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福建省福州八中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年福建省福州八中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)集合 M={x|lgx>0},N={x|x﹣2≤0},则 M∩N=() A.(1,2) B. D. 2. (5 分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为() A.y=x+1 B.y=﹣x
2

C



D.y=x|x|

3. (5 分)函数 f(x)= A.(﹣3,0] 3)∪(﹣3,1) B.(﹣3,1]

的定义域为() C.(﹣∞,﹣3)∪(﹣3,0) D. (﹣∞, ﹣

4. (5 分)设 f(x)=

,g(x)=

,则 f(g(π) )的值为()

A.1 5. (5 分)函数 A.关于原点对称 C. 关于 y 轴对称

B. 0 的图象()

C . ﹣1

D.π

B. 关于主线 y=﹣x 对称 D.关于直线 y=x 对称 () C.b>a>c D.c>b>a

6. (5 分)设 a=log0.34,b=log0.30.2, A.a>b>c B.b>c>a

7. (5 分)若函数 f(x)= A.(﹣2,2)

的定义域为实数集 R,则实数 a 的取值范围为() C. (﹣∞,﹣2]∪

B.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)
x 3

8. (5 分)函数 f(x)=( ) ﹣x ﹣2 的零点个数是() A.0 B. 1
2

C. 2

D.3

9. (5 分)函数 f(x)=x +mx﹣m 在区间(3,+∞)上是增函数,则实数 m 的取值范围是() A.m≥﹣6 B.m>﹣6 C.m≤﹣6 D.m≥﹣3

10. (5 分) 对任意两实数 a、 b, 定义运算“*”如下: a*b= *log2x 的值域为() A. (﹣∞,0) B. (0,+∞) C. (﹣∞,0] 图象如图所示,则使函数值 y<0 的 x 的取值集合为.

, 则函数 f ( x) = (

x)

D. ,当 x∈时,函数 y=f(x)的

三、解答题(共 34 分.解答题应写出推理、演算步骤) 15. (10 分)已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对任意 x,y,f(x)都满足 f (xy)=yf(x)+xf(y) . (1)求 f(1) ,f(﹣1)的值; (2)判断函数 f(x)的奇偶性. 16. (10 分)已知集合 M={x|x ﹣3x≤10},N={x|a+1≤x≤2a+1}. (Ⅰ)若 a=3,求 M∩(?RN) ; (Ⅱ)若 M∪N=M,求实数 a 的取值范围.
2

17. (14 分)已知函数 f(x)= ∞,0]∪=1,则 a=() A. B.

,x∈∪(

,+∞)

B. (

,+∞) C. (﹣

C. 1

D.2

21. (5 分)若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象如图所示,则下列函数正确的是()

A.

B.

C.

D.

二、填空题: (本大题共 2 个小题,每小题 4 分,满分 8 分) 2 22. (4 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,f(x)=x ﹣4x,则不等式 f(x) >x 的解集用区间表示为. 23. (4 分)设函数 f(x)的定义域为 D,如果?x∈D,存在唯一的 y∈D,使
3

=C

(C 为常数)成立.则称函数 f(x)在 D 上的“均值”为 C.已知四个函数:①y=x (x∈R) ; ②y= (x∈R) ;③y=lnx(x∈(0,+∞) ) ;④y= 上述四个函数中,满足所在定义

域上“均值”为 1 的函数是. (填入所有满足条件函数的序号)

三、解答题 24. (10 分)已知函数 f(x)=x ﹣ax+ ,x∈,求 f(x)的最小值 g(a)的表达式,并求出 g (a)的最大值. 25. (12 分)定义在 D 上的函数 f(x) ,如果满足:对任意 x∈D,存在常数 M>0,都有|f(x) |≤M 成立,则称 f(x)是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f(x)的上界. 已知函数 f(x)=1+a? + ,
2

(1)当 a=﹣ 时,求函数 f(x)在(﹣∞,0)上的值域,并判断函数 f(x)在(﹣∞,0) 上是否为有界函数,请说明理由; (2)若函数 f(x)在 D. 考点: 对数函数的单调性与特殊点;交集及其运算. 专题: 计算题;函数的性质及应用;集合. 分析: 运用对数函数的单调性,化简集合 M,运用一次不等式的解法,化简集合 N,再由 交集的定义,即可得到. 解答: 解:M={x|lgx>0}={x|lgx>lg1}={x|x>1}, N={x|x﹣2≤0}={x|x≤2},

则 M∩N={x|1<x≤2}. 故选 C. 点评: 本题考查集合的运算,考查对数不等式的解法,属于基础题. 2. (5 分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为() A.y =x+1 B.y=﹣x
2

C.

D.y=x|x|

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 探究型. 分析: 对于 A,非奇非偶;对于 B,是偶函数;对于 C,是奇函数,但不是增函数; 对于 D,令 f(x)=x|x|= ,可判断函数既是奇函数又是增函数,故可得结论.

解答: 解:对于 A,非奇非偶,是 R 上的增函数,不符合题意; 对于 B,是偶函数,不符合题意; 对于 C,是奇函数,但不是增函数; 对于 D,令 f(x)=x|x |,∴f(﹣x)=﹣x|﹣x|=﹣f(x) ;∵f(x)=x|x|= 函数是增函数 故选 D. 点评: 本题考查函数的性质,考查函数的奇偶性与单调性的判断,属于基础题. 3. (5 分)函数 f(x)= A.(﹣3,0] 3)∪(﹣3,1) B.(﹣3,1] 的定义域为() C.(﹣∞,﹣3)∪(﹣3,0) D. (﹣∞, ﹣ ,∴

考点: 其他不等式的解法;函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. x 分析: 由函数解析式可得 1﹣2 ≥0 且 x+3>0,由此求得函数的定义域. 解答: 解:由函数 f(x)= 故函数 f(x)= 可得 1﹣2 ≥0 且 x+3>0,解得﹣3<x≤0, 的定义域为 {x|﹣3<x≤0},
x

故选 A. 点评: 本题主要考查求函数的定义域得方法,属于基础题.

4. (5 分)设 f(x)=

,g(x)=

,则 f(g(π) )的值为()

A.1

B. 0

C . ﹣1

D.π

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 根据 π 是无理数可求出 g(π)的值,然后根据分段函数 f(x)的解析式可求出 f(g (π) )的值. 解答: 解:∵π 是无理数 ∴g(π)=0 则 f(g(π) )=f(0)=0 故选 B. 点评: 本题主要考查了分段函数的求值,解题的关键判定 π 是否为有理数,属于基础题. 5. (5 分)函数 A.关于原点对称 C. 关于 y 轴对称 的图象() B. 关于主线 y=﹣x 对称 D.关于直线 y=x 对称

考点: 奇偶函数图象的对称性. 分析: 分析函数的奇偶性,即可得出答案. 解答: 解:函数 f(x)= ,f(﹣x)= =
﹣1

=﹣

=

﹣f(x) 函数为奇函数,图象关于原点对称. 故选 A. 点评: 本题考查奇偶函数图象的特点,是一道典型的题目.

6. (5 分)设 a=log0.34,b=log0.30.2, A.a>b>c B.b>c>a

() C.b>a>c D.c>b>a

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数和对数的性质即可判断 解答: 解:由指数和对数函数的性质得:
x

<1,b=log0.30.2>1,

而 y=log0.3 为底数是 0.3<1 的对数函数且是减函数, 0.2 4 由 4>0.2 得到,log0.3 >log0.3 , 所以 b>c>a, 故选:B 点评: 考查学生灵活运用指数和对数函数的性质及利用对数函数的增减性比较大小,学生 做题时应利用函数思想进行比较大小.

7. (5 分)若函数 f(x)= A.(﹣2,2)

的定义域为实数集 R,则实数 a 的取值范围为() C. (﹣∞,﹣2]∪

B.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 根据函数的定义域为 R,将条件转化为 x +ax+1 ≥0 恒成立,利用判别式之间的关系 即可得到结论. 解答: 解:函数 f(x)=
2

的定义域为实数集 R,

则 x +ax+1≥0 恒成立, 2 即△ =a ﹣4≤0,解得﹣2≤a≤2, 即实数 a 的取值范围是, 故选:D. 点评: 本题主要考查函数定义域的应用,将条件转化为不等式恒成立是解决本题的关键.
x 3

8. (5 分)函数 f(x)=( ) ﹣x ﹣2 的零点个数是() A.0 B. 1 C. 2 D.3

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 判断函数单调递减,f(0)=1﹣0﹣2=﹣1<0,f(﹣1)=2+1﹣2=1>0,根据存在性 定理可判断. 解答: 解:∵函数 f(x)=( ) ﹣x ﹣2, ∴函数 f(x)=( ) ﹣x ﹣2 在 R 上单调递减, ∵f(0)=1﹣0﹣2=﹣1<0, f(﹣1)=2+1﹣2=1>0, ∴函数 f(x)=( ) ﹣x ﹣2 的零点个数 1 个. 故选:B. 点评: 本题考查了函数的单调性在判断零点中的应用.属于中档题. 9. (5 分)函数 f(x)=x +mx﹣m 在区间(3,+∞)上是增函数,则实数 m 的取值范围是() A.m≥﹣6 B.m>﹣6 C.m≤﹣6 D.m≥﹣3 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得﹣ ≤3,由此解得 m 的取值范围. 解答: 解:∵函数 f(x)=x +mx﹣m 在区间(3,+∞)上是增函数,则有﹣ ≤3,解得 m≥ ﹣6, 故选 A. 点评: 本题主要考查求二次函数的单调性,属于基础题.
2 2 x 3 x 3 x 3

10. (5 分) 对任意两实数 a、 b, 定义运算“*”如下: a*b= *log2x 的值域为() A. (﹣∞,0) B. (0,+∞) 故选:C

, 则函数 f ( x) = (

x)

C. (﹣∞,0]

D. ,

点评: 本题主要考查函数值域的求解,根据定义求出函数的表达式,利用数形结合是解决 本题的关键. 二、填空题: (本大题共 4 个小题,每小题 4 分,满分 16 分) 11. (4 分)若幂函数 f(x)的图象过点(2, ) ,则 f(x)= .

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设出幂函数的表达式,然后求解即可. 解答: 解:设幂函数为 f(x)=x ,∵幂函数 f(x)的图象过点(2, ∴ ∴f(x)= 故答案为: ,解得 a= . . ,
a

) ,

点评: 本题考查幂函数的解析式的求法,基本知识的考查.

12. (4 分)化简 lg0.01+ln



=



考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数的运算法则及其恒等式即可得出.

解答: 解:原式=lg10 + = =﹣ . 故答案为:﹣ .

﹣2

﹣3

点评: 本题考查了对数的运算法则及其恒等式,属于基础题. 13. (4 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≤0 时,f(x)=x +4x+3,则 f(x) 的解析式为 f(x)= . .
2

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先设 x>0,则﹣x<0,然后,根据 x≤0 时,f(x)=x +4x+3 的解析式可求出 x>0 的解析式. 2 解答: 解:设 x>0,则﹣x<0.又因为当 x≤0 时,f(x)=x +4x+3, 2 2 所以 f(﹣x)=(﹣x) +4(﹣x)+3=x ﹣4x+3,又因为 f(﹣x)=f(x) . 2 所以 x>0 时,f(x)=x ﹣4x+3. 所以 f(x)= .
2

故答案为 f(x)=



点评: 本题利用函数的奇偶性求函数在对称区间上的解析式.利用转化与化归的思想方法. 14. (4 分)设奇函数 f(x)的定义域为,当 x∈时,函数 y=f(x)的图象如图所示,则使函数 值 y<0 的 x 的取值集合为(﹣2,0)∪(2,5) .

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 函数 f(x)在上的图象,可根据函数是奇函数,图象关于坐标原点对称画出,最后 结合图象看出满足函数值 y<0 的 x 的取值范围,求出取值集合即可. 解答: 解:由原函数是奇函数,所以 y=f(x)在上的图象关于坐标原点对称, 由 y=f(x)在上的图象,

得它在上的图象,如图所示. 由图象知,使函数值 y<0 的 x 的取值集合为(﹣2,0)∪(2,5) . 故答案为(﹣2,0)∪(2,5)

点评: 本题主要考查了函数奇偶性的应用,以及函数图象的画法,属于基础题. 三、解答题(共 34 分.解答题应写出推理、演算步骤) 15. (10 分)已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对任意 x,y,f(x)都满足 f (xy)=yf(x)+xf(y) . (1)求 f(1) ,f(﹣1)的值; (2)判断函数 f(x)的奇偶性. 考点: 函数奇偶性的判断;函数的值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由条件,可令 x=y=1,得 f(1) ,令 x=y=﹣1,得 f(﹣1) ; (2)令 y=﹣1,有 f(﹣x)=﹣f(x)+xf(﹣1) ,代入 f(﹣1)=0,再由奇偶性的定义,即 可判断. 解答: 解(1)因为对定义域内任意 x,y,f(x)满足 f(xy)=yf(x)+xf(y) , 所以令 x=y=1,得 f(1)=0, 令 x=y=﹣1,得 f(﹣1)=0; (2)令 y=﹣1,有 f(﹣x)=﹣f(x)+xf(﹣1) , 代入 f(﹣1)=0 得 f(﹣x)=﹣f(x) , 所以 f(x)是(﹣∞,+∞)上的奇函数. 点评: 本题考查抽象函数的函数值的求法:赋值法,考查函数的奇偶性的判断,注意运用 定义和赋值,属于中档题. 16. (10 分)已 知集合 M={x|x ﹣3x≤10},N={x|a+1≤x≤2a+1}. (Ⅰ)若 a=3,求 M∩(?RN) ; (Ⅱ)若 M∪N=M,求实数 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: (1)因为 a=3,所以 N={x|4≤x≤7},CRN={x|x<4 或 x>7}.再由 M={x|﹣2≤x≤5}, 能求出 M∩(CRN) . (2)若 M≠?,由 M∪N=M,得 N?M,所以 ,由此能求出实数 a 的取值范围.
2

解答: ( 本小题满分 9 分) 解: (1)∵a=3,∴N={x|4≤x≤7},CRN={x|x<4 或 x>7}.

又∵M={x|﹣2≤x≤5}, ∴M∩(CRN)={x|x<4 或 x>7}∩{x|﹣2≤x≤5}={x|﹣2≤x<4}. (4 分) (2)若 M≠?,由 M∪N=M,得 N?M,

所以

解得 0≤a≤2; (7 分) 当 M=?,即 2a+1<a+1 时,a<0,此时有 N?M, 所以 a<0 为所求. 综上,实数 a 的取值范围是(﹣∞,2]. (9 分) 点评: 本题考查集合的交、并、补集的混合运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解 答.

17. (14 分)已知函数 f(x)=

,x∈

当 x=1 时,f(x)取得最小值 f(1)=1﹣ +2=2, 即函数 f(x)的最小值为 2. 点评: 本题考查的知识点是函数单调性的性质,函数的最值及其几何意义,函数的单调性 的证明,是函数单调性与最值的综合应用,难度中档. 一、选择题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,满分 20 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的. ) 18. (5 分)若集合 A={x| x≥ },则?RA=()

A. (﹣∞,0]∪(

,+∞) B. (

,+∞) C. (﹣∞,0]∪∪(

,+∞) .

故选 A. 点评: 本题主要考查补集及其运算,这里要注意对数中真数的范围,否则容易出错. 19. (5 分)已知偶函数 f(x)满足 f(﹣1)=0,且在区间 ∴转化为﹣1<log2x<1 或 log2x>﹣1, ∴ <x<2, 故选:C. 点评: 本题考查函数奇偶性与单调性的综合,是函数性质综合考查题,熟练掌握奇偶性与 单调性的对应关系是解答的关键,本题考查到了转化的思想.

20. (5 分)已知函数 f(x)=

(a∈R) ,若 f=1,则 a=()

A.

B.

C. 1

D.2

考点: 专题: 分析: 解答: ∴f=f(2 ∴

分段函数的应用. 函数的性质及应用. 根据条件代入计算即可. 解:∵f=1,
﹣(﹣1)

)=f(2)=a?2 =4a=1

2



故选:A. 点评: 本题主要考查了求函数值的问题,关键是分清需要代入到那一个解析式中,属于基 础题. 21. (5 分)若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象如图所示,则下列函数正确的是()

A.

B.

C.

D. 考点: 函数的图象. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 根据对数函数的图象所过的特殊点求出 a 的值, 再研究四个选项中函数与图象是否对 应即可得出正确选项. 解答: 解:由对数函数的图象知,此函数图象过点(3,1) ,故有 y=loga 3=1,解得 a=3, ﹣x 对于 A,由于 y=a 是一个减函数故图象与函数不对应,A 错; a 对于 B,由于幂函数 y=x 是一个增函数,且是一个奇函数,图象过原点,且关于原点对称, 图象与函数的性质对应,故 B 正确; a 对于 C,由于 a=3,所以 y=(﹣x) 是一个减函数,图象与函数的性质不对应,C 错; 对于 D,由于 y=loga(﹣x)与 y=logax 的图象关于 y 轴对称,所给的图象不满足这一特征, 故 D 错. 故选 B.

点评: 本题考查函数的性质与函数图象的对应,熟练掌握各类函数的性质是快速准确解答 此类题的关键. 二、填空题: (本大题共 2 个小题,每小题 4 分,满分 8 分) 2 22. (4 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,f(x)=x ﹣4x,则不等式 f(x) >x 的解集用区间表示为(﹣5,0)∪(5,﹢∞) . 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用;集合. 分析: 作出 x 大于 0 时,f(x)的图象,根据 f(x)为定义在 R 上的奇函数,利用奇函数 的图象关于原点对称作出 x 小于 0 的图象,所求不等式即为函数 y=f(x)图象在 y=x 上方, 利用图形即可求出解集. 解答: 解:作出 f(x)=x ﹣4x(x>0)的图象,如图所示, ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴利用奇函数图象关于原点对称作出 x<0 的图象, 不等式 f(x)>x 表示函数 y=f(x)图象在 y=x 上方, ∵f(x)图象与 y=x 图象交于 P(5,5) ,Q(﹣5,﹣5) , 则由图象可得不等式 f(x)>x 的解集为(﹣5,0)∪(5,+∞) . 故答案为: (﹣5,0)∪(5,+∞)
2

点评: 此题考查了一元二次不等式的解法,利用了数形结合的思想,灵活运用数形结合思 想是解本题的关键.

23. (4 分)设函数 f(x)的定义域为 D,如果?x∈D,存在唯一的 y∈D,使
3

=C

(C 为常数)成立.则称函数 f(x)在 D 上的“均值”为 C.已知四个函数:①y=x (x∈R) ; ②y= (x∈R) ;③y=lnx(x∈(0,+∞) ) ;④y= 上述四个函数中,满足所在定义

域上“均值”为 1 的函数是①③. (填入所有满足条件函数的序号) 考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据题意,求各个函数的单调性与值域,从而确定函数是否满足条件. 3 解答: 解:∵y=x 在 R 上是增函数, 且其值域为 R,

∴对?x∈R ,若

=1,

则 f(y)=2﹣f(x)有且只有一个 y∈R 成立;故①正确; ∵y= 的值域为(0,+∞) ,

∴若 x<﹣1,则 f(y)=2﹣f(x)<0,故没有 y∈R 使之成立; 故②不正确; ∵y=lnx 在(0,+∞)上单调递增,且值域为 R, ∴对?x∈R,f(y)=2﹣f(x)有且只有一个 y∈R 成立;故③正确; ∵y= 的值域为,求 f(x)的最小值 g(a)的表达式,并求出 g(a)的最大值. 考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 f(x)= + ﹣ ,x∈,利用二次函数的性质、分类讨论求得 f

(x)的最小值 g(a) ,再画出函数 g(a)的图象,数形结合求得 g(a)的最大值. 解答: 解:∵函数 f(x)=x ﹣ax+ = ∴当 ∈时,f(x)的最小值 g(a)=f( )= ﹣
2

+ ﹣ ;

,x∈,

当 <0 时,函数 f(x)在上增函数,f(x)的最小值 g(a)=f(0)= ; 当 >1 时,函数 f(x)在上减函数,f(x)的最小值 g(a)=f(1)=1﹣ .

综上可得,g(a)=

,画出函数 g(a)的图象,如图所示:

显然,函数 g(a)在 x=1 处取得最大值为 g(1)= .

点评: 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质的应用,体现了数形 结合、分类讨论的数学思想,属基础题. 25. (12 分)定义在 D 上的函数 f(x) ,如果满足:对任意 x∈D,存在常数 M>0,都有|f(x) |≤M 成立,则称 f(x)是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f(x)的上界. 已知函数 f(x)=1+a? + ,

(1)当 a=﹣ 时,求函数 f(x)在(﹣∞,0)上的值域,并判断函数 f(x)在(﹣∞,0) 上是否为有界函数,请说明理由; (2)若函数 f(x)在恒成立,设 到函数的最值,从而求出 a 的值. 解答: 解: (1)当 ∵x<0,∴t>1, ∵ ∴ 时, ; ,令 , , ,求出单调区间,得

在(1,+∞)上单调递增, ,即 f(x)在(﹣∞,1)的值域为 ,

故不存在常数 M>0,使|f(x)|≤M 成立, ∴函数 f(x)在(﹣∞,0)上不是有界函数; (2)由题意知,|f(x)|≤4 对 x∈ ∴ ∴ 设 , 对 t∈(0,1]恒成立, , ,由 t∈(0,1],

由于 h(t)在 t∈(0,1]上递增,P(t)在 t∈(0,1]上递减, H(t)在 t∈(0,1]上的最大值为 h(1)=﹣6, P(t)在. 点评: 本题考查了函数的值域问题,考查了新定义问题,考查了函数的单调性,函数的最 值问题,是一道综合题.


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