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2014高考数学(文)二轮专题突破课件 圆锥曲线中的范围、存在性和证明问题


第三讲 高考中的圆锥曲线?解答题型?

考点 圆锥曲线中的范围(或取值)问题 圆锥曲线中的存在性问题 圆锥曲线中的证明问题 圆锥曲线中的定点问题 圆锥曲线中的定值问题 圆锥曲线中的最值问题

考情 1.圆锥曲线的标准方程、几何性质和直线与圆锥曲线的位置 关系的综合性问题仍然是高考的重点. 2.求特定字母的取值范围问题是近几年高考的热点题

型,如 2013年四川T20.这类问题的综合性强、涉及面广,经常将解析 几何与平面几何、函数、不等式、三角函数等知识联系起来, 并且还渗透着函数与方程、数形结合、转化与化归等一些重要 数学思想方法,具有一定的难度,应加强复习,重点突破. 3.存在性问题与证明问题是近几年高考试题对解析几何考查 的一种热点题型,以判断满足条件的点、直线、参数是否存在 ,证明直线与圆锥曲线的位置关系,数量关系(等量或不等量) 为主要呈现方式,多以解答题的形式考查.

考情 4.定点、定值与最值问题是一类综合性强、能力要求 高的问题,也是近几年高考对解析几何考查的一个重点和 热点内容,如2013年江西T20.这类问题以直线和圆锥曲线的 位置关系为载体,以参数处理为核心,需要综合运用函数

与方程、不等式、平面向量等诸多知识以及数形结合、分
类讨论等多种数学思想方法进行求解.对考生的代数恒等 变形能力、计算能力等有较高的要求.

x2 y2 3 1.(2013· 江西高考)椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,a a b 2 +b=3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,A,B,D 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外 的任意一点,直线 DP 交 x 轴于点 N,直线 AD 交 BP 于点 M, 设 BP 的斜率为 k,MN 的斜率为 m.证明:2m-k 为定值.

3 c 2 1 解:(1)因为 e= =a,所以 a= c,b= c,代入 a+b=3, 2 3 3 得 c= 3,a=2,b=1. x2 2 故椭圆 C 的方程为 +y =1. 4 (2)证明:法一:因为 B(2,0),P 不为椭圆顶点,则直线 BP 的 方程为
? 1? y=k(x-2)?k≠0,k≠± ?, 2? ?



x2 2 把①代入 +y =1, 4

解得

?8k2-2 4k ? ? ? ,- 2 P? 2 . 4k +1 4k +1? ? ?

1 直线 AD 的方程为 y= x+1. 2 ①与②联立解得 由
?4k+2 4k ? ? ? , M? . 2k-1 2k-1? ? ?



?8k2-2 4k ? ? ? ,- 2 D(0,1),P? 2 ?,N(x,0)三点共线知 4k +1? ?4k +1

4k - 2 -1 ?4k-2 ? 4k +1 0-1 ? ,0?. = ,解得 N? ? 8k2-2 x-0 ?2k+1 ? -0 4k2+1

4k -0 2k-1 所以 MN 的斜率为 m= = 4k+2 4k-2 - 2k-1 2k+1 4k?2k+1? 2k+1 = , 4 2?2k+1?2-2?2k-1?2 2k+1 1 则 2m-k= -k= (定值). 2 2 y0 法二:设 P(x0,y0)(x0≠0,x0≠± 2),则 k= , x0-2 1 直线 AD 的方程为 y= (x+2), 2 y0 直线 BP 的方程为 y= (x-2), x0-2

?y=1?x+2?, ? 2 联立? y ?y= 0 ?x-2?, ? x0-2
?4y0+2x0-4 ? 4y0 ?. , 解得 M? 2y0-x0+2 2y0-x0+2? ? ? -x0 ? y0-1 ,0?. 直线 DP 的方程为 y-1= x, y=0, 令 由于 y0≠1, 可得 N? x0 ?y0-1 ?

因此 MN 的斜率为 4y0 2y0-x0+2 m= 4y0+2x0-4 x0 + 2y0-x0+2 y0-1

4y0?y0-1? = 2 4y0-8y0+4x0y0-x2+4 0 4y0?y0-1? = 2 4y0-8y0+4x0y0-?4-4y2?+4 0 y0-1 = , 2y0+x0-2 2?y0-1? y0 所以 2m-k= - 2y0+x0-2 x0-2

2?y0-1??x0-2?-y0?2y0+x0-2? = ?2y0+x0-2??x0-2? 2?y0-1??x0-2?-2y2-y0?x0-2? 0 = ?2y0+x0-2??x0-2? 1 2?y0-1??x0-2?- ?4-x2?-y0?x0-2? 0 2 = ?2y0+x0-2??x0-2? 1 = (定值). 2

x2 y2 2.(2013· 安徽高考)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4, a b 且过点 P( 2, 3). (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 Q(x0,y0)(x0y0≠0)为椭圆 C 上一点.过点 Q 作 x 轴 的垂线,垂足为 E.取点 A(0,2 2),连接 AE.过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D.点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点, 作直线 QG.问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯 一的公共点?并说明理由.

解: (1)因为焦距为 4, 所以 a2-b2=4.又因为椭圆 C 过点 P( 2, 2 3 3),所以 2+ 2=1,故 a2=8,b2=4. a b x2 y2 从而椭圆 C 的方程为 + =1. 8 4 (2)一定有唯一的公共点. 理由:由题意,知 E 点坐标为(x0,0). ??? ? ??? ? 设 D(xD,0),则 AE =(x0,-2 2), AD =(xD,-2 2).

??? ??? ? ? 由 AD⊥AE 知, AE · =0,即 xDx0+8=0. AD
8 由于 x0y0≠0,故 xD=- . x0 因为点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,所以点 x0y0 故直线 QG 的斜率 kQG= = . 8 x2-8 0 x0- x0
2 2 又因为点 Q(x0,y0)在椭圆 C 上,所以 x0+2y0=8.①

?8 ? G?x ,0?. ? 0 ?

y0

x0 从而 kQG=- . 2y0

8? x0 ? 故直线 QG 的方程为 y=- ?x-x ?. 2y0? 0? 将②代入椭圆 C 方程,得 (x2+2y2)x2-16x0x+64-16y2=0. 0 0 0





再将①代入③,化简得 x2-2x0x+x2=0, 0 解得 x=x0,y=y0. 即直线 QG 与椭圆 C 一定有唯一的公共点.

1.圆锥曲线中的范围问题 (1)解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系. (2)建立目标函数的关键是选用一个合适的变量, 其原则是 这个变量能够表达要解决的问题;建立不等关系的关键是运用 圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理.

2.圆锥曲线中的存在性问题 (1)所谓存在性问题,就是判断满足某个(某些)条件的点、 直线、曲线(或参数)等几何元素是否存在的问题. (2)这类问题通常以开放性的设问方式给出, 若存在符合条 件的几何元素或参数值,就求出这些几何元素或参数值;若不 存在,则要求说明理由.

3.圆锥曲线中的证明问题 圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一类是证明点、直 线、曲线等几何元素中的位置关系,如:某点在某直线上、某 直线经过某个点、 某两条直线平行或垂直等; 另一类是证明直 线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).

4.定点问题 (1)解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直 线或曲线中的参数如何变化,直线或曲线都经过某一个定点. (2)定点问题是在变化中所表现出来的不变的点,那么就 可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等,这 些直线方程、数量积、比例关系不受变量所影响的某个点,就 是要求的定点.

5.定值问题 解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、 图形 的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的 值等和题目中的参数无关,不随参数的变化而变化,而始终是 一个确定的值. 6.最值问题 圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体 上主要有两种方法:一是利用几何方法,即利用曲线的定义、 几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用 代数方法, 即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些) 参数的函数,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.

第一课时

圆锥曲线中的范围、存在性和证明问题

圆锥曲线中的范围问题
[例 1] 已知点 P(4,4),圆 C:(x-m)2

x2 y2 +y2=5(m<3)与椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0) a b 有一个公共点 A(3,1),F1、F2 分别是椭圆 的左、右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切. (1)求 m 的值与椭圆 E 的方程;

??? ??? ? ? AQ (2)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求 AP · 的取值范围.

[自主解答]

(1)将点 A 的坐标代入圆 C 方程,

得(3-m)2+1=5, ∵m<3,∴m=1. 故圆 C:(x-1)2+y2=5. 设直线 PF1 的斜率为 k, 则 PF1:y=k(x-4)+4,即 kx-y-4k+4=0. |k-0-4k+4| ∵直线 PF1 与圆 C 相切,∴ = 5, 2 k +1 11 1 解得 k= 或 k= . 2 2

11 36 当 k= 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ,不 2 11 合题意,舍去; 1 当 k= 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为-4. 2 ∴c=4,F1(-4,0),F2(4,0). 2a=|AF1|+|AF2|=5 2+ 2=6 2, a=3 2,a2=18,b2=2. x2 y2 ∴椭圆 E 的方程为 + =1. 18 2

??? ? ??? ? (2) AP =(1,3).设 Q(x,y),则 AQ =(x-3,y-1), ??? ??? ? ? AQ AP · =(x-3)+3(y-1)=x+3y-6.

x2 y2 ∵ + =1,即 x2+(3y)2=18. 18 2 而 x2+(3y)2≥2|x|· |3y|,∴-18≤6xy≤18, 则 (x+ 3y)2 = x2 + (3y)2 + 6xy= 18+ 6xy 的取值范围是 [0,36], 即 x+3y 的取值范围是[-6,6], ??? ??? ? ? AQ 又∵ AP · =x+3y-6, ??? ??? ? ? AQ ∴ AP · 的取值范围是[-12,0].

——————————规律· 总结———————————— 解决圆锥曲线中范围问题的方法

一般题目中没有给出明确的不等关系,首先需要根据已 知条件进行转化,利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐 标确定不等关系;然后构造目标函数,把原问题转化为求函 数的值域或引入参数根据参数范围求解,解题时应注意挖掘 题目中的隐含条件,寻找量与量之间的转化.
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x2 y2 1.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0),且离心 a b 1 率为 . 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,线段 MN 的 垂直平分线交 y 轴于点 P(0,y0),求 y0 的取值范围.

解:(1)设椭圆 C 的半焦距是 c.依题意,得 c=1. 1 因为椭圆 C 的离心率为 , 2 所以 a=2c=2,b2=a2-c2=3. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)当 MN⊥x 轴时,显然 y0=0. 当 MN 与 x 轴不垂直时,可设直线 MN 的方程为 y=k(x-1)(k≠0). ?y=k?x-1?, ? 2 2 由?x y ? 4 + 3 =1, ?

消去 y 并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0, 8k2 则 x1+x2= . 3+4k2 设 M(x1,y1),N(x2,y2),线段 MN 的中点为 Q(x3,y3), x1+x2 -3k 4k2 则 x3= = ,y =k(x3-1)= . 2 3+4k2 3 3+4k2 线段 MN 的垂直平分线的方程为 4k2 ? 3k 1? ? ? y+ 2 ?. 2=- ?x- k? 3+4k ? 3+4k

k 1 在上述方程中,令 x=0,得 y0= = . 3+4k2 3 k+4k 3 3 当 k<0 时,k+4k≤-4 3;当 k>0 时,k+4k≥4 3. 3 3 所以- ≤y0<0 或 0<y0≤ . 12 12
? 3 3? ? 综上,y0 的取值范围是?- , ?. 12 ? ? 12 ?

圆锥曲线中的存在性问题
[例 2] 已知抛物线 P:y2=4x 的焦点为 F,经过点 H(4,0)作直

线与抛物线 P 相交于 A,B 两点,设 A(x1,y1),B(x2,y2). (1)求 y1y2 的值; (2)是否存在常数 a,当点 M 在抛物线 P 上运动时,直线 x=a 都与以 MF 为直径的圆相切?若存在,求出所有 a 的值;若不存在, 请说明理由.

[自主解答] (1)∵A(x1,y1),B(x2,y2),H(4,0), ??? ? ??? ? ∴ HA =(x1-4,y1), HB =(x2-4,y2). ∵A(x1,y1),B(x2,y2),H(4,0)在一条直线上, ∴(x1-4)y2-(x2-4)y1=0. ∵A(x1,y1),B(x2,y2)都在抛物线 y2=4x 上, y2 y2 1 2 ∴x1= ,x2= , 4 4
2 ?y2 ? ?y2 ? 1 ∴? 4 -4?y2-? 4 -4?y1=0, ? ? ? ?

y1y2 即 (y -y )=-4(y1-y2). 4 1 2 根据已知得 y1≠y2,∴y1y2=-16. (2)存在. ∵F 是抛物线 P 的焦点,∴F(1,0). 设 M(x,y),则 MF 的中点为
?x+1 y ? ? N? , ?,|MF|=1+x. ? 2 2? ?

∵直线 x=a 与以 MF 为直径的圆相切的充要条件是
?x+1 y ? ? ? N? , ?到直线 2? ? 2

|MF| x=a 的距离等于 , 2

?x+1 ? 1+x ? ? 即? -a?= 2 ,∴ax=a2-a. ? 2 ?

∵对于抛物线 P 上的任意一点 M,直线 x=a 都与以 MF 为直径的圆相切, ∴关于 x 的方程 ax=a2-a 对任意的 x≥0 都要成立.
?a=0, ? ∴? 2 ?a -a=0, ?

解得 a=0.

∴存在常数 a,并且仅有 a=0 满足“当点 M 在抛物线 P 上运动时,直线 x=a 都与以 MF 为直径的圆相切”.

若(2)中相切改为相交呢?

x+1 解: 假设直线 x=a 与以 MF 为直径的圆相交, 则有| 2 x+1 -a|< ,即 0<a<x+1 对任意 x≥0 恒成立.因此,0<a 2 <1.

——————————规律· 总结————————————

存在性问题的解题步骤

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2.在平面直角坐标系 xOy 中,F 是抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦 点,M 是抛物线 C 上位于第一象限内的任意一点,过 M,F, 3 O 三点的圆的圆心为 Q,点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 . 4 (1)求抛物线 C 的方程; (2)是否存在点 M,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M? 若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.

解:(1)依题意知 上.

? p? F?0,2?,圆心 ? ?

p Q 在线段 OF 的垂直平分线 y=4

p 3p 3 因为抛物线 C 的准线方程为 y=-2,所以 4 =4,即 p=1, 因此抛物线 C 的方程为 x2=2y. (2)假设存在点 切线斜率为
? x2? 0 M?x0, 2 ?(x0>0)满足条件,抛物线 ? ?

C 在点 M 处的

?x2? y′|x=x0=? 2 ?′|x=x0=x0, ? ?

x2 0 所以直线 MQ 的方程为 y- 2 =x0(x-x0).

1 x0 1 令 y=4,得 xQ= 2 +4x , 0 所以
?x0 1 1? Q? 2 +4x ,4?. ? ? 0

又|QM|=|OQ|,
? 1 x0?2 ?1 x2?2 ? 1 x0?2 1 0 故?4x - 2 ? +?4- 2 ? =?4x + 2 ? +16, ? 0 ? ? ? ? 0 ? ?1 x2?2 9 0 ? - ? = ,又因为 因此 4 2 16 ? ?

x0>0,

所以 x0= 2,此时 M( 2,1). 故存在点 M( 2,1),使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M.

圆锥曲线中的证明问题
[例 3] 已知曲线 C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R).

(1)若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,求 m 的取值范围; (2)设 m=4,曲线 C 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的 上方),直线 y=kx+4 与曲线 C 交于不同的两点 M,N,直线 y= 1 与直线 BM 交于点 G.求证:A,G,N 三点共线.

[自主解答] ?5-m>0, ? ?m-2>0, ? 8 ? 8 > ?5-m m-2, ? 所以 m

(1)曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,当且仅当

7 解得 <m<5, 2

?7 ? 的取值范围是?2,5?. ? ?

(2)当 m=4 时,曲线 C 的方程为 x2+2y2=8,点 A,B 的坐标 分别为(0,2),(0,-2).
?y=kx+4, ? 由? 2 ?x +2y2=8, ?

得(1+2k2)x2+16kx+24=0,

设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 y1=kx1+4,y2=kx2+4, -16k 24 x1+x2= ,x1x2= . 1+2k2 1+2k2 因为直线与曲线 C 交于不同的两点, 3 所以 Δ=(16k) -4(1+2k )×24>0,即 k > . 2
2 2 2

y1+2 直线 BM 的方程为 y+2= x, x1 故点 G
? 3x1 ? ? 的坐标为?y +2,1?. ? ? 1 ?

因为直线 AN 和直线 AG 的斜率分别为 y2-2 y1+2 kAN= ,kAG=- , x2 3x1 y2-2 y1+2 kx2+2 kx1+6 所以 kAN-kAG= + = + = x2 3x1 x2 3x1 -16k 2× 1+2k2 2?x1+x2? 4 4 k+ = k+ =0. 3 x1x2 3 24 1+2k2 即 kAN=kAG. 故 A,G,N 三点共线.

——————————规律· 总结————————————
圆锥曲线中的证明问题的解决方法 ??? ? ??? ? (1)证 A、B、C 三点共线,可证 kAB=kAC 或 AB =λ BC ; ???? ???? (2)证直线 MA⊥MB,可证 kMA·MB=-1 或 MA· =0; k MB (3)证|AB|=|AC|,可证 A 点在线段 BC 的垂直平分线上.
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x2 y2 3.如图,F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a a b

>b>

0)的左、右焦点,过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 a2 点 P,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x= c 于点 Q. (1)若点 Q 的坐标为(4,4),求椭圆 C 的方程; (2)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

x2 y2 b2 解:(1)将点 P(-c,y1)(y1>0)代入 2+ 2=1,得 y1= a , a b b2 a -0 4-0 PF2⊥QF2? · =-1, -c-c 4-c 即 2b2=ac(4-c). a2 又 Q(4,4),∴ c =4, c2=a2-b2(a,b,c>0), 由①②③得:a=2,c=1,b= 3, x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 ① ② ③

(2)证明:设

?a2 ? Q? c ,y2?.由(1)知 ? ?

? b2? P?-c, a ?. ? ?

b2 y2-0 a -0 b2 cy2 ∴kPF2= =- ,kQF2= 2 = 2 2. 2ac a -c-c a -c c -c b2 cy2 ∴PF2⊥QF2?- ·2 2=-1?y2=2a, 2ac a -c b2 2a- a c ∴kPQ= 2 =a. a c +c 则直线 PQ 的方程可表示为:

b2 c y- a =a(x+c),即 cx-ay+a2=0, ?cx-ay+a2=0, ? 2 2 由?x y 消去 y 可得 ?a2+b2=1 ? a2x2+2ca2x+a4-a2b2=0. ∵a>0,∴x2+2cx+a2-b2=0, 即 x2+2cx+c2=0, 此时 Δ=(2c)2-4c2=0. 故直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

课题 18 [典例] 2 心率为 2 .

方程思想解决直线与圆锥曲线位置关系

(2013· 山东高考)在平面直角坐标系 xOy 中, 已

知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,短轴长为 2,离

(1)求椭圆 C 的方程; 6 (2)A,B 为椭圆 C 上满足△AOB 的面积为 4 的任意两 ??? ? 点, 为线段 AB 的中点, E 射线 OE 交椭圆 C 于点 P.设 OP = ??? ? t OE ,求实数 t 的值.

[考题揭秘]

本题综合考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置

关系、平面向量的坐标运算等知识,考查方程思想、分类讨论思 想、推理和运算求解能力. [审题过程] 第一步:审条件.椭圆中心在原点,焦点在 x

2 轴上,短轴长为 2,离心率为 . 2

第二步: 审结论. ①求椭圆的方程; ②A, 为椭圆上满足△AOB B 6 面积为 4 的任意两点, 为线段 AB 的中点, E 射线 OE 交椭圆于点 P, ??? ? ??? ? 若 OP =t OE ,求实数 t 的值. 第三步:建联系.第(1)问:通过椭圆的性质确定 a,b 的值,求 出方程;第(2)问:根据 A,B 两点是否关于 x 轴对称进行分类讨论, 分别设出直线 AB 的方程,通过联立方程组,判断 Δ,消元等一系列 运算,根据向量运算,得出结论.

[规范解答]

x2 y2 (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b

?a2=b2+c2, ? ?c 2 由题意知? = , ?a 2 ?2b=2, ?

解得 a= 2,b=1,

x2 2 因此椭圆 C 的方程为 +y =1. 2

(2)(ⅰ)当 A,B 两点关于 x 轴对称时, 设 直 线 AB 的 方 程 为 x = m , 由 题 意 得 - 2 <m<0 或

0<m< 2.????????????????????????? x2 2 将 x=m 代入椭圆方程 2 +y =1, 得|y|= 2-m2 2 .????????????????????? 2-m2 6 2 =4.

所以 S△AOB=|m|

1 3 解得 m2= 或 m2= . 2 2
??? ? ??? 1 ??? ??? ? ? ? 1 又 OP =t OE = t( OA+ OB )= t(2m,0)=(mt,0), 2 2



因为 P 为椭圆 C 上一点, ?mt?2 所以 =1. 2 4 由①②得 t2=4 或 t2= , 3 2 3 又 t>0,所以 t=2 或 t= . 3 ②

(ⅱ)当 A,B 两点关于 x 轴不对称时, 设直线 AB 的方程为 y=kx+h,??????????? x2 2 将其代入椭圆的方程 +y =1, 2 得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0.??????????? 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 由判别式 Δ>0 可得 1+2k2>h2, 2h2-2 4kh 此时 x1+x2=- ,x x = , 1+2k2 1 2 1+2k2

2h y1+y2=k(x1+x2)+2h= , 1+2k2 所以|AB|= 1+k2 ?x1+x2?2-4x1x2 1+2k2-h2 =2 2· 1+k2· .????????????? 2 1+2k |h| 因为点 O 到直线 AB 的距离 d= 2, 1+k 1+2k2-h2 1 1 |h| 2 所 以 S △ AOB = · d = ×2 2 1+k · |AB|· · 2= 2 2 1+2k2 1+k 1+2k2-h2 2· · |h|. 1+2k2 6 又 S△AOB= , 4

1+2k2-h2 6 所以 2· · |h|= . 4 1+2k2



令 n=1+2k2,代入③整理得 3n2-16h2n+16h4=0, 4 2 解得 n=4h 或 n= h , 3
2

4 2 即 1+2k =4h 或 1+2k = h . ④ 3 ??? ? ??? ? ? ??? ? 1 ??? 1 又 OP = t OE = t( OA + OB ) = t(x1 + x2 , y1 + y2) = 2 2
2 2 2

? 2kht ht ? ? ? - 2, 2 ?, ? 1+2k 1+2k ? ?

因为 P 为椭圆 C 上一点,

2kh ?2 ? h ?2? 所以 t ? ?-1+2k2? +?1+2k2? ?=1,??????????? ? ? ? ? ?2? ? ? ? ?
2?1?

? ?

h2· t2 即 =1. 1+2k2 4 将④代入⑤得 t =4 或 t = . 3
2 2



2 3 又 t>0,∴t=2 或 t= ,经检验符合题意. 3 2 3 综上可知,t=2 或 t= . 3

[模型归纳] 解决直线与圆锥曲线位置关系的模型示意图如下:

[变式训练] x2 y2 (2013· 天津高考)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F, 离心 a b 3 率为 ,过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 3 4 3 . 3 (1)求椭圆的方程; (2)设 A,B 分别为椭圆的左、右顶点,过点 F 且斜率为 k 的直 ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? 线与椭圆交于 C, 两点. AC · + AD · =8, k 的值. D 若 求 DB CB

c 3 解:(1)设 F(-c,0),由a= ,知 a= 3c. 3 过点 F 且与 x 轴垂直的直线的方程为 x=-c,代入椭圆方程有 ?-c?2 y2 6b + 2=1,解得 y=± . a2 b 3 于是 2 6b 4 3 = ,解得 b= 2. 3 3

又 a2-c2=b2,从而 a= 3,c=1, x2 y2 所以椭圆的方程为 + =1. 3 2

(2)设点 C(x1,y1),D(x2,y2),由 F(-1,0)得直线 CD 的方程为 y=k(x+1). ?y=k?x+1?, ? 2 2 由方程组?x y 消去 y, 整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2 ? 3 + 2 =1, ? -6=0. 3k2-6 6k2 由根与系数的关系可得 x1+x2=- 2,x1x2= 2. 2+3k 2+3k ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? 因为 A(- 3, B( 3, 所以 AC · + AD · =(x1+ 3, 0), 0), DB CB y1)· 3-x2,-y2)+(x2+ 3,y2)· 3-x1,-y1) ( (

=6-2x1x2-2y1y2 =6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1) =6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2 2k2+12 =6+ 2. 2+3k 2k2+12 由已知,得 6+ =8,解得 k=± 2. 2+3k2

预测演练提能


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