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上海市2013年高考一模数学试题虹口数学


虹口区 2012 学年度第一学期高三年级数学 学科 期终教学质量监控测试卷(一模)
(时间 120 分钟,满分 1 50 分)
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分)
[来源:学#科#网]

2013.1

1、已知集合 A ? ?x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ? , B ? ?x x ? 1 ? 2 ? ,则 A ? B ? 2、已知向量 a ? (1,
? ?
? 2 ) , b ? (1,



1) , m ? a ? b , n ? a ? ? b ,如果 m ? n ,则实数

. .

3、从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者,则甲被选中的概率是 4、双曲线
x
2

? y ? 1 的 两条渐近线的夹角大小等于
2

. .
?1

3

5、已知 sin ? ? 3 cos ? ,则

cos 2 ? 1 ? sin 2 ?

?

6、 在下面 的程序框图中, 输出的 y 是 x 的函数, 记为 y ? f ( x ) , f 则
否 是

1 ( )? 2



开始

输入实数

输出

结束

1? i

7、关于 z 的方程 ? i
1?i

0 1 2 0

z i ? 2?i z
2013

(其中 i 是虚数单位) ,则方程的解 z ?



8、 若对于任意 x ? 0 , 不等式

x x ? 3x ? 1
2

? a 恒成立, 则实数 a 的取值范围是

. .

9、在等比数列 ?a n ? 中,已知 a 1 a 2 ? 32 ,a 3 a 4 ? 2 ,则 lim ( a 1 ? a 2 ? ? ? a n ) ?
n? ?

10 、 在 ? ABC 中 , AB ? 2 3 , AC ? 2 且 ? B ? 30 ? , 则 ? ABC 于 .

的面积等

11、已 知正实数 x 、 y 满 足 x ? 2 y ? xy ,则 2 x ? y 的最小值等于
2 12、 等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n , a m ? 1 ? a m ? 1 ? a m ? 0 ,S 2 m ? 1 ? 38 , m ? 若 则

. .
? ] 时,

13 、 设 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 是 最 小 正 周 期 为 2 ? 的 偶 函 数 , 当 x ? [ 0 ,

0 ? f (x) ? 1 , 且在 [ 0 ,

?
2

] 上单调递减, [ 在

?
2

,

? ] 上单调递增, 则函数 y ? f ( x ) ? sin x

在 [ ? 10 ? , 10 ? ] 上的零点个数为


x ? 2 上, PQ 的最小值等于 则

14、 设点 P 在曲线 y ? x 2 ? 2 上, Q 在曲线 y ? 点
二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分)



15、 2 ? i 是关于 x 的实系数方程 x ? ax ? b ? 0 的一根, 若 则该方程两根的模的和为 (
2



A.

5

B. 2 5

C.5

D . 10

16、已知 l1 、 l 2 、 l 3 是空间三条不同的直线,下列命题中正确的是(
A . 如果 l1 ? l 2 , l 2 // l 3 .则 l1 ? l 3 . C . 如果 l1 ? l 2 , l 2 ? l 3 .则 l1 ? l 3 .



[来源:学*科*网]

B . 如果 l1 // l 2 , l 2 // l 3 .则 l1 、 l 2 、 l 3 共面. D . 如果 l1 、 l 2 、 l 3 共点.则 l1 、 l 2 、 l 3 共

面.

17、定义域为 R 的函数 f ( x ) ? ax 2 ? b x ? c ( a ? 0 ) 有四个单调区间,则实数 a , b , c 满足

A . b 2 ? 4 ac ? 0 且 a ? 0 B . b ? 4 ac ? 0
2



C. ?

b 2a

? 0

D. ? b ? 0
2a
?

18 、 数 列

{a n }

满 足

?n, 当 n ? 2k ? 1 an ? ? ?ak , 当 n ? 2k

, 其 中

k?N





f ( n ) ? a 1 ? a 2 ? ? ? a 2 n ? 1 ? a 2 n ,则 f ( 2013 ) ? f ( 2012 ) 等于(
A. 2
2012

).
D. 4
2013

B. 2

2013

C. 4

2012

三、解答题(满分 74 分) 19、 (本题满分 12 分)在正四棱锥 P ? ABCD 中,侧棱 PA 的长为 2 5 , PA 与 CD 所成的
P

角的大小等于 arccos

10 5


D C

(1)求正四棱锥 P ? ABCD 的体积;
A B

(2)若正四棱锥 P ? ABCD 的五个顶点都在球 O 的表面上,求此球 O 的半径.

20、 (本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? 2 sin x ? sin(

?
3

? x) ?

3 sin x ? cos x ? cos

2

x.

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期,最大值及取最大值时相应的 x 值; (2)如果 0 ? x ?
?
2

,求 f ( x ) 的取值范 围.

21、 (本题满分 14 分)已知圆 O : x ? y ? 4 .
2 2

(1)直线 l 1 : 3 x ? y ? 2 3 ? 0 与圆 O 相交于 A 、 B 两点,求 AB ; (2)如图,设 M ( x1 ,
y1 ) 、 P ( x 2 , y 2 ) 是圆 O 上的两个
y

动点,点 M 关于原点的对称点为 M 1 ,点 M 关于 x 轴的对 称 点 为 M 2 , 如 果 直 线 PM
(0, m ) 和 (0,
1

M P

、 PM

2

与 y 轴分别交于
O

x

n ) ,问 m ? n 是否为定值?若是求出该定

值;若不是,请说明理由.

22、 (本题满分 16 分)数列 ?a n ? 的前 n 项和记为 S n ,且满足 S n ? 2 a n ? 1 . (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)求和 S 1 ? C n ? S 2 ? C n ? S 3 ? C n ? ? ? S n ? 1 ? C n ;
0 1 2 n

(3)设有 m 项的数列 ?b n ? 是连续的正整数数列,并且满足:
lg 2 ? lg( 1 ? 1 b1 ) ? lg( 1 ? 1 b2 ) ? ? ? lg( 1 ? 1 bm ) ? lg(log am ) .

2

问数列 ?b n ? 最多有几项?并求这些项的和.

23、 (本题满分 18 分)如果函数 y ? f ( x ) 的定义域为 R ,对于定义域内的任意 x ,存在实 数 a 使得 f ( x ? a ) ? f ( ? x ) 成立,则称此函数具有“ P ( a ) 性质” .

(1)判断函数 y ? sin x 是否具有“ P ( a ) 性质” ,若具有“ P ( a ) 性质”求出所有 a 的值; 若不具有“ P ( a ) 性质” ,请说明理由. (2) 已知 y ? f ( x ) 具有 P ( 0 ) 性质”且当 x ? 0 时 f ( x ) ? ( x ? m ) , y ? f ( x ) 在 [ 0 , 1] “ , 求
2

上的最大值. (3)设函数 y ? g ( x ) 具有“ P ( ? 1) 性质” ,且当 ? 与 y ? mx 交点个数为 2013 个,求 m 的值.
1 2 ? x ? 1 2

时, g ( x ) ? x .若 y ? g ( x )

虹口区 2012 学年度第一学期高三年级数学学科 期终教学质量监控测试卷答案
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、 ( ? 1, 1) ; 6、 ? 1 ; 2、2; 7、1 ? 2 i ; 3、 8、 a ?
1 2 1 5

; ;

4、

?
3



5、 ?

1 2



9、 ? 16 ;
7 4 2

10、 2 3 或 3 ;

11、9;

12、10;

13、20;

14、



二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、B; 16、A; 17、C; 18、C;

三、解答题(满分 74 分) 19、 分) 解: 取 AB 的中点 M , (12 (1) 记正方形 ABCD 对角线的交点为 O ? , PM ,P O ? , 连
AC ,则 AC 过 O ? .

?

PA ? PB

, ? PM ? AB

, 又

cos ? PAM

?

10 5



PA ? 2 5

, 得

AM ? 2

2 .??????4 分

AO? ? 4 , PO? ? 2

V P ? ABCD ?

1 3

S底 ? PO? ?

1 3

? (4

2) ?2 ?
2

64 3 64 3

? 正 四 棱 锥 P ? A BC D的 体 积 等 于

(立方单

位) .??????8 分 ( 2 ) 连 AO , O O ? , 设 球 的 半 径 为 R , 则 OA ? R ,
OO? ? R ? PO? ? R ? 2





Rt ? O O ?A





R

2

? ( R ? 2 ) ? 4 ,得 R ? 5 。????12 分
2 2

20
f ( x ) ? 2 sin x (


3 2 cos x ? 1 2


sin x ) ?

14
2




2


2



3 sin x cos x ? cos x ? 2 3 sin x cos x ? cos x ? sin x

?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ????????6 分

f ( x ) 的最小正周期等于 ? .

当2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

, x ? k? ?
?
6 ? 2x ?

?
6

( k ? z ) 时, f ( x ) 取得最大值 2.??????10 分

(2)由 0 ? x ?

?
2

,得

?
6

?

7? 6

,?

1 2

? sin( 2 x ?

?
6

) ? 1,

f ( x ) 的值域为 [ ? 1,

2 ] ??????14 分

21、 (14 分)解: (1)圆心 O ( 0 ,
2

0 ) 到直线 3 x ? y ? 2 3 ? 0 的距离 d ?
2

3 .

圆的半径 r ? 2 ,? AB ? 2 r ? d (2) M ( x 1 ,
2 2

? 2 .??????4 分

y1 ) , P ( x 2 ,

y 2 ) ,则 M 1 ( ? x1 ,

? y 1 ) , M 2 ( x1 ,

? y1 ) , x 1 ? y 1 ? 4 ,
2 2

x 2 ? y 2 ? 4 .??????8 分

PM 1 : ( y 2 ? y 1 )( x ? x 2 ) ? ( x 2 ? x 1 )( y ? y 2 ) ,得 m ?

x1 y 2 ? x 2 y 1 x 2 ? x1



PM

2

: ( y 2 ? y1 )( x ? x 2 ) ? ( x 2 ? x1 )( y ? y 2 ) ,得 n ?

? x1 y 2 ? x 2 y 1 x 2 ? x1

.????12 分

? m ?n ?

x 2 y 1 ? x1 y 2
2 2 2 2 2

2

x 2 ? x1

?

x 2 ( 4 ? x1 ) ? x1 ( 4 ? x 2 )
2 2 2 2 2

x 2 ? x1
2

? 4 ??????14 分

[来源:学科网]

22、 (16 分)解: (1)由 S n ? 2 a n ? 1 得 S n ? 1 ? 2 a n ? 1 ? 1 ,相减得 a n ? 1 ? 2 a n ? 1 ? 2 a n ,即
a n ?1 ? 2 a n .
? ? 又 S 1 ? 2 a 1 ? 1 , a 1 ? 1 ? 0 , 数列 ?a n ? 是以 1 为首项 2 为公比的等比数列, a n ? 2 得
n ?1



??????????????????5 分 (2)由(1)知 S n ? 2 ? 1 .
n

? S 1 ? C n ? S 2 ? C n ? S 3 ? C n ? ? ? S n ? 1 ? C n ? ( 2 ? 1) ? C n ? ( 2 ? 1) ? C n ? ( 2 ? 1) ? C n ? ? ( 2
0 1 2 n 1 0 2 1 3 2 0 1 2 2 n n 0 1 2 n n n

n ?1

? 1) ? C n
n

n

? 2 ( C n ? 2 C n ? 2 C n ? ? ? 2 C n ) ? ( C n ? C n ? C n ? ? ? C n ) ? 2 (1 ? 2 ) ? 2 ? 2 ? 3 ? 2
n

??????????????????10 分 (3)由已知得 2 ?
b1 ? 1 b 2 ? 1 b ?1 ? ?? ? m ? m ?1. b1 b2 bm

又 ?b n ? 是连续的正整数数列,? b n ? b n ? 1 ? 1 .? 上式化为

2 ( b m ? 1) b1

? m ? 1 .??

又 b m ? b1 ? ( m ? 1) ,消 b m 得 mb 1 ? 3 b1 ? 2 m ? 0 .
m ? 3 b1 b1 ? 2 ? 3? 6 b1 ? 2

,由于 m ? N ,? b1 ? 2 ,? b1 ? 3 时, m 的最大值为 9.

?

此时数列的所有 项的和为 3 ? 4 ? 5 ? ? ? 11 ? 63 ????????16 分

23、 (18 分)解: (1)由 sin( x ? a ) ? sin( ? x ) 得 sin( x ? a ) ? ? sin x ,根据诱导公式得
a ? 2 k ? ? ? ( k ? Z ) .? y ? sin x 具有“ P ( a ) 性质” ,其中 a ? 2 k ? ? ? ( k ? Z ) .

??????4 分 (2)? y ? f ( x ) 具有“ P ( 0 ) 性质” ? f ( x ) ? f ( ? x ) . , 设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,? f ( x ) ? f ( ? x ) ? ( ? x ? m ) ? ( x ? m )
2 2

2 ? ?( x ? m ) ? f (x) ? ? 2 ?( x ? m ) ?

x ? 0 x ? 0

????????6 分

当 m ? 0 时,? y ? f ( x ) 在 [ 0 , 1] 递增,? x ? 1 时 y max ? (1 ? m ) 当 0?m ?
2

2

1 2

时 , ? y ? f ( x ) 在 [0,
2

m ] 上 递 减 , 在 [m ,
2
[来源:Zxxk.Com]

1] 上 递 增 , 且

f ( 0 ) ? m ? f (1) ? (1 ? m ) , ? x ? 1 时 y max ? (1 ? m )

当 m ?

1 2

时 , ?
2

y ? f ( x ) 在 [0,
2

m ] 上 递 减 , 在 [m ,
2

1] 上 递 增 , 且

f ( 0 ) ? m ? f (1) ? (1 ? m ) ,? x ? 0 时 y max ? m

综上所述:当 m ?

1 2

2 时, y max ? f (1) ? (1 ? m ) ;当 m ?

1 2

时, y max ? f ( 0 ) ? m

2

????????????11 分 (3)? y ? g ( x ) 具有“ P ( ? 1) 性质” ? g (1 ? x ) ? g ( ? x ) , g ( ? 1 ? x ) ? g ( ? x ) , ,
? g ( x ? 2 ) ? g (1 ? 1 ? x ) ? g ( ? 1 ? x ) ? g ( x ) ,从而得到 y ? g ( x ) 是以 2 为周期的函数.
源:学,科,网 Z,X,X,K]

[来

又设

1 2

? x ?

3 2

,则 ?

1 2

?1? x ?

1 2



g ( x ) ? g ( x ? 2 ) ? g ( ? 1 ? x ? 1) ? g ( ? x ? 1) ? ? x ? 1 ? x ? 1 ? g ( x ? 1) .

再设 n ?

1 2

? x ? n?

1 2

(n ? z ) ,
1 2 ? x ? 2k ? 1 2

当 n ? 2k ( k ? z ) 2k ? ,

则?

1 2

? x ? 2k ?

1 2



g (x) ? g (x ? 2k ) ? x ? 2k ? x ? n ;



n ? 2k ? 1



k? z

),

2k ? 1 ?

1 2

? x ? 2k ? 1 ?

1 2



1 2

? x ? 2k ?

3 2



g (x) ? g (x ? 2k ) ? x ? 2k ? 1 ? x ? n ;
? 对于,n ?

1 2

? x ? n?

1 2

(n ? z ) ,都有 g ( x ) ? x ? n ,而 n ? 1 ?

1 2

? x ?1? n ?1?

1 2



? g ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ( n ? 1) ? x ? n ? g ( x ) ,? y ? g ( x ) 是周期为 1 的函数.

①当 m ? 0 时,要使得 y ? mx 与 y ? g ( x ) 有 2013 个交点,只要 y ? mx 与 y ? g ( x ) 在
[0, 1006 ) 有 2012 个交点,而在 [1006 ,
1 2013 1 2013

1007 ] 有一个交点.? y ? mx 过 (

2013 2

,

1 2

),

从而得 m ?

②当 m ? 0 时,同 理可得 m ? ? ③当 m ? 0 时,不合题意. 综上所述 m ? ?
1 2013

??????????18 分


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