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平面向量练习题2015.2.26云献军


大庆外国语学校高中部数学组

From Senior High Math Teachers’Office of Daqing Foreign Language School

平面向量练习题
题型一、向量的基本概念 1、下列说法正确的是( ) A、两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同 B、长度相等的向量叫做相等向量 C、共线

向量(均是非零向量)是在一条直线上的向量 D、向量与向量平行,则向量与向量的方向相同或相反 2、下列说法不正确的是( ) ①若 = ,则a = b;②以 5m 为 1 个单位长度,长度为 1m 的向量是单位向量;③平面直角坐标 系中的 x 轴和 y 轴都是向量;④若AB=DC,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点;⑤ 在平行四边形ABCD中,一定有AB=DC。 A、①④ B、②④⑤ C、②③⑤ D、①②③④⑤ 3、下列说法正确的是( ) A、 若 > , 则 > 线向量 B、 若 = , 则a = b C、 若a = b, 则a ∥ b D、 若 ≠ , 则与不是共

10、下列说法中正确的个数是( ) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底;②一个平面内有无数对不共 线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可作为基底向量。 A、0 个 B、 1 个 C、 2 个 D、3 个 题型二、平面向量的线性运算 1、化简: (1) AB ? CD ? AC ? BD = (2)OA ? OD + AD= (3)AB + DA + BD ? BC ? CA= 2、在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O, + =λ,则λ= 。

3、可以写成如下几种向量的和或差的形式:① + ;② ? ;③ ? ;④ ? ; 其中正确的是 。 )

4、在四边形 ABCD 中,设=,=, = ,则 = ( A、? + + B、? + ? C、 + +

D、 ? +

4、已知下列命题:①向量AB与向量BA的长度相等;②任意一个非零向量都可以平行移动;③若 a ∥ b且 ≠ 0,则 ≠ 0;④两个有共同起点且共线的向量,其终点不一定相同。其中正确的是( ) A、①③④ B、①②③ C、②③④ D、①②④ 5、若非零向量与互为相反向量,则下列说法错误的是( ) A、a ∥ b B、 ≠ C、 ≠ D、 + = 0 6、下列四个等式:① + = + ;②? ? = ;③ + + = 0;④ + ? = 0,其中 正确的是 。 7、已知λ,μ ∈ R,且 ≠ 0,则以下各命题中,正确命题的个数是( ) ①λ < 0时,λ 与 的方向一定相反;②λ > 0时,λ 与 的方向一定相同;③λ ≠ 0时,λ 与 是共线 向量;④λμ < 0时,λ与μ的方向一定相反;⑤λμ > 0时,λ与μ的方向一定相同; A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个 8、已知实数 m,n 和向量,,给出下列命题:①m ? = ? ;② ? = ? ; ③若m = ,则 = ;④若m = ≠ 0 ,则m = n;其中正确的命题是( ) A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④ 9、设是已知平面向量且 ≠ 0,关于向量的分解,有如下四个命题:①给定向量,总存在向量, 得 = + ;②给定向量和,总存在实数λ和μ,使 = + ;③给定单位向量和正数μ,总存 在单位向量 和实数 λ ,使 = + ;④给定正数 λ 和 μ ,总存在单位向量 和单位向量 ,使 = + 。上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( ) A、 1 个 B、2 个 C、 3 个 D、4 个 厚德致远 学贯中西

5、已知 =3, =5,则 的取值范围是 6、已知 =10, =7,则 的取值范围是 7、已知 = ,=,且 = = 4,∠AOB = 600 ,则 + = 题型三:用基底表示向量 1、 已知1 , 2 是同一平面内的两个不共线向量, = 1 + 2 , = 31 ?2 , = 51 + 2 , 试用向量, 表示向量 。 。

2、已知1 , 2 不共线, = 1 + 22 , = 21 +2 ,要使向量 ,能作为平面内所有向量的一组基 底,则实数λ的取值范围是 。

3、 ?ABC中, 点 D 在边 AB 上, CD 平分∠ACB。 若= ,= , = 1 , =2, 则= ( A、3 + 3
1 2



B、3 + 3

2

1

C、5 + 5

3

4

D、5 + 5
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4

3

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4、 梯形 ABCD 中, ∥ , M,N 分别是 DA, BC 的中点, 且 =k , 设=1 , = 2 , 以1 , 2 为基 底表示向量 , , 。



2、 已知两个非零向量,不共线, 如果=2 + 3,=6 + 23,=4 ? 8, 求证: A, B, D 三点共线。

3、已知两个非零向量,不共线,如果=2 + , = + 3,=2 ? ,若 A,B,D 三 点共线,求 k 的值。

5、在?OAB中,延长 BA 到 C,使 AC=BA,在 OB 上取点 D,使DB = 3 ,DC 与 OA 交于点 E,设 =,=,用,表示向量 ,。

1

4、已知3 = , 2 = , = + ,问:当实数 t 为何值时,C, D, E 三点在同一条直 线上?

5、如果向量= ? 2 , = 2 + ,其中 , 分别是 x 轴、y 轴正方向上的单位向量,试确定实数 μ的值,使 A ,B ,C 三点共线。 6、在?ABO中, = , = , AD 与 BC 相交于点 M,设= ,= ,试用,表示向
4 2 1 1

量。 6、判断下列各小题中的向量,是否共线(其中1 ,2 是两个非零不共线向量) 。 (1) = 51 , = ?101 ; (2) = 2 1 ? 3 2 , = 31 ? 22 ; (3) = 1 + 2 , = 31 ? 32 ; 7、 设 D,E 分别是?ABC的边 AB,BC 上的点, AD = 2 , = 3 。 若 = 1 + 2 1 , 2 为实数 ,则1 + 2 的值为 。
1 2 1 1

7、已知点A 1,3 , 4, ?1 ,则与同方向的单位向量为 8、已知向量 = 1,1 ? , = 1 + , 2 题型五:向量的坐标运算 1、已知A ?2,4 , 3, ?1 , ?3, ?4 ,设=,=,=。 (1)求3 + ? 3; (2)求满足 = + 的实数 m,n。
1

。 。

,且 ∥ ,则锐角θ=

题型四:向量共线与三点共线问题 1、已知向量,,且=2 + 3,=4 + 15,= + 3,则一定共线的三点是( A、A,B,C B、A,B,D C、B,C,D D、A,C,D 厚德致远 学贯中西 )

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2、已知 = , 1 , = 4, ,且与共线,方向相同,求 x 值。

则2 = 2 。其中正确命题的序号是



3 、设 , , 是任意的非零向量,且互不共线,给出以下命题:① ? ? ? ? ? = 0 ;② ? ? ? ? ? 不与 垂直;③ 3 + 2 ? 3 ? 2 = 9 2 ? 4 。其中正确命题的序号 是 。 )
3 2 2 2

3、已知 = 1,2 , = (?3,2),是否存在实数 k,使得k + 与 ? 3共线且方向相反?

4、已知 = 3 , = 5,与的夹角为450 ,则在上的投影为( A、 B、3 C、 4 D、5

5、已知点 A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的投影为( A. 4、已知A ?2,4 , 3, ?1 , ?3, ?4 ,且 = 3 , = 2,求点 M, N 的坐标。
3 2 2



B.

3 15 2

C.?

3 2 2

D.?

3 15 2

6 、设1 , 2 为单位向量,且1 , 2 的夹角为 ,若 = 1 + 32 , = 21 ,则向量在 方向上的投影
3





5 、 已 知 O 是 ?ABC 内 一 点 , ∠AOB = 1500 , ∠ = 900 , 设 =,=,=, 且 =2, =1, =3,试用向量,表示向量 。

7、已知 = 6 , = 5,当: (1) ∥ ; (2) ⊥ ; (3)与的夹角为600 时,分别求与的数量积。

8、已知点O 0,0 , 1,2 , 4,5 ,且= + ,试问: (1)当 t 为何值时,P 在 x 轴上?P 在 y 轴上?P 在第二象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由。

8、设 = 3, = 2, = 5,向量与的夹角为30°,向量与的夹角为60°. 化简: (1) ? ? (2) ? ?

9、已知两个单位向量, 的夹角为60°, = + 1 ? ,若 ? = 0,则 t=

10、已知 = 2, = 1,且 + k ⊥ ? 3 , ⊥ ,则 k 等于( A.3
4



题型六:向量的数量积概念及其应用 1、判断下列各命题是否正确,并简要说明理由。 (1), 为非零向量, ? = ± ? ∥ ; (2)若 ≠ 0, ? = ? ,则 = ; (3) ? ? = ? ? 对任意向量, , 都成立。 2、给出以下命题:① ? 0 = 0;②0 ? =0;③0 ? = ;④ ? = ;⑤若 ≠ 0 ,则对 任一非零向量 都有 ? ≠ 0;⑥ ? =0,则与至少有一个为零向量;⑦与是两个单位向量, 厚德致远 学贯中西

B.4

3

C.? 3

4

D.? 4

3

11、已知向量 = 2,1 , = 1,7 , = 5,1 ,设 M 是直线 OP 上的一点(O 为坐标原点) ,那么 ? 的最小值是( ) A.-16 B.-8 C.0 D.4 12、已知向量与的夹角为120°,且 = 3, = 2.若 = + ,且 ⊥ ,则实 数λ的值为 。

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13、 已知 = 2, = 1, 向量, 的夹角为60°, = + 5, = ? 2.若 ⊥ , 则 m= 14、两个向量与的夹角为 θ,则称向量“ × ”为向量的“外积” ,其长度为 × = . 若已知 = 1, = 5, ? = ?4, 则 × = 15、已知向量与同向, = 1,2 , ? = 20 (1)求向量的坐标 ; (2)若 = 2,1 , 求( ? ) ?



题型七:向量的夹角与模问题 1、已知两个非零向量与的夹角为800 ,试求下列向量的夹角: (1)与?; (2)2与3;

。 2、若 ≠ 0 , ≠ 0,且 = = ? ,求与 + 的夹角。

3、已知, 是两个非零向量,且 = = + ,求与 ? 的夹角。
1 2 3 2

16、 设 = ⊥ .

3, ?1 , =

,

, 若存在不同时为零的实数 k 和 t, 使 = + ? 3 , = ? + ,且 4、已知向量 = , , = , , 且 ≠ ± , 那么 + 与 ? 的夹角是 5、已知 = 1, = 2,且 ⊥ ? ,则向量与向量的夹角是( A.30° B.45° C.90° D.135° ) 。

(1)试求函数关系式 k=f(t); (2)求使 f(t)>0 的 t 的取值范围。

6、若非零向量, 满足 = 3 = + 2 , 则与夹角的余弦值为

17、已知, 是非零向量,当 + ( ∈ )的模取最小值时,求证: ⊥ ( + )

7、已知向量, 的夹角为30°,且 = 3, = 1,求向量 = + 与 = ? 的夹角 θ的余弦值。 8、已知向量 = ?2, ?1 , = , 1 , 且与的夹角为钝角,则实数 t 的取值范围是 。

9、设向量1 , 2 满足 1 = 2, 2 = 1, 1 , 2 的夹角为60°,若向量2t1 + 72 与1 + 2 的夹角为钝角, 18、已知向量 = cos ? , sin ? , = (cos (1)求证: ⊥ ; (2)若存在不等于 0 的实数 k 和 t, 使 = + 2 + 3 , = ? + ,满足 ⊥ , 试求此时 最小值。
+ 2 2

? , sin? ( ? ))
2



则实数 t 的取值范围是





10、已知 = , , = , ,且 + = 3 ? (k>0) (1)用 k 表示数量积 ? ; (2)求 ? 的最小值,并求出此时与的夹角 θ的大小。

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11、已知 = 1, = 3, 且 ? = 2,求 + 的值。

题型八:向量与三角形的四心问题 1、O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足= + 0, +∞ ,则点 P 的轨迹一定通过三角形 ABC 的( A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 )
ΑΒ ΑΒ

+

Α

,λ ∈

12、 设向量, , 满足 + + = 0, ? ⊥ , ⊥ ,若 = 1,则 2 +

2

+ 2 的值是 )



13、若, , 均为单位向量,且 ? = 0, ? ? ? ≤ 0,则 + ? 的最大值为( A. 2 ? 1 B.1 C. 2 D.2

2、已知三角形 ABC 和点 M 满足 + + = 0。若存在实数 m 使得 + = m成立,则 m=( ) A、2 B、3 C、4 D、5 3、已知 O 是?ABC所在平面上一点,a, b, c 分别为?ABC的三边长,若a + + = 0,则 O 是?ABC的( ) A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 4 、过 ?ABC 的重心 G 任作一条直线分别交 AB , AC 于点 E , D ,若 = , = , 且xy ≠ 0 ,试求 + 的值。
1 1

14、已知向量 = ?3,2 , = 2,1 , ∈ , 求 + 的最小值及相应 t 的值。

15、设0 < ≤ 2, 函数 f x = 2 ? ? 的最大值为 0,最小值为-4,且 与的夹角为 45°,求 + . 5、O 是平面 ABC 内的一定点,P 是平面 ABC 内的一动点,若 ? ? + = ? ? + ,则点 O 为?ABC的( ) A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心


16、已知向量 = 1 ? 2 , = 41 + 32 , 其中1 = 1,0 , 2 = (0,1) (1)试计算 ? 及 + 的值; (2)求向量与夹角的余弦值。

6、三个不共线的向量 ? ( ) A、外心 B、内心

+

= ?

+

= ?

+

= 0,则点 O 为?ABC的

C、重心 D、垂心 )

7、点 O 为?ABC所在平面内的一点,满足 ? = ? = ? ,则点 O 为?ABC的( A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心

8、 已知 A,B,C 是不在同一条直线上的三个点, O 是平面 ABC 内的一定点, P 是平面 ABC 内的一动点, 若 ? = + 2 ,则点 P 的轨迹一定通过三角形 ABC 的( A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心
1



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9、 已知点 O 为?ABC所在平面内的一点, 且满足 + ⊥ ? , + ⊥ ? , 则点 O 为?ABC的( ) A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 10、已知点 O 为?ABC所在平面内的一点,且满足2 + 2 = 2 + 2 = 2 + 2 ,则点 O 为 ?ABC的( ) A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 题型九:向量在平面几何中的应用 1、 若 O 为?ABC 所在平面内一点, 且满足 ? ? + ? 2 = 0,试判断?ABC 的形状。

6、在?ABC中,点 M 是 BC 的中点,点在 AC 上,且 AN=2NC,AM 与 BN 相交于点 P,求 AP:PM 与 BP:PN。

2、在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD = 60°,E 为 CD 的中点,若 ? = 1,则 AB 的长 为 。

7、已知三点 A(-1,1),B(1,3),C(3,-1),求一点 D,使这四点分别为平行四边形的顶点。

3、已知正方形 ABCD 的边长为 1,记以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1 , 2 , 3 ;以 C 为起 点,其余顶点为终点的向量分别为1 , 2 , 3 .若i, j, k, l ∈ 1,2,3 , 且 i ≠ j, k ≠ l,则 + ? + 的 最小值是 。 题型十:构造平面向量解决代数问题 1、设 2 + 2 2 + 2 = + 2 ,其中mn ≠ 0,求证: = 4、在?PQR 中, = (2,3), = 1, k , 且?PQR的一个内角为直角,求 k 的值。


2、已知: 2 + 2 = 1, 2 + 2 = 1,求证: + ≤ 1

3、求函数y = 12 19 ? + 5 ? 10的最大值。 5、如图,在?ABC中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,则 ? ( + )的最小值是 A

O B 厚德致远 学贯中西 M C
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