高一数学竞赛讲座(四)反三角函数与三角方程

高一数学竞赛讲座（四）

高一数学竞赛讲座（四）——反三角函数、三角方程与三角不等式（2015.4.29） 例 1．求下列函数的定义域与值域：
2 （1） y ? arcsin x ? x ? 1 ；

例 5．解方程： （1） sin 2 x ? 3sin x cos x ? 1 ? 0 ； （2） tan ? x ?

?

?

（2） y ? arcsin

1? x ． 2x

? ?

??

?? ? ? ? tan ? x ? ? ? 2cot x ； 4? 4? ?

例 2．求下列各式的值： （1） arccos ? ?

4 3 ? 11 ? ； ? ? arcsin 7 ? 14 ?
1 1? ? arctan ? ； 2 3?
1? x ． 1? x

（3） sin x ? cos x ? tan x ? cot x ? sec x ? csc x ? 2 ? 0

（2） sin ? arctan

? ?

（3） arctan x ? arctan

例 3．已知二次函数 f ? x ? 的最高次项系数为正数，并且 f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? ， 求证： f ? arcsin

? ?

1? 2? ? ? ? f ? arcsin ? ． 7? 7? ?

（4） sin 2 x ? sin 7 x ? 1 ；

（5） x y ?1 ? y x ?1 ? xy ．

例 4．求函数 y ? 2 3x ? 2 ? 5 ? 6 x 的值域．

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例 7．解方程组：

? ?? ? ? tan x ? cot x ? 2sin ? y ? 4 ? ? ? ? ? ? tan y ? cot y ? 2sin ? x ? ? ? ? ? ? 4? ? ?

例 9．求出在 ? 0, ? ? 上且满足 2cos x ?

1 ? sin 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 2 ．

例 8．已知： a ? 1 ， b ? 1，且 arcsin

2a 2b ? arcsin ? 2 arctan x ，请用 a 与 b 表示 x ． 2 1? a 1 ? b2

例 10．已知 x ? 0 ， y ? 0 ， x ? y ? ? ， 求证： ?m ? ，都有 m ? m ?1? sin ? x ? y ? ? m ?sin x ? sin y ? ? sin y ? 0 ．

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练习 1．

?

? ?? ?? ? ? ? ? ，则 arcsin ? cos ? ? ? ? ? ? arccos ? sin ?? ? ? ? ? ? _______________________； 2 ?2 ?? ?
上的函数，且满足 f

7．关于 x 的方程 sin x ? 3 cos x ? a ? 0 在 ? 0, 2? ? 内有两个相异的实数解 ? 、 ? ，求 a 的取值范围与

? ? ? 的值。
3 ， 4

2． （ 2014 年 浙 江 省 预 赛 试 题 ） 设 f ? x ? 是 定 义 在

? x? ? c o s2

x?

f ? x ? ? sin 2 x ?

1 ，则函数 f ? x ? ? ___________________。 4 2 ? 2x ? ? ?? ? c 在 ? ? , ? 上是奇函数，那么 c ? 1? 4x ? 4 4?

3． （ 2014 年北约自主招生试题）已知 f ? x ? ? arctan ______________。 4．求 f ? x ? ? 2 arccos

x2 ? x 的定义域、值域与单调区间。 2

8．已知 ? 与 ? 是方程 a cos x ? b sin x ? c 的两个相异实根，且 ? ? ? ? k? ， k ? 求证： （1） tan ?? ? ? ? ?

， ab ? 0 ；

2ab ； a ? b2
2

1 1 5．求证： arctan ? arctan ? 3 7

1 n ? arctan ? arctan 。 2 1? n ? n n?2

（2） cos

2

a?? c2 ? 2 。 2 a ? b2

2 6．若 x1 与 x2 是方程 x ? x sin ? ? cos ? ? 0 的两根，且 0 ? ? ? ? ，求 arctan x1 ? arctan x2 的值。

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9． （2012 年北约自主招生试题）求使方程 sin 4 x sin 2 x ? sin x sin 3x ? a 在 ? 0, ? ? 有唯一解的 a 。

11．是否存在实数 a 与 b ，使得一次函数 f ? x ? ? ax ? b 满足 ?x ??0, 2? ? ，
2 都有 f ? x ? ? cos x ? f ? x ? ?

1 2 sin x 恒成立？ 4

10．解方程： （1） cos 2 ? x ? ? ? ? sin 4 x ? 2 ；

? ?

5 ? 8 ?

（2） tan ?

?x ?? ? ? ? sin x ? 1 ? 0 ； ?2 4?
2 2 12． （2014 年浙江省预赛试题 ）已知函数 f ? x ? ? cos ? a sin x ? ? sin ?b cos x ? 无零点，请确定 a ? b 的
1

取值范围。

（3） arccos x ? arctan

1 ? ? ； 7 4

（4） arccos

x2 ?1 2x x2 ?1 ? arcsin ? arccot ?? 。 x2 ? 1 x2 ? 1 2x

1

原题为选择题。

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