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第4专题 解析几何


【考情报告】

【考向预测】 从近三年高考新课标全国卷的试题特点来看, 解析几何在高 考中的考查基本稳定,其题型是“两小一大” : 2011 年、 2012 年对直线与圆和三种圆锥曲线均有考查,2012 年文、 理试题设计完全相同,只是题目序号略有不同(理科第

8 题为文科第 10 题);2013 年未考抛物线知识,有“一小一 大”试

题与文科相同.小题考查圆锥曲线定义与标准方程, 求基本量的值;考查圆锥曲线的几何性质,涉及焦点、对称 轴、离心率、抛物线准线等知识,尤其是圆锥曲线的离心率 每年都考;大题考查以直线与圆锥曲线为载体,和几何图形 (如三角形、圆)相结合的综合问题,知识交汇、构题新颖、 推理要求高、 运算量适中、 综合性较强, 但难度趋于平稳. 预 测 2014 年关于解析几何的命题趋势,仍然是难易结合,考 查基本知识与数学能力,有 2 个小题,1 个大题.小题以考 查圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质为主,重点考查以 三角形等几何图形为背景,求解圆锥曲线中与 a、b、c、p 有关的问题,如长(实)轴长、短(虚)轴长、焦距、离心率、

标准方程、双曲线的渐近线方程等.大题主要以椭圆或 抛物线为载体,将定义、性质等知识与平面向量、直线、圆 巧妙地交汇立意,第一问求曲线(轨迹)的方程,第二问利用 图中直线与椭圆或抛物线的关系, 构建考查众多知识交汇与 重要思想方法的新颖综合题型. 【问题引领】 1.(2013 江西卷)过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取 最大值时,直线 l 的斜率等于( ).
2

3 A. 3

3 B.- 3

3 C.± 3

D.- 3

1 【解析】如图,S= |OA|·|OB|·sin∠AOB 最大,则∠AOB 2 2 =90°,OC= ,∠ODC=30°,∴l 的倾斜角为 150°, 2

3 ∴直线 l 的斜率为- . 3 【答案】B

x2 y2 2. (2012 新课标全国卷)设 F1, F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a a b 3a >b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= 上一点,△F2PF1 是底
2 角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为( 1 2 3 4 A. B. C. D. 2 3 4 5 ).

【解析】由题意得(如图所示)∠F1F2P=120°?∠MF2P 3 |F2M| =60°, 在直角△MF2P 中, |F2M|= a-c, |PF2|=2c, 且 2 |PF2| 3 1 c 3 =sin 30°,∴ a-c= ·2c,∴e= = . 2 2 a 4

【答案】C

x2 y2 3.(2013 新课标全国Ⅰ卷)已知双曲线 C: 2- 2=1(a a b
5 >0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( 2 1 1 A.y=± x B.y=± x 4 3 1 C.y=± x D.y=±x 2 ).

c a2+b2 5 【解析】根据双曲线的离心率 e= = = ,解 a a 2

b 1 得 a=2b,所以 = ,所以双曲线的渐近线方程为 y= a 2
1 ± x. 2 【答案】C 2 4.(2013 江西卷)已知点 A(2,0),抛物线 C:x =4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线相交 于点 N,则|FM|∶|MN|=( ). A.2∶ 5 B.1∶2 C.1∶ 5 D.1∶3 |FM| |MB| |OF| 1 【解析】如图所示, = = = . |MN| |MN| |FA| 5

【答案】C 5.已知 a、b 为正数,且直线 2x-(b-3)y+6=0 与直 线 bx+ay-5=0 互相垂直, 则 2a+3b 的最小值为________. 【解析】由题意得 2b-a(b-3)=0,∴2b+3a=ab, 2 3 2 3 得 + =1,∵a、b 为正数,∴2a+3b=(2a+3b)( + )=

a b a b 6b 6a b a 13+ + ≥25, 当且仅当 = , 即 a=b=5 时, 等号成立. a b a b

∴2a+3b 的最小值为 25. 【答案】25

x2 y2 3 6.如图,椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= , a b 2
椭圆的顶点 A、B、C、D 围成的菱形 ABCD 的面积 S=4.

(1)求椭圆的方程.

(2)设直线 2 2x+y=0 与椭圆 E 相交于 M、N 两点,在 椭圆上是否存在点 P、Q,使四边形 PMQN 为菱形?若存在, 求 PQ 的长;若不存在,请说明理由.

c 3 【解析】(1)依题意 e= = , a 2 a2-b2 3 ∴ = ,∴a=2b, a 2
1 1 又∵S= ×AC×BD= ×(2a)×(2b)=4,∴ab=2, 2 2 解得 a=2,b=1,故椭圆的方程为 +y2=1. 4

x2

(2)存在.由菱形的对角线互相垂直且平分和椭圆的对 称性知当直线 PQ 是线段 MN 的垂直平分线时,四边形 PMQN 为菱形. 由 kMN=-2 2,得 kPQ=- = , kMN 2 2 ∴PQ 所在直线的方程为 y= x, 2 2 代入椭圆方程 +y =1, 4 1 1 1

x2

2

? ?x=2 6, ? ?x=-2 6, 3 3 ? ? 解得? 或? 3 3 ? ? y= y=- , ? ? 3 3 ? ?
2 6 3 2 6 3 不妨设 P( , ), Q(- , - ), ∴|PQ|=2 3. 3 3 3 3 7.如图,在以点 O 为圆心,|AB|=4 为直径的半圆 ADB 中,OD⊥AB,P 是半圆弧上一点, ∠POB=30°,曲线 C 是 满足||MA|-|MB||为定值的动点 M 的轨迹,且曲线 C 过点 P.

(1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (2)设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E、 F, 若△OEF 的面积不小于 2 2,求直线 l 的斜率的取值范围. 【解析】 (1)以 O 为原点, AB、 OD 所在直线分别为 x 轴、 y 轴,建立平面直角坐标系,则 A(-2,0),B(2,0),D(2, 0),P( 3,1),

依题意可得||MA|-|MB||=|PA|-|PB|<|AB|=4,∴ 曲线 C 是以原点为中心,A、B 为焦点的双曲线.

x2 y2 设双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),且 P( 3,1) a b
在双曲线上, 3 1 ? ? 2- 2=1, 2 2 则有?a b 解得 a =b =2, 2 2 ? ?a +b =4, ∴曲线 C 的方程为 - =1. 2 2 (2)依题意,可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲 线方程,整理得(1-k2)x2-4kx-6=0.

x2 y2

∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,∴1-k ≠±1.① 设 E(x1,y1),F(x2,y2), 4k 6 则有 x1+x2= 2,x1x2=- 2, 1-k 1-k |EF|= (x1-x2) +(y1-y2) = 1+k2|x1-x2| = 1+k2 (x1+x2)2-4x1x2
2 2

2

≠0,且Δ=(-4k)2+4×6(1-k2)>0,解得- 3<k< 3且 k

2 2 2 · 3 - k 2 = 1+k · . 2 |1-k |

2 而原点 O 到直线 l 的距离 d= , 1+k2 1 ∴S△OEF= |EF|·d 2 1 2 2· 3-k 2 2 = 1+k · · 2 2 2 |1-k | 1+k 2 2· 3-k2 = . |1-k2|
2

若 △ OEF 的 面 积 不 小 于 2 2 , 即 S △ OEF ≥ 2 2 , 则 2 2· 3-k2 ≥2 2,∴k4-k2-2≤0,解得- 2≤k≤ 2. 2 |1-k | ② 综合①②知,直线 l 的斜率的取值范围为[- 2,-1) ∪(-1,1)∪(1, 2]. 【诊断参考】 1.直线与直线的平行、垂直关系常出现在考题中,解答此 类问题时通常要讨论直线的斜率是否存在,应明确每条

直线都有倾斜角,但不一定都存在斜率,故解题中务必 注意. 2.直线与圆的位置关系问题是每年高考的必考内容, 判断直线与圆的位置关系的常见方法有两种:一是代数法, 即判别式法;二是几何法,即利用圆心到直线的距离和半径 的大小关系判断.一般选用几何法解此类问题,借助圆的平 面几何性质及图形特征,可以简化运算.此外,应用点到直 线的距离公式求参数时,需先将直线方程化为 Ax+By+C= 0 的形式, 一般可求出两个参数值, 但要检验, 否则会出错. 3.观察近几年考题,椭圆的考查是高考的必考内容,特别 是椭圆的方程与性质 (尤其是离心率 )问题,更是高考的热 点. 此类问题的解题关键是能够正确理解椭圆的定义及方程

时重视椭圆方程中 x、y 的范围、焦点位置、离心率的 范围等,可避免错解发生. 4.双曲线知识的考查均设置在小题中,重点考查双曲 线的方程与性质.解题时,一要区分双曲线中 a、b、c 之间 的关系与椭圆中 a、b、c 之间的关系的不同,并明确焦点位 置;二要注意当直线与双曲线相交时,交点是在一支上还是 在两支上;三要熟记直线与双曲线相交于一点时,不等价于 直线与双曲线相切. 5.抛物线的标准方程有四种,在求解过程中,首先要 判断方程形式或明确对称轴或确定焦点位置, 以避免出现漏 解或增解情况; 同时重视抛物线定义中利用线段相等解决问 题,可使问题迅速获解.

6.高考中解析几何的解答题,常以直线与圆锥曲线相 交为载体,这类问题的求解方法通常是运用判别式、韦达定 理、设而不求的方法.解题时,联立方程组、消元后得到一 元二次方程时,既要对判别式进行讨论,还要对二次项系数 是否为零进行讨论; 运用韦达定理时要紧密结合判别式确定 范围,否则易使解题出错. 7. 求曲线(轨迹)方程的考题常出现在解答题的第一问, 在求出曲线(轨迹)方程后别忘了检验, 如遇不符合题意的图 形或点,应及时剔除;如有遗漏,应及时找回.即“剔杂补 遗” ,以避免解题结果出错. 8.涉及弦的中点与直线斜率的问题,常用“点差法”

解题,但应注意“点差法”具有不等价性,即求解后要 考虑判别式Δ是否为正数,并对结果进行检验,否则容易产 生错解.

【知识整合】 一、直线与圆 1.直线的倾斜角

直线倾斜角的范围是[0,π). 2.直线的斜率 (1) 直线倾斜角为 α( α≠ 90 ° ) 的直线的斜率 k = tan α(α≠90°),倾斜角为 90°的直线的斜率不存在; (2)经过两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率为 k y1-y2 = (x1≠x2). x1-x2 3.直线的方程 (1)点斜式:y-y0=k(x-x0)(不包括垂直于 x 轴的直 线); (2)斜截式:y=kx+b(不包括垂直于 x 轴的直线);

y-y1 x-x1 (3) 两点式: = ( 不包括垂直于坐标轴的直 y2-y1 x2-x1
线);

x y (4)截距式: + =1(不包括垂直于坐标轴的直线和过 a b
原点的直线); (5)一般式:任何直线均可写成 Ax+By+C=0(A、B 不 同时为 0)的形式; (6)设直线方程的一些常用技巧:①与直线 l:Ax+By +C=0 平行的直线可设为 Ax+By+C1=0;②与直线 l:Ax +By+C=0 垂直的直线可设为 Bx-Ay+C1=0. 4.两条直线的位置关系

直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与直线 l2:A2x+B2y+C2=0 的 位置关系: (1)平行?A1B2-A2B1=0 且 B1C2-B2C1≠0; (2)相交?A1B2-A2B1≠0; (3)重合?A1B2-A2B1=0 且 B1C2-B2C1=0. 特殊地,直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与直线 l2:A2x+B2y +C2=0 垂直?A1A2+B1B2=0. 5.距离公式: (1)点 A(x1,y1),B(x2,y2),A、B 两点间的距离 d= (x1-x2)2+(y1-y2)2; (2)点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d=

|Ax0+By0+C| ; 2 2 A +B (3)两平行线 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1 |C1-C2| ≠C2)间的距离为 d= 2 2 . A +B 6.圆的方程: (1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2; (2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中 D2+E2 -4F>0). 7.直线与圆的位置关系 直线 l:Ax+By+C=0 和圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)

的位置关系的判断: (1)代数方法(判断直线与圆方程联 立所得方程组的解的情况):Δ>0?相交,Δ<0?相离,Δ =0?相切;(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的 大小):设圆心到直线的距离为 d,则 d<r?相交,d>r?相 离,d=r?相切. 8.圆与圆的位置关系:设两圆圆心分别为 O1、O2,半 径分别为 r1、r2(设 r1≠r2),|O1O2|=d.d>r1+r2?外离?两 圆有 4 条公切线; d=r1+r2?外切?两圆有 3 条公切线; |r1 -r2|<d<r1+r2?相交?两圆有 2 条公切线;d=|r1-r2| ?内切?两圆有 1 条公切线;0≤d<|r1-r2|?内含?两圆 无公切线.

判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组由公共 解的个数来解决. 二、圆锥曲线 1.灵活运用圆锥曲线的定义 要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点 F1、 F2 的距离的和等于常数 2a, 且此常数 2a 一定要大于|F1F2|; 双曲线中, 与两定点 F1、 F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a, 且此常数 2a 一定要小于|F1F2|,定义中的“绝对值”与 2a <|F1F2|不可忽视;抛物线中,到定点的距离等于到定直线 的距离,要注意定点不在定直线上. 2.圆锥曲线的标准方程

x2 y2 (1)椭圆:焦点在 x 轴上时, 2+ 2=1(a>b>0);焦点在 a b y2 x2 y 轴上时, 2+ 2=1(a>b>0). a b x2 y2 (2)双曲线: 焦点在 x 轴上时, 2- 2=1(a>0, b>0); a b y2 x2 焦点在 y 轴上时, 2- 2=1(a>0,b>0). a b (3)抛物线:开口向右时,y2=2px(p>0);开口向左时, y2=-2px(p>0); 开口向上时, x2=2py(p>0); 开口向下时, x2=-2py(p>0).

3.圆锥曲线的几何性质:范围、顶点、对称中心、对 称轴、离心率、渐近线与准线等. 4.直线与圆锥曲线的位置关系:利用直线方程与圆锥 曲线方程联立方程组, 由方程组解的个数来确定直线与圆锥 曲线的位置关系. 5.弦长公式:若直线 y=kx+b 与圆锥曲线相交于两点

A、B,且 x1、x2 分别为 A、B 的横坐标,则|AB|= 1+k2|x1
-x2|, 若 y1、 y2 分别为 A、 B 的纵坐标, 则|AB|= -y2|. 1+ 2|y1 1

k

6.圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦 达定理”或“点差法”求解. 特别提醒:因为Δ>0 是直线与圆锥曲线相交于两点的 必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,注意别忘了检 验Δ>0. 7.常用结论

x2 y2 (1)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y= a b b ± x; a b x2 y2 (2)以 y=± x 为渐近线的双曲线方程为 2- 2=λ(λ a a b

为参数,λ≠0); (3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程 2 2 可设为 mx +ny =1; (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦) 2 2b 长为 ,抛物线的通径长为 2p,焦准距为 p;

a

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦为 AB,A(x1,y1),

B(x2,y2),则①|AB|=x1+x2+p,②x1x2= ,y1y2=-p2;

p2

4 (7)若 OA、 OB 是过抛物线 y2=2px(p>0)顶点 O 的两条互 相垂直的弦,则直线 AB 恒经过定点(2p,0).

8.动点轨迹(或方程) (1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确 定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法: ①直接法,②待定系数法,③定义法,④代入转移法, ⑤参数法. 【考点聚焦】 热点一:两条直线的位置关系 此类试题一般以选择题或填空题的形式出现,难度不大,属 于基础题,试题主要考查两条直线平行、垂直的判断或求交 点坐标.求解过程中要注重对相关知识的灵活应用,

同时要注意思维的严谨性. (1)已知过点 A(-2,m)和点 B(m,4)的直线为 l1,直线 2x+y-1=0 为 l2,直线 x+ny+1=0 为 l3.若 l1 ∥l2,l2⊥l3,则实数 m+n 的值为( ). A.0 B.-2 C.-10 D.8 (2)“k=4”是“直线 l1:(k-2)x+(3-k)y+1=0 与 l2:2(k-2)x-2y+4=0 平行”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】(1)先写出直线 l1、l2、l3 的斜率,再利用 l1 ∥l2 求出 m 的值,利用 l2⊥l3 求出 n 的值,进而计算 m+n 的值.

(2)应用两条直线平行的条件,结合充要条件的概念进 行判断. 【解析】(1)依题意知直线 l1 的斜率存在,则有 l1 的斜 4-m 率为 k1= ,l2 的斜率为 k2=-2. m+2 4-m ∵l1∥l2,∴ =-2,得 m=-8. m+2 又 l2⊥l3,∴2×1+1×n=0,得 n=-2,∴m+n=- 10,选 C. (2)若 l1∥l2,则 2(k-2)(3-k)+2(k-2)=0,解得 k =2 或 k=4.结合充要条件的概念知选 A. 【答案】(1)C (2)A

【归纳拓展】(1)解决与直线方程有关的问题时,一要 灵活选择方程形式,二要注意隐含条件.(2)在判断两条直 线平行或垂直时,需要考虑两条直线的斜率是否存在.在不 重合的直线 l1 与 l2 的斜率都存在的情况下才可以应用结论: l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1·k2=-1. 变式训练 1 (1)已知点 A(1,-2)、B(m,2),且线段 AB 的垂直平分线是 x+2y-2=0,则实数 m 的值是( ). A.-2 B.-7 C.3 D.1 (2)已知直线 l1:2x-y+a=0(a>0)与直线 l2:4x-2y 7 5 -1=0 的距离为 ,则 a=________. 10

2-(-2) 4 【解析】(1)显然 m≠1,∵kAB= = ,AB m-1 m-1 1 4 1 的垂直平分线 x+2y-2=0 的斜率为- ,∴ × (- ) 2 m-1 2 =-1,解得 m=3,选 C. 7 5 |2a-(-1)| 7 5 (2)∵l1 与 l2 的距离为 ,∴ = , 2 2 10 10 4 +2 即|2a+1|=7,得 a=-4 或 a=3,又∵a>0,∴a=3. 【答案】(1)C (2)3 热点二:直线与圆的位置关系 直线与圆主要考查直线与圆的基本知识,如圆的标准方程、 圆的一般式方程、直线与圆的位置关系等,试题可能是

以选择题、 填空题的形式出现, 也可能蕴含在解答题中, 一般是基础题,难度不大,解题时应注意挖掘圆的几何性质 以及数形结合思想的应用. (1)若两条直线 l1:3x+4y+a=0 与 l2:3x+4y 2 2 +b=0 都与圆 x +y +2x+4y+1=0 相切,则|a-b|等于 ( ). A. 5 B.2 5 C.10 D.20 (2)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2- 8x+15=0,若直线 y=kx-2 上至少存在一点,使得以该点 为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的取值范围是 ( ).

4 4 A.0≤k≤ B.k<0 或 k> 3 3 3 4 4 C. ≤k≤ D.k≤0 或 k> 4 3 3 【分析】(1)利用“当两条平行直线与圆相切时,两条 平行直线间的距离等于圆的直径”求解,简单快捷.(2)由 已知圆的圆心到直线 y=kx-2 的距离不大于圆的半径与 1 的和,建立含斜率 k 的不等式可求解. 【解析】(1)∵圆的方程可化为(x+1)2+(y+2)2=4, |a-b| ∴半径 r=2.由 l1 与 l2 都与圆相切,得 2 2=4,∴|a- 3 +4

b|=20,选 D.

(2)∵圆 C 的方程为(x-4) +y =1,∴圆心为(4,0), |4k-2| 半径 r=1.依据题意,可得 d= ≤1+1=2,解得 0 2 k +1 4 ≤k≤ ,选 A. 3 【答案】(1)D (2)A 【归纳拓展】(1)求解直线与圆的位置关系的问题有几 何法( 即将圆心到直线的距离与圆的半径的大小进行比较 ) 和代数法(即转化为一元二次方程, 运用判别式判断)两种方 法. 经过圆 x2+y2=r2 上一点 M(x0, y0)的圆的切线方程是 x0x +y0y=r2.

2

2

(2)直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系问题常 利用圆的几何性质来解决,这样可简化运算.涉及弦长问题 常用弦心距、弦长之半及半径三者间的关系求解. (3)求圆的方程:①利用圆的几何性质求出圆心坐标和 半径,进而写出方程.②运用待定系数法,若已知条件与圆 的圆心和半径有关,则选用标准方程求解;若已知条件没有 明确给出圆的圆心和半径,则选用圆的一般方程求解. 变式训练 2 (1)(2013 山东卷)过点(3,1)作圆(x-1)2 +y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程 为( ). A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0

(2)已知 P 是圆 x +y =1 上的动点,则 P 点到直线 l:

2

2

x+y-2 2=0 的距离的最小值为(
A.1 B. 2 C.2 D.2 2

).

【解析】(1)记点 P(3,1),圆(x-1)2+y2=1 的圆心为 M(1,0),由题意可知其中有一条切线与 x 轴平行,不妨设 PA∥x 轴,则有切点 A 的坐标为(1,1).又 PM⊥AB,且 kPM 1 1 = ,所以 kAB=- =-2,因此直线 AB 的方程为 y-1=- 2 kPM 2(x-1),即 2x+y-3=0. (2)依题意得圆的半径 r=1,圆心(0,0)到直线 l 的距

2 2 离 d= 2 2=2>r=1, 故点 P 到直线 l 的距离的最小 1 +1 值为 2-1=1. 【答案】(1)A (2)A 热点三:圆锥曲线的定义 圆锥曲线的定义是这部分内容的基础, 常在圆锥曲线的 方程与性质中考查,是高考的热点,既可以出现在选择、填 空题中,也可以出现在解答题中的第一问,难度中等偏易. 2 2 (1)已知 F1、F2 分别为双曲线 C:x -y =1 的左、 右焦点,点 P 在 C 上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于 ( ). A.2 B.4 C.6 D.8

(2)(2008 四川卷)已知抛物线 C:y =8x 的焦点为 F,
? ? ? 则△AFK 准线与 x 轴相交于点 K, 点 A 在 C 上且? ?AK?= 2?AF?, ? ? ? ?

2

的面积为( ). A.4 B.8 C.16 D.32 (3)(2011 新课标全国卷)在平面直角坐标 xOy 中,椭圆 2 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 ,过 F1 2 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为________. 【分析】(1)可利用余弦定理及双曲线的定义,通过整 体代入求解.

(2)利用抛物线定义及相关性质,结合图形进行求解. (3)先由特殊三角形的周长及椭圆的定义可求出长半轴 长 a,再利用离心率求短半轴长 b. 【解析】(1)在△F1PF2 中,有|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2- 2|PF1| · |PF2|cos ∠ F1PF2 = (|PF1| - |PF2|)2 + 2|PF1| · |PF2| -2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2, 又双曲线方程为 x -y =1,∴2a=2,2c=2 2,且∠
2 2

F1PF2=60°,∴(2 2)2=22+|PF1|·|PF2|,得|PF1|·|PF2|
=4,选 B. (2)y2=8x 的焦点 F(2,0),准线 x=-2,K(-2,0).
2 2 ?= 2?AF?,得 (x+2) +y = 2 AK 设 A(x,y),由? ? ? ? ?

?

?

?

?

(x-2)2+y2, 即(x+2)2+y2=2[(x-2)2+y2]. 化简得 y2=-x2+12x-4,与 y2=8x 联立求解, 解得 x=2,y=±4. 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? S△AFK= ·? ?FK?·?yA?= ×4×4=8. 2 2

x2 y2 (3)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), 则△ABF2 的周长 a b 为|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=4a=
2 16,解得 a=4.又 e= ,所以 b=2 2,故椭圆 C 2

的方程为 + =1. 16 8 【答案】(1)B (2)B (3) + =1 16 8 【归纳拓展】(1)双曲线的定义中,要注意两点:一是 到两定点的距离之差的绝对值 (常数 )必须小于两定点的距 离;二是定义中的“绝对值”去掉,其图形仅为双曲线的一 支. (2) 抛物线的定义实际上是定点与定直线 ( 定点不在定 直线上)的相互转化的数学思想的体现,应用抛物线的定义 解题,重视结合图形分析,巧用几何性质,常能起到化繁为 简的作用.

x2

y2

x2

y2

1 m 变式训练 3 (1)椭圆 mx +ny =1 的离心率为 ,则 等 2 n 于( ).
2 2

3 4 3 2 3 A. B. C. 或 4 3 2 3

3 4 D. 或 4 3

x2 y2 (2)已知 F1、 F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的左、 a b 右焦点,A 和 B 是以坐标原点 O 为圆心,|OF1|为半径的圆与 该双曲线左支的两个交点,且△F2AB 是等边三角形,则双曲
线的离心率为________. (3)已知抛物线 x2=6y,过焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,过 A、B 分别作 x 轴的垂线,垂足分别为 C、D,

则|AC|+|BD|的最小值为________. 【解析】(1)若焦点在 x 轴上,则方程化为 + =1, 1 1

x2 y2 m n

1 1 - m n 1 m 3 依题意有 = ,所以 = ; 1 4 n 4

m
若焦点在 y 轴上,则方程化为 + =1, 1 1

y2 x2 n m

m 4 同理可得 = . n 3
3 4 所以所求值为 或 . 4 3 (2)∵以 O 为圆心,|OF1|为半径的圆与双曲线的左支交 于 A、B 两点,且△F2AB 是等边三角形,∴由圆与双曲线的 对称性知∠AF2F1=30°,又 F1F2 为圆的直径,∴AF1⊥AF2, ∴|AF1|=c,|AF2|= 3c. 由双曲线的定义得 3c-c=2a,

c 2 ∴双曲线的离心率 e= = = 3+1. a 3-1

(3)∵抛物线 x =6y 中, p=3, 又当 AB 与 y 轴垂直时, |AB|取最小值,最小值为通径长 2p,即|AB|≥2p,∴|AC| +|BD|=|AB|-p≥p=3,∴|AC|+|BD|的最小值为 3. 【答案】(1)D (2) 3+1 (3)3 热点四:圆锥曲线的方程与性质 圆锥曲线的方程与几何性质是解析几何的核心内容, 是 历年高考的必考点. 试题重点考查圆锥曲线的方程与性质等 基础知识和处理有关问题的基本技能、 基本方法, 多以选择、 填空题的形式出现,一般是中档题.

2

x2 y2 (1)(2013 新课标全国Ⅰ卷)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a a b >b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E 于 A,B

两点. 若 AB 的中点坐标为(1, -1), 则 E 的方程为( A. + =1 B. + =1 45 36 36 27

).

x2 x2

y2 y2

x2 x2

y2

C. + =1 D. + =1 27 18 18 9 (2)已知直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的对称 轴垂直,l 与 C 交于 A、 B 两点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍, 则 C 的离心率为( ). A. 2 B. 3 C.2 D.3 1 2 (3)(2013 山东卷)抛物线 C1:y= x (p>0)的焦点与双 2p

y2

曲线 C2: -y2=1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的 3 点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p= ( ). 3 3 2 3 A. B. C. 16 8 3 4 3 D. 3

x2

【分析】(1)本题涉及椭圆的中点弦问题,利用直线过 右焦点及中点得出 a、b 之间的关系及 a、b、c 之间的关系 容易求出 E 的方程.(2)先求直线 l 与双曲线 C 的交点,得 出|AB|的长,进而利用|AB|与实轴长的关系求离心率.(3) 运用导数的几何意义求切线的斜率,再求点 M 的坐标,最后 利用 F、M、F2 三点共线建立 p 的关系式求之.

【解析】(1)根据椭圆的性质知 c=3,又过点 F(3,0) 和直线 AB 的中点(1,-1)的直线方程为 x-2y-3=0,联
? ?x-2y-3=0, 立方程组? 2 2 2 2 2 2 消去 ? ?b x +a y =a b ,

x,并整理得(a2+4b2)y2+

2 12 b y1+y2 2 2 2 2 12b y+9b -a b =0,所以 y1+y2=- 2 = 2,因为 a +4b 2 2 2 2 2 2 2 -1,所以 a =2b ,又因为 a -b =9,解得 a =18,b =9,

所以椭圆的标准方程为 + =1. 18 9

x2

y2

x2 y2 (2)设双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),由于直线过 a b
双曲线的焦点且与对称轴垂直,

∴l 的方程为 x=c,x=-c,y=0(舍,不能满足|AB|

x2 y2 =4a),代入 2- 2=1, a b 2 4 2 c b b 2 2 得 y =b ( 2-1)= 2,∴y=± , a a a
2b2 b2 ∴|AB|= =4a,即 2=2,∴离心率 e=

a

a

b 2 1+( ) a

= 3.

(3)由题意可知抛物线的焦点 F1(0, ),双曲线的右焦 2

p

x 点为 F(2,0).设点 M 的横坐标为 xM,因为 y′= ,所以易 p xM 3 3p 3p p 知 = ,故 xM= ,因此 M( , ).又 FF1 所在的直 p 3 3 3 6 x y 3p p 线方程为 + =1,即 px+4y-2p=0,将点 M( , )代 2 p 3 6
2 4 3 入直线方程可得 p= . 3

【答案】(1)D (2)B (3)D 【归纳拓展】(1)求圆锥曲线的方程,一般采用待定系 数法, 其步骤是: ①作判断(判断焦点的位置); ②设方程(依 据题意设出标准方程); ③找关系(根据已知条件列出 a、 b、 c、p 的方程或方程组);④得方程(写出所求方程).当椭圆 或双曲线的焦点位置不明确时,可以分类讨论,也可设方程 2 2 为 mx +ny =1(mn≠0 且 m、n 不同时为负数). (2)圆锥曲线的性质问题,要重视对图形的分析,当涉 及顶点、焦点、对称轴及 a、b、c、p 等基本量时,要理清 它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系,同时注意与 其他知识(包括平面几何知识)的结合.

(3)求椭圆、双曲线的离心率是高考的高频考点之一,

c 公式有 e 椭圆= = a

b 2 1-( ) , a

c e 双曲线= = a

b 2 1+( ) ,依据题中给出的条件设法建立基本量 a、b、 a c 的关系式是求离心率的关键.若焦点位置不确定,则要考
虑是否有两种可能. (4)对于涉及圆锥曲线中的范围或最值问题时,常用到:椭

x2 y2 圆 2+ 2=1(a>b>0)中的-a≤x≤a,-b≤y≤b 及 0<e<1; a b

x2 y2 双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)中的 x≤-a 或 x≥a 及 e>1; a b 2 抛物线 y =2px(p>0)中的 x≥0 这些不等关系求解. 变式训练 4 (1)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C: y2=2px(p>0)的焦点为 F,M 是抛物线 C 上的点,若△OFM 的 外接圆与抛物线 C 的准线相切,且该圆的面积为 9π,则 p
等于( ). A.2 B.4 C.6 D.8 (2)(2012 新课标全国卷)等轴双曲线 C 的中心在原点, 2 焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y =16x 的准线交于 A,B 两点, |AB|=4 3,则 C 的实轴长为( ).

A. 2 B.2 2 C.4 D.8 【解析】 (1)易知△OFM 的外接圆的圆心在直线 x= 上, 4 圆与抛物线 y =2px 的准线相切, 所以圆的半径为 r= + = 4 2 3p 3p 2 ,则依题意有π( ) =9π,解得 p=4,选 B. 4 4
2

p

p p

x2 y2 (2)由题意设等轴双曲线的方程为 2- 2=1,又抛物线 y2= a a 2 16x 的准线方程为 x=-4,代入双曲线的方程得 y =16- a2?y=± 16-a2,所以 2 16-a2=4 3,解得 a=2,所

以双曲线的实轴长为 2a=4,故选 C. 【答案】(1)B (2)C 热点五:曲线(轨迹)与方程 从新课标全国卷这几年的试题来看, 曲线(轨迹)与方程 的考查较为稳定,一般为解答题中的第一问,既有考查用待 定系数法求解,也有考查用直接法、定义法等其他方法求曲 线轨迹的方程,难度中等. (2013 新课标全国Ⅰ卷)已知圆 M: (x+1)2+y2=1, 圆 N: (x-1)2+y2=9, 动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切, 圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交

于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|. 【分析】(1)涉及两圆相外切和相内切的问题,常运用 定义法求动圆圆心的轨迹方程,但需注意检验,剔除不符合 题意的点. (2)①依据题意判断圆的最长半径, 接着写出圆的方程; ②利用直线与圆相切及圆的几何性质求出切线方程; ③联立 直线与曲线 C 的方程,运用弦长公式求出|AB|.需注意直线 的倾斜角为 90°这一情形. 【解析】(1)由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3. 设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,

所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M、N 为左、右焦点, 长半轴长为 2,短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外),其方程 为 + =1(x≠-2). 4 3 (2)对于曲线 C 上任意一点 P(x,y),由于|PM|-|PN| =2R-2≤2,所以 R≤2, 当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2. 所以当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4, 若 l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|= 2 3;

x2 y2

若 l 的倾斜角不为 90°,由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴, 设 l 与 x 轴的交点为 Q, |QP| R 则 = ,可求得 Q(-4,0), |QM| r1 所以可设 l:y=k(x+4). |3k| 由 l 与圆 M 相切得 2=1, 1+k 2 解得 k=± . 4 2 2 x2 y2 当 k= 时,将 y= x+ 2代入 + =1, 4 4 4 3

-4±6 2 并整理得 7x +8x-8=0,解得 x1,2= . 7
2

18 所以|AB|= 1+k |x2-x1|= . 7
2

2 18 当 k=- 时,由图形的对称性可知|AB|= . 4 7 18 综上,|AB|=2 3或|AB|= . 7 【归纳拓展】 (1)求曲线(轨迹)方程的常用方法有: 直接法、 待定系数法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等,在解 题训练中要有意识地归纳积累,依据问题特征合理选用

方法,简化运算过程. (2)求曲线(轨迹)方程时,别忘了检验,如遇不符合题 意的图形或点,应及时剔除,如本例中的第一问. (3)加强数形结合思想的运用,利用图形特征及几何性 质探求曲线(轨迹)方程, 思路直观且能避免复杂的推理计算, 简化解题过程. 变式训练 5 已知△ABC 的两个顶点 A、 B 的坐标分别是 (0,-1)、(0,1),且 AC、BC 所在直线的斜率之积等于 m(m ≠0). (1)求顶点 C 的轨迹 E 的方程,并判断轨迹 E 为何种圆 锥曲线.

1 (2)当 m=- 时, 过点 F(1, 0)的直线 l 交曲线 E 于 M、 2 N 两点,设点 N 关于 x 轴的对称点为 Q(M、Q 不重合),试问 直线 MQ 与 x 轴的交点是不是定点?若是,求出定点;若不 是,请说明理由. 【解析】 (1) 设点 C 的坐标为 (x , y) ,则由题意知 y-1 y+1 · =m,化简得-mx2+y2=1(x≠0).

x

x

当 m<-1 时,轨迹 E 表示焦点在 y 轴上的椭圆,且除去 (0,1),(0,-1)两点; 当 m=-1 时, 轨迹 E 表示以(0,0)为圆心、1 为半径的圆, 且除去(0,1),(0,-1)两点;

当-1<m<0 时,轨迹 E 表示焦点在 x 轴上的椭圆,且除 去(0,1),(0,-1)两点; 当 m>0 时,轨迹 E 表示焦点在 y 轴上的双曲线,且除去 (0,1),(0,-1)两点. (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,-y2)(x1x2≠0),依 题意知直线 l 的斜率存在且不为零,可设 l:y=k(x-1), 代入 +y2=1(x≠0), 整理得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0, 2 4k2 2k2-2 则 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . 2k +1 2k +1 y1+y2 因为直线 MQ 的方程为 y-y1= (x-x1), x1-x2

x2

y1(x2-x1) 令 y = 0 , 得 x = x1 + = x1 + y1+y2 k(x1-1)(x2-x1) 2x1x2-(x1+x2) = =2,所以直线 MQ k(x1+x2-2) x1+x2-2
过定点(2,0). 热点六:直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系是高考的重点、热点之一, 综合性较高,难度较大,常与圆锥曲线的方程与性质等一起 考查. (2012 新课标全国卷)设抛物线 C: x2=2py(p>0) 的焦点为 F,准线为 l.A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点.

(1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及 圆 F 的方程; (2)若 A, B, F 三点在同一直线 m 上, 直线 n 与 m 平行, 且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m, n 距离的比值. 【分析】(1)利用抛物线的定义及题中给出的三角形的 面积得到 p 的方程,求出 p 的值,进而写出圆的方程. (2)利用抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,求 直线方程的方法,写出直线 m,n 的方程,再求出距离及其 比值. 【解析】 (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形, |BD| =2p,圆 F 的半径|FA|= 2p.

由抛物线定义可知 A 到 l 的距离 d=|FA|= 2p. 1 因为△ABD 的面积为 4 2,所以 |BD|·d=4 2, 2 1 即 ·2p· 2p=4 2,解得 p=-2(舍去),p=2. 2 2 2 所以 F(0,1),圆 F 的方程为 x +(y-1) =8. (2)因为 A,B,F 三点在同一直线 m 上,所以 AB 为圆 F 的直径,∠ADB=90°. 1 由抛物线定义知|AD|=|FA|= |AB|, 2

3 3 所以∠ABD=30°,m 的斜率为 或- . 3 3 3 3 当 m 的斜率为 时,由已知可设 n:y= x+b,代入 3 3 2 3 x =2py 得 x - px-2pb=0. 3
2 2

4 2 由于 n 与 C 只有一个公共点,故Δ= p +8pb=0, 3 解得 b=- . 6

p

p |b1| 因为 m 的截距 b1= , =3,所以坐标原点到 m,n 2 |b|
距离的比值为 3. 3 当 m 的斜率为- 时,由图形对称性可知,坐标原点 3 到 m,n 距离的比值为 3. 【归纳拓展】(1)直线与圆锥曲线的位置关系可分为三 类:无公共点、仅有一个公共点、有两个公共点.可通过代 数方法即方程组思想进行研究解决. (2)直线与圆锥曲线有唯一公共点,不等价于直线与圆锥曲 线相切. 平行于对称轴或与对称轴重合的直线与抛物线相交 于一点,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,

但直线与这些曲线均不相切. 直线与圆锥曲线的位置关 系一般用Δ>0、Δ=0、Δ<0 来判断. (3)直线与圆锥曲线的位置关系, 常涉及弦长、 弦中点、 对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题.解题时,重视 判别式和根与系数的关系的应用. (4)当直线与圆锥曲线的相交时,涉及弦长问题,运用 “根与系数的关系”设而不求计算弦长(应用弦长公式);涉 及弦长的中点,运用“点差法”设而不求,将弦所在直线的 斜率与弦的中点坐标联系起来,利用量的关系灵活转化.解 决直线与圆锥曲线的位置关系问题, 可概括为联立方程求交 点,韦达定理求弦长,根的分布找范围,曲线定义不能忘.

x2 y2 变式训练 6 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 a b F(2,0),且过点(2, 2).直线 l 过点 F 且交椭圆 C 于 A、 B 两点.
(1)求椭圆 C 的方程; 1 (2)若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点为 M( ,0), 2 求直线 l 的方程.
2 2 a - b =4, ? ? 【解析】(1)由题意知? 4 2 解得 a2=8,b2=4, 2+ 2=1, ? a b ?

∴椭圆 C 的方程为 + =1. 8 4 (2)当斜率不存在时,不符合题意. 当斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-2),代入

x2 y2

x2
8

+ =1, 4 得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-8=0, Δ=64k4-4(1+2k2)(8k2-8)=32(k2+1)>0. 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点为 N(x0,y0),则有 8k2 x1+x2= 2, 1+2k

y2

4k -2k ∴x0= = 2,y0=k(x0-2)= 2. 2 1+2k 1+2k 1 ∵线段 AB 的垂直平分线过点 M( ,0), 2 ∴kMN·k=-1,即 ·k=-1, 1 x0- 2 2 2 2k 4k 1 ∴- 2=- 2+ , 1+2k 1+2k 2 2 解得 k=± , 2

x1+x2

2

y0

∴直线 l 的方程为 x- 2y-2=0 或 x+ 2y-2=0. 热点七:解析几何的综合问题 解析几何综合问题既有自身相关知识的综合, 如三种圆 锥曲线的交汇,直线与圆锥曲线的位置关系,又常与向量、 三角形及其面积、不等式、函数与方程等综合.一方面考查 相关基础知识, 另一方面考查综合运用相关知识分析和解决 问题的能力,同时考查函数与方程、数形结合、分类讨论、 化归转化的思想方法. 解析几何综合问题是近年高考的必考 题型,且久考不衰,常考常新.

x2 y2 (2013 山东卷)椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、 a b
3 右焦点分别是 F1、F2,离心率为 ,经过 F1 且垂直于 x 轴的 2 直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1, PF2,设∠F1PF2 的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M(m,0),求 m 的取值范围; (3)在(2)的条件下,过点 P 作斜率为 k 的直线 l,使得 l 与 椭圆 C 有且只有一个公共点,设直线 PF1,PF2 的斜率分

别为 k1,k2,若 k≠0,试证明

1

kk1 kk2



1

为定值,并求出

这个定值. 【分析】(1)根据椭圆的性质建立基本量 a、b、c 的关 系式,可求椭圆方程. (2)利用角平分线平分角,得到运算的等式,再根据椭 圆中坐标的取值可得 m 的范围. (3)用判别式法求出切线的斜率 k,再写出斜率 k1、k2, 1 1 代入 + 中,通过运算推导可得出定值.

kk1 kk2

【解析】(1)由于 c =a -b ,所以将 x=-c 代入椭圆

2

2

2

x2 y2 b2 方程 2+ 2=1,得 y=± . a b a 2 2b 由题意知 =1,即 a=2b2. a c 3 又 e= = ,所以 a=2,b=1. a 2
所以椭圆 C 的方程为 +y2=1. 4 (2)设 P(x0,y0)(y0≠0). 又 F1(- 3,0),F2( 3,0),

x2

所以直线 PF1,PF2 的方程分别为

lPF1:y0x-(x0+ 3)y+ 3y0=0, lPF2:y0x-(x0- 3)y- 3y0=0.
|my0+ 3y0| |my0- 3y0| 由题意知 2 = 2 . 2 2 y0+(x0+ 3) y0+(x0- 3) 由于点 P 在椭圆上,所以 +y2 0=1. 4 所以 |m+ 3| = 3 2 ( x0+2) 2 |m- 3| . 3 2 ( x0-2) 2

x2 0

因为- 3<m< 3,-2<x0<2, 3-m 所以 = , 3 3 x0+2 2- x0 2 2 3 3 3 所以 m= x0.因此- <m< . 4 2 2 (3)设 P(x0,y0)(y0≠0),则直线 l 的方程为 y-y0=k(x -x0).
2 ?x ? +y2=1, 联立? 4 ? ?y-y0=k(x-x0),

m+ 3

整理得 (1 + 4k )x + 8(ky0 - k x0)x + 4(y 0 - 2kx0y0 + k x 0 -1)=0. 由题意知Δ=0, 2 2 即(4-x2 0)k +2x0y0k+1-y0=0. 又 +y2 0=1, 4

2

2

2

2

2

2

x2 0

x0 所以 16y k +8x0y0k+x =0,故 k=- . 4y0
2 0 2 2 0

x0+ 3 x0- 3 2x0 由(2)知 + = + = , k1 k2 y0 y0 y0
1 1 所以 1

kk1 kk2 k k1 k2



1

1 1 1 4y0 2x0 = ( + )=(- )· =-8,

x0

y0

因此

1

kk1 kk2



1

为定值,且这个定值为-8.

【归纳拓展】 解析几何的综合问题主要体现为圆锥曲线 的综合问题: (1)定点与定值问题的处理方式一般有两种:一是从特 殊点或特殊位置入手,求出这个定点(值),再说明这个定点 (值)与变量无关;二是直接推理计算,并在计算过程中消去 变量,从而得到定点(值). (2)求最值或范围常见的解法:①几何法.若题目的条 件和结论能明显体现几何特征及意义, 可考虑利用图形性质 来解决.②代数法.若题目的条件和结论能体现一种明确的 函数关系,则可先建立目标函数,再求最值或范围.

(3)在利用代数法求最值或范围问题的常用途径:①运 用判别式构造不等关系;②利用题设不等式建立不等关系; ③挖掘隐含不等关系建立不等式;④通过已知的参数范围, 求新参数的范围,但需建立两个参数的等量关系;⑤数形结 合构建不等关系;⑥求目标函数的值域.

x2 y2 变式训练 7 已知双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)的焦 a b 距为 4,以原点为圆心,实半轴长为半径的圆和直线 x-y
+ 6=0 相切. (1)求双曲线 E 的方程. (2)已知点 F 为双曲线 E 的左焦点,试问在 x 轴上是否存在 一定点 M,过点 M 任意作一条直线交双曲线 E 于 P、Q

两点,使→ FP·→ FQ为定值?若存在,求出此定值和所有的 定点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. |0-0+ 6| 【解析】(1)∵c=2,a= = 3,∴b=1, 2 ∴双曲线 E 的方程为 -y2=1. 3 (2)当直线是 y=0 时, P(- 3, 0), Q( 3, 0), F(-2, →·→ 0),∴FP FQ=(- 3+2,0)·( 3+2,0)=1. 当直线不是 y=0 时,可设 l:x=ty+m(t≠± 3),代

x2

入 E: -y2=1, 3 整理得(t -3)y +2mty+m -3=0(t≠± 3), 由Δ>0,得 m2+t2>3. 设 P(x1,y1)、Q(x2,y2), 2mt m2-3 则有 y1+y2=- 2 ,y1y2= 2 , t -3 t -3 →=(ty1+m+2,y1)·(ty2+m+2,y2)=(t2+1)y1y2 ∴→ FP·FQ
2 2 t - 2 m -12m-15 2 +t(m+2)(y1+y2)+(m+2) = ,当且仅当 t2-3 2 2 2

x2

2m2+12m+15=3 时,→ FP·→ FQ为定值,解得 m=-3

± 3,当 m=-3+ 3时不合题意,舍去,当 m=-3 - 3时满足Δ>0. 综上得,过定点 M(-3- 3,0)任意作一条直线交双曲 线 E 于 P、Q 两点,使→ FP·→ FQ为定值. 热点八:探索性问题 圆锥曲线中的探索性问题是近年高考命题的热点, 主要以解 答题的形式出现,这类考题形式多样,解法灵活,考查的知 识众多,能力要求高(尤其是运算能力),难度较大.

x2 y2 (2013 江西卷)如图,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0) a b
3 1 经过点 P(1, ),离心率 e= ,直线 l 的方程为 x=4. 2 2 (1)求椭圆 C 的方程. (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P),设直线 AB 与直线 l 相交于点 M,记 PA,PB,PM 的斜率分别为 k1, k2,k3.问:是否存在常数λ,使得 k1+k2=λk3?若存在, 求λ的值;若不存在,说明理由.

【分析】(1)利用点 P 在椭圆上及离心率得到关于 a、b 的方程组,求 a、b 的值,写出椭圆 C 的方程. (2)根据题中给出的条件, 先写出 k1、 k2、 k3 的坐标表示, 再由直线与椭圆相交, 应用根与系数关系用设而不求的方法, 通过化归转化,推导出 k1+k2 与 k3 的等量关系,进而判断符 合题意的λ值是否存在. 3 1 9 【解析】(1)由 P(1, )在椭圆上,得 2+ 2=1. ① 2 a 4b 1 由 e= ,得 a=2c,则 b2=3c2. ② 2

将②代入①解得 c =1,a =4,b =3. 故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)(法一)由题意可设 AB 的斜率为 k, 则直线 AB 的方程为 y=k(x-1). ③ 2 2 2 2 2 代入椭圆方程 3x +4y =12 并整理, 得(4k +3)x -8k x 2 +4(k -3)=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 8k2 4(k2-3) 则有 x1+x2= 2 ,x1x2= . ④ 4k +3 4k2+3 在方程③中令 x=4,得 M 的坐标为(4,3k).

2

2

2

x2 y2

3 3 3 y1- y2- 3k- 2 2 2 1 从而 k1= ,k2= ,k3= =k- . x1-1 x2-1 4-1 2 注意到 A,F,B 三点共线,则有 k=kAF=kBF,即有 = =k. x2-1 3 3 y1- y2- 2 2 所以 k1+k2= + x1-1 x2-1 y1 y2 3 1 1 = + - ( + ) x1-1 x2-1 2 x1-1 x2-1

y1

x1-1

y2

3 x1+x2-2 =2k- · . ⑤ 2 x1x2-(x1+x2)+1 8k2 -2 4k2+3 3 将④代入⑤得 k1+k2=2k- · 2 = 2 4(k -3) 8k2 - 2 +1 2 4k +3 4k +3 2k-1, 1 又 k3=k- ,所以 k1+k2=2k3. 2 故存在常数λ=2 符合题意. (法二)设 B(x0,y0)(x0≠1),

则直线 FB 的方程为 y=

(x-1), x0-1

y0

3y0 令 x=4,求得 M(4, ), x0-1 2y0-x0+1 从而直线 PM 的斜率为 k3= , 2(x0-1)

? ?y= y0 (x-1), ? x0-1 5x0-8 3y0 联立? 2 2 得 A( , ), 2 x - 5 2 x - 5 0 0 ?x +y =1, ? ?4 3
2y0-2x0+5 则直线 PA 的斜率为 k1= ,直线 PB 的斜率为 2(x0-1)

2y0-3 k2= , 2(x0-1) 2y0-2x0+5 2y0-3 2y0-x0+1 所以 k1 + k2 = + = = 2(x0-1) 2(x0-1) x0-1 2k3, 故存在常数λ=2 符合题意. 【归纳拓展】(1)在探索性问题的考题中,大多数是存 在性问题的探索, 求解此类问题常采用 “假设反证法” 或 “假 设检验法” ,也可先取特殊情况得到结论,再给出一般性的 证明. (2)求解探索性问题的一般步骤:①假设结论成立;②从假 设出发,结合题中给出的条件,进行推理转化;③若能

推出合理结论,经验证符合题意,则肯定假设,即存在 结论,若推出矛盾,则否定假设,即不存在结论.

x2 y2 变式训练 8 已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右 a b
1 焦点分别为 F1、F2,右顶点为 A,离心率 e= . 2 (1)设抛物线 C2:y2=4x 的准线与 x 轴交于点 F1,求椭 圆 C1 的方程. (2)设双曲线 C3 以椭圆 C1 的焦点为顶点,顶点为焦点, B 是双曲线 C3 在第一象限上任意—点,问是否存在常数λ (λ>0), 使∠BAF1=λ∠BF1A 恒成立?若存在, 求出λ的值; 若不存在,请说明理由.

【解析】(1)∵抛物线 C2 的准线方程为 x=-1, 即椭圆 C1 的左焦点 F1(-1,0), ∴椭圆 C1 的半焦距 c=1, 1 又椭圆 C1 的离心率 e= , 2 ∴a=2,b= a -c = 3, ∴椭圆 C1 的方程为 + =1. 4 3 (2)存在常数λ=2,使得∠BAF1=2∠BF1A 恒成立. 证明如下:设椭圆 C1 的半焦距为 c, 1 ∵e= ,∴a=2c,b= a2-c2= 3c. 2
2 2

x2 y2

x2 y2 ∴双曲线 C3 的方程为 2- 2=1,A(2c,0). c 3c x2 y2 0 0 设 B(x0,y0)(x0>0,y0>0),则 2- 2=1, c 3c
3c 当 AB⊥x 轴时,x0=2c,y0=3c,则 tan∠BF1A= =1. 3c π 又∵∠BF1A∈(0, ), 2 π π ∴∠BF1A= ,∠BAF1= =2∠BF1A. 4 2

y0 当 AB 与 x 轴不垂直时,x0≠2c,∵tan∠BAF1= = 2c-x0

-y0 y0 ,tan∠BF1A= , x0-2c x0+c 2· x0+c 2tan∠BF1A ∴tan 2∠BF1A= = . 2 1-tan ∠BF1A y0 1-( )2 x0+c
2 x 0 2 2 2 又 y0=3c ( 2-1)=3(x2 0-c ), c 2y0(x0+c) ∴tan 2∠BF1A= 2 (x0+c)2-3(x2 - c ) 0 -y0 = =tan∠BAF1, x0-2c

y0

π π 又∠BAF1,2∠BF1A 都在(0, )或( ,π)内, 2 2 ∴∠BAF1=2∠BF1A, 故存在常数λ=2,使得∠BAF1=2∠BF1A 恒成立.

限时训练卷(一) 一、选择题 1.已知直线 l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0 与 l2:2(k -3)x-2y+3=0 平行,则 k 的值是( ). A.1 或 3 B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2

【解析】由题意得-2(k-3)=2(4-k)(k-3),解得 k =3 或 5. 【答案】C 2.已知实数 x、y
? ?y≤1, 满足? 若 ? ?y≥|x-1|,

x+2y≤a 恒成

立,则 a 的最小值为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】(数形结合)可行域为一三角形,要使 x+2y≤ a 恒成立,a≥(x+2y)max,而当 x=2,y=1 时,(x+2y)max =4,即 a≥4,amin=4. 【答案】D

x2 y2 3.过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点 F2 作斜率为 a b -1 的直线, 该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 A、
→ → B.若F 2A=AB,则双曲线的渐近线方程为( A.3x±y=0 B.x±3y=0 C.2x±3y=0 D.3x±2y=0 ).

b 【解析】过右焦点的直线方程为 y=-x+c,与渐近线 y= a ac b x 交于点 A,且 xA= ;与渐近线 y=- x 交于点 B,且 a+b a ac → → xB= .由F 2A=AB知 A 为线段 BF2 的中点,则有 2xA=xB a-b

2ac ac +xF2,即 = +c,得 b=3a,所以渐近线方程 a+b a-b 为 3x±y=0,选 A. 【答案】A

x2 y2 4.点 P 为双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)和圆 C2:x2 a b +y2=a2+b2 的一个交点,且 2∠PF1F2=∠PF2F1,其中 F1、F2 为双曲线 C1 的两个焦点,则双曲线 C1 的离心率为( ).
A. 3 B.1+ 2 C.1+ 3 D.2 【解析】圆 C2 的半径 r=c= a2+b2,∴F1F2 为线段的 直径,∴∠F1PF2 为直角.

1 又 2 ∠ PF1F2 =∠ PF2F1 ,∴∠ PF1F2 = 30 °,∴ |PF2| = 2 |F1F2|=c,|PF1|= 3c. 由双曲线定义得|PF1|-|PF2|= 3c-c=2a,解得双曲 线 C1 的离心率 e= 3+1,选 C. 【答案】C 2 2 2 2 5.若圆 C:x +y -ax+2y+1=0 和圆 x +y =1 关于 直线 y=x-1 对称,动圆 P 与圆 C 相外切且与直线 x=-1 相切,则动圆 P 的圆心的轨迹方程是( ). A.y2+6x-2y+2=0 B.y2-2x+2y=0 C.y2-2x+2y-2=0 D.y2-6x+2y-2=0

【解析】易知圆 C 的圆心 C(1,-1),半径为 1,作直 线 l:x=-2,设 P 到 l 的距离为 d,P(x,y),则|PC|=d,
? ?,化简即得结果. x + 2 即 (x-1)2+(y+1)2=? ? ? ?

【答案】D 6. 已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 与双曲线 - = 7 9 1 的右焦点重合,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在 抛物线上且|AK|= 2|AF|,则△AFK 的面积为( ). A.4 B.8 C.16 D.32 【解析】由题意知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F(4,0), ∴K(-4,0),|FK|=8.设过点 A 作抛物线准线的垂线,
2

x2 y2

垂足为 H, 则|AH|=|AF|, ∴|AK|= 2|AF|= 2|AH|, △AHK 为等腰直角三角形,即四边形 AHKF 正方形,∴△AFK 1 2 的面积 S= |FK| =32,选 D. 2 【答案】D 7.已知圆锥曲线 C 是椭圆或双曲线,若其中心为坐标 3 原点, 对称轴为坐标轴, 且过点 A(-2, 2 3), B( , - 5), 2 则( ). A.曲线 C 可为椭圆,也可为双曲线 B.曲线 C 一定是双曲线 C.曲线 C 一定是椭圆

D.这样的曲线 C 不存在 2 2 【解析】设曲线 C:mx +ny =1(mn≠0), 4m+12n=1, m=1, ? ? ? ? 则?9 解得? 1 选 B. m+5n=1, n=- , ? ? 4 4 ? ? 【答案】B

x2 y2 8.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与 a b 过原点的直线相交于 A、 B 两点, 连接 AF、 BF, 若|AB|=10,
4 |AF|=6,cos∠ABF= ,则 C 的离心率为( 5 ).

3 5 4 6 A. B. C. D. 5 7 5 7 4 【解析】 由余弦定理知 6 =|BF| +10 -2· 10· |BF|· , 5 解得|BF|=8,所以点 A 到右焦点的距离也是 8, 10 5 由椭圆定义得 2a=6+8=14, 又 2c=10, 即 e= = . 14 7 【答案】B
2 2 2

x2 y2 9.已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2, a b 若抛物线 C2: x2=2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距
离为 2,则抛物线的方程为( ).

8 3 16 3 2 A.x = y B.x = y 3 3
2

C.x2=8y

D.x2=16y
2

b 2 b 【解析】依题意知 e =1+( ) =4,∴ = 3,∴双曲 a a
8 3 线 C1 的一条渐近线为 y= 3x, ∴ =2, p= , 2 2 3 ( 3) +1 16 3 ∴抛物线的方程为 x = y,选 B. 3
2

3× 2

p

【答案】B

二、填空题 10.已知 AC、BD 为圆 O:x2+y2=4 的两条相互垂直的 弦,垂足为 M(1, 2),则四边形 ABCD 的面积的最大值为 ________. 【解析】设圆心 O 到 AC、BD 的距离分别为 d1、d2,则 1 2 2 2 d 1 + d 2 = OM = 3. 四边形 ABCD 的面积 S = |AC| · |BD| = 2 2 (4-d1)(4-d2)≤8-(d1+d2)=5. 【答案】5
2 2 2 2

11.如图,抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,A 为 C 上的点,以 F 为圆心, 为半径的圆与线段 AF 的一个交点为 2 B, ∠AFx=60°, A 在 y 轴上的射影为 N, 则∠ONB=________.

2

p

【解析】由抛物线的定义,得|AB|=|AN|.又∠BAN=∠ AFx=60°,∴△ABN 为等边三角形,

∴∠ANB=60°,∴∠ONB=30°. 【答案】30° 12.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲 线称为一对“黄金搭档” .已知 F1、F2 是一对“黄金搭档” 的焦点,P 是它们在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时, 这一对“黄金搭档”中椭圆的离心率是________. 【解析】令|PF1|=m,|PF2|=n(m>n),由余弦定理得,

m +n -mn=|F1F2| =4c ,又 · =1, m+n m-n
2 ∴m2-n2=4c2,∴m2-n2=m2+n2-mn,得 m=2n, 2

2

2

2

2

c

c

2c 4c 代入 m -n =4c ,得 n= ,∴m= . 3 3
2 2 2

2c 3 ∴椭圆的离心率 e= = = . m+n m+n 3 2 3 【答案】 3 三、解答题 13.在平面直角坐标系 xOy 中,O 为坐标原点,A(-2,0), B(2,0),点 P 为动点,且直线 AP 与直线 BP 的斜率之

c

3 积为- . 4 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程. (2)过点 D(1, 0)的直线 l 交轨迹 C 于不同的两点 M、 N, △MON 的面积是否存在最大值?若存在,求出△MON 的面积 的最大值及相应的直线方程;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)设 P(x,y),∵A(-2,0),B(2,0),直 3 线 AP 与直线 BP 的斜率之积为- , 4 y y 3 ∴ · =- (x≠±2), x+2 x-2 4

化简整理得点 P 的轨迹 C 的方程为 + =1(x≠±2). 4 3 (2)依题意可设直线 l 的方程为 x=ny+1.
2 2 x y ? ? + =1, 由? 4 3 得(3n2+4)y2+6ny-9=0. ? ?x=ny+1,

x2 y2

设 M(x1,y1),N(x2,y2), -6n -9 则 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 . 3n +4 3n +4 1 ∴△MON 的面积 S= |OD|·|y1-y2| 2

2 1 6 n +1 2 = (y1+y2) -4y1y2= 2 2 3n +4

6 n2+1 6 = = 3(n2+1)+1 2 3 n +1+
2

1 n2+1



1 令 t= n +1,则 t≥1,且 3t+ 在[1,+∞)上单调

t

1 递增,∴当 t=1 时,3t+ 取得最小值 4,

t

3 ∴△MON 的面积有最大值,且最大值为 ,此时直线的 2

方程为 x=1.

限时训练卷(二) 一、选择题 2 2 1. 直线 ax+by+c=0 与圆 x +y =9 相交于两点 M、 N,
2 2 2 若 c =a +b ,则→ OM·→ ON(O 为坐标原点)等于(

).

A.-7 B.-14 C.7 D.14 |c| 【解析】 ∵c =a +b , ∴圆心到直线的距离 d= 2 2 a +b
2 2 2

=1,设∠MON=2θ,∵圆的半径 r=3,

1 7 2 ∴cos θ= ,cos 2θ=2cos θ-1=- , 3 9 →·→ ∴OM ON=3×3×cos 2θ=-7,选 A. 【答案】A 2.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛 2 物线 y =4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最 小值是( ). 11 37 A.2 B.3 C. D. 5 16 【解析】由抛物线的定义知,问题即为求焦点 F(1,0) |4×1-3×0+6| 到直线 l1 的距离,则有 d= =2,选 A. 5

【答案】A 3.与椭圆 C: + =1 共焦点且过点(1, 3)的双曲 16 12 线的标准方程为( ). A.x2- =1 B.y2-2x2=1 3 C. - =1 D. -x2=1 2 2 3

y2

x2

y2

y2 x2

y2

y2 x2 【解析】设双曲线方程为 2 - 2= 1(a>0 , b>0) ,则有 a b a +b =4 且 2- 2=1,解得 a2=b2=2,选 C. a b
2 2

3

1

【答案】C 4.抛物线 y =4x 的焦点为 F,点 A、B 在抛物线上,且 2π |MM1| ∠AFB= ,弦 AB 中点 M 在准线 l 上的射影为 M1,则 3 |AB| 的最大值为( ). 4 3 A. 3 3 2 3 B. C. 3 3 D. 3
2

【解析】设|AF|=m,|BF|=n,由抛物线的定义得|MM1| 1 2 2 = (m+n),由余弦定理得|AB|= m +n +mn, 2

1 (m+n) 2 |MM1| ∴ = 2 2 |AB| m +n +mn 1 = 2 1 = 2

m2+n2+2mn m2+n2+mn mn 1 1+ 2 2 ≤ m +n +mn 2
1 3 1+ = , 3 3

当且仅当 m=n 时等号成立, |MM1| 3 ∴ 的最大值为 ,选 B. |AB| 3

【答案】B

x2 y2 x2 y2 5. 若双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)与椭圆 2+ 2=1(m>b>0) a b m b 的离心率之积大于 1,则以 a、b、m 为边长的三角形一定是
( ). A.等腰三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.锐角三角形

a2+b2 m2-b2 【解析】由题意知 · >1,即(a2+b2)·(m2 a m
-b2)>a2m2,整理得 a2+b2-m2<0,所以 a、b、m 为边长的三 角形一定是钝角三角形,选 C. 【答案】C

x2 y2 6. 如图, F1、 F2 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0, b>0)的左、 a b 右焦点,过 F2 的直线与双曲线 C 的左、右支分别交于 B、A 两点.若|AB|∶|BF1|∶|AF1|=3∶4∶5,则双曲线的离心率
为( ).

A.2 C. 5 B.3 D. 13 【解析】设|AB|=3k(k>0),则|BF1|=4k,|AF1|=5k, 由双曲线的定义,得|BF2|-|BF1|=|AF1|-|AF2|=2a, ∴|BF2|+|AF2|=|BF1|+|AF1|=9k=3|AB|, ∴3|AB|=2|AF2|+|AB|,∴|AF2|=|AB|=3k, ∴2a=|AF1|-|AF2|=2k, 即 k=a,∴|BF1|=4a,|BF2|=6a, 2 2 2 又|F1F2|=2c,AB⊥BF1,∴|BF1| +|BF2| =|F1F2| , 即 52a2=4c2,得双曲线的离心率为 e= 13,选 D.

【答案】D

x2 y2 7.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 e= 2, a b 右焦点为 F(c,0),方程 ax2-bx-c=0 的两个实根分别为 x1、x2,则点 P(x1,x2)( ). A.在圆 x2+y2=8 外 B.在圆 x2+y2=8 上 C.在圆 x2+y2=8 内 D.不在圆 x2+y2=8 内
【解析】双曲线的离心率 e= 2,∴c= 2a,b= c2-a2=

b a,又 x1、x2 为方程 ax -bx-c=0 的两个实根,∴x1+x2= a c 2 2 =1,x1x2=- =- 2,∴x2 + x = ( x + x ) -2x1x2=1 1 2 1 2 a
2

+2 2<8,选 C. 【答案】C 8.已知 F 是抛物线 C:y2=4x 的焦点,直线 l:y=k(x +1)与抛物线 C 交于 A、B 两点,记直线 FA、FB 的斜率分别 为 k1、k2,则 k1+k2 的值为( ). A.-2 B.-1 C.0 D.1 【解析】将直线 l 代入抛物线 C,得 k2(x+1)2=4x,即 k2x2+2(k2-2)x+k2=0,由Δ=4(k2-2)2-4k4>0,得 k2<1. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2=1,又 F(1,0), 所以 k1+k2= + x1-1 x2-1

y1

y2

k(x1+1) k(x2+1) = + x1-1 x2-1 (x1+1)(x2-1)+(x2+1)(x1-1) =k· (x1-1)(x2-1) 2x1x2-2 =k· =0,选 C. (x1-1)(x2-1)
【答案】C 9.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点作倾斜角为 30°的直 线与抛物线交于 P、Q 两点,分别过 P、Q 两点作 PP1、QQ1 垂直于抛物线的准线于 P1、Q1,若|PQ|=2,则四边形 PP1Q1Q 的面积是( ). A.1 B.2 C.3 D. 3

【解析】 不妨令|Q1Q|<|PP1|, 作 QN⊥PP1 于点 N, 则|Q1P1| 1 =|QN|= |PQ|=1,由抛物线的定义得|QQ1|+|PP1|=|PQ| 2 1 =2,故四边形 PP1Q1Q 的面积 S= (|QQ1|+|PP1|)×|Q1P1|= 2 1 ×2×1=1,选 A. 2 【答案】A 二、填空题 10.已知抛物线 x2=2py(p>0)的焦点在直线 x+2y-2 =0 上,则该抛物线的准线方程为________. 【解析】∵直线 x+2y-2=0 与 y 轴的交点为(0,1),

∴抛物线的准线方程为 y=-1. 【答案】y=-1

x2 y2 11.过椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)长轴的一个顶点作圆 a b x2+y2=b2 的两条切线,切点分别为 A、B,若∠AOB=90°(O 是坐标原点),则椭圆 C 的离心率为________. 【解析】过椭圆长轴的一个顶点 A1 作圆 x2+y2=b2 的两 条切线,切点分别为 A、B,则四边形 OAA1B 为正方形,所以 c 2 a= 2b= 2c,故椭圆的离心率为 e= = . a 2

2 【答案】 2 12.已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上, 直线 l:y=x-1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2,则过圆心且 与直线 l 垂直的直线的方程为__________. 【解析】由题意,设所求的直线方程为 x+y+m=0, 圆心坐标为(a,0), |a-1| 2 2 则由题意知( ) +2=(a-1) ,解得 a=3 或 a= 2 -1. 又因为圆心在 x 轴的正半轴上,所以 a=3,故圆心坐

标为(3,0). 因为圆心(3, 0)在所求的直线上, 所以有 3+0+m=0, 即 m=-3,故所求的直线方程为 x+y-3=0. 【答案】x+y-3=0 三、解答题

x2 y2 13. 设椭圆 C: 2+ =1(a>0)的左、 右焦点分别为 F1、 a 2
→2·F → F2,A 是椭圆 C 上的一点,且AF 1F2=0,坐标原点 O 到直 1 线 AF1 的距离为 |OF1|. 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 Q 是椭圆 C 上的一点,过 Q 的直线 l 交 x 轴于点

P(-1,0),交 y 轴于点 M,若→ MQ=2→ QP,求直线 l 的方
程. 【解析】(1)由题设知 F1(- a2-2,0),F2( a2-2, 0) →2·F → → → 由于AF 1F2=0,则有AF2⊥F1F2, 2 ∴点 A 的坐标为( a -2,± ),
2

a

x 1 故 AF1 所在直线方程为 y=±( + ), 2 a a -2 a

又|OF1|= a2-2,

a2-2 1 2 ∴ 2 = a -2,解得 a=2(a> 2), a -1 3
∴所求椭圆的方程为 + =1. 4 2 (2)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y =k(x+1),则有 M(0,k), 设 Q(x1,y1),由于→ MQ=2→ QP, ∴(x1,y1-k)=2(-1-x1,-y1), 2 k 解得 x1=- ,y1= . 3 3

x2 y2

2 2 k 2 (- ) ( ) 3 3 又 Q 在椭圆 C 上,得 + =1,解得 k=± 4 2 4, 故直线 l 的方程为 y=±4(x+1).

一、选择题 1.已知 b>0,直线(b2+1)x+ay+2=0 与直线 x-b2y -1=0 互相垂直,则 ab 的最小值等于( ). A.1 B.2 C.2 2 D.2 3

2 b +1 2 2 【解析】由题意知(b +1)-ab =0,∴ab= =b+ b

1 ≥2,当且仅当 b=1 时等号成立,选 B.

b

【答案】B 2 2 2.若直线 y=kx 与圆(x-2) +y =1 的两个交点关于 直线 2x+y+b=0 对称,则 k,b 的值分别为( ). 1 1 A. ,-4 B.- ,4 2 2 1 1 C. ,4 D.- ,-4 2 2 【解析】依题意知直线 y=kx 与直线 2x+y+b=0 垂直,

1 ∴k= .又易知直线 2x+y+b=0 过圆心(2,0),∴b 2 =-4,选 A. 【答案】A 2 3.已知 F 是抛物线 y =x 的焦点,A、B 是抛物线上的 两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点 M 到 y 轴的距离为 ( ). 3 5 7 A. B. C. D.1 4 4 4 【解析】由抛物线定义知,AB 的中点 M 到 y 轴的距离 d 1 p 1 1 5 = (|AF|+|BF|)- = ×3- = ,选 B. 2 2 2 4 4

【答案】B 4.已知等边△ABC 中,D、E 分别是 CA、CB 的中点,以 A、B 为焦点且过 D、E 的椭圆和双曲线的离心率分别为 e1、 e2,则下列关于 e1、e2 的关系式不正确的是( ). A.e2+e1=2 B.e2-e1=2 C.e2e1=2

e2 D. >2 e1

【解析】设|AB|=2c,则|AD|=c,|BD|= 3c,由 3c +c=2a1,得 e1= 3-1;由 3c-c=2a2,得 e2= 3+1. 逐一验证选项,知选 A. 【答案】A

5.已知双曲线 C: - =1 的左、右焦点分别为 F1、 4 5 →1·PF →2等于 F2,P 为 C 的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则PF ( ). A.24 B.48 C.50 D.56 【解析】由已知|PF2|=|F1F2|=6,根据双曲线的定义 5 得|PF1|=10,在△F1PF2 中,由余弦定理得 cos∠F1PF2= , 6 5 → → 所以PF1·PF2=10×6× =50,选 C. 6 【答案】C

x2 y2

6.与抛物线 y =8x 相切且倾斜角为 135°的直线 l 与 x 轴和 y 轴的交点分别是 A 和 B,那么过 A、B 两点的最小圆 2 截抛物线 y =8x 的准线所得的弦长为( ). A.4 B.2 2 C.2 D. 2 【解析】设直线 l 的方程为 y=-x+m,代入抛物线方程得 x2-2(m+4)x+m2=0, 由Δ=4(m+4)2-4m2=0, 得 m=-2, 即直线 l 的方程为 y=-x-2,此时|AB|=2 2,即最小圆 1 半径 r= |AB|= 2,圆心为(-1,-1),所以圆的方程为 2 (x+1)2+(y+1)2=2,令 x=-2,得 y1=0,y2=-2,

2

故所求弦长为|y1-y2|=2. 【答案】C 7.若直线 y=k1x+1 与直线 y=k2x-1 的交点在椭圆 2x2+y2=1 上,则 k1·k2 的值为( ). 1 A.- 2 2 B.- C.- 2 D.-2 2

? ?x= 2 , ? k2-k1 ?y=k1x+1, ? 【解析】由? 得? ? k2+k1 ?y=k2x-1, ? y= , ? k - k ? 2 1

2 k2+k1 又交点( , )在椭圆 2x2+y2=1 上, k2-k1 k2-k1 2 2 k2+k1 2 所以 2( ) +( ) =1,化简得 k1·k2=-2. k2-k1 k2-k1 【答案】D 8. 已知椭圆 + =1 上有两个动点 P、 Q, 点 E(3, 0), 36 9 →的最小值为( 且 EP⊥EQ,则→ EP·QP ).

x2

y2

A.6 B.3- 3 C.9 D.12-6 3 →|·|→ 【解析】∵EP⊥EQ,∴→ EP·→ QP=|EP QP|cos∠EPQ

→ | EP| → 2 → → =|EP|·|QP|· =|EP| ,又 E(3,0),点 P 在椭圆 |→ QP| →|2=9 时, + =1 上, ∴当点 P 为椭圆顶点(6, 0), 即|EP 36 9 → EP·→ QP取最小值,最小值为 9,选 C. 【答案】C 9.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的 直线交抛物线于 A、 B 两点, 若线段 AB 的中点的纵坐标为 2, 则该抛物线的准线方程为( ). A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 【解析】设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则有 y2 y2 1=2px1, 2=2px2,

x2

y2

y1-y2 直线的斜率为 1,所以 =1,所以有 y1+y2=2p. x1-x2 又线段 AB 的中点的纵坐标为 2,即 y1+y2=4,所以 p=2, p 所以抛物线的准线方程为 x=- =-1.
2 【答案】B 10. 定义: 关于 x 的不等式|x-A|<B 的解集叫 A 的 B 邻域. 已 知 a+b-2 的 a+b 邻域为区间(-2,8),其中 a、b 分别为

x2 y2 椭圆 2+ 2=1 的长半轴和短半轴.若此椭圆的一焦 a b

点与抛物线 y2 =4 5 x 的焦点重合,则椭圆的方程为 ( ). A. + =1 B. + =1 8 3 9 4 C. + =1 D. + =1 9 8 16 9 【解析】依定义|x-(a+b-2)|<a+b,得-2<x<2a+ 2b-2,即 2a+2b-2=8,得 a+b=5,又因为椭圆的一焦 点与抛物线 y2=4 5x 的焦点重合,所以 a2-b2=c= 5, 解得 a=3,b=2,选 B. 【答案】B

x2 y2 x2 y2

x2 y2 x2

y2

11.设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5.若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程 为( ). 2 2 2 2 A.y =4x 或 y =8x B.y =2x 或 y =8x 2 2 2 2 C.y =4x 或 y =16x D.y =2x 或 y =16x

2

y2 y2 p 0 0 【解析】设 M( ,y0),则|MF|= + =5, ① 2p 2p 2 y2 p 0 又以 MF 为直径的圆过点 N(0,2),∴NM·NF= × - 2p 2 2×(y0-2)=0, ② 联立①②解得 p=2 或 8.

【答案】C 12. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点, 且左、 右焦点分别为 F1、F2,两条曲线在第一象限的交点记为 P, △PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,椭圆与 双曲线的离心率分别为 e1、 e2, 则 e1· e2 的取值范围是( ). 1 1 1 1 1 A.(0, ) B.( , ) C.( ,+∞) D.( ,+∞) 5 5 3 3 5 5 【解析】 易知|F1F2|=|PF2|=2c, ∴2c+2c>10, 得 c> , 2 2c 2c c2 1 1 ∴e1·e2= · = > . 2= 10+2c 10-2c 25-c 25 3 2 -1

c

【答案】C 二、填空题 13.若过点 P(1-a,1+a)与 Q(3,2a)的直线的倾斜角 为钝角,则实数 a 的取值范围是________. 2a-1-a a-1 【解析】由 kPQ= = <0,得-2<a<1,所以 3-1+a a+2 实数 a 的取值范围是(-2,1). 【答案】(-2,1) 1 2 2 14.若圆 x +y +mx- =0 与直线 y=-1 相切,其圆 4 心在 y 轴的左侧,则 m=________.

1 2 【解析】圆的方程化为(x+ ) +y = (m +1),∴圆心 2 4 在 x 轴上,且 m>0,又圆与直线 y=-1 相切, 1 2 ∴圆的半径为 1,∴ (m +1)=1,解得 m= 3. 4
2 2

m

【答案】 3

x2 y2 15. 设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点分别为 F1、 F2, a b
3 → → 点 P 在椭圆上,且PF1·PF2=0,tan∠PF1F2= ,则该椭圆 3 的离心率为________.

→1·PF →2=0,知 PF1⊥PF2. 【解析】由PF 3 由 tan∠PF1F2= ,知∠PF1F2=30°, 3 则|PF1|+|PF2|=|F1F2|(cos 30°+sin 30°)=( 3+

c 2 1)c=2a,即 e= = = 3-1. a 3+1
【答案】 3-1 16.已知点 P 是抛物线 y2=4x 上一个动点,Q 为圆 x2 +(y-4)2=1 上一个动点, 则点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛 物线的准线距离之和的最小值是________.

【解析】P 到抛物线的准线距离即为 P 到抛物线的焦点 F(1, 0)的距离, 于是, 问题转化为求|PQ|+|PF|的最小值, 则需要 F、 P、 Q 三点共线, 即求|FQ|的最小值, 连接圆心(0, 4)和 F(1,0),与圆的交点 Q 即为所求,此时|FQ|= 17- 1. 【答案】 17-1 三、解答题 17.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),点

B 在直线 y=-3 上,点 M 满足→ MB∥→ OA,→ MA·→ AB=→ MB·→ BA, 点 M 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程;

(2)P 为 C 曲线上的动点,l 为曲线 C 在点 P 处的切线, 求点 O 到直线 l 距离的最小值. 【解析】 (1)设 M(x, y), 由已知得 B(x, -3), 又 A(0, -1), 所以→ MA=(-x,-1-y),→ MB=(0,-3-y),→ AB=(x, -2). →+→ 再由题意可知(MA MB)·→ AB=0, 则有(-x,-4-2y)·(x,-2)=0,即-x2+8+4y= 0, 1 2 所以曲线 C 的方程为 y= x -2. 4

1 2 (2)设 P(x0,y0)为曲线 C:y= x -2 上一点, 4 1 1 因为 y′= x,所以直线 l 的斜率为 x0. 2 2 1 因此直线 l 的方程为 y-y0= x0(x-x0), 2 2 即 x0x-2y+2y0-x0=0, |2y0-x2 0| 则点 O 到 l 的距离 d= . 2 x0+4 1 2 又 y0= x0-2, 4

1 2 x0+4 2 1 4 2 所以 d= 2 = ( x0+4+ 2 )≥2, x0+4 2 x0+4 当 x0=0 时取等号,所以点 O 到直线 l 的距离的最小值 为 2.

x2 y2 2 18.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= , a b 2
左、右焦点分别为 F1、F2,点 P(2, 3),点 F2 在线段 PF1 的中垂线上. (1)求椭圆 C 的方程;

(2)设直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于 M、N 两点,直线 F2M 与 F2N 的倾斜角互补,求证:直线 l 过定点,并求该定 点的坐标. 2 c 2 【解析】(1)由椭圆 C 的离心率 e= ,得 = ,其 2 a 2 中 c= a2-b2, 椭圆 C 的左、 右焦点分别为 F1(-c, 0)、 F2(c, 0), 又因为点 F2 在线段 PF1 的中垂线上, 所以|F1F2|=|PF2|, 所以(2c)2=( 3)2+(2-c)2,

解得 c=1,a2=2,b2=1,故椭圆的方程为 +y2=1. 2 (2)由题意知直线 MN 存在斜率,其方程为 y=kx+m,
2 x ? ? +y2=1, 2 2 2 联立方程? 2 消去 y, 得(2k +1)x +4kmx+2m ? ?y=kx+m,

x2

-2=0,Δ=(4km) -4(2k +1)(2m -2)>0,即 2k -m +1 >0. 2 4km 2m -2 设 M(x1, y1)、 N(x2, y2), 则 x1+x2=- 2 , x1x2= 2 , 2k +1 2k +1 kx1+m kx2+m 且 kF2M= ,kF2N= , x1-1 x2-1

2

2

2

2

2

由已知直线 F2M 与 F2N 的倾斜角互补, 得 kF2M+kF2N=0, kx1+m kx2+m 即 + =0, x1-1 x2-1 化简,得 2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0, 2m2-2 4km ∴2k· 2 +(m-k)(- 2 )-2m=0, 2k +1 2k +1 整理得 m=-2k,故直线 MN 的方程为 y=k(x-2), 因此直线 MN 过定点(2,0).

19. 如图, 已知抛物线 M: y =2px(p>0) 上一个横坐标为 3 的点到其焦点的距离为 4.过点 P(2,0)且与 x 轴垂直的直线 l1 与 抛物线 M 相交于 A、B 两点,过点 P 且与 x 轴不垂直的直线 l2 与抛物线 M 相交于 C、D 两点,直线 BC 与 DA 相交于点 E. (1)求抛物线 M 的方程. (2)请判断点 E 的横坐标是否为定值?若是,求出此定 值;若不是,请说明理由. 【解析】(1)由题意可知 3+ =4,所以 p=2,即抛物 2 线 M 的方程为 y2=4x.

2

p

(2)可求得 A(2,2 2),B(2,-2 2),设 C( ,y1), 4

y2 1

D( ,y2),E 点横坐标为 xE,直线 CD 的方程为 x=ty+2(t
4 ≠0),
? ?x=ty+2, 联立方程? 2 得 ? ?y =4x,

y2 2

y2-4ty-8=0,显然Δ>0,

则有 y1+y2=4t,y1y2=-8, 4 直线 AD 的方程为 y-2 2= (x-2), y2+2 2

4 直线 BC 的方程为 y+2 2= (x-2), y1-2 2 联 立 方 程 消 去

y

化 简 得 : xE - 2 =

y1y2+2 2y1-2 2y2-8 -8+2 2y1-2 2y2-8 2· = 2· = y2-y1+4 2 y2-y1+4 2
-4(y2-y1+4 2) =-4, y2-y1+4 2 所以 xE=-2,即点 E 的横坐标为定值,且定值为-2.

x2 y2 x2 y2 20.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与椭圆 + =1 有相 a b 9 5
同的焦点 F1、F2,且该双曲线的渐近线方程为 y=± 3x. (1)求双曲线的标准方程; (2)过该双曲线的右焦点 F2 作斜率不为零的直线与此双 →2=λF → 曲线的左、右两支分别交于点 M、N,设MF 2N,当 x 轴 → → → 上的点 G 满足F 1F2⊥(GM-λGN)时,求点 G 的坐标.

b 【解析】(1)由题可知 = 3,c=2,又 c2=a2+b2,解 a 2 y 得 a2=1,b2=3,故双曲线的标准方程为 x2- =1.
3

(2) 设 过 点 F2 的 直 线 方 程 为 x = ky + 2 , 联 立 方 程
2 y ? ?x2- =1, 3 ? 消去 x,得(3k2-1)y2+12ky+9=0. ? ?x=ky+2,

设 M(x1,y1),N(x2,y2), -12k 9 则有 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 , ① 3k -1 3k -1

y1 → → 由MF2=λF2N得λ=- . y2



→ → → → 设 G(t,0),由F 1F2=(4,0)及F1F2⊥(GM-λGN),得(x1 -t-λx2+λt,y1-λy2)·(4,0)=0,

即 x1-t-λx2+λt=0.



y1 y1 由②③得 ky1+2-t+ (ky2+2)- t=0, y2 y2 即 2ky1y2+(2-t)(y1+y2)=0, ④
1 1 由①④得 k(2t-1)=0,又 k≠0,所以 t= ,故 G( , 2 2 0).

21.如图,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,其左 焦点到点P(2,1)的距离为,不过原点O的直线l与C相交于A, B两点,且线段AB被直线OP平分. (1)求椭圆C的方程; (2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程. 【解析】(1)设椭圆的左焦点为F(-c,0),

? (2+c)2+1= 10, ? ? ?c=1, 则由题意得?c 1 解得? ? = , ?a=2. ? ?a 2 x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 4 3 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M. 当直线 AB 与 x 轴垂直时, 线段 AB 不能被直线 OP 平分, 舍去.故可设直线 AB 的方程为 y=kx+m(m≠0).
? ?y=kx+m, 由? 2 消去 2 ? ?3x +4y =12,

y,

整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, ①

则Δ=64k m -4(3+4k )(4m -12)>0,即 m <3+4k .

2

2

2

2

2

2

? ?x1+x2=- 8km 2, 3+4k ? 又? 2 4 m ?x x = -12, 1 2 2 ? 3+4k ?
4km 3m 所以线段 AB 的中点 M(- 2, 2). 3+4k 3+4k 3m -2km 因为 M 在直线 OP 上,所以 2= 2. 3+4k 3+4k 3 得 m=0(舍去)或 k=- , 2 此时方程①为 3x2-3mx+m2-3=0,

?x1+x2=m, ? 2 则有Δ=3(12-m )>0,? m2-3 x1x2= , ? 3 ?
39 所以|AB|= 1+k ·|x1-x2|= · 12-m2. 6
2

设点 P 到直线 AB 的距离为 d, |8-2m| 2|m-4| 则有 d= 2 2 = . 3 +2 13 设△ABP 的面积为 S,

1 3 则 S= |AB|·d= · (m-4)2(12-m2). 2 6 其中 m∈(-2 3,0)∪(0,2 3), 令 u(m)=(12-m )(m-4) ,m∈[-2 3,2 3],
2 2

u ′ (m) =- 4(m - 4)(m2 - 2m - 6) =- 4(m - 4)(m - 1 -
7)(m-1+ 7), 所以当且仅当 m=1- 7时,u(m)取到最大值, 故当且仅当 m=1- 7时,S 取到最大值. 综上,所求直线 l 方程为 3x+2y+2 7-2=0.

22.已知椭圆 W 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 6 为 ,焦距为 4,椭圆 W 的左焦点为 F,过点 M(-3,0)任 3 作一条斜率不为零的直线 l 与椭圆 W 交于不同的两点 A、 B, 点 A 关于 x 轴的对称点为 C. (1)求椭圆 W 的方程. (2)→ CF=λ→ FB(λ∈R)是否成立?并说明理由. (3)求△MBC 面积 S 的最大值.

x2 y2 【解析】(1)设椭圆 W 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b

6 2 (2)依题意可设直线 l 的方程为 y=k(x+3),代入椭圆 2 2 2 2 方程,得(3k +1)x +18k x+27k -6=0, 2 2 2 2 2 2 ∴Δ=(18k ) -4(3k +1)(27k -6)>0,解得 k < . 3 -18k2 27k2-6 设 A(x1, y1), B(x2, y2), 则 x1+x2= 2 , x1x2= 2 . 3k +1 3k +1

2 2 2 a = b + c , ? ? ?c 6 由题意可知? = , 解得 a= 6,c=2,b= 2, ?a 3 ? ?2c=4, x2 y2 ∴椭圆 W 的方程为 + =1.

∵y1=k(x1+3),y2=k(x2+3),F(-2,0),C(x1,- y1), →=(x1+2,-y1),→ ∴FC FB=(x2+2,y2), (x1 + 2)y2 - (x2 + 2)( - y1) = (x1 + 2)k(x2 + 3) + (x2 + 2)k(x1+3) =k[2x1x2+5(x1+x2)+12] 27k2-6 -18k2 =k[2( 2 )+5( 2 )+12] 3k +1 3k +1 k(54k2-12-90k2+12+36k2) = =0, 2 3k +1 →=λ→ ∴CF FB成立.

2 1 1 (3)由(2)知 k < ,依题意 S= |MF|·|y1|+ |MF|·|y2| 3 2 2 1 1 3|k| 3 = |MF|·|y1+y2|= |k(x1+x2)+6k|= 2 = 2 2 3k +1 1 3|k|+ |k|
2

3 1 2 2 ≤ = ,当且仅当 k = < 时等号成立, 3 3 2 3 2 3 故△MBC 面积的最大值为 . 2

3


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