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直线和圆提高


1.已知与曲线 C:x2 +y2 ﹣2x﹣2y+1=0 相切的直线 l 与 x 轴、y 轴的正半轴交于两点 A、B; O 为原点,|OA|=a,|OB|=b(a>2,b>2) . (1)求证:曲线 C 与直线 l 相切的条件是(a﹣2) (b﹣2)=2; (2)求△ AOB 面积的最小值.
2 2 2

2.已知平面区域

恰好被面积最小的圆 C: (x﹣a) +(y﹣b) =r 及其内部

所覆盖. (1)试求圆 C 的方程. (2)若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A,B 满足 CA⊥ CB,求直线 l 的方程. 3.平面上有两点 A(﹣1,0) , B(1,0) ,点 P 在圆周(x﹣3)2 +(y﹣4)2=4 上,求使 AP +BP 取最小值时点 P 的坐标. 4.已知圆 C:x2 +y2 ﹣6mx﹣2(m﹣1)y+10m2 ﹣2m﹣24=0,求证: (1)无论 m 为何值,圆心都在同一直线 l 上; (2)任一条平行于 l 的直线,若与圆相交,则被各圆所截得的弦长都相等. 5 在平面直角坐标系 xOy 中, 记二次函数 f(x) =x2+2x+b (x∈R) 与两坐标轴有三个交点. 经 过三个交点的圆记为 C. (1)求实数 b 的取值范围; (2)求圆 C 的方程; (3)问圆 C 是否经过定点(其坐标与 b 的无关)?请证明你的结论. 6.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x +y ﹣12x+32=0 的圆心为 Q,过点 P(0,2)且斜 率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A,B. (Ⅰ )求 k 的取值范围; (Ⅱ )是否存在常数 k,使得向量 明理由. 7.已知半径为 5 的动圆 C 的圆心在直线 l:x﹣y+10=0 上. (1)若动圆 C 过点(﹣5,0) , 求圆 C 的方程; (2)是否存在正实数 r,使得动圆 C 中满足与圆 O:x +y =r 相外切的圆有 且只有一个?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由. 8.如图,过原点的动直线交圆 x +(y﹣1) =1 于点 Q,在直线 OQ 上取点 P,使 P 到直线 y=2 的距离等于|PQ|,求动直线绕原点转一周时 P 点的轨迹方程.
2 2 2 2 2 2 2 2 2



共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说

9. (10 分)已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,0) , B(2,1) ,且圆心 C 在 y 轴上,求此圆 的方程.
2 2 2 10. (12 分) 已知⊙ C 过点 P(1, 1) , 且与⊙ M: (x+2) + (y+2) =r (r>0) 关于直线 x+y+2=0 对称. (Ⅰ )求⊙ C 的方程;

(Ⅱ )设 Q 为⊙ C 上的一个动点,求

的最小值;

(Ⅲ )过点 P 作两条相异直线分别与⊙ C 相交于 A, B,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补, O 为坐标原点,试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由. 11. (12 分)已知圆 C: (x+4)2 +y2 =4,圆 D 的圆心在 y 轴上且与圆 C 外切,圆 D 与 y 轴 交于 A、B 两点(点 A 在点 B 上方) (Ⅰ )圆 D 的圆心在什么位置时,圆 D 与 x 轴相切; (Ⅱ )在 x 轴正半轴上求点 P,当圆心 D 在 y 轴的任意位置时,直线 AP 与直线 BP 的夹角为 定值,并求此常数.

12. (12 分)已知圆 C:x2 +y2 ﹣4x﹣5=0. (1)过点(5,1)作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 的弦 AB 的中点 P(3,1) ,求 AB 所在直线方程.
2 2 2

13. (12 分)已知平面区域

恰好被面积最小的圆 C: (x﹣a) +(y﹣b) =r

及其内部所覆盖. (1)试求圆 C 的方程. (2)若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A,B 满足 CA⊥ CB,求直线 l 的方程. 14. (12 分)已知 P(x,y)为圆 C:x2 +y2 ﹣4x﹣14y+45=0 上的动点, (1)求 x2 +y2 +4x﹣6y+13 的最大值和最小值; (2)求 k= 的取值范围.

1.已知与曲线 C:x +y ﹣2x﹣2y+1=0 相切的直线 l 与 x 轴、y 轴的正半轴交于两点 A、B; O 为原点,|OA|=a,|OB|=b(a>2,b>2) . (1)求证:曲线 C 与直线 l 相切的条件是(a﹣2) (b﹣2)=2; (2)求△ AOB 面积的最小值.

2

2

解: (1)证明:直线 l 的方程为

,即 bx+ay﹣ab=0.

曲线 C 的方程可化为(x﹣1)2 +(y﹣1)2 =1, 所以曲线 C 为圆. 圆心到直线 l 的距离 当 d=1 时,直线与圆相切, 即 ,整理得(a﹣2) (b﹣2)=2, ,

所以曲线 C 与直线 l 相切的条件是: (a﹣2) (b﹣2)=2. (2)由(1)得到(a﹣2) (b﹣2)=2 且 a>2,b>2, 则 ab=2(a+b)﹣2≥4 ﹣2,当且仅当 a=b 时等号成立, 所以当 a=b 时,ab 最小即三角形的面积最小,则三角形 AOB 为等腰直角三角形 则 AB=2( S= +1) ,所以 a=b= =3+2 . 恰好被面积最小的圆 C: (x﹣a)2 +(y = +2,三角形的面积

所以△ AOB 的面积的最小值为:

2. (2009?惠州模拟)已知平面区域

﹣b)2 =r2 及其内部所覆盖. (1)试求圆 C 的方程. (2)若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A,B 满足 CA⊥ CB,求直线 l 的方程. 解: (1)由题意知此平面区域表示的是以 O(0,0) ,P(4,0) ,Q(0,2)构成的三角形及其内部, 且△ OPQ 是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1) ,半径是 2 2 所以圆 C 的方程是(x﹣2) +(y﹣1) =5. (2)设直线 l 的方程是:y=x+b. 因为 ,所以圆心 C 到直线 l 的距离是 = . , ,

即 解得:b=﹣1

所以直线 l 的方程是:y=x﹣1 . 3.平面上有两点 A(﹣1,0) , B(1,0) ,点 P 在圆周(x﹣3)2 +(y﹣4)2=4 上,求使 2 2 AP +BP 取最小值时点 P 的坐标. 解:在△ ABP 中有 ,

即当 OP 最小时, AP +BP 取最小值, 而 OPmin =5﹣2=3, . 4.已知圆 C:x2 +y2 ﹣6mx﹣2(m﹣1)y+10m2 ﹣2m﹣24=0,求证: (1)无论 m 为何值,圆心都在同一直线 l 上; (2)任一条平行于 l 的直线,若与圆相交,则被各圆所截得的弦长都相等. 2 2 解答: 证明: (1)圆的方程可化为: (x﹣3m) +(y﹣m+1) =25,圆心为(3m,m﹣1) , r=5, 设 x=3m,y=m﹣1,则 x=3(y+1) ,即 x﹣3y﹣3=0 ∴ 无论 m 为何值,圆心都在同一直线 l 上,方程为 x﹣3y﹣3=0; (2)设直线 x﹣3y+n=0 ∴ d= =
2 2

∴ 弦长=2

=2

与 m 无关

∴ 任一条平行于 l 的直线,若与圆相交,则被各圆所截得的弦长都相等. 5. (2008?江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,记二次函数 f(x)=x +2x+b(x∈R)与两坐标 轴有三个交点.经过三个交点的圆记为 C. (1)求实数 b 的取值范围; (2)求圆 C 的方程; (3)问圆 C 是否经过定点(其坐标与 b 的无关)?请证明你的结论. 解答: 解: . (1)令 x=0,得抛物线与 y 轴交点是(0,b) ; 令 f(x)=x2 +2x+b=0,由题意 b≠0 且△ >0,解得 b<1 且 b≠0. 2 2 (2)设所求圆的一般方程为 x +y +Dx+Ey+F=0 令 y=0 得 x2 +Dx+F=0 这与 x2 +2x+b=0 是同一个方程,故 D=2,F=b. 令 x=0 得 y +Ey+F=0,方程有一个根为 b,代入得出 E=﹣b﹣1. 所以圆 C 的方程为 x2 +y2 +2x﹣(b+1)y+b=0. (3)圆 C 必过定点,证明如下: 假设圆 C 过定点(x0 ,y0 ) (x0 ,y0 不依赖于 b) ,将该点的坐标代入圆 C 的方程, 并变形为 x02 +y0 2 +2x0 ﹣y0 +b(1﹣y0 )=0(*) 为使(*)式对所有满足 b<1(b≠0)的 b 都成立,必须有 1﹣y0 =0,结合(*)式得 x0 2 +y02 +2x0 ﹣y0 =0,解得 经检验知, (﹣2,1)和(0,1)均在圆 C 上,因此圆 C 过定点(﹣2,1)和(0,1) . 6. (2007?海南)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2 +y2 ﹣12x+32=0 的圆心为 Q,过点 P (0,2)且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A,B. (Ⅰ )求 k 的取值范围; (Ⅱ )是否存在常数 k,使得向量 明理由. 与 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说
2 2

解答: 解: (Ⅰ )圆的方程可写成(x﹣6)2 +y2 =4,所以圆心为 Q(6,0) ,过 P(0,2) 且斜率为 k 的直线方程为 y=kx+2. 代入圆方程得 x2 +(kx+2)2 ﹣12x+32=0, 整理得(1+k )x +4(k﹣3)x+36=0. ① 直线与圆交于两个不同的点 A, B 等价于△ =[4(k﹣3)2 ]﹣4×36(1+k2 )=42 (﹣8k2 ﹣6k)>0, 解得 ,即 k 的取值范围为 . ,
2 2

(Ⅱ )设 A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) ,则

由方程① , 又 y1 +y2 =k(x1 +x2 )+4. ③ 而 所以 与



. 共线等价于(x1 +x2 )=﹣3(y1 +y2 ) , . ,故没有符合题意的常数 k.

将② ③ 代入上式,解得 由(Ⅰ )知

7.已知半径为 5 的动圆 C 的圆心在直线 l:x﹣y+10=0 上. (1)若动圆 C 过点(﹣5,0) , 求圆 C 的方程; (2)是否存在正实数 r,使得动圆 C 中满足与圆 O:x2 +y2 =r2 相外切的圆有 且只有一个?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由. 解答: 解: (1)依题意,可设动圆 C 的方程为(x﹣a)2 +(y﹣b)2 =25,其中圆心(a,b) 满足 a﹣b+10=0. 又∵ 动圆过点(﹣5,0) ,故(﹣5﹣a)2 +(0﹣b)2 =25. 解方程组 可得 或

故所求的圆 C 方程为(x+10)2 +y2 =25 或(x+5)2+(y﹣5)2 =25. (2)圆 O 的圆心(0,0)到直线 l 的距离 d= =5 .

当 r 满足 r+5<d 时,动圆 C 中不存在与圆 O:x2 +y2 =r2 相切的圆; 当 r 满足 r+5=d,即 r=5 ﹣5 时,动圆 C 中有且仅有 1 个圆与圆 O:x2 +y2 =r2 相外 切; 当 r 满足 r+5>d,与圆 O:x +y =r 相外切的圆有两个. 综上:r=5 ﹣5 时,动圆 C 中满足与圆 O:x2 +y2 =r2 相外切的圆有一个. 8.如图,过原点的动直线交圆 x2 +(y﹣1)2 =1 于点 Q,在直线 OQ 上取点 P,使 P 到直线 y=2 的距离等于|PQ|,求动直线绕原点转一周时 P 点的轨迹方程.
2 2 2

2 2 解答: 解: 设P ( x, y) , 圆 O1 : x+ (y﹣1)=1 与直线 y=2 切于点 A, 连接 AQ, 易知|AQ|=|AR|=|x|,

|PQ|=|PR|=2﹣y, 在 Rt△ OQA 中,利用|OA| =|AQ| +|OQ| , 即 22 =|x|2 +[ ﹣(2﹣y)]2 ,
2 2 2

化简整理得 x2 (x2 +y2 ﹣4)=0, ∴ x=0 或 x +y =4 为所求的轨迹方程. 9. (10 分)已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,0) , B(2,1) ,且圆心 C 在 y 轴上,求此圆 的方程. 解:∵ 圆心 C 在 y 轴上 ∴ 可设圆心 C 的坐标为(0,b) , 由|CA|=|CB|得:
2 2

解得:b=2 ∴ C 点的坐标为(0,2) ∴ 圆 C 的半径=|CA|= ∴ 圆 C 的方程为:x2 +(y﹣2)2 =5 即 x2 +y2 ﹣4x﹣1=0 10. (12 分) (2009?盐城一模)已知⊙ C 过点 P(1,1) ,且与⊙ M: (x+2)2 +(y+2)2 =r2 (r >0)关于直线 x+y+2=0 对称. (Ⅰ )求⊙ C 的方程; (Ⅱ )设 Q 为⊙ C 上的一个动点,求 的最小值;

(Ⅲ )过点 P 作两条相异直线分别与⊙ C 相交于 A, B,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补, O 为坐标原点,试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由.

解: (Ⅰ )设圆心 C(a,b) ,则

,解得

(3 分)

则圆 C 的方程为 x2 +y2 =r2 ,将点 P 的坐标代入得 r2 =2, 故圆 C 的方程为 x +y =2(5 分) (Ⅱ )设 Q(x,y) ,则 x2 +y2 =2, =x2 +y2 +x+y﹣4=x+y﹣2,令 x= ∴ =﹣2, = cos θ+ cos θ,y= sinθ, ) =2kπ﹣ 时, 2sin (θ+ ) (7 分)
2 2

sinθ﹣2=2sin (θ+

) ﹣2, ∴ (θ+

所以

的最小值为﹣2﹣2=﹣4. (10 分)

(Ⅲ )由题意知,直线 PA 和直线 PB 的斜率存在,且互为相反数, 故可设 PA:y﹣1=k(x﹣1) ,PB:y﹣1=﹣k(x﹣1) ,由 得(1+k )x +2k(1﹣k)x+(1﹣k) ﹣2=0(11 分) 因为点 P 的横坐标 x=1 一定是该方程的解,故可得 (13 分)
2 2 2



同理,

,所以

=kOP , 所以,直线 AB 和 OP 一定平行(15 分) 11. (12 分)已知圆 C: (x+4)2 +y2 =4,圆 D 的圆心在 y 轴上且与圆 C 外切,圆 D 与 y 轴 交于 A、B 两点(点 A 在点 B 上方) (Ⅰ )圆 D 的圆心在什么位置时,圆 D 与 x 轴相切; (Ⅱ )在 x 轴正半轴上求点 P,当圆心 D 在 y 轴的任意位置时,直线 AP 与直线 BP 的夹角为 定值,并求此常数.

解: (I)设 D(0,a) ,则 ∵ 圆 D 与 x 轴相切,∴ 圆 D 半径 r=|a|. 又∵ 圆 D 与圆 C 外切,∴ ∴ 16+a2 =4+4|a|+a2 , ∴ |a|=3,即 a=±3. ∴ 当 D 在(0,3)或(0,﹣3)时,圆 D 与 x 轴相切; (Ⅱ )证明:假设存在点 P(x,0) ,x>0,圆 D 的方程为 x2+(y﹣a)2 =r2 . 当 D 在 y 轴上运动时,令 D(0,t) ,|CD|= 圆 D 的半径 R= ∵ ∠ APB=∠ APC﹣∠ BPC, , ,

﹣2,A(0,t+R) , B(0,t﹣R) ,

∴ tan∠ APB=

为常数

∴ ∵ x>0, ∴ ,



∴ 存在满足题意的点 P 的坐标为(2
2 2

,0) ,直线 AP 与直线 BP 的夹角为



12. (12 分)已知圆 C:x +y ﹣4x﹣5=0. (1)过点(5,1)作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 的弦 AB 的中点 P(3,1) ,求 AB 所在直线方程. 解答: 解:由 C:x2 +y2 ﹣4x﹣5=0 得圆的标准方程为(x﹣2)2 +y2 =9﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣(2 分) (1)显然 x=5 为圆的切线.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (4 分) 另一方面,设过(5,1)的圆的切线方程为 y﹣1=k(x﹣5) ,即 kx﹣y+1﹣5k=0; 所以 ,解得

于是切线方程为 4x+3y﹣23=0 和 x=5.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣(7 分) (2)设所求直线与圆交于 A, B 两点,其坐标分别为(x1 ,y1 )B(x2 ,y2 ) 则有 两式作差得(x1 +x2 ﹣4) (x2 ﹣x1 )+(y2+y1 ) (y2 ﹣y1 )=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣(10 分) 因为圆 C 的弦 AB 的中点 P(3,1) ,所以(x2 +x1 )=6, (y2 +y1 )=2 所以 ﹣﹣(14 分) , 故所求直线方程为 x+y﹣4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

13. (12 分) (2009?惠州模拟)已知平面区域
2

恰好被面积最小的圆 C: (x﹣a)

+(y﹣b)2=r2 及其内部所覆盖. (1)试求圆 C 的方程. (2)若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A,B 满足 CA⊥ CB,求直线 l 的方程. 解答: 解: (1)由题意知此平面区域表示的是以 O(0,0) ,P(4,0) ,Q(0,2)构成的三角形及其内部,

且△ OPQ 是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1) ,半径是 2 2 所以圆 C 的方程是(x﹣2) +(y﹣1) =5. (2)设直线 l 的方程是:y=x+b. 因为 ,所以圆心 C 到直线 l 的距离是 , ,

即 解得:b=﹣1

= .

所以直线 l 的方程是:y=x﹣1 . 14. (12 分)已知 P(x,y)为圆 C:x2 +y2 ﹣4x﹣14y+45=0 上的动点, (1)求 x +y +4x﹣6y+13 的最大值和最小值; (2)求 k= 的取值范围.
2 2

解答: 解: (1)设 Q(﹣2,3) ,则 x2+y2 ﹣4x+6y+13=(x+2)2 +(y﹣3)2 , 即 x2 +y2 +4x﹣6y+13 表示圆 C 上的点与 Q 的距离的平方|PQ|2 , 因为|PQ|max =|CQ|+R= ,|PQ|min =|CQ|﹣R=2 , 所以原式的最大值为 72,原式的最小值为 8 (2)依题意,k 为(﹣2,3)与圆 C 上任意一点连线的斜率,它的最大值和最小值 分别是过(﹣2,3)的圆 C 的切线的斜率, 所以 kmax =tan(45°+30°)=2+ 所以 k∈[2﹣ ,2+ ]. ,kmin =tan(45°﹣30°)=2﹣ (注意 kQC=1) ,


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