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2012全国高中数学联赛一试解答题训练一


2012 全国高中数学联赛一试解答题训练一
1、设函数 f ( x ) ? ?
1 3 x ? 2 ax ? 3a x ? b, 0 ? a ? 1.
3 2 2

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间、极值; (2)若当 x ? [ a ? 1, a ? 2] 时,恒有 | f ?( x ) |? a . 试确定 a 的取值

范围。 解析: 对于一元三次多项式函数求单调区间与极值是高考考查的一种常见题型, 可直接采用 导数来处理,这种常规方法我们应熟练掌握。 (1) f ? ( x ) ? ? x 2 ? 4 ax ? 3 a 2 令 f ?( x ) ? 0 ,得 x ? a 或 x ? 3 a . 对 f ( x ) 的性质(单调性、极值)进行分析,列表如下:
x
f ?( x )
f (x) (?? , 0)

a

(a , 3a )

3a

(3 a , ? ? )

- 递减
? 4 3

0
a ?b
3

+ 递增
4 3 a ? b;
3

0 b

- 递减

由此表可知:当 x ? a 时, f ( x ) 极 小 ? ? 当 x ? 3 a 时, f ( x ) 极 大 ? b .

(2)由 | f ?( x ) | ? a ,得 ? a ? ? x 2 ? 4 ax ? 3 a 2 ? a ∵ 0 ? a ? 1, ∴ a ? 1 ? 2a

且 f ? ( x ) ? ? x 2 ? 4 ax ? 3 a 2 在 [ a ? 1, a ? 2] 上为减函数 ∴ f ?( x ) m ax ? f ?( a ? 1) ? 2 a ? 1 , f ?( x ) m in ? f ?( a ? 2) ? 4 a ? 4 于是,问题转化为求不等式组 ?
?2a ? 1 ? a ?4a ? 4 ? ?a
?4 ?5 ? ?

的解,易求得

4 5

? a ? 1.

又 0 ? a ? 1 ,故所求 a 的取值范围的 ? ,1 ? . 2、已知函数 f ( x ) ? ?
1 3 x ? 2 ax ? 3a x ? b (a ? 0)
3 2 2

(1)当 f ( x ) 的极小值为 ?

7 3

,极大值为 ? 1 时,求 f ( x ) 的解析式;

1

(2)若 f ( x ) 在 [1, 2] 上为增函数,在区间 [6, ? ? ) 上为减函数,求实数 a 的取值范围。 解析: (1)要求 f ( x ) 的解析式,必须建立关于 a , b 的两个等式. 这里可以借助极大、 极小值两个条件布列方程. (2)应将单调性转化为两个恒成立的不等式。 (1)∵ f ?( x ) ? ? x 2 ? 4 ax ? 3 a 2 ? ? ( x ? a )( x ? 3 a ) ∴ f ?( x ) ? 0 时, a ? x ? 3 a ; f ?( x ) ? 0 时. x ? 3 a 或 x ? a 即 f ( x ) 在 ? ? ? , a ? 和 ? 3 a , ? ? ? 上均为减函数,在 [ a , 3 a ] 上为增函数. 则有:
? 7 ? ? ? ? f (a ) ? ? ? 3 即? ? ? f (3 a ) ? ? 1 ?? ? ? ?
?a ? 1 ?b ? ?1

1 3 1 3

a ? 2 a ? 3a ? b ? ?
3 3 3 3 3 3

7 3

? 27 a ? 18a ? 9a ? b ? ?1

解得 ?

∴ f (x) ? ?

1 3

x ? 2 x ? 3x ? 1.
3 2

(2)由(1)知要使 f ( x ) 在 [1, 2] 上为增函数,在 [6, ? ? ) 上为减函数,则需满足:
?a ? 1 3 ? ? a ? 1. ?3a ? 2 ? 2 ?3a ? 6 ?

∴a 的取值范围为 [ ,1]
3

2

3、定义函数 f n ( x ) ? (1 ? x ) n ? 1, x ? ? 2 ( n ? N *), 其导函数为 f n? ( x ) 。 (1)求证: f n ( x ) ? nx ; (2)设
f n? ( x 0 ) f n?? 1 ( x 0 ) ? f n (1 ) f n ? 1 (1 )

,求证: 0 ? x 0 ? 1 。

解: (1)令 g ( x ) ? f n ( x ) ? nx ? (1 ? x ) n ? 1 ? nx , ∵ g ' ( x ) ? n ( x ? 1) n ?1 ? n ? n [( x ? 1) n ? 1 ? 1] 当 ? 2 ? x ? 0 时, g ?( x ) ? 0 ;当 x >0 时, g ? ( x ) >0 ∴ g ( x ) 在(-2,0 ] 上递减,在(0,+∞)上递增。 则当 x ? 0 时, g ( x ) min ? g ( 0 ) ? 0 ,所以 g ( x ) ? 0 ,即 f n ( x ) ? nx 。
2

(2)∵

f n? ( x 0 ) f n?? 1 ( x 0 )
( n ? 1) 2 ( n ? 1 )( 2
n n

?

f n (1 ) f n ? 1 (1 )

,即

n (1 ? x 0 )

n ?1 n

( n ? 1 )( 1 ? x 0 )

?

2 2

n

?1 ?1

n ?1



∴ x0 ?

?1 ? 1)

,由此得 x 0 >0 ;而 x 0 ? 1 ?

n ? 2? 2 ( n ? 1 )( 2
n

n ?1

? 1)

由(1)知 x >0 时, (1 ? x ) n ? 1 ? nx , 故 2 n ? 1 ? (1 ? 1) n ? 1 ? ( n ? 1) ? 1 ? n ? 2 , ∴ x 0 <1 , 综上 0< x 0 <1 。 4、已知函数 f ( x ) ? 2 x ? a 的反函数是 是y ? f
?1

y ? f

?1

( x ), 设 P ( x ? a , y1 ), Q ( x , y 2 ), R ( 2 ? a , y 3 )

( x ) 图象上不同的三点。

(1)如果存在正实数 x,使 y 1 、y2、y3 成等差数列,试用 x 表示实数 a; (2)在(1)的条件下,如果实数 x 是唯一的,试求实数 a 的取值范围. 解: (1)f (x)的反函数是 f
? P、Q、R 是 f
?1
?1

( x ) ? log 2 ( x ? a )( x ? a )

( x ) 图象上不同三点,

∴ y 1 ? log

2

x , y 2 ? log

2

( x ? a ), y 3 ? 1 且 a ? 0 (即 x ? 2 ) ,

由于 y1、y2、y3 成等差数列,所以 y1+y3=2y2 ∴ 1 ? log
2

x ? 2 log

2

( x ? a ), 即 log

2

2 x ? log

2

( x ? a ),

也就是 x ? a ? ∴a ? x ?

2 x , x ? 0且 x ? a ;

2 x ( x ? 0 且 x ? 2 ) ………①
2

?( x ? a ) (2)等量关系①等价于 ? x ? a ? ?x ? 0 ?

? 2x 又等价于

?( x ? a ) ? 2 x ? ? ? ?x ? a?????
2

② ③

方程②等价于
? ? [ 2 ( a ? 1)]
2

x

2

? 2 ( a ? 1) x ? a
2

2

? 0 ………④

? 4a

? 8a ? 4 ,
1 2

1° a ? ? 当

1 2

时 , ? ? 0 , 方程④仅有一个实数解 x ?

且满足③,

所以, a ? ?

1 2

满足①有唯一解;

3

2° a 当

? ?

1 2

时,? ? 0

,方程②有二个相异实数解:
2 a ? 1.

x1 ? a ? 1 ?

2 a ? 1, x 2 ? a ? 1 ?

又 x1 ? a ? 1 ?

2 a ? 1 ? a 满足条件③,要使方程①有唯一解,则 x2 不能是①的解,即

需 x2 ? a ? 1 ?

2 a ? 1 ? a ,即

? ( 2 a ? 1) ? 1 ? 2a ? 1 ? 1 ? ? a ? 0. 1 a ? ? , ? 2 ?
1 2 或a ? 0 。

又 a ? 0 所以 a ? 0 , 综合 1 , 2 , a 的取值范围是 a ? ? 5、设函数 y ? f ( x ) ? x ( x ? m )( x ? n )

?

?

. ( m 、 n ? R)

(1) m ? n , mn ? 0 , 若 过两点 (0, 、 m , 的中点作与 x 轴垂直的直线, 0) ( 0) 与函数 y ? f ( x ) 的图象交于点 P ( x 0 , f ( x 0 )) ,求证:函数 y ? f ( x ) 在点 P 处的切线过点( n ,0) ; (2)若 m ? n ( m ? 0 ) ,且当 x ? [ 0 , | m | ? 1] 时 f ( x ) ? 2 m 2 恒成立, 求实数 m 的取值范围.
m 2 m 4
2

解: (1)由已知 P (

,

(n ?

m 2

)), y ? ? 3 x

2

? ( 2 m ? 2 n ) x ? mn ,

所求切线斜率为: 3 (

m 2

)

2

? (2m ? 2n) ?
2

m 2

? mn ? ?

m 4

2

,

则切线方程为: y

?

m 4

2

(n ?

m 2

) ? ?

m 4

(x ?

m 2

), 令 y ? 0 , 解得 x ? n ,

所以,函数 y ? f ( x ) 过点 P 的切线过点( n ,0) ; (2)因为 m ? n ,所以 y ? f ( x ) ? x ( x ? m ) 2 ,
y? ? 3x
2

? 4 mx ? m

2

? 3 ( x ? m )( x ?

m 3

),

当 m ? 0 时,函数 y ? f ( x ) 在 ( ?? ,

m 3

) 上单调递增,在(

m 3

, m )单调递减,
? 4

m ? 2 ? f ( ) ? 2m 在 ( m , ?? ) 上单调递增,所以,根据题意有 ? 3 ? f ( m ? 1) ? 2 m ?

即 ? 27 ?
2

m

3

? 2m ,
2

?m ? 1 ? 2m 2 , ?

解之得 1 ? m ?

27 2

或m ? ?

1 2

,结合 m ? 0 ,所以 1 ? m ?
m 3

27 2



当 m ? 0 时,函数 y ? f ( x ) 在 (

, ?? ) 单调递增,则 x ? [ 0 , | m | ? 1] 时, f ( x ) 为增函数,

所以,根据题意只需 f (1 ? m ) ? 2 m 2 , 即 (1 ? m )( 1 ? m ? m ) 2 ? 2 m 2 ,

4

将其整理得: 4 m 3 ? 6 m 2 ? 5 m ? 1 ? 0 , ( ? ) 令 g ( m ) ? 4 m 3 ? 6 m 2 ? 5 m ? 1 ,则 g ? ( m ) ? 12 m
2

? 12 m ? 5 ? 12 ( m ?

1 2

)

2

? 2 ? 0 ,则

g ( m ) 在区间 ( ?? , 0 ) 单调递增 , 又 g ( 0 ) ? ? 1 ? 0 ,所以当 m ? 0 时,恒有 g ( m ) ? 0 ,于是

不等式“ ? ”无解。 综上可知: 1 ? m ?
27 2



6、设函数 f ( x ) ?

1? x ax

? ln x 在 [1, ? ? ) 上为增函数。

(1)求正实数 a 的取值范围; (2)若 a ? 1 . 求证:
1 2 ? 1 3 ?? ? 1 n ? ln n ? n ? 1 2 ? 1 3 ?? ? 1 n ?1 .

解析:对(1)运用函数 f ( x ) 的导函数 f ? ( x ) 在 [1, ? ? ) 上恒非负可建立关于 a 的不等式, 再解此不等式,即可求得 a 的取值范围. 而(2)的处理,应考虑(1)的结论的利用,即如 何利用(1)找出(2)成立的关键不等式。 (1)由已知得 f ? ( x ) ?
ax ? 1 ax
2

? 0 在 a ? 0 的大前提下,对于任意 x ? [1, ? ? ) 恒成立. 1

∴ ax ? 1 ? 0 对 x ? [1, ? ? ) 恒成立. 即 a ? ( ) m a x
x

∴a ? 1 (2)证明:∵ a ? 1 ,由(1)知 f ( x ) ?
1? n n n 1 n ?1 ? ln ? ln ? ? f (1) ? 0 . n n ?1 n ?1 n
1? x x ? ln x 在 [1, ? ? ) 上为增函数,

∴ n ? 2 时,有 f ?

?

? ?? ? n ?1? n

n ?1

即 ∴

1 n 1 2

? ln ? 1 3

n n ?1


1 n ? ln 2 ? ln 3 2 ? ? ? ln n n ?1 ? ln n .

?? ?

设 g ( x ) ? ln x ? x ( x ? [1, ?? )). 则
g ?( x ) ? 1 x ?1? 0

对 x ? [1, ? ? ) 恒成立

∴ g ( x ) 在 [1, ? ? ) 上为减函数.
? n n ? ? ? g (1) ? ? 1 ? 0 ? ? ln n ?1 n ?1 ? n ?1? n
5

∴ n ? 2 时,有 g ?

∴ ln

n n ?1

?

n n ?1

? 1?

1 n ?1

(n ? 2)

∴ ln 2 ? ln

3 2

? ln

4 3

? ? ? ln

1? ? 1? ? 1? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? (1 ? ) n ?1 ? 1? ? 2? ? 3? n ?1 n
1 ? n?
.

? ( n ? 1) ? 1 ?

1 2
1 2

?
?

1 3
1 3

?? ?
?? ?

1 2

n ?1
1 n ?1

?

1 3

?? ?

1 n ?1



ln n ? n ?

7、 f ( x ) ? x 2 ? bx ? c ( b , c ? R ) , 设 方程 f ( x ) ? x 的两个实根 x1 , x 2 满足: 1 ? 0, x 2 ? x1 ? 1. x (1)求证: b 2 ? 2( b ? 2 c ) ; (2)设 0 ? t ? x1 ,比较 f ( t ) 与 x1 的大小; (3)若对任意的 x ? [ ? 1,1] ,均有 | f ( x ) |? 1 . 求证: | 1 ? b |? 2. 解析:对(1)可利用 ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? 4 x1 x 2 建立关于 b , c 的不等式.(但需注意 前提条件△ >0)(2)可用差值比较法处理; ; (3)应注意 x 的任意性,即 x 可取 [ ? 1,1] 的一 些特殊值,可帮助我们证明绝对值不等式. (1)原方程即 x 2 ? ( b ? 1) x ? c ? 0 由韦达定理知:
( x 2 ? x1 ) ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2? ( b 1 ) ? ?
2 2 2

4 ? c

1

(注:此时 ? ? ( b ? 1) 2 ? 4 c ? 0 能得到满足) 即 b 2 ? 2( b ? 2 c ) ; (2)∵ x1 ? f ( x1 ) ∴ f ( t ) ? x1 ? f ( t ) ? f ( x1 ) ? ( t 2 ? tb ? c ) ? ( x12 ? bx1 ? c )
? ( t ? x1 )( t ? x1 ? b )

∵ x1 ? x 2 ? 1 ? b , 0 ? t ? x1 , x 2 ? x1 ? 1 ∴ t ? x1 ? 0, t ? x1 ? b ? t ? 1 ? b ? x 2 ? b ? t ? 1 ? x 2 ? x1 ? 1 ? x 2 ? 0 ∴ f ( t ) ? x1 ? 0 即 f ( t ) ? x1 .
6

(3)∵对任意 x ? [ ? 1,1] ,有 | f ( x ) |? 1. ∴ | f (0) |? | c |? 1,
| f (1) |? | 1 ? b ? c |? 1

∴ | 1 ? b |? | 1 ? b ? c ? c |? | 1 ? b ? c | ? | ? c |? 2 。 8、已知 f ( x ) 是在 (0, ? ? ) 上每一点处导数均存在的函数,若 xf ?( x ) ? f ( x ) 对任意 x ? 0 恒 成立. (1)试判断函数 g ( x ) ?
f (x) x

在 (0, ? ? ) 上是否为单调函数;

(2)求证:对任意 x1 , x 2 ? (0, ? ? ) ,恒有 f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) (3)已知不等式 ln (1 ? x ) ? x 在 x ? ? 1 且 x ? 0 时恒成立,
1
2

求证:

ln 2 ?
2

1 3
2

ln 3 ?
2

1 4
2

ln 4 ? ? ?
2

1 ( n ? 1)
2

ln ( n ? 1) ?
2

n 2 ( n ? 1)( n ? 2 )

( n ? N ).

?

2

解析: (1)∵ g ? ( x ) ?

f ?( x ) ? x ? f ( x ) x
2

? 0

∴ g ( x ) 在 (0, ? ? ) 上为单调增函数; (2)由(1)知,对任意 x1 , x 2 ? (0, ? ? ) . 有:
f ( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2 ? f ( x1 ) x1 f ( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2 x1 x1 ? x 2 ? f ( x2 ) x2 x2 x1 ? x 2

,

.

于是 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

f ( x1 ? x 2 ) ?

f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ? x 2 ) ;

( 3 ) 由 ( 2 ) 的 结 论 , 用 数 学 归 纳 法 可 证 : 对 x1 , x 2 , ? , x n ? (0, ? ? ) 有
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n ) ? f ( x1 ? x 2 ? ? ? x n )( n ? N ? )

取 f ( x ) ? x ln x 符合题设条件,于是,当 x i ? (0, ? ? )( i ? 1, 2, ? , n ) 时, 有: x1 ln x1 ? x 2 ln x 2 ? ? ? x n ln x n ? ( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) ln( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) 再令 x k ?
1 ( k ? 1)
2

( k ? 1, 2 , ? , n ). 记 s n ? x1 ? x 2 ? ? ? x n . 则

7

1 1 ? S ? 2 ? 2 ?? ? ? n 2 3 (n ? ? ?S ? 1 ? 1 ? ? ? n 2 2 ? 2 3 (n ?

1 ? 1) 1 ? 1)
2 2

? ?

1 1? 2 1 2?3

? ?

1 2?3 1 3? 4

?? ? ?? ?

1 n ( n ? 1) 1

? 1?

1 n ?1 ? 1 2 ? 1 n?2

( n ? 1)( n ? 2 )

结合(3)中的已知不等式得:
S n l n S n? 1 Sn l n ( 1 ? ? ? n ?1
1 3
2

1 ) n 1 ?
1

? n? S

1 ? ?? ? 1 n ?

?

1

?1 ?? ? 2 ?n ? 2

n ? 2n ( ? 1 ) ( n 2 )



1 2
2

ln 2 ?
2

ln 3 ? ? ?
2

( n ? 1)

2

ln ( n ? 1)

2

? 1 ? 1 1 1 1 1 ? ? ? 2 ln 2 ? 2 ln 2 ? ? ? ln 2 2 ? 2 3 3 ( n ? 1) ( n ? 1) ? ?2
? ? S n ln S n ? n 2 ( n ? 1)( n ? 2 )



9、已知函数 f ( x ) ?

1
bx

1? a ?2 (1)求证: a ? 0 , b ? 0 ; (2)求证: f ( x ) 单调递增;

的定义域为 R ,且 f (2) ? f (1) 。

(3)若 f (1) ?

4 5

,且 f ( x ) 在 [0,1] 上的最小值为
1 2

1 2


?n? 1 2

求证: f (1) ? f ( 2 ) ? f (3) ? ? ? f ( n ) ?

n ?1

解: (1)证明:∵ f ( x ) 的定义域为 R ,∴方程 1 ? a ? 2 与 f (2) ? f (1) 矛盾, a ? 0 , 2 ∴ ∴ 由 f (2) ? f (1) 得:
1 1? a ?2
2b bx

bx

? 0 无解。若 a ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ,
1 a
2b

? ?

1 a

无解, 2 bx ? 0 , ? ∵ ∴

? 0, a ?0; ∴
b

?

1 1? a ?2
b

? 0 ,∴ 1 ? a ? 2

? 1? a ?2 ,

即 a ? 2 2 b ? a ? 2 b ,∵ a ? 0 , 2 b ? 0 ,∴ 2 b ? 1 ,∴ b ? 0 ; (2)设 x1 ? x 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?
1 1? a ?2
b x1

?

1 1? a ?2
bx1
bx2

?

a (2 (1 ? a ? 2

bx2

?2

b x1

)
bx2

b x1

)(1 ? a ? 2


)

∵ x1 ? x 2 , b ? 0 ,∴ bx 2 ? bx1 ,∴ 2 又 a ? 0 ,∴
a (2 (1 ? a ? 2
bx2

bx 2

?2

,∴ 2

bx 2

?2

bx1

? 0,

?2

b x1

)
bx2

b x1

)(1 ? a ? 2

)

? 0 ,∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,∴ f ( x ) 单调递增;
1 1? a ? 1 2

(3)∵ f ( x ) 单调递增,∴ f ( x ) 在 [0,1] 上的最小值为 f ( 0 ) ? 又 f (1) ? ∴ f (x) ?
1 1? a ?2
b

,∴ a ? 1 ,

?

1 1? 2
b

?

4 5

,∴ 2 ?
b

1 4

,∴ b ? ? 2 ,

1 1? 2
?2 x

?

4

x x

1? 4

? 1?

1 1? 4
x



8

∵ 1 ? 4 x ? 2 4 x ? 2 ? 2 x (当且仅当 x ? 0 时取等号) , ∴当 x ? N ? 时, f ( x ) ? 1 ?
1 2?2
x


1 2?2 ) ? (1 ? 1 2?2
2

∴ f (1) ? f ( 2 ) ? f (3 ) ? ? ? f ( n ) ? (1 ?
1 ? n? 4 1? (1 ? 1 2 1 2
n

) ? ? ? (1 ?

1 2?2
n

)

) ? n?

1 2

(1 ?

1 2
n

)? 2

1
n ?1

?n?

1 2



10、已知定义域为 [0,1] 的函数 f ( x ) 同时满足: ①对于任意 x ? [0,1] ,总有 f ( x ) ? 0 ;② f (1) ? 1 ;③若 x1 ? 0, x 2 ? 0, x1 ? x 2 ? 1 ,则有
f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 。

(1)试求 f (0 ) 的值; (2)试求函数 f ( x ) 的最大值; (3) (理)试证明:满足上述条件的函数 f ( x ) 对一切实数 x ,都有 f ( x ) ? 2 x 。 解: (1)令 x1 ? x 2 ? 0 ,依条件③可得 f (0 ? 0) ? f (0) ? f (0) ,即 f (0) ? 0 。 又由条件①得 f (0) ? 0 ,则 f (0) ? 0 ; (2)任取 0 ? x1 ? x 2 ? 1 ,可知 x 2 ? x1 ? (0,1] ,则
f ( x 2 ) ? f [( x 2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x 2 ? x1 ) ? f ( x1 )

即 f ( x 2 ) ? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ? x 1 ) ? 0 ,故 f ( x 2 ) ? f ( x 1 ) ,于是当 0 ? x ? 1 时,有
f ( x ) ? f (1) ? 1

因此,当 x ? 1 时, f ( x ) 有最大值为 1。 (3)证明: 当x? ? ?
1 ? 2 ,1 ? ? ?

时, f ( x ) ? 1 ? 2 x ;
1 2 f (2 x)

当 x ? ( 0 , ] 时,首先, f (2 x ) ? f ( x ) ? f ( x ) ? 2 f ( x ) ,∴ f ( x ) ?
2
? 1 1? x?? 2 , 2? ?2 ?

1

,显然,当

时, f ( x ) ? f ( ) ?
2

1

1 2

? f (2 ?

1 2

)?

1 2

? f (1) ?

1 2

成立。

函数 f ( x ) ,对 x ? [0,1] ,总有 f ( x ) ? 2 x 成立。
9

假设当 x ? ?

? ?2

1
k ?1

,

1 ? 1 1 ? ? 1 时, f ( x ) ? k 成立, 有 其中 k= 1,2,? , 那么当 x ? ? k ? 2 , k ? 1 ? 时, k ? 2 2 ? 2 ?2 ?

f (x) ? f ( 2

1
k ?1

)?

1 2

? f (2 ? 2

1
k ?1

)?

1 2

? f(

1 2
k

)?

1

?

1
k

? 2

1
k ?1

2 2
? ?

, 可知对于 x ? ?

? ?2

1
n ?1

,

1 ? , n 2 ? ?

总有

f (x) ?

1 2
n

,其中 n ? 1, 2, ? ,而对于任意 x ? ? 0 , ? ,存在正整数 n ,使得 2
?

1?

1 ? ? 1 x ? ? n ?1 , n , 2 ? ?2 ?

此时 f ( x ) ?

1 2
n

? 2 x ,③当 x ? 0 时, f (0) ? 0 ? 2 x 。

综上可知,满足条件的函数 f ( x ) ,对 x ? ?0 ,1? ,总有 f ( x ) ? 2 x 成立。
x
3

11、设函数 f ( x ) ?

?

a 2

x ? b x ? c ( a 、 b 、 c ? R ).
2

3

(1)若 a ? f ?(2), b ? f ?(1), c ? f ?(0), 求 a、b、c 的值; (2)若 a ? f ?(2), b ? f ?(1), c ? f ?(0), 且 F ( n ) ?
11 18
1 f ?( n ) ? 2
*

.

求证: F (1) ? F ( 2 ) ? F (3) ? ? ? F ( n ) ?

( n ? N ).

(3)设关于 x 的方程 f ?( x ) ? 0 的两个实数根为 ? 、 ? ,且 1 ? ? ? ? ? 2. 试问:是否 存在正整数 n 0 ,使得 | f ? ( n 0 ) |?
1 4

?说明理由.

解: (1) f ?( x ) ? x 2 ? ax ? b . 若 a ? f ?(2), b ? f ?(1), c ? f ?(0) , 则 a ? 4 ? 2 a ? b , b ? 1 ? a ? b , c ? b , 解得 a ? ? 1, b ? c ? ? 3. (2) f ? ( n ) ? n 2 ? n ? 3,
F (n) ? 1 f ?( n ) ? 2 ? 1 n ? n ?1
2

.

当 n ? 1 时, F (1) ? ? 1 ? 当 n ? 2 时,

11 18

;

F (1) ? F ( 2 ) ? ? 1 ? 1 ? 0 ?

11 18

;

10

当 n ? 3 时,
F (n) ? 1 n ? n ?1
2

?

1 n ?n?2
2

?

1 (n ? 1 n ? ) ( 2 )

?

1? 1 1? ? ? ?. 3 ? n ? 2 n ? ?1

∴ F (1) ? F (2) ? F (3) ? ? ? F ( n )
1 ?? 1? ?1 1? ?1 1? 1 ?? ? 1 ? ?? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ?? 4? ?2 5? ?3 6? ? n ? 2 n ? 1 ??
1 1

? F (1) ? F ( 2 ) ?

?

1 ? 1 1 1 1 ? 1 1? ? ? ? ? ? . ? 3? 2 3 n ?1 n n ? 1 ? 18 ?
11 18

所以 F (1) ? F ( 2 ) ? F (3) ? ? ? F ( n ) ? (3) f ?( x ) ? ( x ? ? )( x ? ? ). ∵ f ?(1) ? f ?(2)
? ( 1? ? ? (? ) (? 1 ? )? 2 ? ( ?) ( 2 ? 1 ?) ( 2 ?

( n ? N ).
*

) )

?1 ) ( ? ? 2

?) ? (
2

? (? ? 1 ?) ? ? 2 ? ? ( ? ? 1 ?) ? 2 ?

?( ?2 ? ) . ? ? ?( ?2 ? ) ? , ? 1 6 ?
2

1

∴ 0 ? f ? (1) ?

1 4

或 0 ? f ?( 2 ) ?

1 4

.

12、如图所示,抛物线 y2=4x 的顶点为 O,点 A 的坐标为(5,0), 倾斜角为
?
4

的直线 l 与线段 OA 相交(不经过点 O 或点 A)且交抛物

Y

M
X

线于 M、 两点, N 求△ AMN 面积最大时直线 l 的方程, 并求△ AMN
A

的最大面积. 解析:由题意,可设 l 的方程为 y=x+m,(-5<m<0).

O N

11

由方程组 ?

?y ? x? m ?y
2

? 4x

,消去 y,得 x2+(2m-4)x+m2=0………①

∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N, ∴方程①的判别式 Δ=(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0, 解得 m<1,又-5<m<0,∴m 的范围为(-5,0)。 设 M (x1,y1), N (x2,y2),则 x1+x2=4-2m,x1·2=m2, x ∴|MN|=4 2 (1 ? m ) . 又点 A 到直线 l 的距离为 d=
5? m 2

.

∴S△ =2(5+m) 1 ? m ,从而 S△ 2=4(1-m)(5+m)2 =2(2-2m)· (5+m)(5+m)≤2(
2 ? 2m ? 5 ? m ? 5 ? m 3

)3=128.

∴S△ ≤8 2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等号. 故直线 l 的方程为 y=x-1,△ AMN 的最大面积为 8 2 . 12、设动抛物线过定点 A ? ? 1, 0 ? ,且以直线 x ? 1 为准线. (1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M , N ,且线段 M N 恰被直线 x ? ? MN 的垂直平分线的方程为 y ? kx ? m ,试求 m 的取值范围. 解析: (1)设抛物线的顶点为 G ? x , y ? ,则点 G 为点 (1, y ) 与焦点 F 连线段的中点,于是焦 点 F ? 2 x ? 1, y ? . 由 抛 物 线 的 定 义 可 知 : A F ? 点 A 到 直 线 x ? 1的 距 离 =2 , 则
y
2

1 2

平分,设弦

4x ? y
2

2

? 2 ,即抛物线顶点 G 的轨迹 C 的方程为: x ?
2

?1

4

?x

? 1? ;

(2)因为 m 是弦 MN 的垂直平分线与 y 轴交点的纵坐标,由 MN 所唯一确定.所以, 要求 m 的取值范围,还应该从直线 l 与轨迹 C 相交入手. 显然,直线 l 与坐标轴不可能平行,所以,设直线 l 的方程为 l : y ? ? 圆方程得:
? 4k ? 1 ? 2 2bx 2 ?b ? 4 ? 0 ? ?x ? 2 k k ? ?
2

1 k

x ? b ,代入椭

12

由于 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M , N ,所以, ? ?

4b k
2

2

? 4k ? 1 ? 2 ? 4? ? ?b ? 4 ? ? 0 , 2 k ? ?
2

即: 4 k 2 ? k 2 b 2 ? 1 ? 0

?k

? 0 ? .………①
1 2

又线段 M N 恰被直线 x ? ?

平分,所以, x M ? x N ?

2bk 4k
2

? 1? ? 2??? ?. ?1 ? 2?

所以, b k ?

4k

2

?1

?2



代入①可解得: ?

3 2

? k ?

3 2

?k

? 0?.

下面,只需找到 m 与 k 的关系,即可求出 m 的取值范围.由于 y ? kx ? m 为弦 MN 的
? ? 1 ? , y0 ? . 2 ?
1 2k 1 2k 4k
2

垂直平分线,故可考虑弦 MN 的中点 P ? ?

在l : y ? ?

1 k

x ? b 中,令 x ? ?

1 2

,可解得: y 0 ?

?b ?

?

?1

? ?2k .

2k

将点 P ? ?
?

?

1

3k ? , ? 2 k ? 代入 y ? kx ? m ,可得: m ? ? . 2 2 ?

所以, ?

3 4

3

? m ?

3 4

3

且m ? 0



13.已知中心在原点,顶点 A1、A2 在 x 轴上,离心率 e= (1)求双曲线方程;

21 3

的双曲线过点 P(6,6).

(2)动直线 l 经过△ A1PA2 的重心 G,与双曲线交于不同的两点 M、N,问:是否存在直线 l, 使 G 平分线段 MN,证明你的结论。 解 析 : (1) 如 图 , 设 双 曲 线 方 程 为
x a
2 2 2 2

2 2

?

y b

2 2

=1. 由 已 知 得

Y

P M G A2 O A1
X

6 a

?

6 b

? 1, e ?
2

a ?b
2

2

a

2

?

21 9

,解得 a2=9,b2=12.

N

则所求双曲线方程为

x

2

?

y

2

9

12

=1;

(2)P、A1、A2 的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0) ,
13

∴其重心 G 的坐标为(2,2) 假设存在直线 l,使 G(2,2)平分线段 MN,设 M(x1,y1),N(x2,y2).则有
?12 x 2 ? 9 y 2 ? 108 1 1 ? 2 2 y1 ? y 2 12 4 ?12 x 2 ? 9 y 2 ? 108 ? ? ? ? x1 ? x 2 9 3 ? x1 ? x 2 ? 4 ? ? y1 ? y 2 ? 4

,∴kl=

4 3

∴l 的方程为 y=
2 2

4 3

(x-2)+2,

?1 2 x ? 9 y ? 1 0 8 ? 由? ,消去 y,整理得 x2-4x+28=0. 4 ? y ? ( x ? 2) ? 2 3 ?

∵ ? =16-4× 28<0,∴所求直线 l 不存在。 14、已知直线 l : y ? m x ? 1 与曲线 C : a x 2 ? y 2 ? 2 ? m , a ? R ? 交于两点 A、B。 (1)设 O P ? O A ? O B ,当 a ? ?2 时,求点 P 的轨迹方程; (2)是否存在常数 a ,对任意 m ? R ,都有 O A · O B ? ? 2 ?如果存在,求出 a 的值;如 果不存在,说明理由。 (3)是否存在常数 m,对任意 a ? R ? ,都有 O A · O B 为常数?如果存在,求出 m 的值; 如果不存在,说明理由。 解析: (1)设 A ? x 1 , y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? ,则
? ? ? OP ? OA? OB ?

?

?

?

?

?

?

?

?x

1

? x 2 , y1 ? y 2 ?

由?

? y ? mx ?1 ??2 x ? y
2 2

? 2

消去 y,得:

?m

2

? 2 ? x ? 2mx ? 1 ? 0
2

?m ? 2 ? 0 ? 依题意有 ? 解得: 2 2 ? ? ? ?2 m ? ? 4 m ? 2 ? 0 ?
2

?

?

m ? 1 且 m ? 2 ,即 m ? ?1 或 m ? 1 且 m ? ?
2
2

2 ,

2m 1 ? x ? x2 ? , x1 x 2 ? 2 2 ? 1 ? 2?m 2?m 又? 4 ? y ? y ? mx ? 1? mx ? 1 ? m ? x ? x ? ? 2 ? 1 2 1 2 1 2 2 ? 2?m ?

14

2m ? x ? 2 ? ? 2? m ∴点 P 的坐标为: ? 消去 m,得: 4 ?y ? 2 ? 2? m ?
x
2

2 x ? y ? 2 y ? 0 ,即 ? y ? 1? ?
2 2
2

1 2

? 1

由y ?

4 2 ? m
2

,得 m ?
2

2y ? 4 y

?2y ? 4 ?1 ? y ? 由 ? ,解得 y ? 0 或 y ? 4 ?2y ? 4 ? 2 ? y ?

∴点 P 的轨迹方程为 ? y ? 1? ?
2

x

2

1 2

? 1( y ? 0 或 y ? 4 ) ;

(2)假设存在这样的常数 a , 由?
?y ? mx ? 1 ?ax
2

? y

2

? 2
2m

消去 y 得: ? m 2 ? a ? x 2 ? 2 m x ? 1 ? 0 ………①,则有:
, x1 x 2 ? ? 1 m ?a
2

x1 ? x 2 ? ?

m ?a
2

则 O A · O B ? x1 x 2 ? y1 y 2
? x 1 x 2 ? ? m x 1? 1 ? ? m x ? 1 ? 2 ? ? m ? 1 ? x 1 x 2 ? m ? x 1? x
2

?

?

?2 ? 1
?1

? ? m ? 1?
2 2

?1 m ?a
2

?m

?2m m ?a
2

?

?3m ? 1 m ?a
2

?1

? ?2

解得: a ?
1 3

1 3


1 3

当a ?

时, m ?
2

? 0 ,且方程①判别式 ? ? 4 m

2

1? ? 2 ? 4? m ? ? ? 0 , ? 3?

15

∴对任意 m ? R ,A、B 两点总存在,故当 a ?

1 3

时,对任意 m ? R ,都有 O A ? O B ? ? 2 ;
? ?

?

?

(3)假设这样的常数 m 存在,对任意的 a ? R ? ,使 O A ? O B 为一常数 M。 即 O A ? O B ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? M 即
? 3m m
2 2

?

?

?1

? a

?1? M

化简,得: ?1 ? M ? a ? ? M ? 2 ? m 2 ? 1 ∵ a 为任意正实数 ? ?
?1 ? M ? 0 ? ?? M ? ? 2?m ?1 ? 0
2

,即 3m 2 ? 1 ? 0 ,矛盾。

故这样的常数 m 不存在。 15、已知 A、B、C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点,点 A 是长轴的一个顶点,BC 过椭圆中 心 O,如图,且 AC · =0,|BC|=2|AC|, BC (1)求椭圆的方程;? (2)如果椭圆上两点 P、Q 使∠PCQ 的平分线垂直 AO,则总存在实数 λ,使 PQ =λ AB ,请给 出证明. 解析: (1)以 O 为原点,OA 所在的直线为 x 轴、与 OA 垂直向上的直线为 y 轴建立直角坐标系,则 A(2,0) , 设所求椭圆的方程为: 称性知|OC|=|OB|, B 由 AC 〃 BC =0 得 AC⊥BC, P
x
2

Y

?

y b

? 2

C O Q A
X

=1(0<b<2),由椭圆的对

4

∵|BC|=2|AC|,∴|OC|=|AC|,∴△AOC 是等腰直角三角形,∴C 的坐标为(1,1) , 由 C 点在椭圆上,得:
1
2

?

1 b
2

=1,∴ b ?
2

4 3

,所求的椭圆方程为

x

2

?

3y 4

2

=1;

4

4

(2)由于∠PCQ 的平分线垂直 OA(即垂直于 x 轴) ,不妨设直线 PC 的斜率为 k,则直线 QC 的斜率为 ? k , 直线 PC 的方程为: ? k ( x ? 1) ? 1 ,直线 QC 的方程为, y ? ? k ( x ? 1) ? 1 , y
? y ? k ( x ? 1) ? 1 ?x
2

由?

? 3y

2

? 4 ? 0

得: (1 ? 3 k 2 ) x 2 ? 6 k ( k ? 1) x ? 3 k 2 ? 6 k ? 1 ? 0 ………(*)
3k
2

∵点 C(1,1)在椭圆上,∴ x ? 1 是方程(*)的一个根,则其另一根为
3k ? 6 k ? 1
2

? 6k ? 1
2

1 ? 3k

,

设 P ( x P , y P ), Q ( x Q , y Q ) ? x P ?

1 ? 3k

2

,同理 x Q ?

3k ? 6 k ? 1
2

1 ? 3k

2

, 则:

16

k PQ ?

y P ? yQ x P ? xQ

?

k ( x P ? xQ ) ? 2 k x P ? xQ

k ?( ?

3k ? 6 k ? 1
2

? 2 1 ? 3k 2 3k ? 6 k ? 1

3k ? 6 k ? 1
2

而由对称性知 B ( ? 1, ? 1) ,又 A (2, 0) ,∴ k A B

? 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? ,于是 k PQ ? k AB , 3

) ? 2k 2 1 1 ? 3k ? , 2 3k ? 6 k ? 1 3

∴ AB 与 PQ 共线,即存在实数 λ,使 PQ =λ AB 。
y a
2 2

16、过椭圆 C:

?

x b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

上一动点 P 引圆 O:x2 +y2 =b2 的两条切线 PA、PB,A、

B 为切点,直线 AB 与 x 轴,y 轴分别交于 M、N 两点。 (1) 已知 P 点坐标为(x0,y0 )并且 x0y0≠0,试求直线 AB 方程; (2) 若椭圆的短轴长为 8,并且
a
2 2

?

b

2 2

?

25 16

,求椭圆 C 的方程;

| OM |

| ON |

(3) 椭圆 C 上是否存在点 P,由 P 向圆 O 所引两条切线互相垂直?若存在,请求出存在的条 件;若不存在,请说明理由。 解析:(1)设 A(x1,y1),B(x2, y2) 切线 PA: x 1 x ?
y1 y ? b
2

Y
y2 y ? b
2 2

,PB: x 2 x ?


2

P
M

∵P 点在切线 PA、 上, x1 x 0 PB ∴ ∴直线 AB 的方程为 x 0 x ?

? y1 y 0 ? b ? x 2 x 0 ? y 2 y 0 ? b
2

A

B O

X

y 0 y ? b ( x 0 y 0 ? 0)



(2)在直线 AB 方程中,令 y=0,得 M(

b

2

,0);

x0

令 x=0,得 N (0,

b

2

y0

),



a

2 2

?

b

2 2

?

a b

2 2

(

y0 a

2

| OM |

| ON |

2

?

x0 b

2

2

)?

a b

2 2

?

25 16

………①

∵2b=8

∴b=4
y
2

代入①得 a2 =25, b2 =16
? x
2

∴椭圆 C 方程:

? 1;

25

16

(3) 假设存在点 P(x0,y0)满足 PA⊥PB,连接 OA、OB 由|PA|=|PB|知, 四边形 PAOB 为正方形,|OP|= 2 |OA|
2 ∴ x0

? y 0 ? 2b

2

2

………②

17

又∵P 点在椭圆 C 上
2 2

2 ∴ a 2 x0

? b y0 ? a b
2 2 2

2

2

2

2

………③

由②③知 x 0 ?
2

b (a ? 2b )
2

a ?b
2

2

, y0 ?
2

a b
2

a ?b

∵ a ? b ? 0 ,以下分两种情形情形讨论: (1)当 a2-2b2 ? 0,即 a ?
2

2

b 时,椭圆 C 上存在点,由 P 点向圆所引两切线互相垂直;

(2)当 a2-2b ≤0,即 b ? a ≤ 2 b 时,椭圆 C 上不存在满足条件的 P 点。 17、已知点 B(-1,0) ,C(1,0) 是平面上一动点,且满足 | P C | ? | B C |? P B ? B C . ,P (1)求点 P 的轨迹 C 对应的方程; (2)已知点 A(m,2)在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD,AE,且 AD,AE 的斜 率 k1、k2 满足 k1·2=2.求证:直线 DE 过定点,并求出这个定点。 k 解析: (1)设 P ( x , y ) ? | P C | ? | B C | ? P B ? B C ? 2 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2(1 ? x ) ? y 2 ? 4 x .
??? ? ??? ? ??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

(2) A (m , 2)代 入 y

2

? 4 x 得 m ? 1,

D E 的 方 程 : y ? k x ? b , D ( x 1 , y 1 ), E ( x 1 , y 1 ) ? y ? kx ? b 2 2 2 由? 2 得 k x ? 2(kb ? 2) x ? b ? 0, y ? 4x ? ? k AD ? k AE ? 2 ? y1 ? 2 x1 ? 1 ? y2 ? 2 x2 ? 1 ? 2 ( x 1 , x 2 ? 1),

且 y 1 ? k x1 ? b , y 2 ? k x 2 ? b ? ( k ? 2 ) x 1 x 2 ? ( k b ? 2 k ? 2 )( x 1 ? x 2 ) ? ( b ? 2 ) ? 2 ? 0 ,
2 2

x1 ? x 2 ?

? 2(kb ? 2) k
2

, x1 x 2 ?

b k

2 2

代入得b

2

? ( k ? 2 ) , ? b ? ? ( k ? 2 ).
2

? b ? ? ( k ? 2 ).

将 b ? k ? 2 代 入 y ? kx ? b 得 y ? kx ? k ? 2 ? k ( x ? 1) ? 2 ,则定点为 ( ? 1, ? 2) ; 将 b ? 2 ? k 代 入 y ? kx ? b 得 y ? kx ? 2 ? k ? k ( x ? 1) ? 2 ,则定点为 (1, 2 ) 即点 A,不合题 设。综点所求定点为 ( ? 1, ? 2) 。 18、 设抛物线 y 2
? 2 px ( p ? 0 )

的焦点为 F, 经过点 F 的直线与抛

物线交于 A、B 两点.又 M 是其准线上任意一点.试判断:直 线 MA、MF、MB 的斜率是否成等差数列.

18

解析: 依题意直线 MA、MB、MF 的斜率显然存在,并分别设为 k 1 , k 2 , k 3 ;点 A、B、 M 的坐标分别为 A( x1 , y1 ) ,B( x 2 , y 2 ) ,M( ? 由“AB 过点 F(
p 2 p 2

,m) 。

,0)”得 l AB : x ? ty ?
? 2 px

p 2

将上式代入抛物线 y 2 可知
y1

中得: y 2 ? 2 p ty ? p 2 ? 0

? y2

??p

2

又依“ y 1 2
x1 ? p 2 ?

? 2 px 1 及 y 2
2

2

? 2 px 2 ”可知
2 4 2

y1

?

p 2

?

1 2p

2p

( y1 ? p ) , x 2 ?
2 2

p 2

?

y2

?

p 2

?

p

?

p 2

?

p 2 y1
2

2p

2 p y1

( y1 ? p )
2 2

因此

k1 ? k 2 ?

y1 ? m x1 ? p 2

?

y2 ? m x2 ? p 2

?

2 p ( y1 ? m )
2

2 y1 ( ?
2

p
2

2

? m)
2

p ( y1 ? p )
2 2

?

y1

p ( y1 ? p )

? ?

2m p

而 k3 ?

0?m p 2 ? (? p 2 )

? ?

m p

故 k1 ? k 2 ? 2 k 3 即直线 MA、MF、MB 的斜率成等差数列. 19、已知 a =(x,0), b =(1,y), ( a ?
3 b)? (a ? 3 b)

(1)求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l :y=kx+m(km≠0)与曲线 C 交于 A、B 两端,D(0,-1),且有|AD|=|BD|,试求 m 的取值范围。 解析: (1) a ?
a ? 3 b ? ( x ,0 ) ? 3 b)? (a ?
3 )( x ?

3 b ? ( x ,0 ) ?

3 (1, y ) ? ( x ? 3 ,? 3 y )

3,

3 y)

3 (1, y ) ? ( x ?

∵ (a ? ∴(x ?

3b)

∴ (a ?

3 b) ? (a ?

3 b)
?1

=0

3) ?
x
2

3 y ? (? 3 y ) ? 0
? y
2



x

2

? y

2

3

∴P 点的轨迹方程为

?1

3

? y ? kx ? m ? (2)考虑方程组 ? x 2 2 ? y ?1 ? ? 3

消去 y,得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0(*)

19

显然 1-3k2≠0 , ? ? 36 k 2 m 2 ? 4(1 ? 3 k 2 )(3 m 2 ? 3) ? 0 ? m 2 ? 1 ? 3 k 2 。 设 x1,x2 为方程*的两根,则 x 1
? x0 ? x1 ? x 2 2 ? 3 km 1 ? 3k
2

? x2 ?

6 km 1 ? 3k
2

, y0
3 km 1 ? 3k
2

? kx 0 ? m ?

m 1 ? 3k
2

故 AB 中点 M 的坐标为(



m 1 ? 3k ?
2

)
? (? 1 k )( x ? 3 km 1 ? 3k
2

∴线段 AB 的垂直平分线方程为: y

m 1 ? 3k
2

)

将 D(0,-1)坐标代入,化简得:4m=3k2-1 故 m、k 满足 ?
? ?m
2

? 1 ? 3k
2

2

? 0

?4 m ? 3k ?

?1

,消去 k2 得:m2-4m>0

解得:m<0 或 m>4 又∵4m=3k2-1>-1 故 m ? (?
1 4

∴m ? ?

1 4



, 0) ? (4, ?? ) 。

20、如图,已知点 F (1,) ,直线 l : x ? ? 1 , P 为平面上的动点,过 P 作直线 l 的垂线,垂 0 足为点 Q ,且 Q P ? Q F ? F P ? F Q . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 任作一条直线交轨迹 C 于 A, B 两点,交直线 l 于点 M ,已知 M A ? ?1 A F ,
???? ??? ? M B ? ? 2 B F ,试问: ?1 ? ? 2 的取值是否随直线 AB 的斜率的变化而变化,请说明理由。 ???? ????
??? ???? ? ??? ???? ?

解析: (1)设点 P ( x, y ) ,则 Q ( ? 1, y ) ,由 Q P ? Q F ? F P ? F Q 得:
( x ? 1, ?(2, y ) ? ( x ? 1, y ) ?( ? 2, y ) ,化简得 C : y ? 4 x ; 0) ?
2

??? ???? ?

??? ???? ?

(2)设直线 A B 的方程为:
x ? m y ? 1( m ? 0) .

y Q P B O A M F

? 设 A ( x1, y1 ) , B ( x 2, y 2 ) ,又 M ? ? 1, ?

?

2 ? ?, m ?

x

联立方程组 ?

?y

2

? 4 x,

? x ? m y ? 1,

,消去 x 得:

y ? 4 m y ? 4 ? 0 , ? ? ( ? 4 m ) ? 1 6 ? 0 ,故
2 2

20

? y1 ? y 2 ? 4 m, ? ? y 1 y 2 ? ? 4.

由 M A ? ?1 A F , M B ? ? 2 B F 得:
y1 ? 2 m ? ? ?1 y1 , y 2 ? 2 m ? ? ? 2 y 2 ,整理得: ? 1 ? ? 1 ?

????

????

????

??? ?

2 m y1

,?2 ? ?1 ?

2 m y2



则 ?1 ? ? 2 ? ? 2 ?

2 ? 1 1 ? 2 y1 ? y 2 2 4m ? ? ? ?2 ? ? ? 0, ? ? ? ?2 ? m ? y1 y2 ? m y1 y 2 m ?4

故 ?1 ? ? 2 的取值不随直线 AB 的斜率的变化而变化,其取值恒为 0。
x a
2 2

21 、 设 椭圆

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的 左 、 右 焦点 分 别 为 F1, F2, A 是 椭 圆上 的 一点 ,

A F2 ? F1 F2 ,原点 O 到直线 A F1 的距离为

1 3

O F1 .

(1)证明 a ?

2b ;

(2)设 Q1, Q 2 为椭圆上的两个动点,O Q1 ? O Q 2 ,过原点 O 作直线 Q 1 Q 2 的垂线 O D ,垂 足为 D ,求点 D 的轨迹方程. 解析: (1)证法一:由题设 A F2 ? F1 F2 及 F1 ( ? c, , F2 ( c, ) ,不妨设点 A ( c, y ) ,其中 0) 0
c a b
2 2 2

由于点 A 在椭圆上, 有 y ? 0.
? ?

?

y b

2 2

? 1, 即

a ?b
2

2

a

2

?

y b
2

2

? 1.

y
A

解得 y ?

a

,从而得到 A ? c, ? .
a ?

b ?
2

B
F1

O

F2

x

直线 A F1 的方程为 y ?

b

2

(x ? c) , 整理得 b x ? 2 a cy ? b c ? 0 .
2 2

2ac
1 3

由题设,原点 O 到直线 A F1 的距离为

O F1 ,即

c 3

?
4

b c b ? 4a c
2 2

2



将 c 2 ? a 2 ? b 2 代入上式并化简得 a 2 ? 2 b 2 ,即 a ? 证法二:同证法一,得到点 A 的坐标为 ? c,
? ?
2

2b .

b ? ? .过点 O 作 O B ? A F1 ,垂足为 B ,易知 a ?

△ F1 B O ∽ △ F1 F2 A ,故

BO O F1

?

F2 A F1 A



21

由椭圆定义得 A F1 ? A F2 ? 2 a ,又 B O ?

1 3

O F1 ,所以

1 3

?

F2 A F1 A

?

F2 A 2a ? y 2 A F



解得 F 2 A ?

a 2

,而 F 2 A ?

b

2

,得

b

2

?

a 2

,即 a ?

2b .
F1

A

a

a

B
O

F2

x

(2)解法一:设点 D 的坐标为 ( x 0, y 0 ) . 当 y 0 ? 0 时 , 由 O D ? Q 1Q 2 知 , 直 线 Q 1 Q 2 的 斜 率 为 ?
x0 y0

, 所 以 直 线 Q 1 Q 2 的 方 程为

y ? ?

x0 y0

( x ? x 0 ) ? y 0 ,或 y ? kx ? m ,其中 k ? ?

x0 y0

, m ? y0 ?

x0

2



y0

点 Q1 ( x1, y1 ), Q 2 ( x 2, y 2 ) 的坐标满足方程组 ?

? y ? k x ? m, ?x ? 2y
2 2

? 2b .
2

将①式代入②式,得 x 2 ? 2( kx ? m ) 2 ? 2 b 2 , 整理得 (1 ? 2 k 2 ) x 2 ? 4 km x ? 2 m 2 ? 2 b 2 ? 0 ,
4 km 1 ? 2k
2

于是 x 1 ? x 2 ? ?

, x1 x 2 ?

2 m ? 2b
2

1 ? 2k

2



由①式得 y1 y 2 ? ( kx1 ? m )( kx 2 ? m ) ? k 2 x1 x 2 ? km ( x1 ? x 2 ) ? k 2
? k ?
2

2 m ? 2b
2

2

1 ? 2k

2

? km ?

?4 km 1 ? 2k

? m

2

?

m ? 2b k
2 2

2

1 ? 2k

2



由 O Q1 ? O Q 2 知 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 .将③式和④式代入得
3 m ? 2 b (1 ? k ) .
2 2 2

3m ? 2b ? 2b k
2 2 2

2

1 ? 2k

2

? 0 ,

将k ? ?

x0 y0

, m ? y0 ?

x0

2

y0

代入上式,整理得 x 0 ? y 0 ?
2 2

2 3

b .

2

当 y 0 ? 0 时,直线 Q 1 Q 2 的方程为 x ? x 0 , Q1 ( x1, y1 ), Q 2 ( x 2, y 2 ) 的坐标满足方程组
? x ? x 0, ? 2 2 2 ? x ? 2 y ? 2b .
2b ? x0
2 2

所以 x1 ? x 2 ? x 0 , y 1, ? ? 2



2
22

由 O Q1 ? O Q 2 知 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 ,即 x 0 ?
2

2b ? x0
2

2

? 0,

2

解得 x 0 ?
2

2 3

b .
2 2

2

这时,点 D 的坐标仍满足 x 0 ? y 0 ? 综上,点 D 的轨迹方程为
x ? y
2 2

2 3
?

b .
2 3 b .
4 3
2

2

22、如图, F1 ( ? 3, 0 ) , F 2 ( 3 , 0 ) 是双曲线 C 的两焦点, 直线 x ?

是双曲线 C 的右准

线, A1, A2 双曲线 C 的两个顶点, 点 P 是双曲线 C 右支上异于 A2 的一动点, 直线 A1P,A2P 交双曲线 C 的右准线分别于 M, N 两点. (1) 求双曲线 C 的方程; (2) 求证: F1 M ? F 2 N 是定值. 解析: (1)由 c ? 3 ,
a
2

?

4 3

, 得 a ? 2, b x
2

2

? c ?a
2

2

? 5.

c

所以求双曲线 C 的方程为

?

y

2

? 1.

4

5

(2)设 P 的坐标为 ( x 0 , y 0 ) , M, N 的纵坐标分别为
y1 , y 2 ,



A 1 ( ? 2 , 0 ), A 2 ( 2 ,

0)

,

∴ A 1 P ? ( x 0 ? 2 , y 0 ), A 2 P ? ( x 0 ? 2 , y 0 ),
A 1M ? (
10 3 , y 1 ),

A 2 N ? (?

2 3

,

y 2 ).

∵ A 1 P 与 A 1 M 共线, ∴ ( x 0 ? 2 )y 1 ? 同理 y 2 ? ? ∵ F1 M ? (
2y0 3( x 0 ? 2 )
,

10 3

y 0. y1 ?

10 y 0 3( x 0 ? 2 )

.

.
5 3

13 3

y 1 ), F 2 N ? ( ?

,

y 2 ),

∴ F1 M · 2 N = ? F

65 9
2

? y1y 2 ? ?

65 9

?

20 y 0
2

2

9(x 0 ? 4)

=?

65 9

20 ? ?

5(x 0 ? 4) 4
2

9(x 0 ? 4)

? ? 10

23、已知双曲线 C 的中心在原点,抛物线 y 2 ? 2 5 x 的焦点是双曲线 C 的一个焦点,且双 曲线过点(1,
3)

(1)求双曲线的方程; (2)设直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C 交于 A、B 两点, 试问:
23

① k 为何值时 OA ? OB ② 是否存在实数 k , 使 A、B 两点关于直线 y ? mx 对称( m 为常数), 若存在, 求出 k 的值; 若不存在, 请说明理由. 解析:(1) 由题意设双曲线方程为 又 y 2 ? 2 5 x 的焦点是(
5 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ,把(1,

3 )代入得
2 2

1 a
2 2

? 5 4

3 b
2

? 1 (*)

,0) ,故双曲线的 c ? a ? b ?

与(*)

联立,消去 b 2 可得 4 a 4 ? 21a 2 ? 5 ? 0 , (4 a 2 ? 1)( a 2 ? 5) ? 0 ∴ a ?
2

1 4

, a 2 ? 5 (不合题意舍去)

于是 b ? 1 ,∴ 双曲线方程为 4 x 2 ? y 2 ? 1
2

(2) 由 ?

? y ? kx ? 1 ?4x ? y
2 2

?1

消去 y 得 (4 ? k 2 ) x 2 ? 2 kx ? 2 ? 0 (*) ,当 ? ? 0

即 ? 2 2 ? k ? 2 2 ( k ? ? 2 )时, l 与 C 有两个交点 A、B ① 设 A( x 1 , y 1 ) ,B( x 2 , y 2 ) ,因 OA ? OB ,故 OA ? OB ? 0 即 x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 ,由(*)知 x 1 ? x 2 ?
?2 4?k
2

2k 4?k
2

, x1 x 2 ?

?2 4?k
2

,代入可得

? k ?
2

?2 4?k
2

? k?

2k 4?k
2

?1? 0

化简得 k 2 ? 2 ∴ k ? ? 2 ,检验符合条件,故当 k ? ? 2 时, OA ? OB
? ? km ? ?1 ? ? (1) ? ② 若存在实数 k 满足条件,则必须 ? y 1 ? y 2 ? k ( x 1 ? x 2 ) ? 2 ? ? ( 2 ) ? y ? y2 x ? x2 ? 1 ? m ? 1 ? ? (3) ? 2 2

由(2)(3)得 m ( x1 ? x 2 ) ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2 、 把 x1 ? x 2 ?
2k 4?k
2

代入(4)得 mk ? 4

这与(1)的 mk ? ? 1 矛盾,故不存在实数 k 满足条件。

24

24、已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1, S n ? 1 ? 2 S n ? 3 n ? 1 ( n ? N ? ) (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)对 k ? N ? ,设 f ( n ) ? ?
? S n ? a n ? 3, n ? 2k ? 1 (k ? N )
?

? lo g 2 ( a n ? 3), n ? 2 k

求使不等式 f ( m ) ? f (2 m 2 ) 成立的正整数 m 的值集 S。
? S n ?1 ? 2 S n ? 3 n ? 1 ? S n ? 2 S n ? 1 ? 3( n ? 1) ? 1 ? a n ? 1 ? 2 a n ? 3 ? a n ? 1 ? 3 ? 2 ( a n ? 3)

解(1)当 n ? 2 时, ?
? a 1 ? 1,

又?

? a1 ? 1 ? ? ? a 2 ? 3 ? 2 ( a 1 ? 3) ? a1 ? a 2 ? 2 a1 ? 4 ?a2 ? 5

∴ { a n ? 3} 是首次为 a1 ? 3 ? 4 ,公比为 2 的等比数列 ∴ a n ? 2 n ?1 ? 3 (2)由(1)知
(n ? N )
?2 ? 3 n ? 1, n ? 2 k ? 1 n ? S n ? 4 ( 2 ? 1) ? 3 n ? f ( n ) ? ? (k ? N ) , n ? 2k ?n ? 1
n ?1

?

若 m 为偶数,则需 m ? 1 ? 2 m 2 ,这样的偶数不存在; 若 m 为奇数,有 f (1) ? 0 ? 3 ? f (2 ? 1 2 ); f (3) ? 6 ? 19 ? f (2 ? 3 2 )
f (5) ? 48 ? 51 ? f (2 ? 5 ) ,而 f (7 ) ? 234 ? 99 ? f (2 ? 7 )
2 2

下证: m ? 7 且 m 为奇数时, f ( m ) ? f (2 m 2 ) ? 2 m ?1 ? 3 m ? 1 ? 2 m 2 ? 1 即证: m ? 7 且 m 为奇数时,有 2 m ?1 ? 2 m 2 ? 3 m ? 2 ,
m ?1

事实上, 2

? 2 (1 ? C m ? C m ? C m ) ? 2[1 ? m ?
1 2 3

m ?m
2

?

m ( m ? 1)( m ? 2 ) 6

]

2
2

? 2[1 ? m ?
2

7m ? m 2

? m ( m ? 2 )] ? 2[ m ? 2 m ? 1)

? 2 m ? 3 m ? 2.

故所求值集 S 是不小于 7 的所有奇数构成的集合.
3 3 25、设数列 { a n } 的各项都是正数,且对任意 n ? N ? ,均有 a13 ? a 2 ? ? ? a n ? S n2 . 其中 S n 为

{ a n } 的前 n 项和.

25

(1)求 { a n } 的通项; (2)设数列 { b n } 满足 bn ? 3 n ? ( ? 1) n ?1 ? ? ? 2 . 试确定非零整数 ? 的值. 使得当 n ? N ? 时,
an

均有 b n ? 1 ? b n 成立. 解(1) ?
n? N
?

? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? S n ?
3 3 3 3 3 3

2

n?2 2

? a1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? S n ?1 ?
n?2 2 n 2

?a

3 n

? S n ? S n ?1 ? a n ? S n ? S n ?1 .
2 2 2

?a

? 2 S n ? an ?

n? N ?an ? 2 S n ? an ? 2 2 ? 2 ? a n ? a n ? 1 ? a n ? a n ? 1 ,又 a n ? 0 . ? a n ?1 ? 2 S n ?1 ? a n ?1 n ? 2 ?
?

? a n ? a n ?1 ? 1. ( n ? 2) 又 s1 ? a1 ? 1 .

∴ an ? n(n ? N ? ) (2)由(1)知, b n ? 3 n ? ( ? 1) n ?1 ? ? ? 2 n , 要 b n ? 1 ? b n 恒成立. 即 b n ? 1 ? bn ? 2 ? 3 n ? 3 ? ( ? 1) n ?1 ? 2 n ? 0 恒成立. 也就是 ( ? 1)
n ?1

? ? ( )
2

3

n ?1

恒成立
n ?1

若 n 为奇数时,即 ? ? ( )
2

3

? ? ? 1; ? ? ? ? 3 2 .

若 n 为偶数时,即 ? ? ? ( )
2

3

n ?1

∴?

3 2

? ? ? 1. 又? ? 0 且? ? Z

故 ? ? ? 1. ∴当 ? ? ? 1 时,使得对任意 n ? N ? ,均有 b n ? 1 ? b n 。 26、已知数列 { a n } 满足: a1 ? 5, a n ? 2 a n ?1 ? 2 n ? 1( n ? 2 且 n ? N ? ) (1)是否存在 ? ? R ,使得 ? 明理由; (2) C n ? 设 恒成立. 解: (1)∵ ?
? an ? ? ? ? 等差,则应满足: n ? 2 ?
an ? 1 n ?1
2

? an ? ? ? ? 为等差数列,若存在,求出 ? 的值;否则,请说 n ? 2 ?

, 试求 m 的最大值, 使得对一切 n ? N ? , 不等式 m ?

c1 ? c 2 ? ? ? c n n

26

an ? ? 2
?
n

?

a n ?1 ? ? 2
n ?1

?

a n ? ? ? 2 a n ?1 ? 2 ? 2
n

a n ? 2 a n ?1 ? ? 2
n

?

2 ?1? ?
n

2

n

? 1?

1? ? 2
n

为常数

故存在 ? ? 1 满足题设; (2)由(1)知
? an
an ? 1 n ?1
2

an ? 1 2
n

?

a1 ? 1 2
n

? ( n ? 1) ? 1 ? n ? 2 .

?( n ? ) ? 2 2
(n ? 2)2 n ?1
2 n

?n ( ? 1 N

?

)

∴Cn ?

?

( n ? 3) ? 2

n ?1



C n ?1 Cn

?

( n ? 1) ? 1
2

(n ? 2)2 n ?1
2

n

?

2 ( n ? 3)( n ? 1)
2

( n ? 2 )( n ? 2 n ? 2 )
2

2n ? 6n ? 2n ? 6 ? ? 3 2 n ?4 n? 6 ? n 4
3 2

n ? (
3

4 ? n
2

6 ? n 4? n
2

4 ?) n ( ?
3

2

n 2 ?

? n 2

4

)

? n
3

?6 n

4

?1?

n ? 2n ? 2 ? 4n
3 3 2 2

n ? 4n ? 6n ? 4

当 n ? 1 时,

c2 c1

? 1 ;当 n ? 2 时,也有

c n ?1 cn

? 1 ? { c n } 为单调递增数列.



c1 ? c 2 ? ? ? c n n

?

n c1 n

? c1

故 m 的最大值为 c1 ? 3. 27、 已知数列 { a n } 满足: a 1 ? 1, a n ? 1 ? (1 ? (1)求证: a n ? 1 ? a n ? 3 ?
n ?1 2
n ?1

n 2
n

)an , n ? N

?

(2)设 b n ? a n ? 1 ? a n ,求 { b n } 中的项的最大值. 证明(1)由 a n ? 1 ? a n ? ∴ a n ?1 ? a n ?
n 2
n

nan 2
n

? a n ?1 ? a n ? 1

( n ? 1, 2 , 3, ? ) 1 2 ? 2 2
2

累加得: a n ? a 1 ?

?

3 2
3

?? ?

n ?1 2
n ?1

? 2?

n ?1 2
n ?1

27

∴ an ? 3 ?

n ?1 2
n ?1

注:本小题也可用数学归纳法证明之; (2)易知 b n ? 0 ,
n ?1 a n ?1 ? ? an
(1 ? n 2
n ?1 2n
n



bn ?1 bn

? 2

n ?1

n
n

n ? 1 a n ?1 ? 2n an

2
?

n ?1 2n

)
n 2
n



bn ?1 bn

? 1得

(1 ?

) ?1

? n ( n ? 1) ? ( n ? 1) ? 2 ………………………①
n

由于 n ? 3 时, 2 ? (1 ? 1) ? 1 ? n ?
n n

n ( n ? 1) 2

? 2n ? 1 ? n ? 3

( n ? 1)2 ? ( n ? 1)( n ? 3) ? n ? 2 n ? 3 ? n ? n ? n ( n ? 1)
n 2 2

故①式仅当 n ? 1, 2 时成立 从而 b1 ? b2 ? b3 ? b 4 ? b5 ? ? ? 故 b3 为最大项,其值为 b 3 ?
3 8 a3 ? 27 32 .

28、已知数列 { a n } 满足 a1 ? a 2 ? 5 , a n ? 1 ? a n ? 6 a n ?1 ( n ? 2, n ? N ? ) ,存在 ? ? R ,使
{ a n ? 1 ? ? a n } 为等比数列.

(1)求 ? 的值及 a n 的表达式; (2)求证:当 k 为奇数时,有
1 ak 1 a1 1 a2 1 an 1 2 ? 1 a k ?1 ? 3 4
k ?1



(3)求证:

?

?? ?

?

解: (1)令 a n ? 1 ? ? a n ? q ( a n ? ? a n ?1 )( q ? 0) ? a n ?1 ? ( q ? ? ) a n ? q ? a n ?1 ∴?
?q ? ? ? 1 ?q? ? 6 ?q ? 3 ?q ? ?2 ? ? 或 ? ?? ? 2 ?? ? ?3

28

又 a 2 ? 3 a1 ? ? 10, a 2 ? 2 a1 ? 15 且 { a n ? 1 ? 3 a n } 与 { a n ? 1 ? 2 a n } 均为等比数列
? a n ?1 ? 3 a n ? ? 1 0 ? ( ? 2 ) ? ∴? n ?1 ? a n ?1 ? 2 a n ? 1 5 ? 3 ?
n ?1

? an ? 3 ? (?2) .
n n

(2)当 n 为奇数时,

1 ak

?

1 a k ?1

?

1 3 ?2
k k

? 3
k

1
k ?1

?2

k ?1

此时,
8 7

1 ak

?

1 a k ?1

? 3

4
k ?1

? 3

?7 ? 6 ? 8 ? 4
k k ?1

(3 ? 2 )(3
k k

k ?1

?2

k ?1

)



?

3

6 k k k ? ( ) ? ?7 ? 6 ? 8 ? 4 ? 0 2 4



1 ak

?

1 a k ?1

? 3

4
k ?1

(3)若 n 为偶数,
1 a1 1 a2 1 an ? 1 1 1 ? 4? 2 ? 4 ?? ? n ?3 3 2 ? (3 ) 2 ? ? ? ? ? ?

?

?? ?

1 9 ? 4?

(1 ?

1
n

) ? 4?

1 1 9 ; ? 8 2 9

1?

9 1 9

2

若 n 为奇数, 故命题成立

1 a1

?

1 a2

?? ?

1 an

?

1 a1

?

1 a2

?? ?

1 an

?

1 a n ?1

?

1 2

.

29、设 S n , T n 分别是数列 { a n },{b n } 的前 n 项和,且满足
a1 ? 2, 2 a n ? 1 ? a n ? n , b n ? a n ? n ? 2( n ? N )
?

(1)求 b n ; (2)是否存在实数 ? ,使数列 {
S n ? ? Tn n } 为等差数列?

29

解(1)由 b n ? a n ? n ? 2 ? b n ? 1 ? a n ? 1 ? ( n ? 1) ? 2 ?
? 1 2 (an ? n ? 2) ? 1 2 bn
1 2

1 2

(an ? n ) ? n ? 1

∴ { b n } 是以 b1 ? a1 ? 1 ? 2 ? 3 为首项, ∴ bn ? 3 ? ( )
2 1
n ?1

为公比的等比数列.

,

n? N

?


n ( n ? 3) 2

(2)由 a n ? b n ? n ? 2 ? S n ? T n ?
3(1 ? 1 2 1 2
S n ? ? Tn n (1 ? ? ) T n ? ? n n ( n ? 3) 2 ?
n

)

又 Tn ?
1?

1 ? ? ? 6 ?1 ? n ? 2 ? ?
1 2 n
n



n?3 2

6 (1 ? ? )(1 ? ?

)

故当且仅当 ? ? ? 1 时,能使 ?

? S n ? ? Tn ? ? 为等差数列. n ? ?

30 、 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 三 个 点 列 { An } , B{ n
An ( n , a ) , B n n (n n b , )?C , n

其 } }C,n { 中 .

??????? ????? ? ? n ? 1 , ,n 若向量 A n A n ?)1 与 B n C n 共线, { b n } 是公差等于 6 ( 0 ) (N

的等差数列. (1)试用 a 1 、 b1 与 n 表示 a n ( n ? 2) ; (2)设 a1 ? a , b1 ? ? a ,若在 a 6 与 a 7 两项中至少有一项是数列 { a n } 的最小项,试求 a 的取 值范围; (3)设 a 为正整数,在(2)的条件下,试证明: { a n } 中最小项为 a 6 与最小项为 a 7 的概率 相等. 解(1) An An ? 1 ? (1, a n ? 1 ? a n ), B n C n ? ( ? 1, ? b n ) : 由以上两向量共线得: b n ? a n ? 1 ? a n ? b n ?1 ? a n ? a n ?1 ∴ a n ? a n ? a n ? 1 ? a n ? 1 ? a n ? 2 ? ? ? a 2 ? a1 ? a1
? b n ?1 ? b n ? 2 ? ? ? b1 ? a1
? ( n ? 1)( n ? 2 ) 2 ? 6 ? ( n ? 1) b1 ? a 1

???????

????? ?

30

? 3 n ? ( b1 ? 9) n ? a1 ? b1 ? 6( n ? 2)
2

(2)∵ a1 ? a , b1 ? ? a ? a n ? 3 n 2 ? ( a ? 9) n ? 2 a ? 6( n ? 2) 由于 a 6 , a 7 两项中至少有一项是 { a n } 的最小项. 则
11 2 ? a?9 6 ? 15 2 ? 24 ? a ? 36

(3)证明:∵ a n ?1 ? a n ? 6 n ? ( a ? 6) 其中 30 ? a ? 6 ? 42. 若 6 n ? 30 ? a n ? 1 ? a n ,此时 a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ? a 6 . 若 6 n ? 42 ? a n ? 1 ? a n 此时, a 7 ? a 8 ? a 9 ? a10 ? ? 于是 { a n } 的最小项应为 a 6 , a 7 中的最小者.
? a6 , ? 又 a 7 ? a 6 ? b 6 ? 3 0 ? a ? m in { a 6 , a 7 } ? ? a 6 ? a 7 , ? ? a7 , a ? 2 4 , 2 5, ? , 2 9 a ? 30 a ? 3 1, 3 2 , ? , 3 6

故 a 6 最小的概率为

7 13

, a 7 最小的概率为

7 13



31

全国高中数学联赛第一试解答题训练
1、设函数 f ( x ) ? ?
1 3 x ? 2 ax ? 3a x ? b, 0 ? a ? 1.
3 2 2

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间、极值; (2)若当 x ? [ a ? 1, a ? 2] 时,恒有 | f ?( x ) |? a . 试确定 a 的取值范围。 2、已知函数 f ( x ) ? ?
1 3 x ? 2 ax ? 3a x ? b (a ? 0)
3 2 2

(1)当 f ( x ) 的极小值为 ?

7 3

,极大值为 ? 1 时,求 f ( x ) 的解析式;

(2)若 f ( x ) 在 [1, 2] 上为增函数,在区间 [6, ? ? ) 上为减函数,求实数 a 的取值范围。 3、定义函数 f n ( x ) ? (1 ? x ) n ? 1, x ? ? 2 ( n ? N *), 其导函数为 f n? ( x ) 。 (1)求证: f n ( x ) ? nx ; (2)设
f n? ( x 0 ) f n?? 1 ( x 0 ) ? f n (1 ) f n ? 1 (1 )

,求证: 0 ? x 0 ? 1 。
y ? f
?1

4、已知函数 f ( x ) ? 2 x ? a 的反函数是 是y ? f
?1

( x ), 设 P ( x ? a , y1 ), Q ( x , y 2 ), R ( 2 ? a , y 3 )

( x ) 图象上不同的三点。

(1)如果存在正实数 x,使 y 1 、y2、y3 成等差数列,试用 x 表示实数 a; (2)在(1)的条件下,如果实数 x 是唯一的,试求实数 a 的取值范围. 5、设函数 y ? f ( x ) ? x ( x ? m )( x ? n ) . ( m 、 n ? R) (1) m ? n , mn ? 0 , 若 过两点 (0, 、 m , 的中点作与 x 轴垂直的直线, 0) ( 0) 与函数 y ? f ( x ) 的图象交于点 P ( x 0 , f ( x 0 )) ,求证:函数 y ? f ( x ) 在点 P 处的切线过点( n ,0) ; (2)若 m ? n ( m ? 0 ) ,且当 x ? [ 0 , | m | ? 1] 时 f ( x ) ? 2 m 2 恒成立, 求实数 m 的取值范围. 6、设函数 f ( x ) ?
1? x ax ? ln x 在 [1, ? ? ) 上为增函数。

(1)求正实数 a 的取值范围; (2)若 a ? 1 . 求证:
1 2 ? 1 3 ?? ? 1 n ? ln n ? n ? 1 2 ? 1 3 ?? ? 1 n ?1 .

7、 f ( x ) ? x 2 ? bx ? c ( b , c ? R ) , 设 方程 f ( x ) ? x 的两个实根 x1 , x 2 满足: 1 ? 0, x 2 ? x1 ? 1. x (1)求证: b 2 ? 2( b ? 2 c ) ; (2)设 0 ? t ? x1 ,比较 f ( t ) 与 x1 的大小;
32

(3)若对任意的 x ? [ ? 1,1] ,均有 | f ( x ) |? 1 . 求证: | 1 ? b |? 2. 8、已知 f ( x ) 是在 (0, ? ? ) 上每一点处导数均存在的函数,若 xf ?( x ) ? f ( x ) 对任意 x ? 0 恒 成立. (1)试判断函数 g ( x ) ?
f (x) x

在 (0, ? ? ) 上是否为单调函数;

(2)求证:对任意 x1 , x 2 ? (0, ? ? ) ,恒有 f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) (3)已知不等式 ln (1 ? x ) ? x 在 x ? ? 1 且 x ? 0 时恒成立,
1
2

求证:

ln 2 ?
2

1 3
2

ln 3 ?
2

1 4
2

ln 4 ? ? ?
2

1 ( n ? 1)
2

ln ( n ? 1) ?
2

n 2 ( n ? 1)( n ? 2 )

( n ? N ).

?

2

9、已知函数 f ( x ) ?

1
bx

1? a ?2 (1)求证: a ? 0 , b ? 0 ; (2)求证: f ( x ) 单调递增;

的定义域为 R ,且 f (2) ? f (1) 。

(3)若 f (1) ?

4 5

,且 f ( x ) 在 [0,1] 上的最小值为
1 2

1 2


?n? 1 2

求证: f (1) ? f ( 2 ) ? f (3) ? ? ? f ( n ) ? 10、已知定义域为 [0,1] 的函数 f ( x ) 同时满足:

n ?1

①对于任意 x ? [0,1] ,总有 f ( x ) ? 0 ;② f (1) ? 1 ;③若 x1 ? 0, x 2 ? 0, x1 ? x 2 ? 1 ,则有
f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 。

(1)试求 f (0 ) 的值; (2)试求函数 f ( x ) 的最大值; (3)试证明:满足上述条件的函数 f ( x ) 对一切实数 x ,都有 f ( x ) ? 2 x 。
x
3

11、设函数 f ( x ) ?

?

a 2

x ? b x ? c ( a 、 b 、 c ? R ).
2

3

(1)若 a ? f ?(2), b ? f ?(1), c ? f ?(0), 求 a、b、c 的值; (2)若 a ? f ?(2), b ? f ?(1), c ? f ?(0), 且 F ( n ) ?
11 18
33

1 f ?( n ) ? 2
*

.

求证: F (1) ? F ( 2 ) ? F (3) ? ? ? F ( n ) ?

( n ? N ).

(3)设关于 x 的方程 f ?( x ) ? 0 的两个实数根为 ? 、 ? ,且 1 ? ? ? ? ? 2. 试问:是否 存在正整数 n 0 ,使得 | f ? ( n 0 ) |?
1 4

?说明理由.

12、设动抛物线过定点 A ? ? 1, 0 ? ,且以直线 x ? 1 为准线. (1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M , N ,且线段 M N 恰被直线 x ? ? MN 的垂直平分线的方程为 y ? kx ? m ,试求 m 的取值范围. 13.已知中心在原点,顶点 A1、A2 在 x 轴上,离心率 e= 双曲线过点 P(6,6). (1)求双曲线方程; (2)动直线 l 经过△ A1PA2 的重心 G, 与双曲线交于不同的两点 M、 N,问:是否存在直线 l,使 G 平分线段 MN,证明你的结论。 14 、
2

1 2

平分,设弦

21 3



Y

P M G A2 O A1
X

N


2





线

l: y ? m x ? 1





线

C: ax ? y

? 2 ? m , a ? R ? 交于两点 A、B。

(1)设 O P ? O A ? O B ,当 a ? ?2 时,求点 P 的轨迹方程; (2)是否存在常数 a ,对任意 m ? R ,都有 O A · O B ? ? 2 ?如果存在,求出 a 的值;如 果不存在,说明理由。 (3)是否存在常数 m,对任意 a ? R ? ,都有 O A · O B 为常数?如果存在,求出 m 的值; 如果不存在,说明理由。 15、已知 A、B、C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点,点 A 是长轴的一个顶点,BC 过椭圆中心 O,如图,且
AC

?

?

?

?

?

?

?

Y

C O B Q P A
X

〃 BC =0,|BC|=2|AC|,

(1)求椭圆的方程;? (2) 如果椭圆上两点 P、 使∠PCQ 的平分线垂直 AO, Q 则总存在实数λ,使 PQ =λ AB ,请给出证明.
y a
2 2

16、过椭圆 C:

?

x b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

上一动点 P 引圆 O:x2 +y2 =b2 的两条切线 PA、PB,A、

B 为切点,直线 AB 与 x 轴,y 轴分别交于 M、N 两点。 (1) 已知 P 点坐标为(x0,y0 )并且 x0y0≠0,试求直线 AB 方程;
34

(2) 若椭圆的短轴长为 8,并且

a

2 2

?

b

2 2

?

25 16

,求椭圆 C 的方程;

| OM |

| ON |

(3) 椭圆 C 上是否存在点 P,由 P 向圆 O 所引两条切线互相垂 直?若存在,请求出存在的条件;若不存在,请说明理由。 17、已知点 B(-1,0) ,C(1,0) 是平面上一动点,且满 ,P 足 | P C | ? | B C |? P B ? B C . (1)求点 P 的轨迹 C 对应的方程; (2)已知点 A(m,2)在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD,AE,且 AD,AE 的斜率 k1、k2 满足 k1·2=2.求证:直线 DE k 过定点,并求出这个定点。 18、设抛物线 y 2
? 2 px ( p ? 0 )

Y P
M

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

A

B O

X

的焦点为 F,经过点 F 的直线与抛

物线交于 A、B 两点.又 M 是其准线上任意一点.试判断:直线 MA、MF、MB 的斜率是否成等差数列. 19、已知 a =(x,0), b =(1,y), ( a ?
3 b)? (a ? 3 b)

(1)求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l :y=kx+m(km≠0)与曲线 C 交于 A、B 两端,D(0,- 1),且有|AD|=|BD|,试求 m 的取值范围。 20、如图,已知点 F (1,) ,直线 l : x ? ? 1 , P 为平面上 0 的动点,过 P 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q ,且
? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? Q P ? Q F ? F P F. ? Q

y Q P B O A M F

x

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 任作一条直线交轨迹 C 于 A, B 两点,交直
???? ???? ???? ??? ?

线 l 于点 M ,已知 M A ? ?1 A F , M B ? ? 2 B F ,试问: ?1 ? ? 2 的取值是否随直线 AB 的斜 率的变化而变化,请说明理由。 21、设椭圆
x a
2 2

y A
B

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点分别为 F1, F2, A

是 椭 圆 上 的 一 点 , A F2 ? F1 F2 , 原 点 O 到 直 线 A F1 的 距 离 为
1 3 O F1 .

F1

O

F2

x

(1)证明 a ?

2b ;

35

(2)设 Q1, Q 2 为椭圆上的两个动点,O Q1 ? O Q 2 ,过原点 O 作直线 Q 1 Q 2 的垂线 O D ,垂 足为 D ,求点 D 的轨迹方程. 22、如图, F1 ( ? 3, 0 ) , F 2 ( 3 , 0 ) 是双曲线 C 的两焦点, 直线 x ?
4 3

是双曲线 C 的右准线, A1, A2 双曲线 C 的两个

顶点, 点 P 是双曲线 C 右支上异于 A2 的一动点, 直线 A1P,A2P 交双曲线 C 的右准线分别于 M, N 两点. (1) 求双曲线 C 的方程; (2) 求证: F1 M ? F 2 N 是定值. 23、 已知双曲线 C 的中心在原点, 抛物线 y 2 ? 2 5 x 的 焦点是双曲线 C 的一个焦点,且双曲线过点(1,
3)

(1)求双曲线的方程; (2)设直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C 交于 A、B 两点, 试问: ① k 为何值时 OA ? OB ② 是否存在实数 k , 使 A、B 两点关于直线 y ? mx 对称( m 为常数), 若存在, 求出 k 的值; 若不存在, 请说明理由. 24、已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1, S n ? 1 ? 2 S n ? 3 n ? 1 ( n ? N ? ) (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)对 k ? N ? ,设 f ( n ) ? ?
? S n ? a n ? 3, n ? 2k ? 1 (k ? N )
?

? lo g 2 ( a n ? 3), n ? 2 k

求使不等式 f ( m ) ? f (2 m 2 ) 成立的正整数 m 的值集 S。
3 3 25、设数列 { a n } 的各项都是正数,且对任意 n ? N ? ,均有 a13 ? a 2 ? ? ? a n ? S n2 . 其中 S n 为

{ a n } 的前 n 项和.

(1)求 { a n } 的通项; (2)设数列 { b n } 满足 bn ? 3 n ? ( ? 1) n ?1 ? ? ? 2 . 试确定非零整数 ? 的值.
an

使得当 n ? N ? 时,均有 b n ? 1 ? b n 成立. 26、已知数列 { a n } 满足: a1 ? 5, a n ? 2 a n ?1 ? 2 n ? 1( n ? 2 且 n ? N ? ) (1)是否存在 ? ? R ,使得 ? 明理由; (2)设 C n ?
an ? 1 n ?1
2

? an ? ? ? ? 为等差数列,若存在,求出 ? 的值;否则,请说 n ? 2 ?

,试求 m 的最大值,使得对一切 n ? N ? ,不等式 m ?

c1 ? c 2 ? ? ? c n n

36

恒成立. 27、 已知数列 { a n } 满足: a 1 ? 1, a n ? 1 ? (1 ? (1)求证: a n ? 1 ? a n ? 3 ?
n ?1 2
n ?1

n 2
n

)an , n ? N

?

(2)设 b n ? a n ? 1 ? a n ,求 { b n } 中的项的最大值. 28、已知数列 { a n } 满足 a1 ? a 2 ? 5 , a n ? 1 ? a n ? 6 a n ?1 ( n ? 2, n ? N ? ) ,存在 ? ? R ,使
{ a n ? 1 ? ? a n } 为等比数列.

(1)求 ? 的值及 a n 的表达式; (2)求证:当 k 为奇数时,有
1 ak 1 a1 1 a2 1 an 1 2 ? 1 a k ?1 ? 3 4
k ?1



(3)求证:

?

?? ?

?

29、设 S n , T n 分别是数列 { a n },{b n } 的前 n 项和,且满足
a1 ? 2, 2 a n ? 1 ? a n ? n , b n ? a n ? n ? 2( n ? N )
?

(1)求 b n ; (2)是否存在实数 ? ,使数列 {
S n ? ? Tn n } 为等差数列?

30 、 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 三 个 点 列 { An },{ B n },{C n }. 其 中
An ( n , n ) , B a n ( n n, b ?)n C , n ( ?
?

??????? ????? ? 1 , , 若向量 A n A n ? 1 与 B n C n 共线, { b n } 是公差等于 6 n0 ) N ( )

的等差数列. (1)试用 a 1 、 b1 与 n 表示 a n ( n ? 2) ; (2)设 a1 ? a , b1 ? ? a ,若在 a 6 与 a 7 两项中至少有一项是数列 { a n } 的最小项,试求 a 的取 值范围; (3)设 a 为正整数,在(2)的条件下,试证明: { a n } 中最小项为 a 6 与最小项为 a 7 的概率 相等.

37


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