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巧用空间向量解立体几何题


巧用空间向量解立体几何中题 巧用空间向量解立体几何中 空间向量
[摘 要 ]: 近 几 年 高 考 , 空 间 向 量 在 立 体 几 何 中 的 应 用 占 重 要 的 地 位 。 空 间 向 量 是 数 学 中 的 重 要 知 识 之 一 ,由 于 它 具 有 几 何 形 式 和 代 数 形 式 的 “ 双 重 身 份 ” ,使 它成为中学数学知识的一个交汇点。对于立体几何体中有关夹角、距离、垂直、 平行的问题,可将其转化为空间向量间的夹角、模、垂直、平行的问题,利用空 间 向 量 的 方 法 解 决 。利 用 空 间 向 量 ,使 复 杂 的 逻 辑 推 理 证 明 变 成 简 单 的 程 序 化 算 法,使问题简单化。 [ 关 键 词 ]: 空 间 向 量 ; 立 体 几 何 ; 应 用 ; 在立体几何中有比较难以解决的两大问题:角和距离的求解问题。空间中的各种角包括: 异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角,以往学习空间角的问题,难点在于数形 转换,“作、证、算”的规范步骤,这是对点、直线、平面所组成的空间图形的位置关系要具 有定性分析和定量的计算的能力。空间的距离包括:点到点的距离、点到直线的距离、点到平 面的距离、异面直线的距离、直线到平行平面的距离、两个平行平面的距离。用常规的解法中 难点在于数形转换,而且很容易造成视觉的误差,这对学生的空间想象能力有较高的要求。如 果我们应用 空 间 向 量 , 就 可 将 使 得 原 本 很 繁 琐 的 推 理 , 变 得 思 路 清 晰 且 规 范 , 从 而提高学生的空间想象能力和学习效率。本文就空间向量在角度与距离的计算, 垂直、平行的证明等方面的应用进行探讨。 空间向量在立体几何中 立体几何中角度问题的应用 一、 空间向量在立体几何中角度问题的应用 异面直线的夹角: 1、 异面直线的夹角:

(广东卷 例 1. 广东卷)如图所示, AF 、 DE 分别是圆 O、圆 O 1 的直径, AD 与两圆所在的平面均垂直, (广东卷)

AD = 8 . BC 是圆 O 的直径, AB = AC = 6 , OE // AD .
(II)求直线 BD 与 EF 所成的角. 解:以 O 为原点,BC、AF、OE 所在直线为坐标轴,建立空间直角

坐标系(如图所示) ,则 O(0,0,0) ,A(0, ? 3 2 ,0) ,B( 3 2 ,0,0),D(0, ? 3 2 , 8) ,E(0,0,8) ,F(0, 3 2 ,0) 所以, BD = (?3 2 ,?3 2 ,8), FE = (0,?3 2 ,8)

cos < BD, EF >=

BD ? FE | BD || FE |

=

0 + 18 + 64 100 × 82

=

82 10
82 10

设异面直线 BD 与 EF 所成角为 α ,则 cos α =| cos < BD, EF >|= 所以,直线 BD 与 EF 所成的角为 arccos

82 。 10

点评: 点评:对于那些求异面直线夹角运用传统方法求解难度较大的题目,用空间向量的方法进 行处理,就能降低难度,整个操作过程,非常简捷。用空间向量的方法,更易于学生掌握。 直线与平面的夹角: 2、 直线与平面的夹角: (全国Ⅰ?理?19 题)四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC⊥底面 ABCD。 例 2. 已知∠ABC=45°, AB=2,BC=2 2 ,SA=SB= 3 。 (Ⅱ)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小; C 解:如图,以 O 为坐标原点, S

z

G O
A

E

B

y

OA 为 x 轴正向,建立直角坐标系 O ? xyz ,

D

x

uur A( 2, 0) , B (0,2, , C (0, 2, , S (0,1) , SA = ( 2, ? 1) , 0, 0) ? 0) 0, 0,

uur uuu r uuu r CB = (0, 2, , SA? = 0 ,所以 SA ⊥ BC . 2 0) CB
? 2 2 ? 0? ? 2 ,2 ,? , ? ? ? 2 2 1? ? 4 ,4 , ? . ? 2? ?

取 AB 中点 E , E ?

连结 SE ,取 SE 中点 G ,连结 OG , G ?

? 2 2 1? ? 2 2 ? 0) OG = ? , , ? , SE = ? 1? ? 4 4 2? ? 2 ,2 , , AB = (? 2, 2, . ? ? ? ? ?

SE ? = 0 , AB? = 0 , OG 与平面 SAB 内两条相交直线 SE , AB 垂直. OG OG
所以 OG ⊥ 平面 SAB ,OG 与 DS 的夹角记为 α , SD 与平面 SAB 所成的角记为 β ,则 α 与 β 互余.

D ( 2, 2, , DS = (? 2, 2, . 2 0) 2 1)

cos α =

OG ?DS OG ?DS

=

22 22 , sin β = , 11 11
22 。 11

所以,直线 SD 与平面 SAB 所成的角为 arcsin

点评: 点评:本题应用 空 间 向 量 的 方 法 , 使 复 杂 的 逻 辑 推 理 变 成 简 单 的 程 序 化 算 法 , 使问题简单化。使原 本很繁琐的推理 ,变 得思路清晰且规范 ,从而提高学生的空 间想象能力和学习效率。 二面角: 3、 二面角: ( 如图, 在三棱锥 S ? ABC 中, 侧面 SAB 例 3. 宁夏?理?19 题) 与侧面 SAC 均为等边三角形, BAC = 90° O 为 BC 中点. ∠ , (Ⅱ)求二面角 A ? SC ? B 的余弦值.

z

S M O C A
y

x B

证明:以 O 为坐标原点,射线 OB,OA 分别为 x 轴、 y 轴正半轴,建立如图的空间直角坐标系

O ? xyz

. 设

B (1 0, , 0)

, 则

C (?1 0,,A(0,0) S (0,1) . SC , 0) 1 ,, 0,

的 中 点

r r 1 ? uuur ? 1 1 ? uuu ? 1 1 ? uuuu ? 1 M ? ? , ? MO = ? , ? ?, = ? , ? ?, = (?1 0, 1) . 0, 0, MA 1 , SC ,? 2? 2? ? 2 2? ?2 ?2 uuuu uuu r r uuur uuu r ∴ MO SC = 0, · = 0 . · MA SC
故 MO ⊥ SC,MA ⊥ SC,< MO, MA > 等于二面角 A ? SC ? B 的平面角.

uuuu uuur r

uuuu uuur r uuuu uuur r · MO MA 3 cos < MO, >= uuuu uuur = , MA r 3 MO·MA

所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为

3 . 3

点评: 点评:用空间向量处理二面角这类问题,可以使求解过程得到简化,体现了空间向量在处 理立体几何问题,特别是角度问题的高效性,同时也扩展了他们的视野,让同学们接触到一种 更高的数学思维方式,用这种方式去处理问题,使复杂的问题,简单化,统一化。 空间向量在立体几何中距离问题 立体几何中距离问题的应用 二、 空间向量在立体几何中距离问题的应用 点与平面之间的距离: 1、 点与平面之间的距离: A (福建?理?18 题)如图, 例 4. F 正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2, C D 为 CC1 中点。求点 C 到平面 A1BD 的距离; B 解:取 B1C1 中点 O1 ,以 O 为原点, O D z

A1

C1
y

B1

uuu uuuu uuu r r r OB , OO1 , OA 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则
B (1, 0) , D (?11, , A1 (0, 3) , A(0, 3) , B1 (1, 0) , 0, ,0) 2, 0, 2,

x

uuur uuur uuu r ∴ AB1 = (1, ? 3) , BD = (?2,0) , BA1 = (?1, 3) . 2, 1, 2, uuur uuu r uuur uuur Q AB1 ?BD = ?2 + 2 + 0 = 0 , AB1 ?BA1 = ?1 + 4 ? 3 = 0 , uuur uuu uuur uuur r ∴ AB1 ⊥ BD , AB1 ⊥ BA1 .
∴ AB1 ⊥ 平面 A1 BD .

uuur ∴ AB1 为平面 A1 BD 的法向量. uuu r uuur Q BC = (?2, 0) AB1 = (1, ? 3) . 0,, 2,
uuu uuur r BC ?AB1 ?2 2 ∴ 点 C 到平面 A1 BD 的距离 d = uuur = . = 2 2 2 AB1
点评: 点评:用空间向量处理点与平面之间的距离这类问题,使复杂的几何问题,简单化,统一 化,更易于学生掌握。

空间向量在立体几何中垂直问题 立体几何中垂直问题的应用 三、 空间向量在立体几何中垂直问题的应用 直线与直线的垂直: 1、 直线与直线的垂直: (浙江?理?19 题)在如图所示的几何体中, EA ⊥ 平面 ABC, DB ⊥ 平面 ABC, AC ⊥ BC , 例 5.

AC = BC = BD = 2 AE ,M 是 AB 的中点。
(Ⅰ)求证: CM ⊥ EM ; 证明:如图,以点 C 为坐标原点,以 CA , CB 分别为 x 轴和 y 轴,过点 C 作与平面 ABC 垂直 的直线为 z 轴,建立直角坐标系 C ? xyz , 设 EA = a ,则 A(2a, 0) , B (0,a, , E (2a, a ) . 0, 2 0) 0,

z D E

D (0,a,a ) , M (a,a, . 2 2 0)

? 0) 因为 EM = ( ?a,a, a ) , CM = ( a,a, ,

uuuu r

uuuu r

x
A M y B

C

uuuu uuuu r r 所以 EM ? CM = 0 ,

故 EM ⊥ CM .

点评: 点评:对于那些证明直线与直线的垂直的题目,用空间向量的方法进行处理,就能降低难度。整 个操作过程,非常简捷,更易于学生掌握。 2、直线与平面的垂直: 直线与平面的垂直: (福建?理?18 题)如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 中点,求证:AB1 例 6. ⊥面 A1BD。

uuu r

uuuu r

uuu r
A

解:取 B1C1 中点 O1 ,以 O 为原点, OB , OO1 , OA 的方向 为 x,y,z 轴的建立空间直角坐标系,则 B (1, 0) , 0,

A1

D(?11, , A1 (0, 3) , A(0, 3) , B1 (1, 0) , ,0) 2, 0, 2,
C

F

uuur uuur uuu r ∴ AB1 = (1, ? 3) , BD = (?2,0) , BA1 = (?1, 3) . 2, 1, 2, uuur uuu r uuur uuur Q AB1 ?BD = ?2 + 2 + 0 = 0 , AB1 ?BA1 = ?1 + 4 ? 3 = 0 , uuur uuu uuur uuur r ∴ AB1 ⊥ BD , AB1 ⊥ BA1 .
B

C1
D

O

B1

∴ AB1 ⊥ 平面 A1 BD .
点评: 点评:在证题过程中,可以发现:用空间向量处理这类问题最大特色:可以将严格几何演 绎推理转化为简单代数推理方式,大大缩短了教与学所花费的时间,同时也让同学通过更高的 数学思维方式,抓住了事物的主要特征和内在规律,为他们继续学习打下良好的基础。可以避 免构图和推理的复杂过程,减少了解题琐碎的技巧,降低了题目的难度。

3、平面与平面的垂直: 平面与平面的垂直: (湖北?理?18 题)如图,在三棱锥 V-ABC 中,VC⊥底面 例 7. z V

ABC , AC⊥BC , D 是 AB 的 中 点 , 且 AC=BC=a ,
∠VDC=θ ? 0 < θ <

? ?

π?

? 。求证:平面 VAB⊥平面 VCD ; 2?

C D A x

解:以 CA CB,CV 所在的直线分别为 x 轴、 ,

B

y

y 轴、 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则

? ? 2 ?a a ? C (0, 0) A(a, 0) B (0,a,,D ? , ,?,V ? 0, 0,, 0,, 0) 0 0, a tan θ ? ? ? 2 ?2 2 ? ? ?
于是, VD = ? , , ?

uuu r

?a a ?2 2 ?

r r ? uuu ? a a ? uuu 2 0) a tan θ ? , CD = ? , ,? , AB = (? a,a, . 0 ? 2 ?2 2 ? ?

从而 AB CD = ( ?a,a,· , ,? = ? · 0) ? 0

uuu uuu r r

?a a ?2 2

? ?

1 2 1 2 a + a + 0 = 0 ,即 AB ⊥ CD . 2 2

同理 AB VD = ( ? a,a,· , , · 0) ? ?

uuu uuu r r

?a a ?2 2 ?

? 2 1 1 a tan θ ? = ? a 2 + a 2 + 0 = 0 , ? 2 2 2 ?

即 AB ⊥ VD .又 CD I VD = D ,∴ AB ⊥ 平面 VCD . 又 AB ? 平面 VAB .

∴平面 VAB ⊥ 平面 VCD .

点评: 点评:用空间向量处理平面与平面的垂直这类问题,可以将严格几何演绎推理转化为简单 代数推理方式,同时也让同学通过更高的数学思维方式,抓住了事物的主要特征和内在规律。 可以减少了解题琐碎的技巧,降低了题目的难度。 空间向量在立体几何中平行问题 立体几何中平行问题的应用 四、 空间向量在立体几何中平行问题的应用 直线与平面的平行: 1、 直线与平面的平行: (江西?理?20 题)右图是一个直三棱柱(以 A1B1C1 为底面)被一平面所截得到的几何体, 例 8. 截面为 ABC.已知 A1B1=B1C1=l,∠AlBlC1=90°,AAl=4,BBl=2,CCl=3。设点 O 是 AB 的中点, 证明:OC∥平面 A1B1C1; 证明:如图,以 B1 为原点建立空间直角坐标系, 则 A(0,4) , B (0, 2) , C (1 0, ,因为 O 是 AB 的中点, 1, 0, , 3) 所以 O ? 0, ,? , OC = ? 1, ,? . 3 ? 0

A O
yA z

C B

1 ? ? 1 ? uuur ? 2 ? ? 2 ? ? r 易知, n = (0,1) 是平面 A1 B1C1 的一个法向量. 0,

x C1

1

B1

因为 OC ?n = 0 , OC ? 平面 A1 B1C1 ,所以 OC ∥平面 A1 B1C1 . 点评: 点评:用空间向量处理直线与平面的平行这类问题,可以将严格几何演绎推理转化为简单代数 推理方式,可以减少了解题琐碎的技巧,降低了题目的难度。整个操作过程,非常简捷,更易于学生 掌握。

uuur r


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