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海南省嘉积中学2012届高三教学质量监测(三)--数学(理)


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海南省嘉积中学 2012 届高三教学质量检测(三)

数学(理)试题
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。

2.回答第Ⅰ 卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目睥答案标号涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ 卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ 卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的)
x 2 1、已知全集 M = {x | y = 2 } ,集合 N = {x | y = lg(2 x - x )},则 M ? N = (



A、 (0, 2)

B、 (2, +

)

C、 [0, +

)

D、 (- ? ,0) ? (2,

)

2、直线 l 与直线 y = 1 ,直线 x = 7 分别交于 P, Q 两点, PQ 中点为 M (1, - 1) ,则直线 l 的斜率是 ( A、 )

1 3

B、

2 3

C、 -

3 2

D、 -

1 3


D sin 3、 ABC 的内角 A 满足条件: A + cos A > 0 且 tan A - sin A < 0 , 则角 A 的取值范围是 (

3? ,? ) 2 4 4 4 S 4、等差数列 {an } 的通项公式为 an = 2n + 1 ,其前 n 项和为 Sn ,则数列 { n } 的前 10 项和为( n
A、 (0,

?

)

B、 (

? ? , ) 4 2

C、 (

? 3?
,

)

D、 (



A、70

B、75
2

C、100

D、120

5、已知命题 p : $ x ? R, mx

1 0 ;命题 q : 对" x ? R, x2
) B、 m ? 2 D、 - 2 #m
1

mx + 1 > 0 ,若“ p ? q ”为假命题,
S

则实数 m 的取值范围是( A、 m ? C、 m ?

2 2或m? 2

E C D

2
B A

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6、正四棱锥 S - ABCD 的侧棱长为 2 ,底面边长为 3 , E 为 SA 中点,则异面直线 BE 与 SC 所 成的角是( A、30° ) B、45° C、60° D、90°

7、直线 3x + y - 2 3 = 0 与圆 O : x2 + y 2 = 4 交于 A 、 B 两点,则 OA?OB

??? ??? ? ?





A、2 B、-2 C、4 D、-4 8、若函数 y = f ( x) 同时具备以下三个性质:① f ( x ) 是奇函数;② f ( x ) 的最小正周期为 p ;③在

骣p 5p ÷ ?3 , ÷上 f ( x) 为增函数,则 f ( x) 的解析式可以是( ) ? ?4 4÷ 桫 p p A、 f ( x) = sin(2 x - ) B、 f ( x) = cos(2 x + ) 2 2 p p C、 f ( x) = tan( x + ) D、 f ( x) = cos(2 x - ) 4 2 2 2 x y 9、设椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F 、 F2 , A 是椭圆上的一点, AF2 ^ AF1 , 1 a b 1 原点 O 到直线 AF1 的距离为 OF1 ,则椭圆的离心率为( ) 2 1 2 A、 B、 3 - 1 C、 D、 2 - 1 3 2
10、在空间给出下面四个命题(其中 m 、 n 为不同的两条直线, a 、 b 为不同的两个平面) ① m ^ a , n // a ? m ^ n ② m // n , n // a ? m // a ③ m // n , n ^ b , m // a ? a ^ b ④ m ? n = A , m // a , m // b , n // a , n // b ? a // b 其中正确的命题个数有( A、1 个 B、2 个 ) C、3 个 D、4 个

11、某企业准备投资 A、B 两个项目建设,资金来源主要靠企业自筹和银行贷款两份资金构成,具 体情况如下表。投资 A 项目资金不超过 160 万元,B 项目不超过 200 万元,预计建成后,自筹资 金每份获利 12 万元,银行贷款每份获利 10 万元,为获得总利润最大,那么两份资金分别投入的 份数是( ) 单位:万元 项目 A B A、自筹资金 4 份,银行贷款 2 份 C、自筹资金 2 份,银行贷款 4 份
2

自筹每份资金 20 40

银行贷款每份资金 30 30

B、自筹资金 3 份,银行贷款 3 份 D、自筹资金 2 份,银行贷款 2 份

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12 、 规 定 m i na b , 表 示 a , b 两 个 数 中 的 最 小 的 数 , m i na b , =}? { } { í

ì a a? b ? ,若函数 ?b b< a ? ?


f ( x)= m i n x + { x ,
A、-1

的图像关于直线 x = t } B、1

1 对称,则 t 的值是( 2
D、2

C、-2

第Ⅱ 卷
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13、设 a 为第一象限的角, cos 2a = 14、 (ln 2)

3 p ,则 f ( x) = tan( + 2a ) = 5 4



ò

2

2x dx =



0

ì log 2 x x > 0 ? ? 15、若函数 f ( x) = ? log (- x ) x < 0 ,若 f (a) > f (- a) ,则实数 a 的 í 1 ? ? 2 ? ?
取值范围是 . 16、一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的 体积为 . 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应 写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17、 (本题满分 12 分) 已知数列 {an } 是首项 a1 = 4 ,公比 q ? 1 的等比数列, Sn 是其前 n 项和,且 4a1 , a5 , - 2a3 成等 差数列. (Ⅰ)求公比 q 的值; (Ⅱ)设 An = S1 + S2 + ?+ Sn ,求 An 的值. 18、 (本题满分 12 分)
C D 30m

如图为一建筑物的正视图,尺寸图中标出,为了做好火灾的防备工 作,需要在地面上确定安装喷水枪的地点 E ,经测试只有当
q

20m B
a

10m

A
q

? AEB

CED (图中的 q 角)时,才能使得水枪喷射能够覆盖整个建
E

筑物,求水枪安装点 E 到建筑物的距离 EA 长. (注:图中 A, B, C , D, E 在同一个平面内;不考虑喷水枪的高度. )

19、 (本题满分 12 分) 如 图 , 四 棱 锥 P - ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 矩 形 , PA ^ 底 面 A B C D 且 ,

P A=

A = 1 , AD = B

3 ,点 F 是 PB 中点.
3

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(Ⅰ)若 E 为 BC 中点,证明: EF //平面 PAC ; (Ⅱ)若 E 是 BC 边上任一点,证明: PE ^ AF ; (Ⅲ)若 BE =

3 ,求直线 PA 与平面 PDE 所成角的正弦值. 3

20、 (本题满分 12 分) 如图在 Rt ?ABC 中,三个顶点坐标分别为 A(?1, 0) , B(1, 0) , C (?1, 曲线 E 上任一点 P 满足 PA ? PB 是定值. (Ⅰ)求出曲线 E 的标准方程; (Ⅱ)设曲线 E 与 x 轴, y 轴的交点分别为 D 、 Q , 是否存在斜率为 k 的直线 l 过定点 (0, 2) 与曲线 E 交于不同的两点 M 、 N ,且向量 OM ? ON 与

2 ) ,曲线 E 过 C 点且 2

???? ???? ?

???? DQ 共线.若存在,求出此直线方程;若不存在,请说明理由.
21、 (本题满分 12 分) 设函数 f ( x) = x + b ln( x + 1) . (Ⅰ)若函数 y ? f ( x) 在定义域上是单调函数,求 b 的取值范围; (Ⅱ)若 b ? ?1 ,证明对于任意的 n ? N ? ,不等式
2

k ?1 四、选做题 请考生在下面第 22,23,24 三道题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答 时用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应题号涂黑.

? f ( k ) ? 1? 2

n

1

1
3

?

1 1 ? ?? 3 . 3 3 n

22、 (本题满分 10 分)选修 4—1

几何证明选讲
F C A O A O B

C

F

已知△ ABC 内接于⊙ O ,BT 为⊙ O 的切线,P 为 直线 AB 上一点, 过点 P 作 BC 的平行线交直线 BT 于点

P

E

X

T

E ,交直线 AC 于点 F .

E

B

T

(图甲)

(图乙)

P

(Ⅰ)如图甲,求证:当点 P 在线段 AB 上时, PA ? PB ? PE ? PF ; (Ⅱ)如图乙,当点 P 在线段 AB 的延长线上时, (Ⅰ)的结论是否仍成立?如果成立,请给予 证明;如果不成立,请说明理由. 23、 (本题满分 10 分)选修 4—4 坐标系与参数方程

已知两点 A 、 B 的极坐标分别为 (4,

?

) , (4, ) . 2 6
4

?

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(Ⅰ)求 A 、 B 两点间的距离; (Ⅱ)以极坐标系的极点 O 为直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的非负半轴,建立平面直角坐标 系,求直线 AB 的参数方程. 24、 (本题满分 10 分)选修 4—5 设 0 ? x ? 1, a ? 不等式选讲

2x , b ? 1 ? x , c ?

1 ,试比较 a, b, c 的大小. 1? x

(要说明理由,最后结果将 a, b, c 从小到大排列出来)

5

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参考答案
一、选择题: ADCBB CADBC 二、填空题: 13. ? 三、解答题 17.解: (I)∵4a1 , a5 , ? 2a3 成等差数列 ∴2a5 ? 4a1 ? 2a3

CB 15. (?1,0) ? (1,??)

1 7

14.3

16. 12 3

2a1q 4 ? 4a1 ? 2a1q 2
∴q 2 ? 1 又 q ? 1 ∴q ? ?1

4 ? [1 ? (?1) n ] (II) S n ? ? 2 ? 2 ? (?1) n 1 ? (?1)

An ? [2 ? 2 ? (?1)1 ] ? [2 ? 2 ? (?1) 2 ] ? [2 ? 2 ? (?1)3 ] ??? [2 ? 2 ? (?1) n ]
? 2n ? 2[(?1) ? (?1) 2 ? (?1)3 ? ? ? (?1) n ]

? 2n ? 2 ?
18.解:设 EA ? xm

(?1) ? [1 ? (?1) n ] ? 2n ? 1 ? (?1) n 1 ? (?1)

DA ? AE 10 Rt△ABE 中 tan ? ? x 30 Rt△ACE 中 tan(? ? ? ) ? x 60 Rt△ADE 中 tan( 2? ? ? ) ? x

10 30 ? tan? ? tan( ? ? ) ? x x ? 40x tan(2? ? ? ) ? tan[ ? (? ? ? )] ? ? ? 1 ? tan? ? tan( ? ? ) 1 ? 10 ? 30 x 2 ? 300 ? x x 40 x 60 x ? 30 ? ∴ 2 x x ? 300
答:水枪安装点 E 到建筑物距离为 30m. 19.证明(I)E 为 BC 中点,F 为 PB 中点 ∴ EF∥ CP CP ? 平面 PAC, EF ? 平面 PAC ∴ EF∥ 平面 PAC (II)∵ PA⊥ 平面 ABCD ∴ PA⊥ BC
6

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又 AB⊥ BC ∴ BC⊥ 平面 PAB BC⊥ AF 又 PA=AB,F 为 PB 中点,∴ PB⊥ AF PB ? BC ? B ,AF⊥ 平面 PBC ∴ AF⊥ PE (III)分别以直线 AD、DB、DP 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系

PA ? BA ? A

P(0,0,1)

D( 3,0,0) B(0,1,0), E (
2 3 ,1,0) 3

3 ,1,0) 3

PD ? ( 3,0,?1)

DE ? (?

设平面 PDE 的一个法向量为 n( x, y, z )

? ?n ? PD ? 0 ? 3 x ? z ? 0 ? ?? 2 3 ? x? y ?0 ?n ? DE ? 0 ?? ? ? 3
令 x=1 得平面 PDE 和一个法向量 m ? (1,

2 3 , 3) 3

又 AP(0,0,1)

AP 与平面 PDE 所成角为 ?

sin ? ?

AP ? m AP ? m

? 1? 1 ? (

3

?

2 3 2 ) ? ( 3) 2 3 3 PA 与平面 PDE 所成角正弦值为 . 4
20.解: (I)由题设得 AC ?

3 4

2 , AB ? 2 2
2

BC ?

AC 2 ? AB ?

3 2 2 3 2 2 ? ? 2 2 ? AB 2 2

又 PA ? PB 是定值

∴ PA ? PB ?

由椭圆定义,点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆.

2a ? 2 2 , a ? 2
b2 ? a2 ? c2 ? 1
椭圆 E 方程

2c ? 2, c ? 1

x2 ? y2 ? 1 2

7

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(II)由已知条件 l 方程为 y ? kx ? 2

? y ? kx ? 2 ? 2 消去 y 整理得 ?x 2 ? ? y ?1 ?2

(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4 2kx ? 2 ? 0
l 与椭圆有 2 个不同交点的条件为△ ? (4 2k ) 2 ? 8(1 ? 2k 2 ) ? 0 解得 k ? ?

2 2 或k ? 2 2

若 l 与椭圆交于 M ( x1 , y1 )、N ( x2 , y2 )

x1 ? x2 ? ?

4 2k 1 ? 2k 2

y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2 ?

2 2 1 ? 2k 2

OM ? ON ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )
椭圆与 x 轴,y 轴交点 D( 2 ,0) , Q(0,1) , DQ ? (? 2 ,1)

OM ? ON 与 DQ 共线
∴x1 ? x2 ? ? 2 ( y1 ? y2 )

?

4 2k 2 2 2 解得 k ? ?? 2? 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 2 2 ? (??,? )?( ,??) 2 2 2

k?

∴ 不存在符合题设条件的直线 l.
21. (I)解: f ?( x) ? 2 x ?

b 2x 2 ? 2x ? b ? ( x ? ?1) x ?1 x ?1

要使 f (x) 在 (?1,??) 上为单调函数只须在 (?1,??) 上 f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 恒成立,
2 若 2 x ? 2 x ? b ? 0 , b ? ?2( x ? ) ?
2

1 2

1 2

在 (?1,??) 上 t ? ?2( x ? ) ?
2

1 2

1 1 有最大值 2 2

∴ 只须 b ?

1 则 f ?( x) ? 0 2 1 2
2

2 若 2 x ? 2 x ? b ? 0 , b ? ?2( x ? ) ?

1 2
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在 (?1,??) 上 t ? ?2( x ? ) ?
2

1 2

1 无最小值故满足 f ?( x) ? 0 的 b 不存在. 2

由上得出当 b ?

1 时, f (x) 在 (?1,??) 上为单调函数. 2

(II) b ? ?1 时, f ( x) ? x 2 ? ln(x ? 1) 设 g ( x) ? f ( x) ? x 3 ? x 2 ? ln(x ? 1) ? x 3

g ?( x) ? 2 x ?

1 3x 3 ? ( x ? 1) 2 ? 3x 2 ? ? x ?1 x ?1

当 x ? 0 时 g ?( x) ? 0

∴ 函数 g (x) 在 (0,??) 上为减函数

g (0) ? 0

∴ x ? (0,??) 时, g ( x) ? g (0) ? 0 当

x 2 ? ln(x ? 1) ? x 3 恒成立 f ( x) ? x3
1 ∴ ? (0,?? ) k 1 1 1 ∴x ? 时, f ( ) ? 3 k k k

k?N?

n 1 1 1 1 ∴? f ( ) ? 1 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 k 2 3 k k ?1

四、选做题 22. (I)证明:EB 为⊙ 切线,∴ C=∠ O ∠ ABE

EF∥ BC ∴ AFP=∠ ∠ C ∠ AFP=∠ ABE 又∠ APF=∠ EPB PA PF ? △APF∽ EPB △ 即 PA ? PB ? PE ? PF PE PB (II)当点 P 在线段 AB 延线上时,结论 PA ? PB ? PE ? PF 仍成立 ∵ 为⊙ 切线,∴ ABT=∠ EB O ∠ ACB 又 BC∥ EF ∴ F=∠ ∠ ACB=∠ ABT 又∠ ABT=∠ PBE ∴ △PBE∽ PFA △ PA PF ? 即 PA ? PB ? PE ? PF PE PB
23. (解答略) (I) AB ? 4

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? 3t ?x ? ? ? 2 (t 为参数) (II) ? ?y ? 4 ? t ? 2 ?
(参数方程不唯一,只要考生能求出满足过 A、B 两点的任一参数形式方程都给满分) 24. (解答略) a ? b ? c

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