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2014年中考试题分类汇编相似三角形 20151128


1

52、 (2013?泰州)如图,在矩形 ABCD 中,点 P 在边 CD 上,且与 C、D 不重合,过点 A 作 AP 的垂线与 CB 的延长线相交于点 Q,连接 PQ,M 为 PQ 中点. (1)求证:△ ADP∽△ABQ; (2)若 AD=10,AB=20,点 P 在边 CD 上运动,设 DP=x,BM =y,求 y 与 x 的函数关系 式,并求线段 BM 的最小值; (3)若 AD=10,AB=a,DP=8,随着 a 的大小的变化,点 M 的位置也在变化.当点 M 落 在矩形 ABCD 外部时,求 a 的取值范围.
2

解答 (1)证明:∵∠QAP=∠BAD=90°,∴∠QAB=∠PAD,又∵∠ABQ=∠ADP=90°, ∴△ADP∽△ABQ. (2)解:∵△ADP∽△ABQ,∴ ,即 ,解得 QB=2x.∵DP=x,

CD=AB=20,∴PC=CD﹣DP=20﹣x. 如解答图所示,过点 M 作 MN⊥QC 于点 N, ∵MN⊥QC,CD⊥QC,点 M 为 PQ 中点,∴点 N 为 QC 中点,MN 为中位线, ∴MN=PC=(20﹣x)=10﹣x, BN=QC﹣BC=(BC+QB)﹣BC=(10+2x)﹣10=x﹣5. 在 Rt△ BMN 中, 由勾股定理得: BM =MN +BN = (10﹣x) + (x﹣5) =x ﹣20x+125, 2 2 2 ∴y=x ﹣20x+125(0≤x≤20) .∵y=x ﹣20x+125=(x﹣4) +45, ∴当 x=4 即 DP=4 时,y 取得最小值为 45,BM 的最小值为 = . (3)解:设 PQ 与 AB 交于点 E. 如解答图所示,点 M 落在矩形 ABCD 外部,须满足的条件是 BE>MN. ∵△ADP∽△ABQ,∴ ,即 ,解得 QB=a.
2 2 2 2 2 2

∵AB∥CD,∴△QBE∽△QCP,∴

,即

,解得

BE= ∵BE>MN,∴

.∵MN 为中位线,∴MN=PC=(a﹣8) . >(a﹣8) ,解得 a>12.5.

∴当点 M 落在矩形 ABCD 外部时,a 的取值范围为:a>12.5.

2

54、 (2013 泰安)如图,四边形 ABCD 中,AC 平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E 为 AB 的中点, (1)求证:AC =AB?AD; (2)求证:CE∥AD; (3)若 AD=4,AB=6,求 的值. 解答: (1)证明:∵AC 平分∠DAB,∵∠ADC=∠ACB=90°, △ ADC∽△ACB,∴AD:AC=AC:AB,∴AC =AB?AD; (2)证明:∵E 为 AB 的中点,∴CE=AB=AE, ∴∠EAC=∠ECA,∵∠DAC=∠CAB,∴∠DAC=∠ECA,∴CE∥AD; (3)解:∵CE∥AD,∴△AFD∽△CFE,∴AD:CE=AF:CF,∵CE=AB,∴CE=×6=3, ∵AD=4,∴ ,∴ .
2 2

55、 (2013?苏州)如图,点 O 为矩形 ABCD 的对称中心,AB=10cm,BC=12cm,点 E、F、 G 分别从 A、B、C 三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点 E 的运动速度为 1cm/s,点 F 的运动速度为 3cm/s,点 G 的运动速度为 1.5cm/s,当点 F 到达点 C(即点 F 与点 C 重合)时,三个点随之停止运动.在运动过程中,△ EBF 关于直线 EF 的对称图形 是△ EB′F.设点 E、F、G 运动的时间为 t(单位:s) . (1)当 t= 2.5 s 时,四边形 EBFB′为正方形; (2)若以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F,C,G 为顶点的三角形相似,求 t 的值; (3)是否存在实数 t,使得点 B′与点 O 重合?若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理 由.

解 解: (1)若四边形 EBFB′为正方形,则 BE=BF, 答 即:10﹣t=3t,解得 t=2.5; (2)分两种情况,讨论如下: ①若△ EBF∽△FCG,则有 ,即 ,解得:t=2.8;

3

②若△ EBF∽△GCF,则有

,即



解得:t=﹣14﹣2 (不合题意,舍去)或 t=﹣14+2 . ∴当 t=2.8s 或 t=(﹣14+2 )s 时,以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F,C,G 为顶点的 三角形相似. (3)假设存在实数 t,使得点 B′与点 O 重合. 如图, 过点 O 作 OM⊥BC 于点 M, 则在 Rt△ OFM 中, OF=BF=3t, FM= BC﹣BF=6﹣3t, OM=5, 由勾股定理得:OM +FM =OF ,即:5 +(6﹣3t) =(3t) 解得:t=
2 2 2 2 2 2



过点 O 作 ON⊥AB 于点 N,则在 Rt△ OEN 中,OE=BE=10﹣t,EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t, ON=6,由勾股定理得:ON +EN =OE ,即:6 +(5﹣t) =(10﹣t) 解得:t=3.9.∵ ∴不存在实数 t,使得点 B′与点 O 重合. 56、 (2013?包头)如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,点 E 是 BC 上的一个动点,连接 DE,交 AC 于点 F.1)如图①,当 如图②当 DE 平分∠CDB 时,求证:AF= OA; 时,求 的值; (2)
2 2 2 2 2 2

≠3.9,

(3)如图③,当点 E 是 BC 的中点时,过点 F 作 FG⊥BC 于点 G,求证:CG= BG.

解答:

(1)解:∵

= ,∴

= . = ,

∵四边形 ABCD 是正方形,∴AD∥BC,AD=BC,∴△CEF∽△ADF,∴



=

= ,∴

=

= ;

(2)证明:∵DE 平分∠CDB,∴∠ODF=∠CDF, 又∵AC、BD 是正方形 ABCD 的对角线.∴∠ADO=∠FCD=45°,∠AOD=90°, OA=OD,而∠ADF=∠ADO+∠ODF,∠AFD=∠FCD+∠CDF,∴∠ADF=∠AFD,

4

∴AD=AF,在直角△ AOD 中,根据勾股定理得:AD= ∴AF= OA.

=

OA,

(3)证明:连接 OE.∵点 O 是正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点.∴点 O 是 BD 的中点.又∵点 E 是 BC 的中点, ∴OE 是△ BCD 的中位线, ∴OE∥CD, OE= CD, ∴△OFE∽△CFD. ∴ ∴ = .又∵FG⊥BC,CD⊥BC,∴FG∥CD,∴△EGF∽△ECD,∴ = = = , = .

在直角△ FGC 中,∵∠GCF=45°.∴CG=GF, 又∵CD=BC,∴ = = ,∴ = .∴CG= BG.

50 、 (2013 年 广 东 省 9 分 、 25 压 轴 题 ) 有 一 副 直 角 三 角 板 , 在 三 角 板 ABC 中 , ∠ BAC=90°,AB=AC=6,在三角板 DEF 中, ∠FDE=90°,DF=4,DE= 4 3 .将这副直角三角板按如题 25 图(1)所示位置摆放,点 B 与点 F 重合,直角边 BA 与 FD 在同一条直线上.现固定三角板 ABC,将三角板 DEF 沿射线 BA 方向平 行移动,当点 F 运动到点 A 时停止运动. (1)如题 25 图(2),当三角板 DEF 运动到点 D 与点 A 重合时,设 EF 与 BC 交于点 M, 则∠EMC=______度; (2)如题 25 图(3),在三角板 DEF 运动过程中,当 EF 经过点 C 时,求 FC 的长; (3)在三角板 DEF 运动过程中,设 BF= x ,两块三角板重叠部分面积为 y ,求 y 与 x 的函数解 析式,并求出对应的 x 取值范围.

解析: (1)15;(2)在 Rt△CFA 中,AC=6,∠ACF=∠E=30°,∴FC=

3 AC =6÷ ?4 3 ? cos 30 2
C G E

(3)如图(4),设过点 M 作 MN⊥AB 于点 N,则 MN∥DE,∠NMB=∠B=45°,∴NB=NM,NF=NB-FB=MN-x A ∵MN∥DE
D

N F B

M

5

∴△FMN∽FED,∴

MN MN ? x MN FN 3? 3 ? ? ,即 ,∴ MN ? x DE FD 4 2 4 3

①当 0 ? x ? 2 时,如图(4) ,设 DE 与 BC 相交于点 G ,则 DG=DB=4+x ∴ y ? S?BGD ? S BMF ?

1 1 1 1 3? 3 ? DB ? DG ? ? BF ? MN ? (4 ? x)2 ? ? x ? x 2 2 2 2 2

即y??

1? 3 2 x ? 4x ? 8 ; 4
题 25 图(4)
D A N C M E

②当 2 ? x ? 6 ? 2 3 时,如图(5),

y ? S?BCA ? S BMF ?

1 1 1 1 3? 3 ? AC2 ? ? BF ? MN ? ? 36 ? x ? x 2 2 2 2 2

即y??

3? 3 2 x ? 18; 4
D A

F

③当 6 ? 2 3 ? x ? 4 时, 如图(6) 设 AC 与 EF 交于点 H, ∵AF=6-x,∠AHF=∠E=30° ∴AH= 3 AF ? 3(6 ? x)

B

题 25 图(5)
H C

E

F

1 3 y ? S?FHA ? (6 ? x) ? 3 (6 ? x) ? (6 ? x)2 2 2
B

综上所述,当 0 ? x ? 2 时, y ? ?

1? 3 2 x ? 4x ? 8 当 2 ? x ? 6 ? 2 3 , 4

y??

3? 3 2 3 x ? 18当 6 ? 2 3 ? x ? 4 时, y ? (6 ? x)2 60、(2013 年黄石)如图 1, 4 2

点 C 将线段 AB 分成两部分,如果

AC BC ,那么称点 C 为线段 AB 的黄金分割点。某 ? AB AC

数学兴趣小组在进行课题研究时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄

S2 , 金分割线” 的定义: 直线将一个面积为 S 的图形分成两部分, 这两部分的面积分别为 S1 、
如果

S1 S 2 ? ,那么称直线为该图形的黄金分割线. S S1

(1)如图 2,在△ ABC 中, ?A ? 36 °, AB ? AC , ?C 的平分线交 AB 于点 D , 请问点 D 是否是 AB 边上的黄金分割点,并证明你的结论; (2)若△ ABC 在(1)的条件下,如图(3),请问直线 CD 是不是△ ABC 的黄金分 割线,并证明你的结论;

6

(3)如图 4,在直角梯形 ABCD 中, ?D ? ?C ? 90? ,对角线 AC 、 BD 交于点 F , 延长 AB 、 DC 交于点 E ,连接 EF 交梯形上、下底于 G 、 H 两点,请问直线 GH 是 不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线,并证明你的结论. C C A · A · C 图1 · B A D 图2 B 图3 D B D C 图4 E A B H F

解析: 解:(1)点 D 是 AB 边上的黄金分割点,理由如下: ∵ ?A ? 36 °, AB ? AC ∴ ?B ? ?ACB ? 72 °∵ CD 平分 ?ACB ∴ ?DCB ? 36 ° ∴ ?BDC ? ?B ? 72 ° ∵ ?A ? ?BCD , ?B ? ?B ∴ △BCD

∽ △BAC ∴


BC BD 又∵ BC ? CD ? AD ? AB BC

AD BD ∴ D 是 AB 边上的黄金分割点· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (3 分) ? AB AB (2)直线 CD 是△ ABC 的黄金分割线,理由如下: 设 △ ABC 的边 AB 上的高为 h ,则 1 1 1 S ?ADC ? AD ? h , S ?DBC ? BD ? h , S ?ABC ? AB ? h 2 2 2
∴ S ? ADC : S ? ABC ? AD : AB , S ?DBC : S ? ADC ? BD : AD ∵ D 是 AB 的黄金分割点∴

AD BD ∴ S ? ADC : S ? ABC ? S ?DBC : S ? ADC ? AB AD

∴ CD 是△ ABC 的黄金分割线· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (3 分) (3) GH 不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线 ∵ BC ∥ AD ∴ △EBG

∽ △EAH , △EGC

∽ △EHD ∴


BG EG ? AH EH



GC EG BG GC BG AH ②由①、 ②得 即 ? ? ? HD EH AH HD GC HD 同理,由 △BGF ∽ △DHF , △CGF ∽ △ AHF 得 BG GC BG HD AH HD 即 ④由③、④得 ? ? ? HD AH GC AH HD AH ∴ AH ? HD ∴ BG ? GC

∴ 梯形 ABGH 与梯形 GCDH 上下底分别相等, 高也相等∴ S 梯形 ABGH ? S 梯形 GCDH ?


1 S梯 2

ABCD

∴ GH 不是直角梯形 ABCD 的黄金分割线 (3 分)

7

63、 (2013?淮安压轴题)如图,在△ ABC 中,∠C=90°,BC=3,AB=5.点 P 从点 B 出发, 以每秒 1 个单位长度沿 B→C→A→B 的方向运动;点 Q 从点 C 出发,以每秒 2 个单位沿 C→A→B 方向的运动,到达点 B 后立即原速返回,若 P、Q 两点同时运动,相遇后同时停 止,设运动时间为 ι 秒. (1)当 ι= 7 时,点 P 与点 Q 相遇; (2)在点 P 从点 B 到点 C 的运动过程中,当 ι 为何值时,△ PCQ 为等腰三角形? (3)在点 Q 从点 B 返回点 A 的运动过程中,设△ PCQ 的面积为 s 平方单位. ①求 s 与 ι 之间的函数关系式;②当 s 最大时,过点 P 作直线交 AB 于点 D,将△ ABC 中 沿直线 PD 折叠, 使点 A 落在直线 PC 上, 求折叠后的△ APD 与△ PCQ 重叠部分的面积.

解答

解: (1)在直角△ ABC 中,AC=

=4,

则 Q 从 C 到 B 经过的路程是 9,需要的时间是 4.5 秒.此时 P 运动的路程是 4.5,P 和 Q 之间的距离是:3+4+5﹣4.5=7.5. 根据题意得: (t﹣4.5)+2(t﹣4.5)=7.5,解得:t=7. (2)Q 从 C 到 A 的时间是 3 秒,P 从 A 到 C 的时间是 3 秒. 则当 0≤t≤2 时, 若△ PCQ 为等腰三角形, 则一定有: PC=CQ, 即 3﹣t=2t, 解得: t=1. 当 2<t≤3 时,若△ PCQ 为等腰三角形,则一定有 PQ=PC(如图 1) .则 Q 在 PC 的 中垂线上,作 QH⊥AC,则 QH= PC.△ AQH∽△ABC, 在直角△ AQH 中,AQ=2t﹣4,则 QH= AQ= t∴ × (2t﹣4)=3﹣t,解得:t= ; .∵PC=BC﹣BP=3﹣

(3)在点 Q 从点 B 返回点 A 的运动过程中,P 一定在 AC 上,则 PC=t﹣3,BQ=2t ﹣9,即 AQ=5﹣(2t﹣9)=14﹣2t. 同(2)可得:△ PCQ 中,PC 边上的高是: (14﹣2t) , 故 s= (2t﹣9)× (14﹣2t)= (﹣t +10t﹣2) . 故当 t=5 时,s 有最大值,此时,P 在 AC 的中点. (如图 2) . ∵沿直线 PD 折叠,使点 A 落在直线 PC 上, ∴PD 一定是 AC 的中垂线.则 AP= AC=2,PD= BC= ,则 S△ APD= AP?PD= ×2× = .AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4.则 PC 边上的高是:
2

8

AQ= ×4=

.则 S△ PCQ= PC?

= ×2×

=

.故答案是:7.

64、 (2013?娄底压轴题)如图,在△ ABC 中,∠B=45°,BC=5,高 AD=4,矩形 EFPQ 的 一边 QP 在 BC 边上,E、F 分别在 AB、AC 上,AD 交 EF 于点 H. (1)求证: ;

(2)设 EF=x,当 x 为何值时,矩形 EFPQ 的面积最大?并求出最大面积; (3)当矩形 EFPQ 的面积最大时,该矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 DA 匀速向 上运动(当矩形的边 PQ 到达 A 点时停止运动) ,设运动时间为 t 秒,矩形 EFPQ 与△ ABC 重叠部分的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式,并写出 t 的取值范围.

解答: (1)证明:∵矩形 EFPQ,∴EF∥BC,∴△AHF∽△ADC,∴ ∴△AEF∽△ABC,∴ , .

,∵EF∥BC,

(2)解:∵∠B=45°,∴BD=AD=4,∴CD=BC﹣BD=5﹣4=1. ∵EF∥BC,∴△AEH∽△ABD,∴ ∴ ,∴ ,即 ,∵EF∥BC,∴△AFH∽△ACD,

,∴EH=4HF,

已知 EF=x,则 EH=x.∵∠B=45°,∴EQ=BQ=BD﹣QD=BD﹣EH=4﹣x. S 矩形 EFPQ=EF?EQ=x?(4﹣x)=﹣x +4x=﹣(x﹣) +5, ∴当 x=时,矩形 EFPQ 的面积最大,最大面积为 5.
2 2

9

(3)解:由(2)可知,当矩形 EFPQ 的面积最大时,矩形的长为,宽为 4﹣×=2. 在矩形 EFPQ 沿射线 AD 的运动过程中: (I)当 0≤t≤2 时,如答图①所示. 设矩形与 AB、AC 分别交于点 K、N,与 AD 分别交于点 H1,D1. 此时 DD1=t,H1D1=2, ∴HD1=HD﹣DD1=2﹣t,HH1=H1D1﹣HD1=t,AH1=AH﹣HH1=2﹣t, . ∵KN∥EF,∴ ,即 ,得 KN=(2﹣t) .

S=S 梯形 KNFE+S 矩形 EFP1Q1=(KN+EF)?HH1+EF?EQ1 = [(2﹣t)+]×t+(2﹣t)= t +5;
2

(II)当 2<t≤4 时,如答图②所示. 设矩形与 AB、AC 分别交于点 K、N,与 AD 交于点 D2. 此时 DD2=t,AD2=AD﹣DD2=4﹣t, ∵KN∥EF,∴ S=S△ AKN=KN?AD2 =(5﹣t) (4﹣t) =t ﹣5t+10. 综上所述,S 与 t 的函数关系式为:
2

,即

,得 KN=5﹣t.

S=




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