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广东省惠州市2014-2015年高一下学期期末考试数学试题


惠州市 2014-2015 学年第二学期期末考试 高一数学试题
说明: 1.全卷满分150分,时间120 分钟; 2.答卷前,考生务必将自己的姓名、县区、学校、班级、试室、座位号,填写在答题卷上; 3.考试结束后,考生将答题卷交回。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相

应选项. 1.已知直线 l 的斜率为 3,在 y 轴上的截距为 4,则直线 l 的方程是( A. 3x ? y ? 4 ? 0 C. 3x ? y ? 4 ? 0 B. x ? 3 y ? 12 ? 0 D. 3x ? y ? 12 ? 0 ) )

2.各项都为正数的等比数列 {an } 中, a2 ? a8 ? 16 ,则 a 5 =( A.4 B.2 C.1 ) D.8

3.在空间,下列命题中正确的是 ( A.没有公共点的两条直线平行 C.平行于同一直线的两条直线平行

B.与同一直线垂直的两条直线平行 D.已知直线 a 不在平面 ? 内,则直线 a // 平面 ? )

4.已知两条直线 l1 : x ? ay ? 6 ? 0, l2 : (a ? 2) x ? 3 y ? 2a ? 0 ,若 l1 // l2 ,则 a ? ( A. ? 1 或 3 B.1 或 3 C. ? 3 D. ? 1

5.两灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km),灯塔 A 在 C 北偏东 30°,B 在 C 南偏东 60°,则 A,B 之间相距( A.a (km) ) C. 2 a(km) D.2a (km)

B. 3 a(km)

6.在等差数列{an}中,设公差为 d,若 S10=4S5,则 A.

a1 等于( d

)?

1 2

B.2

C.

1 4

D.4?

7.已知在△ABC 中, sin A : sin B : sin C =3: 5 :7,那么这个三角形的最大角是( A.90° B.120° C.135° D.150°

)

8.下列四个正方体图形中, A、B 为正方体的两个顶点,M 、N、P 分别为其所在棱的中点,

能得出 AB / / 平面 MNP 的图形的序号是(

)

A.①③

B.②③

C.①④

D.②④ )
C1

9.已知各项均为正数的等差数列{an}的前 20 项和为 100,那么 a3· a18 的最大值是( A.50 B.25 C.100 D.2 20
A1 B1 N

10.如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AA1=2,M、N 分别是 BB1 和 的中点,则直线 AM 与 CN 所成角的余弦值等于( )

B1C1

5 A. 2

2 5 B. 2

2 C. 5

3 D. 5

M A B C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,请将答案 在答题卡相应位置. 11.若 m ? x 2 ? 2x ? 3( x ? R), n ? 2 ,则 m, n 的大小关系是



. .

12.已知△ABC 中,AB=6,∠A=30°,∠B=120°,则△ABC 的面积为 13.如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 a ,当正视图的 视线方向垂直于平面 AA 正视图的面积为 2 a ,则此时 1B 1 B 时, 左视图的面积为________.
2

C A B

? x ? y ? ?1 ? 14.设点 P ( x, y ) 满足 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ?

C1
.

A1

B1

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.(本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,三内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c 。 (1)若 c ?
2

6, A ? 450 , a ? 2, 求 C ;
2 2

(2)若 4a ? b ? c ? 2bc , sin A ? sin B sin C ,试判断 ?ABC 的形状。
2

16.(本题满分 12 分) 若不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为是 ? 2,3? ,
2

(1)求 a , b 的值 (2)求不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 的解集。
2

17.(本题满分 14 分) 已知点 A(1,3), B(3,1) ,点 C 是直线 l1 : 3x ? 2 y ? 3 ? 0 和直线 l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点. (1)求 l1 与 l2 的交点 C 的坐标; (2)求 ?ABC 的面积.

18.(本题满分 14 分) 已知 S n 是等比数列 ?an ? 的前 n 项的和, a2,a8,a5 成等差数列. (1)求等比数列 ?an ? 的公比 q ; (2)判断 S3 , S9 , S6 是否成等差数列?若成等差数列,请给出证明;若不成等差数列, 请说明理由.

19.(本题满分 14 分) 如图所示, ABCD 是正方形, PA ? 平面ABCD , E、F 是 AC、PC 的中点 (1)求证: AC ? DF ; (2)若 PA ? 2, AB ? 1 ,求三棱锥 C ? PED 的体积.
F A B E C D P

20.(本题满分 14 分)

已 知 等 比 数 列 ?an ? 满 足 : a2 ? 4, 公 比 q ? 2 , 数 列 {bn } 的 前 n 项 和 为 Sn , 且

Sn ?

4 2 2 b n ? an ? ( n ? N ? ). 3 3 3

(1)求数列 ?an ? 和数列 {bn } 的通项 an 和 bn ;

(2)设 Pn ?

an 3 (n ? N ? ) ,证明: p1 ? p2 ? p3 ? ?? ? pn ? 2 Sn

惠州市 2014-2015 学年第二学期期末考试 高一数学试题答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1 A 2 A 3 C 4 D 5 C 6 A 7 B 8 C 9 B 10 D

1. 【解析】由斜截式知选 A. 2.【解析】? a5 ? a2a8 , a5 ? 0?a5 ? 4 。故选 A 3.【解析】由平行线的传递性知 C 正确. 4.【解析】由斜率相等知 a ? ?1 或 3.当 a ? 3 时两直线重合,舍去。故选 D 5.【解析】由题知 ?ABC 为等腰直角三角形,故 AB= 2 。选 C 6.【解析】? S10 ? 4S5 ,?10a1 ? 45d ? 20a1 ? 40d ,? a1 ? 2d 。选 A 7.【解析】由正弦定理知 a : b : c ? 3 : 5 : 7, 设a ? 3k , b ? 5k , c ? 7k , 由余弦定理知 cos B ? ? 选B 8.【解析】 对图①,构造 AB 所在的平面,即对角面,可以证明这个对角面与平面 MNP 平行, 由面面平行的的性质可得 AB / / 平面 MNP ,对图④,通过证明 AB / / PN ,然后可得 AB / / 平 面 MNP ;对于②、③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行。故选 C. 20?a1+a20? 20?a3+a18? 9. 【解析】由题可知 S20= = =100,所以 a3+a18=10, 2 2 故 a3· a18≤? a3+a18?2 ? 2 ? =25.故选 B.
2

1 2

10.【解析】 :如图过点 M 作 MP ∥ NC .所以 MP ? 又因为 NC ? 5 . AM ? 5 . MP ?

1 NC . 2

5 . 2
( 5) 2 ? ( 5 2 13 2 ) ?( ) 3 2 2 ? .故 5 5 2? 5 ? 2

1 13 . △ APM 中 . cos ?AMP ? AP ? ( )2 ? ( 3)2 ? 2 2
选 D.

A1 B1

N

C1

M

A P

C

B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. m ? n 12. 9 3 13 3a .
2

14. 10

11.【解析】 m ? n ? x2 ? 2x ? 3 ? 2 ? x2 ? 2x ? 1 ? ( x ? 1)2 ? 0 ,故 m ? n 12.【解析】由已知得 AB=BC=6, S?ABC ?

1 3 ?6?6? ?9 3 2 2

13.【解析】设此正三棱柱的高为 h ,则其主视图面积为 ah ,所以 h ? 2a ,左视图是边长分 别为

3 3 ah ? 3a 2 . a,2a ,的矩形,所以面积为 2 2

14.【解析】不等式组表示的可行域如图所示,直线 y ? ?2 x ? z 过直线 x ? y ? ?1 和
y

直线 2 x ? y ? 2 交点 (3, 4) 时, z 有最大值 10.
o x

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15 解: (1)由正弦定理得:

2 6 3 ? ? sin c ? --------------3 分 0 sin 45 sin c 2

? C ? 600 或 C ? 1200 -----------------------------------------5 分 sin C 得 a ? bc -----------------8 分 (2)由 sin A ? sin B?
2 2
2 2 2 2 2 又? 4a ? b ? c ? 2bc ? b ? c ? 2bc ? ? b ? c ? ? 0 ? b ? c -----10 分 2

? 4a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc ? 4b2

? a ? b ? c ? ?ABC 是等边三角形。-----------------------------12 分
2 16 解: (1)由已知可知 不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集是 x 2 ? x ? 3

?

?

所以 2 和 3 是方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的两个根-------------------2 分 由韦达定理得

?2 ? 3 ? a ? ?2 ? 3 ? ?b

解得

?a ? 5 ? ?b ? ?6

-----------------------------6 分

(2) 不等式 bx2 ? ax ? 1 ? 0

即为 ?6 x2 ? 5x ? 1 ? 0 -----------7 分

不等式 ?6 x2 ? 5x ? 1 ? 0 可化为
6 x 2 ? 5x ? 1 ? 0 -------------------------8 分 (2 x ? 1)(3x ? 1) ? 0

解得 所以

?

1 1 ? x ? ? -----------------------------11 分 2 3

? 1 1? 所求不等式的解集是 ? x ? ? x ? ? ? ------------------------12 分 2 3? ? ?3x ? 2 y ? 3 ? 0, -----------------------------2 分 ? ?2 x ? y ? 2 ? 0,

17 解: (1)解方程组



? x ? ?1, ? ? y ? 0.

所以 l1 与 l2 的交点 C 的坐标为 C (?1, 0) ---------------(6 分) (2)设 AB 上的高为 h ,则

S ?ABC ?

1 AB ? h 2

---------------------7 分

| AB |? (3 ? 1) 2 ? (1 ? 3) 2 ? 2 2, -----------------------9 分
AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离. y ? 3 x ?1 AB 边所在直线方程为 ? , 1 ? 3 3 ?1
即 x ? y ? 4 ? 0. ----------------------------------------------(11 分) 点 C 到 x ? y ? 4 ? 0 的距离为

h?

| ?1 ? 0 ? 4 | 1 ?1
2 2

?

5 ----------------------------13 分 2

因此, S?ABC ?

1 5 ?2 2? ? 5. --------------------(14 分) 2 2

18(1)由题意有: 2a8 ? a2 ? a5 所以 2a1q7 ? a1q ? a1q 4 因为 a1q ? 0 所以 2q6 ? 1 ? q3 即 2q6 ? q3 ? 1 ? 0

………………………………1 分

………………………………4 分
3

1 解得 q3 ? 1或q3 ? ? . 2
(2) ① 当 q ? 1 时 因为 2S9 ? S3 ? S6 ,

所以 q ? 1或q ?

1 ? . 2

………………7 分

所以 q ? 1 时 S3,S9,S6 不成等差数列; ② 当 q ? 1 时,知 q3 ? ?

………………………………10 分

1 2

所以 2S9 ?

2a1 (1 ? q9 ) 2a1 9 9a1 ? ? ? 1? q 1 ? q 8 4(1 ? q)

S3 ? S 6 ?

a1 (1 ? q3 ) a1 (1 ? q 6 ) 9a1 ? ? . 1? q 1? q 4(1 ? q)

所以 2S9 ? S3 +S6 . 所以 q ? 1 时, S3,S9,S6 成等差数列. ………………………13 分

综上:当 q ? 1 时 S3,S9,S6 不成等差数列;当 q ? 1 时, S3,S9,S6 成等差数列. 14 分 19(1)连接 ED、EF , ∵ ABCD 是正方形, E 是 AC 的中点, ∴ ED ? AC ……………………………………1 分 又∵ E、F 分别是 AC、PC 的中点 ∴ EF ∥ PA ……………………………………2 分

又∵ PA ? 平面ABCD , ∴ EF ? 平面ABCD ,……3 分 ∵ AC ? 平面ABCD , ∴ AC ? 平面DEF 又∵ DF ? 平面DEF 故 AC ? DF …………………………………………………7 分 (2)∵ PA ? 平面ABCD ,∴是 PA 三棱锥 P ? CED 的高, PA ? 2 ∵ ABCD 是正方形, E 是 AC 的中点,∴ ?CED 是等腰直角三角形………9 分 故C E ? E D AB ? 1 , 故 VC ? PED ? VP?CED ∴ EF ? AC …………………4 分 …………5 分

2 1 1 2 2 1 , SVCED ? CE ? ED ? ? ? ? ………………………12 分 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 ? ? SVCED ? PA ? ? ? 2 ? ………………………14 分 3 3 4 6 ?

P

F A B E C D

20(1) 解法一:由 a2 ? 4, q ? 2 得,

an ? a2 ? 2n?2 ? 2n. -----------------------------------------------------2 分
由上式结合 S n ?

4 2 2 4 2 b n ? an ? 得 Sn ? b n ? (2n ? 1) , 3 3 3 3 3 4 2 4 2 bn ? (2n ? 1) ? bn ?1 ? (2n ?1 ? 1) ,---------4 分 3 3 3 3

则当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ?

? bn ? 2n?1 ? 4bn?1 ? 2n ? 0 ---------------------------------------5 分 ? bn ? 2n ? 4(bn?1 ? 2n?1 ) ,---------------------------------------------7 分
∵ b1 ? S1 ?

4 2 b1 ? ? 1 ,∴ b1 ? 2 ,---------------------------------------8 分 3 3

∴数列 {bn ? 2n } 是首项为 b1 ? 2 ? 4 ,公比为 4 的等比数列,-----------------9 分

∴ bn ? 2n ? 4 ? 4n?1 ? 4n ,∴ bn ? 4n ? 2n .---------------------------------10 分 【解法二:(1) 由 a2 ? 4, q ? 2 得,

an ? a2 ? 2n?2 ? 2n. -----------------------------------------------------2 分
由上式结合 S n ?

4 2 2 4 2 b n ? an ? 得 Sn ? b n ? (2n ? 1) , 3 3 3 3 3 4 2 4 2 bn ? (2n ? 1) ? bn ?1 ? (2n ?1 ? 1) ,---------4 分 3 3 3 3

则当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ?

? bn ? 2n?1 ? 4bn?1 ? 2n ? 0 ? bn ? 4bn?1 ? 2n (n ? 2) ?
bn bn ?1 1 ? ? (n ? 2) , ----------------------6 分 4n 4n ?1 2n

1 1 (1 ? n ?1 ) 1 1 bn b1 1 1 1 22 2 ? ? n ,--------------------8 分 ∴ n ? ? 2 ? 3 ??? n ? 1 2 2 4 4 2 2 2 1? 2
∵ b1 ? S1 ?

4 2 b1 ? ? 1 ,∴ b1 ? 2 ,-------------------------------------9 分 3 3

∴ bn ? 4n ? 2n .-------------------------------------------------------10 分】 (2) 由

bn ? 4n ? 2n



4 2 4 2 2 Sn ? b n ? (2n ? 1) = (4n ? 2n ) ? (2n ? 1) ? (2 n ?1 ? 1)(2n ? 1) , 3 3 3 3 3
∴ Pn ?

an 2n 3 1 1 ? ? ( n ? n ?1 ) ----------------------12 分 S n 2 (2n ?1 ? 1)(2n ? 1) 2 2 ? 1 2 ? 1 3
3 1 1 1 1 1 )?( 2 ? 3 ) ?? ? ( n ? n ?1 ) ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1



? P ? P ? P ??? P ? 2 [(1 ? 2
i ?1 i

n

1

2

n

2

?

3 1 3 (1 ? n ?1 ) ? .--------------------------------------------------14 分 2 2 ?1 2


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