 3kπ- ≤x≤3kπ+ (k∈Z), 2 3 4 2 8 8

π 2x π 3π 9π 21π 由 2kπ+ ≤ - ≤2kπ+ (k∈Z)? 3kπ+ ≤x≤3kπ+ (k∈Z). 2 3 4 2 8 8 ∴函数的单调递减区间为
? 3π 9π ? ?3kπ- ?(k∈Z), ,3kπ+ 8 8 ? ?

单调递增区间为 3kπ+

9π 21π ,3kπ+ (k∈Z). 8 8

? π? 16.已知函数 f(x)=3sin ?ωx- ?和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的对称轴 6? ?

完全相同,若 x∈?0,
?

?

π? ?,则 f(x)的取值范围是________. 2?

解析:由题意知,ω=2,∵x∈?0,
?

?

π? ?, 2?

π ? π 5π ? ?,由三角函数图象知: ∴2x- ∈?- , 6 ? 6 ? 6

f(x)的最小值为 3sin?- ?=- ,
? 3 ? π 最大值为 3sin =3,∴f(x)的取值范围是?- ,3?. 2 ? 2 ? ? 3 ? 答案:?- ,3? ? 2 ?

?

π? ? 6?

3 2

17.使 sin x≤cos x 成立的 x 的一个区间是( A.?-
?

)

3π π? , ? 4 4? ?

B.?-

?

π π? , ? 2? ? 2

? π 3π? ? C.?- , 4 ? ? 4

D.[0,π]

解析:作出它们的图象,在四个选项中,只有 A 选项才能满足正弦图象在余弦图 象下方. 答案:A 18.函数 y=3cos2x-4cos x+1,x∈?0,
? ?

2π? ?的值域是________. 3 ?

? 4 4? 4 2 解析:y=3?cos x- cos x+ ?+1- = 3 9? 3 ? ? 2? 1 3?cos x- ?2- . 3? 3 ?

∵x∈?0,
?

?

? 1 ? 2π? ?,∴cos x∈?- ,1?, 3 ? ? 2 ?

2 1 1 15 当 cos x= 时,ymin=- ;当 cos x=- 时,ymax= , 3 3 2 4

? 1 15? ∴函数 y 的值域为?- , ?. ? 3 4? ? 1 15? 答案:?- , ? ? 3 4?

19.若函数 y=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线 y=k 有且仅有两个 不同的交点,则 k 的取值范围是____________.

解析:y=sin x+2|sin x|
? ?3sin x,sin x≥0, =? ?-sin x,sin x<0, ?

图象如下:

显然,当 k∈(1,3)时,两曲线有且仅有两个不同的交点. 答案:(1,3)

? π π? 20.已知函数 y=tan ωx 在?- , ?内是减函数,则( 2? ? 2

)

A.0<ω≤1 C.ω≥1

B.-1≤ω<0 D.ω≤-1

解析: ω只是变换函数的周期并将函数图象进行伸缩, 若ω使函数在?- 递减,则ω必小于 0,而当|ω|>1 时,图象将缩小周期,故-1≤ω<0.

?

π π? , ?上 2? ? 2

答案:B

1 21.已知函数 f(x)=log (sin x-cos x). 2 (1)求它的定义域; (2)判定它的奇偶性; (3)判定它的周期性,如果是周期函数,求出它的最小正周期.

解 析 : (1)sin x - cos x > 0 , 由 三 角 函 数 线 可 知 , f(x) 定 义 域 为
? π 5π? ?2kπ+ ,2kπ+ ?(k∈Z). 4 4 ? ?

(2)由 f(x)的定义域不关于原点对称,可得 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 1 1 (3)∵f(2π+x)=log [sin(2π+x)-cos(2π+x)]=log (sin x-cos x). 2 2 ∴f(x)最小正周期为 2π.

22.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=cos(2π-x)-x3·sin x; (2)f(x)=tan x?-
?

π π? ≤x≤ ?; 3? ? 4

tan x+1 (3)f(x)=lg . tan x-1

解析:利用函数奇偶性定义判断. (1)函数 f(x)的定义域为 R 且关于原点对称. 又∵f(x)=cos x-x3·sin x, ∴f(-x)=cos(-x)-(-x)3·sin(-x) =cos x-x3·sin x=f(x), ∴f(x)为偶函数.

(2)∵函数定义域?-

?

π π? , ?不关于原点对称. 3? ? 4

∴它是非奇非偶函数. tan x+1 (3)由 >0,所以 tan x>1 或 tan x<-1. tan x-1 故函数的定义域为
? π π? ? π π? ?kπ- ,kπ- ?∪?kπ+ ,kπ+ ?,k∈Z,关于原点对称. 2 4? ? 4 2? ?

又 f(-x)+f(x)=lg =lg

tan?(-x)?(+1) tan x+1 +lg tan?(-x)?(-1) tan x-1

?(tan x-1)??(tan x+1)? =0. ?(tan x+1)??(tan x-1)?

∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数.

1 3 23.求函数 y=sin2x+acos x- a- 的最大值为 1 时 a 的值. 2 2

1 3 解析:y=1-cos2x+acos x- a- 2 2
? =-?cos ?

x- ? + - a- .
2? 4 2
?

a?2 a2 1

1 2

因为 cos x∈[-1,1],要使 y 最大,则必须满足?cos x- ?2 最小. 2? ? ①当 <-1,即 a<-2 时, 2 3 3 若 cos x=-1,则 ymax=- a- . 2 2

a?

a

3 3 5 由题设,令- a- =1 得 a=- >-2(舍去); 2 2 3 ②当-1≤ ≤1,即-2≤a≤2 时, 2 若 cos x= ,则 ymax= - - . 2 4 2 2 由题设,令 - - =1 得 a=1± 7(舍去正值); 4 2 2 ③当 >1 即 a>2 时, 2

a

a

a2 a 1

a2 a 1

a

a 3 若 cos x=1,则 ymax= - , 2 2 a 3 由题设,令 - =1 得 a=5. 2 2
综上所述 a=5 或 a=1- 7.

tan2x-tan x+1 24.求函数 y= 的最大值与最小值. tan2x+tan x+1

解析:令 t=tan x∈R,则原函数化为:

t2-t+1 y= 2 (t∈R). t +t+1
即(1-y)t2-(1+y)t+(1-y)=0. ∵y=1 时,适合题意. ∴y≠1 时,有Δ=[-(1+y)]2-4(1-y)(1-y)≥0(判别式法求最值),∴3y2- 10y+3≤0. 1 解得 ≤y≤3 且 y≠1. 3 1 综上,函数的最大值为 3,最小值为 . 3

25.已知函数 f(x)=asin?kx+
?

?

? π? π? ?,g(x)=btan?kx- ? 3? 3? ?

(k>0)的周期之和为

?π? ?π? ?π? ?π? 3π ,且 f? ?=g? ?,f? ?=- 3g? ?+1,求这两个函数, 2 ?2? ?2? ?4? ?4?

并求 g(x)的单调增区间.

解析:由条件得 ∴k=2.



k



π

3 = π, k 2

?π? ?π? 由 f? ?=g? ?,得 a=2b.① ?2? ?2? ?π? ?π? 由 f? ?=- 3g? ?+1, ?4? ?4?

得 a=2-2b.② 1 由①②解得 a=1,b= . 2 ∴f(x)=sin?2x+
? ?

π? ?, 3?

g(x)= tan?2x- ?.
?

1 2

?

π? 3?

π π π ∴当- +kπ<2x- < +kπ,k∈Z 时,g(x)单调递增. 2 3 2 ∴g(x)的单调增区间为?
?kπ

π kπ 5 ? - , + π?(k∈Z). 12 2 12 ? ? 2

26.若 cos2θ+2sin θ+m2-3<0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

解析:由已知得:m 2<sin2θ-2sin θ+2=(sin θ-1)2+1, ∵-1≤sin θ≤1, ∴-2≤sin θ-1≤0, ∴0≤(sin θ-1)2≤4, ∴1≤(sin θ -1)2+1≤5,∴m 2<1,∴-1<m<1,∴m 的取值范围是(-1,1).


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