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河北省衡水中学高中数学 1.3.2函数的奇偶性(1)学案 新人教A版必修1


河北省衡水中学高一数学必修一学案:1.3.2 函数的奇偶性(1)

1.偶 函数: ⑴一般地,如果对于函数 f ? x ? 的定义域内任意一个 x,都有 f ?? x ? ? f ?x ? ,那么函数 f ? x ? 就叫做 。 对称。

⑵偶函数的图像关于

⑶若 f ? x ? 、 g ? x ? 都是偶函数,那么在 f ? x ? 与 g ? x ? 的公共定义域上, f ? x ? + g ? x ? 为 函数, f ?x ? ? g ? x ? 为 函数.当

g ? x ? ≠ 0 时,
2.奇函数:

f ( x) g ( x)



函数。

⑴一般地, 如果对于函数 f ? x ? 的定义域内任一个 x, 都有 f ?? x ? ? ? f ?x ? , 那么函数 f ? x ? 就叫做 。 性。

⑵一个函数如果是偶函数或者是奇函数,我们称这个函数具有 ⑶奇函数的图像关于 对称。

⑷若 f ? x ? , g ? x ? 都是奇函数, 那么在 f ? x ? 与 g ? x ? 的公共定义域上, f ? x ? + g ? x ? 是____ 函数, f ?x ? ? g ? x ? 是____函数, f ? x ? ? g ? x ? 是____函数,当 g ? x ? ≠0 时, 数。 3.常函数 f ?x ? ? c?c为常数? 是 典形分析 题形一 例1 判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性,说明理由;并总结学过的常用函数的奇偶性。 函数

f ( x) 是____函 g ( x)

2 ⑴ f (x ) =x - x ? 1 , x ? ? ?1, 4?

⑵ f ?x ? ? ?x ? 1?

1? x , x ? ? ?1,1? 1? x

1

⑶ f ?x ? = x + x ? 1 ? 1
2

⑷ G?x ? ? f ?x ? ? f ?? x ?, x ? R

⑸ f ?x ? ? x 2 ? a ? a ? x 2,a ? 0

例2

判断函数

? x 2 ? 2 x ? 3 ( x ? 0) ? f ( x ) ? ?0 ( x ? 0) ? 2 ? ? x ? 2 x ? 3 ( x ? 0)
是否为奇函数,并证明。

跟踪练习 1.判断下列函数是否为偶 函数

?1 ? ⑴ f ( x ) ? ?0 ?? 1 ?

(0 ? x ? 1  ) (x ? 0) ( ? 1 ? x ? 0)

⑵ f ?x ? = 2 x ? 1 + 2 x ? 1 总结:判断奇偶函数的常用方法 题型二 奇偶性的简单应用 ★例 3 设函数 f ? x ? 对于任意 x, y ? R ,都有 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? 求证: f ? x ? 是奇 函数。

2

例 4 若函数 f ? x ? ? (m ? 1) x ? 2mx ? 3 是偶函数,求 m 的值.
2

例 5

已知 f ? x ? 是偶函数 , 它在区间 ? a , b ? 上是减数 ? 0 ? a ? b ? , 试证 : f ? x ? 在区间

? ?b, ?a ? 上是增函数(若 f ?x ? 为奇函数,满足上面条件,则 f ?x ? 在区间 ? ?b, ?a ? 上
是 ,并 证明) 。

随堂练习
2 1.已知函数 f ? x ? ? 1 ? x , x ? R 则 ( )

A. f ? ? x ? ? ? f ? x ? C. f ? ? x ? ? f ? x ? ? 0

B. f ? x ? 为偶函数 D. f ? x ? 不是偶函数

2.若 f ? x ? 是偶函数,则 kf ? x ? ( k 为常数) A.是偶函数 C.是常数函数 B.不是偶函数 D.无法确定是不是偶函数
5

3.函数 f ? x ? ? x ? x 为 ( ) A.偶函数
3

B.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇 函数又不是偶函数 4.函数 f ? x ? = ? A.偶函数 B .奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 5.已知 f ? x ? 为奇函数,则 f ? x ? ? x 为 A 奇函数 B. 偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

?1, x ? 0. 则 f ? x? 为 ( ) ?? 1, x ? 0

课堂小结:

4


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