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2014届高考理数二轮专题复习权威课件(新课标通用)第4讲 函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质


专题二

函数与导数

第4讲 第5讲 第6讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质 函数与方程、函数模型及其应用 导数及其应用

核 心 知 识 聚 焦 命 题 考 向 探 究 命 题 立 意 追 溯
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第4讲 函数、基本初等函数 Ⅰ的图像与性质

第4讲
核 心 知 识 聚 焦

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

——主干知识 —— —— 体验高考 —— 1.[2013· 江西卷改编] 函数 y ? 函数的概 ① = x ln(1 - x) 的 定义域 是 念 ________. 关键词:对应 [答案] [0,1) [解析] x≥0 且 1-x>0,得 x∈[0,1). 关系、定义域、值 2.[2012· 陕西卷] 设函数 f(x)= 域、分段函数,如 x,x≥0, ? ? ② 则 f(f( - 4)) = ①②. ??1?x ??2? ,x<0, ?? ? ________.
[答案] 4 [解析] f(-4)=16,所以 f(f(-4))

= 16=4.
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核 心 知 识 聚 焦

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

—— 体验高考 ——
3. [2012· 天津卷改编] 函数 f(x) =ex -e - x 的 奇偶性是③ ________, 单调性是__________________.

——主干知识 ——
? 函数性质 关键词:单调 性、奇偶性、周期 性,如③.

[答案] 奇函数 在 R 上单调递增

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核 心 知 识 聚 焦

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

—— 体验高考 —— 4.[2013· 福建卷改编] 画出函 数 y = ln(x2 + 1) 的 图像④ 大 致 是 ____________.
[答案] f(x)定义域为 R 且是 偶函数, 图像关于 x 轴对称, 又过 点(0, 在[0, 0), +∞)上单调递增.

——主干知识 ——
? 函数图像 关键词:函数 图像、函数性质、 特殊点,如④.

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核 心 知 识 聚 焦

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

—— 体验高考 —— 5.[2013· 安徽卷] 定义在 R 上 的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x), 若当 0≤x≤1 时,f(x)=x(1-x),则当 -1≤x≤0⑤ 时,f(x)=________.
1 [答案] - x(x+1) 2

——主干知识 ——
? 函数解析 式 关键词:函数 解析式、性质、分 段定义域,如⑤.

[解析] 当-1≤x≤0 时, 0≤x+1≤1, 1 由 f(x+1)=2f(x)可得 f(x)= f(x+1)= 2 1 -2x(x+1).
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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

——主干知识 —— —— 体验高考 —— 6.[2013· 新课标全国卷Ⅱ改编] ? 基本初等 设 a=log36,b=log510,c=log714, 函数Ⅰ 则 a,b,c的大小关系⑥ 是________. 关键词:指数
[答案] a>b>c
[解析] a=log36=1+log32,b= log510=1+log52, c=log714=1+log72. 方法一:根据对数函数的图像可知 log32>log52>log72, 所以 a>b>c.方法二: 1 1 a - b = log32 - log52 = log 3 - log 5 = 2 2 log25-log23 log25·log23 a>b>c. >0 , 同 理 b - c>0 , 所 以
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函数、对数函数、 幂函数、图像、性 质,如⑥.

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

—— 基础知识必备 ——

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

命 题 考 向 探 究
? ? ? ?

f

? 考向一 函数的概念与表示 考向:函数的定义域、值域、最值,分段函数等. x2 例 1 (1)函数 y= +lg(2x+1)的定义域是( ) 2-x ? 1 ? ? 1 ? A.?-2,+∞? B.?-2,2? ? ? ? ? ? 1 1? ? 1? C.?-2,2? D.?-∞,-2? ? ? ? ? ?2x3,x<0, ? (2)[2013· 福建卷] 已知函数 f(x)=? π 则 ?-tan x,0≤x< 2 , ? ? π ?? ?? f ? ? 4 ??=________. ? ??

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[答案] (1)B (2)-2
命 题 考 向 探 究
[解析] (1)x 同时满足不等式 2-x>0,2x+1>0,解 1 1 得-2<x<2,故所求函数的定义域是-2,2. π (2)f ( 4 )=-tan π 4 =-1,f(-1)=-2.

小结:函数概念的核心是定义域和对应关系,求由 解析式给出的函数的定义域就是求使解析式有意义的 自变量的取值集合;分段函数求值时注意由内层到外 逐次计算,在计算时要随时注意自变量的取值在函数 的哪个段上.
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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

?

考向二

函数的基本性质

考向:函数的单调性、奇偶性、周期性、最值以及性 质的综合运用.
命 题 考 向 探 究

考例:2009 年 T12、2011 年 T2,近五年新课标全国卷 共考查了 2 次.虽然专门考查函数性质的考题不多,但函 数性质在解决函数类试题中具有重要作用.

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

命 题 考 向 探 究

例 2 (1)定义域为 R 的奇函数 f(x),当 x∈(-∞,0)时 f(x)+xf′(x)<0 恒成立,若 a=3f(3),b=f(1),c=-2f(-2), 则( ) A.a>c>b B.c>b>a C.c>a>b D.a>b>c (2)[2013· 湖北卷] x 为实数,[x]表示不超过 x 的最大整 数,则函数 f(x)=x-[x]在 R 上为( ) A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.周期函数

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[答案] (1)A

(2)D

命 题 考 向 探 究

[解析] (1)设 g(x)=xf(x), 依题意得 g(x)是偶函数, 当 x∈(-∞,0)时 f(x)+xf′(x)<0,即 g′(x)<0 恒成立,故 g(x) 在 x∈(-∞,0)上单调递减,则 g(x)在(0,+∞)上单调 递增,a=3f(3)=g(3),b=f(1)=g(1),c=-2f(-2)= g(-2)=g(2),故 a>c>b.

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

(2)作出函数 f(x)=x-[x]的大致图像如图 2-4-2. 观察图像,易知函数 f(x)=x-[x]是周期函数.
命 题 考 向 探 究

图 2-4-2

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

方法指导 称性的关系

6.函数的周期性、奇偶性和函数图像对

函数的奇偶性、函数图像的对称性、函数的周期性
命 题 考 向 探 究

有密切的关系.如偶函数 y=f(x)的图像关于直线 x= a(a≠0)对称时,根据函数图像的对称性可得函数解析式 满足 f(a+x)=f(a-x),以 x+a 代 x,得 f(2a+x)=f(-x) =f(x),这样就得到函数 y=f(x)的一个周期是 2a;奇函 数 y=f(x)的图像关于点(a,0)(a≠0)对称时,可得 f(a+ x)=-f(a-x), x+a 代 x, f(2a+x)=-f(-x)=f(x), 以 得 也推出 2a 是函数 y=f(x)的一个周期.
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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

小结:单调性、奇偶性和周期性是函数最重要、最 基本的性质.注意单调性是函数在定义域内局部区间上 的性质(即函数可以在定义域的一部分上单调),而奇偶性
命 题 考 向 探 究

和周期性是函数在定义域上的整体性质(即对定义域内任 意自变量都成立的性质).

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

命 题 考 向 探 究

变式题 (1)已知函数 f(x)对任意 x∈R 都有 f(x+4)- f(x)=2f(2),若 y=f(x-1)的图像关于直线 x=1 对称,且 f(1)=2,则 f(2013)=( ) A.2 B.3 C.4 D.0 ? 3? (2)定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(x)+f?x+2?=0, ? ? 且函数 y=f(x+1)的图像关于点(-1,0)成中心对称,若 2a-3 f(1)≥1,f(2)= ,则 a 的取值范围是( ) a+1 2 A.-1<a≤3 B.a<-1 2 2 C.a<-1 或 a≥3 D.a≤3
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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[答案] (1)A

(2)A

[解析] (1)由于 y=f(x-1)的图像关于直线 x=1 对称,所 以 y=f(x)的图像关于 y 轴对称, 即函数 y=f(x)是偶函数. 在 等式 f(x+4)-f(x)=2f(2)中, x=-2 得 f(2)-f(-2)=2f(2), 令

命 题 考 向 探 究

由此可得 f(2)=0,即 f(x+4)=f(x),所以 4 是函数 y=f(x) 的一个周期.f(2013)=f(1)=2. 3 3 (2)由 f(x)+fx+ =0,可得 f(x+3)=-fx+ =f(x),即函 2 2 数 f(x)的一个周期为 3, 把函数 y=f(x+1)的图像向右平移一 个单位可得函数 y=f(x)的图像,故函数 y=f(x)的图像关于 点(0,0)中心对称,即函数 y=f(x)是奇函数.f(2)=f(-1)= 2a-3 3a-2 2 -f(1)≤1,即 ≤-1,即 ≤0,解得-1<a≤ . 3 a+1 a+1
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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

? 考向三 函数图像的识别及应用 考向:给出函数解析式判断解析式对应的函数图像、根 据函数图像使用数形结合思想解决函数问题等.
命 题 考 向 探 究

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

命 题 考 向 探 究

(

x3 例 3 (1)[2013· 四川卷] 函数 y= x 的图像大致是 3 -1 )

图 2-4-3

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

(2)已知图像连续的函数 f(x)的定义域为[-1,5],部分 对应值如下表,f(x)的导函数 y=f′(x)的图像如图 2-4-4 所 示,给出关于 f(x)的下列命题: 5 x -1 0 2 4 f(x) 1 2 0 2 1
命 题 考 向 探 究

图 2-4-4 ①函数 y=f(x)在 x=2 处取极小值;②函数 f(x)在[0,1] 上是减函数,在[1,2]上是增函数;③当 1<a<2 时,函数 y =f(x)-a 有 4 个零点;④如果当 x∈[-1,t]时,f(x)的最大 值是 2,那么 t 的最小值为 0.其中所有真命题的序号为 ________________.
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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[答案] (1)C
命 题 考 向 探 究

(2)①③④

[解析] (1)函数的定义域是{x∈R|x≠0},排除选项 A;当 x<0 时,x3<0,3x-1<0,故 y>0,排除选项 B;当 x→+∞时,y>0 且 y→0,故为选项 C 中的图像.

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

(2)由导数图像可知,当-1<x<0 或 2<x<4 时,f′(x)>0, 函数单调递增;当 0<x<2 或 4<x<5 时,f′(x)<0,函数单调递
命 题 考 向 探 究

减.所以在 x=2 处,函数取得极小值,所以①正确,②错 误.当 1<a<2 时,由 y=f(x)-a=0 得 f(x)=a.由图像可知, 此时有四个交点,所以③正确.当 x∈[-1,t]时,f(x)的最 大值是 2,由图像可知 t≥0,所以 t 的最小值为 0,所以④正 确.综上知所有真命题的序号为①③④.

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

方法指导

7.解决函数图像识别类试题的基本思想

一看函数的定义域、值域;二看函数的性质(单调性、奇 偶性、周期性,性质的得出有些要计算和推理);三看特殊函 数值,通过特殊函数值对应的图像上的点进行识别判断.
命 题 考 向 探 究

小结:本题(1)也可以在研究函数的定义域和函数值为 正值的情况下,根据指数函数与幂函数的变化趋势得出, 在 x→+∞时,f(x)→0,直接得出答案.从函数的导函数的 图像上可以得出函数的单调性和极值点,但得不出函数值 等具体的数据.

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

变式题 (1)函数 y=2x-x2 的图像为(

)

命 题 考 向 探 究

图 2-4-5
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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

(2)2012 翼装飞行世界锦标赛在张家界举行, 某翼人空中高速飞行, 图 2-4-6 反映了他从某时刻开始的 15 分钟内的速度 v(x)与时间 x 的 关系,若定义“速度差函数”u(x)为时间段[0,x]内的最大速度与最小 速度的差,则 u(x)的图像是图 2-4-7 中的( )

命 题 考 向 探 究

图 2-4-6

图 2-4-7

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[答案] (1)D
命 题 考 向 探 究

(2)D

[解析] (1)函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数,排除选 项 A,C 中的图像.方程 2x=x2 有三个零点,一个在(-1, 0)内,一个是 x=2,一个是 x=4,而且随着 x 的增大,函数 值中起主导作用的是 2x,随着 x 的减小,起主导作用的是- x2.结合上述特征可得函数 y=2x-x2 的图像为选项 D 中的图 像.

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

命 题 考 向 探 究

(2)u(x)为四段的分段函数.当 x∈[0,6]时,速度 40 40 为 v(x)= 3 x+80,此时 u(x)=v(x)-80= 3 x,只能是 选项 A,C,D 中的图像;当 x∈[6,10]时,最大速度 与最小速度的差为 u(x)=160-80=80; x∈[12, 当 15] 时,在[0,x]内的最大速度为 160,最小速度为 60, u(x)=100,结合选项只能是选项 D 中的图像.

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

命 题 考 向 探 究

? 考向四 基本初等函数Ⅰ的图像与性质 考向:指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质及其 应用,特别是在分段函数、综合解答题函数图像性质类的题 目中使用上述三个函数的图像与性质.

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

命 题 考 向 探 究

1 1 例 4 (1)设 a=2 ,b=3 ,c=log32,则( 2 3 A.b<a<c B.a<b<c C.c<b<a D.c<a<b

)

(2)若实数 a,b,c 满足 loga2<logb2<logc2,则下列关系 中不可能成立的是( ) ..... A.a<b<c C.c<b<a B.b<a<c D.a<c<b

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[答案] (1)D

(2)A

[解析] (1)根据指数函数性质 a>1,b>1,且 a6=8,b6= 9,所以 a<b.又 c<1,所以 c<a<b.
命 题 考 向 探 究

(2)当 logc2<0 时,根据不等式的性质和对数的换底公式 可得 log2c<log2b<log2a<0,可得 c<b<a<1;当 loga2>0 时,根 据 不 等 式 的 性 质 和 对 数 的 换 底 公 式 可 得 log2a>log2b>log2c>0, 可得 a>b>c>1; loga2<0, b2>0 时, 当 log 可得 0<a<1,b>c>1,此时 a<c<b;当 logb2<0,logc2>0 时, 可得 0<b<a<1,c>1,可得 b<a<c.综上,只有选项 A 中的关 系 式 不 可 能 成 立 .
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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

小结:比较数值大小的基本方法是分段比较,即按照
命 题 考 向 探 究

一定的比较标准(如 0,1 等)先进行第一次划分,再按照函 数的性质比较划分后的数值的大小,最后整合得出结果.

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

命 题 考 向 探 究

变式题对于具有相同定义域 D 的函数 f(x)和 g(x), 若存 在函数 h(x)=kx+b(k,b 为常数),对任给的正数 m,存在 相 应 的 x0 ∈ D , 使 得 当 x∈D 且 x>x0 时 , 总 有 ?0<f(x)-h(x)<m, ? ? 则称直线 l: y=kx+b 为曲线 y=f(x) ?0<h(x)-g(x)<m, ? 和 y=g(x)的“分渐近线”.给出定义域均为 D={x|x>1}的 四组函数如下: 2x-3 -x 2 ①f(x)=x ,g(x)= x;②f(x)=10 +2,g(x)= x ; x2+1 xln x+1 2x2 ③f(x)= x ,g(x)= ln x ;④f(x)= ,g(x)=2(x x+1 - -1-e x). 其中, 曲线 y=f(x)和 y=g(x)存在“分渐近线”的是 ( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④
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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[答案] C

命 题 考 向 探 究

[解析] 第②组函数 h(x)=2 是 f(x),g(x)的分渐近线,应 1 1 排除 A,D;第③组不存在分渐近线,因 f(x)-g(x)=x - , ln x 1 1 当 x→+∞时,ln x>0,x <ln x,∴f(x)<g(x),这不符合存在分 渐近线的条件 x→+∞时,f(x)>h(x)>g(x),因此排除 B,故选 C.

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

—— 创新意识 ——
[利用合情推理与演绎推理解决创新性问题] 1.高考试题的选择题或者填空题中有一类是以判断 命题真假为背景命制的,在选择题中一般给出四个命题, 让考生找出真命题或假命题, 在填空题中一般给出三到五 个命题,让考生找出其中的真命题或假命题. 2.对其中的假命题只要找出其不成立的一个反例即
命 题 立 意 追 溯

可,这需根据已有知识进行合情推理,再加以具体计算或 者论证作出结论; 对其中的真命题也往往要先合理的猜测 (合情推理)作出判断,再进行演绎推理的证明.
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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

命 题 立 意 追 溯

示 例 [2013· 东 卷 ] 定 义 “ 正 对 数 ” : ln + x = 山 ?0,0<x<1, ? ? 现有四个命题: ?ln x,x≥1. ? + + ①若 a>0,b>0,则 ln (ab)=bln a; ②若 a>0,b>0,则 ln+(ab)=ln+a+ln+b; ? ? + a + + ③若 a>0,b>0,则 ln ?b?≥ln a-ln b; ? ? + ④若 a>0,b>0,则 ln (a+b)≤ln+a+ln+b+ln 2. 其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号)

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[答案] ①③④
[解析] 对于命题①, 0<a<1, 若 由指数函数 y=ax 可知, 当 x>0 时,0<y<1,即对任意 b>0,0<ab<1,此时 ln+ab=0, 且 bln+a=b×0=0,此时命题成立;当 a=1 时,ab=1 对 任意 b>0 成立,当 a>1 时,根据指数函数性质可得对任意 b>0,ab>1,故当 a≥1 时,对任意 b>0 均有 ab≥1,此时 ln
+ab=ln

ab=bln a,而 bln+a=bln a,此时命题成立,故命题

命 题 立 意 追 溯

①为真命题. 1 + + + 对于命题②,取 a=3,b=4 时,ln ab=0,ln a+ln b =ln 4,二者不相等,故命题②不是真命题.
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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

命 题 立 意 追 溯

a a a + =ln , 对于命题③,若b≥1,a≥1,b≥1,此时 ln b b a +a-ln+b=ln a-ln b, ln 此时不等式成立; b≥1, 若 0<a<1, a a 0<b<1,此时 ln+b=lnb≥0,ln+a-ln+b=0,此时不等式 a a a + =ln ≥ln a, 也成立;若b≥1,a≥1,0<b<1,此时 ln b b a +a-ln+b=ln a, ln 此时不等式也成立; 根据对称性, b<1 当 时的各种情况就相当于交换了上述 a,b 的位置,故不等式 成立.综上,命题③为真命题.

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

命 题 立 意 追 溯

对于命题④,若 0<a<1,0<b<1,无论 a+b 取值如何均 + 有 ln (a+b)≤ln 2,不等式成立; 若 0<a<1,b≥1,则 ln+(a+b)=ln(a+b)<ln 2b=ln b+ ln 2=ln+a+ln+b+ln 2,不等式成立,同理 a≥1,0<b<1 时 不等式也成立; 当 a≥1,b≥1 时,ln+(a+b)=ln(a+b),ln+a+ln+b+ln 2 =ln a+ln b+ln 2,④中的不等式即 a+b≤2ab,不妨设 a≥b≥1,构造函数 g(a)=a+b-2ab,则 g′(a)=1-2b<0, 所以函数 g(a)在[1,+∞)单调递减,所以 g(a)≤g(b)=2b- 2b2=2b(1-b)≤0,所以 a+b≤2ab,所以④中的不等式成 立,即命题④为真命题.

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

小结: 本题以自然对数函数为背景, 给出了“正对数” 的概念,其实就是一个分段函数,一段是常数函数,一段 是对数函数,在解题中只要把其中的 a,b 按照分段函数的 定义域进行划分,根据给出的命题进行验证即可.
命 题 立 意 追 溯
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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

跟踪练 如果对于任意一个三角形, 只要它的三边长 a, b,c 都在函数 f(x)的定义域内,则 f(a),f(b),f(c)也是某个 三角形的三边长,称函数 f(x)为“保三角形函数”.现有下 列五个函数: ①f(x)=2x; ②f(x)=ex; ③f(x)=x2; ④f(x)= x; ⑤f(x)=sin x. 其中是“保三角形函数”的有________.(写出所有符 合条件的序号)
命 题 立 意 追 溯

[答案] ①④

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[解析] 不妨设 a≤b≤c,对于定义域内单调递增的函数只 要在 a+b>c 的条件下, 满足 f(a)+f(b)>f(c)即可. 对于 f(x)=2x, 当 a+b>c 时,f(a)+f(b)=2(a+b)>2c=f(c),故函数 f(x)=2x 是“保三角形函数”;对于函数 f(x)=ex,取 a=2,b=2,c= 3,此时 f(a)+f(b)=2e2,f(c)=e3,此时 f(a)+f(b)<f(c),故函数 f(x)=ex 不是“保三角形函数”;对函数 f(x)=x2,取 a=2,b =2, c=3, f(a)+f(b)<f(c), f(x)=x2 不是“保三角形函数”; 有 故 对函数 f(x)= x,(f(a)+f(b))2=( a+ b)2=a+b+2
命 题 立 意 追 溯

ab>a+

b>c,即 f(a)+f(b)> c=f(c),故函数 f(x)= x是“保三角形函 π 5 数”;对于函数 f(x)=sin x,取 a=b= π,c= ,则 f(a)+f(b) 6 2 =f(c),故函数 f(x)=sin x 不是“保三角形函数”.
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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

—— 教师备用例题 ——

[备选理由] 例 1 是对数函数与基本不等式的综合题, 可在基本初等函数Ⅰ的图像与性质考向中使用.例 2 是抽 象函数的性质题,可在函数的性质中使用.例 3 是函数性 质和不等式恒成立的综合题,可以作为函数性质的延伸应 用.
例 1 已知函数 f(x)=|lg x|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 2a+b 的取值范围是( ) A.(2 2,+∞) B.[2 2,+∞) C.(3,+∞) D.[3,+∞)

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[答案] B

[解析]

由于函数 f(x)在区间(0,1)上单调递减,在区

间(1, +∞)上单调递增, 0<a<b, f(a)=f(b)时, 当 且 只能 0<a<1, b>1,故 f(a)=?lg a?=-lg a,f(b)=?lg b?=lg b.由 f(a)=f(b), ? ? ? ? 得-lg a=lg b, lg(ab)=0, ab=1, 即 故 2a+b≥2 2 当且仅当 2a=b,即 a= 2 ,b= 2时取等号. 2ab=2 2,

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

例 2 函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函 数,则( ) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函数

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[答案] D
[解析] 已知条件就是 f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)= -f(x-1). 由 f(-x+1)=-f(x+1)?f(-x+2)=-f(x);由 f(-x-1)= -f(x-1)?f(-x-2)=-f(x). 由此得到 f(-x+2)=f(-x-2),即 f(x+2)=f(x-2),由此可 得 f(x+4)=f(x),即函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数. 这样 f(x+3)=f(x-1),故函数 f(x+3)是奇函数.

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第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

π 例 3 设 f(x)=x +x,x∈R,当 0≤θ≤ 时,f(msinθ ) 2 +f(1-m)>0 恒成立,则实数 m 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(-∞,0) ? 1? C.?-∞,2? D.(-∞,1) ? ?
3

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第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[答案]

D

[解析] 根据函数的性质,不等式 f(msin θ)+f(1-m)>0,即 f(msin θ)>f(m-1),即 msin θ>m-1
? π? 在?0, ?上恒成立.当 ? ? 2? ?

m>0

m-1 m-1 时,即 sin θ> m 恒成立,则只要 0> m 即可,解得 0<m<1; m-1 当 m=0 时,不等式恒成立;当 m<0 时,只要 sin θ< m ,只 m-1 要 1< m ,只要 0>-1,这个不等式恒成立,此时 m<0.综上可 知 m<1.
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