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第一部分 第二章 解析几何初步 1 直线与直线的方程 1.4 两条直线的交点


1.(2012· 湖南三校高一联考)两条直线 x+y-a=0 与 x-y-2=0 相交于第一象限,则 实数 a 的取值范围是 ( ) B.a<-2 D.a<-2 或 a>2
? ?x+y-a=0, ? ? x-y-2=0,

A.-2<a<2 C.a>2

解析:由?

?x

= 2 , 得? a-2 ?y= 2 ,
a+2

因为交点在第一象限,

?a+2>0, 2 ∴? a-2 ? 2 >0,
答案:C

∴a>2.

2.直线:2x+y+m=0 和 x+2y+n=0 的位置关系是 A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定,与 m,n 取值有关 解析:∵直线 2x+y+m=0 的斜率 k1=-2, 1 直线 x+2y+n=0 的斜率 k2=- , 2 ∴两直线相交但不垂直. 答案:C

(

)

3. 经过两直线 l1: x-y-7=0, 2: l x+y-3=0 的交点, 且过点(0,1)的直线方程为( A.x-4y+4=0 C.3x-5y+5=0 B.x+5y-5=0 D.3x+5y-5=0

)

解析:设所求方程为(x-y-7)+λ(x+y-3)=0 (λ∈R),把(0,1)代入得-8+λ(-2)=0,λ=-4. 所求方程为:3x+5y-5=0. 答案:D

4. 已知点 P(-1,0), Q(1,0), 直线 y=-2x+b 与线段 PQ 相交, b 的取值范围是( 则 A.[-2,2] 1 1 C.[- , ] 2 2 B.[-1,1] D.[0,2]
?y=-2x+b, ? ? ?y=0,

)

解析: P, 所在直线的方程为 y=0, ? 点 Q 由 ≤1,得-2≤b≤2. 答案:A

b b 得交点( , 由-1≤ 0), 2 2

5.(2012· 汕头高一检测)已知两直线 a1 x+b1 y+1=0 和 a2 x+b2 y+1=0 的交点为(2,3), 则过两点 Q1(a1,b1),Q2 (a2 ,b2 )的直线方程是________________. 解析:由条件可知 2a1+3b1+1=0,2a2+3b2 +1=0, ∴(a1,b1 ),(a2,b2 )在直线 2x+3y+1=0 上. 故过 Q1,Q2 的直线方程为 2x+3y+1=0. 答案:2x+3y+1=0 6.若三条直线 2x+3y+8=0,x-y-1=0 和 x+ky=0 相交于一点,则 k 的值等于 ________. 解析: 由?
?2x+3y+8=0, ? ? x-y-1=0, ? ?x=-1, ? 得? ?y=-2, ?

∴三条直线的交点为(-1,-2), 1 ∴-1-2k=0,∴k=- . 2 答案:- 1 2

7.已知直线 l1:3x-y+12=0,l2:3x+2y-6=0,求 l1,l2 及 x 轴围成的三角形的面 积. 解:由?
?3x-y+12=0, ? ? ? 3x+2y-6=0,

得?

? ?x=-2, ? ?y=6,

即 l1 与 l2 交于点 P(-2,6),

由?

?3x-y+12=0, ? ? ? y=0, ?x=-4, ? ? ?y=0.

得?

l1 交 x 轴于 A(-4,0).

同理 l2 交 x 轴于 B(2,0),|AB|=6.

1 S△ ABP= ×6×6=18. 2 即 l1,l2 及 x 轴围成的三角形面积为 18. 8.已知△ABC 的顶点 A(5,1),AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x-y-5=0,AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x-2y-5=0.求 (1)顶点 C 的坐标; (2)直线 BC 的方程. 解:(1)因为 AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x-2y-5=0. 则直线 AC 的斜率 kAC=-2,又知顶点 A(5,1), 得直线 AC 的方程为 2x+y-11=0,又直线 CM 的方程为 2x-y-5=0, 解方程组?
?2x-y-5=0, ? ? ? 2x+y-11=0,

得点 C 的坐标为(4,3).

x0 +5 y0 +1 (2)法一:设 B(x0,y0),则 M( , ). 2 2 于是有 x0+5- y0 +1 -5=0, 2

即 2x0-y0-1=0. 与 x0-2y0-5=0 联立, 解得点 B 的坐标为(-1,-3). 由(1)知点 C 坐标(4,3). 于是直线 BC 的方程为 6x-5y-9=0. 法二:设直线 BC 的方程为 y-3=k(x-4),即 kx-y+3-4k=0. 解方程组?
?x-2y-5=0, ? ? ? kx-y-?4k-3?=0,



x=

8k-11 -k-3 ,y= . 2k-1 2k-1

因为点 M 是线段 AB 的中点, 9k-8 k-4 所以点 M 的坐标是( , ). 2k-1 2?2k-1? 把点 M 的坐标代入直线 CM 的方程, 得 18k-16 k-4 - -5=0. 2k-1 2?2k-1?

6 解得 k= . 5

所以直线 BC 的方程为 6x-5y-9=0. 法三:设 M(x,y),则 B(2x-5,2y-1). 因为点 B 在直线 BH 上,所以有 2x-5-2(2y-1)-5=0,即 x-2y-4=0. 解方程组?
? ?x-2y-4=0, ? ? 2x-y-5=0,



点 M 的坐标为(2,-1),点 B 的坐标为(-1,-3). 又点 C(4,3),所以直线 BC 的方程为 6x-5y-9=0.


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