当前位置:首页 >> 数学 >>

上海市2013年高考一模数学试题黄浦数学(理科)


黄浦区 2012 学年度第一学期高三年级期终考试 数学试卷(理科)(一模)
考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行,写在试卷 上的解答一律无效; 2.答卷前,考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚; 3.本试卷共 23 道试题,满分 150 分;考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直 接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知集合 A ? { x | 0 ? x ? 3} , B ? { x | x 2 ? 4} ,则 A ? B ? 2.若 z ? (1 ? 2i)( a ? i) ( i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 a 的值为 3. 若数列 { a n } 的通项公式为 a n ? 2 n ? 1( n ? N *) ,则 lim
a1 ? a 2 ? ? ? a n nan
n→ ?

2013 年 1 月 17 日

. .
?

. .

4. 已知直线 l1 : x ? a y ? 2 ? 0 和 l 2 : ( a ? 2 ) x ? 3 y ? 6 a ? 0 , l1 ∥ l 2 的充要条件是 a = 则 5. ( x ?
1 x )
9

的展开式中 x 5 的系数是

(用数字作答) .
开始 输入 p n←1,S←0
1 3

6.盒中装有形状、大小完全相同的 7 个球,其中红色球 4 个, 黄色球 3 个.若从中随机取出 2 个球,则所取出的 2 个球 颜色不同的概率等于 7.已知 为
1 ? c o s 2? sin ? c o s ? ?1


??)? ?

, tan ( ?

,则 tan ( ?

? 2? )

的值
1 S←S+ n(n+1) n←n+1 是

. .

8.执行右边的程序框图,若 p ? 1 0 ,则输出的 S = 9.已知函数
? log 2 x ( x ? 0 ) f (x) ? ? x ( x ? 0) ?3

,且函数 F ( x ) ? f ( x ) ? x ? a .

n<p
否 输出 S 结束

有且仅有两个零点,则实数 a 的取值范围是 10.已知函数 y ? sin ( ? x ?
?
3 )( ? ? 0 )

的最小正周期为 ? ,若将

该函数的图像向左平移 m ( m ? 0 ) 个单位后,所得图像关于 原点对称,则 m 的最小值为 .

(第 8 题图)

11.已知抛物线 y 2 ? 2 p x ( p ? 0 ) 上一点 M (1, m ) 到其焦点 F 的距离为 5,该抛物线的顶点到 直线 MF 的距离为 d,则 d 的值为 .
?1

12. 已知函数 f ( x ) ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )满足 f ( 2 ) ? f (3) , y ? f 若

(x)

是 y ? f ( x ) 的反函数,

则关于 x 的不等式 f

?1

(1 ?
2 2

1 x

) ? 1 的解集是
2 2

. 的右焦点, 是双曲线 C 的中心, O 直线 y ?

13. 已知 F 是双曲线 C :
mx

x a

?

y b

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

是双曲线 C 的一条渐近线.以线段 OF 为边作正三角形 MOF,若点 M 在双曲线 C

上, 则 m 的值为 .
1 2 ? x ?1 }? ?

14.已知命题“若 f ( x ) ? m 2 x 2 , g ( x ) ? m x 2 ? 2 m ,则集合 { x | f ( x ) ? g ( x ), 是假命题,则实数 m 的取值范围是 .



二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否 则一律得零分. 15. 在四边形 ABCD 中,A B A.菱形
??? ? ???? ? DC

B , A C · D =0, 且 则四边形 ABCD 是

???? ????

( D.等腰梯形 (



B.矩形

C.直角梯形

16.若 z ? co s ? ? i sin ? ( ? ? R ,i 是虚数单位) | z ? 2 ? 2 i | 的最小值是 ,则 A. 2 2 B. 2 C. 2 2 ? 1



D. 2 2 ? 1

17.若 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且 f ( x ) 在 [0, ? ? ) 上单调递增,则下列结论:① y ? | f ( x ) | 是 偶函数;②对任意的 x ? R 都有 f ( ? x ) ? | f ( x ) |? 0 ;③ y ? f ( ? x ) 在 ( ? ? , 0 ] 上单调递增; ④ y ? f ( x) f (? x) 在 (?? , 0] 上 单 调 递 增 . 其 中 正 确 结 论 的 个 数 为 ( )A.1
? a1 ? b1 a2 b2 a3 b3 a4 ? ? b4 ?

B.2

C.3

D.4

18. 若矩阵 ?
[来源:Z_xx_k.Com]

满足下列条件: ①每行中的四个数所构成的集合均为 {1, 2, 3, 4} ;

②四列中至少有两列的上下两数是相同的. 则这样的不同矩阵的个数为 A.48 B.72 C.168 D.312





三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷相应的编号 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图所示,在棱长为 2 的正方体 A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 中, E , F 分别为线段 D D 1 , B D 的 中点. (1)求异面直线 E F 与 B C 所成的角;
A1 E B1 D1 C1

D F A B

C

(2)求三棱锥 C ? B1 D1 F 的体积.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 A, B, C 成等差数列. ( 1)若 A B ? B C ? ? 3, 且 b ? 3 2 ,求 a ? c 的值; (2)若 M ?
2 1 sin C sin A

??? ???? ?

,求 M 的取值范围.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 如图所示, A B C D 是一个矩形花坛,其中 AB= 6 米,AD = 4 米.现将矩形花坛 A B C D 扩建成一个更大的矩形花园 A M P N ,要求:B 在 A M 上,D 在 A N 上,对角线 M N 过 C 点, 且矩形 A M P N 的面积小于 150 平方米. (1)设 A N 长为 x 米,矩形 A M P N 的面 积为 S 平方米,试用解析式将 S 表示成 x 的函 数,并写出该函数的定义域;
[来源:Zxxk.Com]

(2)当 A N 的长度是多少时,矩形 A M P N 的面积最小?并求最小面积.
N

[来源:学#科#网]

P

D

C

A

B

M

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 给定椭圆 C: 的 “准圆” .已知椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2 , 0 ) ,其短轴的一个端点到点 F 的距离为 3 . (1)求椭圆 C 和其“准圆”的方程;
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

,称圆心在原点 O、半径是 a 2 ? b 2 的圆为椭圆 C

(2)若点 A 是椭圆 C 的“准圆”与 x 轴正半轴的交点, B , D 是椭圆 C 上的两相异点, 且 B D ? x 轴,求 A B ? A D 的取值范围; (3)在椭圆 C 的“准圆”上任取一点 P ,过点 P 作直线 l1 , l 2 ,使得 l1 , l 2 与椭圆 C 都只 有一个交点,试判断 l1 , l 2 是否垂直?并说明理由.
??? ???? ?

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 8 分. 对于函数 y ? f ( x ) 与常数 a , b ,若 f (2 x ) ? af ( x ) ? b 恒成立,则称 ( a , b ) 为函数 f ( x ) 的 一个 “P 数对” 若 f (2 x) ?af (x ) b? 恒成立, ; 则称 ( a , b ) 为函数 f ( x ) 的一个 “类 P 数对” 设 . 函数 f ( x ) 的定义域为 R ? ,且 f (1) ? 3 . (1)若 (1,1) 是 f ( x ) 的一个“P 数对” ,求 f ( 2 n )( n ? N *) ; (2)若 ( ? 2, 0) 是 f ( x ) 的一个“P 数对” ,且当 x ? [1, 2 ) 时 f ( x ) ? k ? 2 x ? 3 ,求 f ( x ) 在 区间 [1, 2 n ) ( n ? N *) 上的最大值与最小值; (3)若 f ( x ) 是增函数,且 ( 2 , ? 2 ) 是 f ( x ) 的一个“类 P 数对” ,试比较下列各组中两个 式子的大小,并说明理由. ① f ( 2 ? n ) 与 2 ? n +2 ( n ? N * ) ;② f ( x ) 与 2 x ? 2 ( x ? (0 ,1]) .
[来源:Zxxk.Com]

黄浦区 2012 学年度第一学期高三年级期终考试

数学试卷(理科)参考答案
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,考生应在答题卷相应编号的空格内 直接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1. [ 2 , 3) ; 2.2; 3. 9. ( ? ? ,1] ; 10.
?
3 1 2 4 7 16 5 9 10

; 4.3; 5.36; 6. ; 12. (1,
1 1? a )



7. ? 1 ;

8.



; 11.

; 13. 3 ? 2 3 ;

14. ( ? 7 , 0 ) .

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.A 16.D 17.B 18. C

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷相应的编号 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 解: (1)连 B D 1 ,由 E 、 F 分别为线段 D D 1 、 B D 的中点, 可得 E F ∥ B D 1 ,故 ? D 1 B C 即为异面直线 E F 与 B C 所成的角. 在正方体 A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 中,∵ B C ? 平面 C D D 1 C 1 ,
C D1 ? ?

???????2 分
D1 A1 E B1 C1

平面 C D D 1 C 1 ,∴ B C ? C D 1 ,

在 R t △ B C D 1 中, B C ? 2 , C D 1 ? 2 2 , ∴ tan ? D 1 B C ?
D1C BC ? 2

,∴ ? D 1 B C ? arctan 2 .
A

D F B

C

所以异面直线 EF 与 BC 所成的角为 arctan 2 .??? 6 分

(2)在正方体 A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 中,由 B B1 ? 平面 A B C D , C F ? 平面 A B C D , ? 可知 B B1 ? C F ,∵ C B ? C D , F 是 B D 中点, ∴ C F ? B D ,又 B B1 与 B D 相交,∴ C F ? 平面 B D D 1 B1 , ??????????9 分 又 S ?B D F ?
1 1

1 2

B1 D 1 ? B B1 ? S ?B

1 2

?2 1 3 ?2

2?2? 2 2? 4 3 2 ?

2 4 3

, , ??????????????12 分

故VC ? B D F ?
1 1

1 3

1 D1 F

?CF ?

所以三棱锥 C ? B1 D1 F 的体积为



20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 解: (1)? A、B、C 成等差数列,∴ 2 B ? A ? C , 又 A ? B ? C ? ? ,∴ B ?
??? ??? ? ?

?
3


2? 3 ? ?3

??????????2 分 ,∴ a c ? 6 ① ?????????4 分

由 A B ? B C ? ? 3 得, c ? a c o s

又由余弦定理得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 a c c o s ∴ 1 8 ? a 2 ? c 2 ? a c ,∴ a 2 ? c 2 ? 2 4 由①、②得, a ? c ? 6 (2)由(1)得 B ? 故M ?
2 1 s in C s in A

?
3

,


2? 3 2? 3

?????????6 分

??????????????8 分 ,∴ A ? C ? ? ? B ? = 2 sin (
2? 3

?
3

,即 A ?

?C



? 2 sin A ? sin C

? C ) ? sin C

???????????10 分 ??????????12 分

? 2(

3 2

cos C ?

1 2

sin C ) ? sin C

= 3 co s C ,
2? 3

由A?

2? 3

? C ? 0 且C ? 0
3 2 3 ) ,∴ M

,可得 0 ? C ?

,∴ ?
3 2 , 3)

1 2

? cos C ? 1



即 M ? (?

,

的取值范围为 ( ?



??????????14 分

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 解: (1)由△NDC∽△NAM,可得 ∴
x?4 x ? 6 AM
6x
2

DN NA

?

DC AM



N

P

,即 A M ? ,

6x x?4

,????????3 分 ?????????5 分

D

C

故 S ? AN ? AM ? 由S ?
6x
2

x?4

A

B

M

x?4

? 150

且 x ? 4 ,可得 x 2 ? 2 5 x ? 1 0 0 ? 0 , 解得 5 ? x ? 2 0 ,
6x
2

故所求函数的解析式为 S ?

x?4

,定义域为 (5, 2 0 ) . ?????????????8 分

(2)令 x ? 4 ? t ,则由 x ? (5, 2 0 ) ,可得 t ? (1,1 6 ) , 故S ?
6x
2

x?4
16 t

?

6 (t ? 4 ) t

2

? 6 (t ?

16 t

? 8)

??????????10 分 ? ?????????12 分

? 6(2 t ?

? 8) ? 96 ,

当且仅当 t ?

16 t

,即 t ? 4 时 S ? 9 6 .又 4 ? (1,1 6 ) ,故当 t ? 4 时, S 取最小值 96.

故当 A N 的长为 8 时,矩形 A M P N 的面积最小,最小面积为 9 6 平方米. ????14 分 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 解: (1)由题意知 c ? 故椭圆 C 的方程为
x
2

2

,且 a ?
2

b ?c
2

2

?

3

,可得 b ? 1 , ??????4 分
2

? y ?1

,其“准圆”方程为 x 2 ? y 2 ? 4 .
3 ) ,则有

3

(2)由题意,可设 B ( m , n ), D ( m , ? n ) ( ? 3 ? m ?
??? ? ????

m 3

2

? n ?1,

又 A 点坐标为 ( 2 , 0 ) ,故 A B ? ( m ? 2, n ), A D ? ( m ? 2, ? n ) , 故 A B ? A D ? ( m ? 2 ) 2 ? n 2 ? m 2 ? 4 m ? 4 ? (1 ?
??? ???? ? m 3
2

)

?

4 3

m ? 4m ? 3 ?
2

4 3

(m ?

3 2

)

2

,

??????????8 分

又? 3 ? m ?
??? ???? ? 所以 A B ? A D

3

,故 ( m ? ) 2 ? [0 , 7 ? 4 3 ) ,
3 2

4

3

的取值范围是 [0 , 7 ? 4 3 ) .

??????????10 分

(3)设 P ( s , t ) ,则 s 2 ? t 2 ? 4 . 当 s ? ? 3 时, t ? ? 1 ,则 l1 , l 2 其中之一斜率不存在,另一斜率为 0,显然有 l1 ? l 2 . 当 s ? ? 3 时,设过 P ( s , t ) 且与椭圆有一个公共点的直线 l 的斜率为 k , 则 l 的方程为 y ? t ? k ( x ? s ) ,代入椭圆 C 方程可得
x ? 3[ kx ? ( t ? ks ) ] ? 3 ,即 (3 k ? 1) x ? 6 k ( t ? ks ) x ? 3( t ? ks ) ? 3 ? 0
2 2 2 2 2



由 ? ? 3 6 k 2 ( t ? ks ) 2 ? 4 (3 k 2 ? 1)[3( t ? ks ) 2 ? 3] ? 0 , 可得 (3 ? s 2 ) k 2 ? 2 stk ? 1 ? t 2 ? 0 ,其中 3 ? s 2 ? 0 , 设 l1 , l 2 的斜率分别为 k 1 , k 2 ,则 k 1 , k 2 是上述方程的两个根, 故 k1 k 2 ?
1? t 3?s
2 2

??????????13 分

?

1 ? (4 ? s )
2

3?s

2

? ? 1 ,即 l1 ? l 2 .

综上可知,对于椭圆 C 上的任意点 P ,都有 l1 ? l 2 . 小题满分 8 分.

?? ??????????16 分

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 解: (1)由题意知 f ( 2 x ) ? f ( x ) ? 1 恒成立,令 x ? 2 k ( k ? N *) , 可得 f ( 2 k ? 1 ) ? f ( 2 k ) ? 1 ,∴ { f ( 2 k )} 是公差为 1 的等差数列, 故 f ( 2 n ) ? f ( 2 0 ) ? n ,又 f ( 2 0 ) ? 3 ,故 f ( 2 n ) ? n ? 3 . ????????????3 分 (2)当 x ? [1, 2 ) 时, f ( x ) ? k ? | 2 x ? 3 | ,令 x ? 1 ,可得 f (1) ? k ? 1 ? 3 , 解得 k ? 4 ,即 x ? [1, 2 ) 时, f ( x ) ? 4 ? | 2 x ? 3 | , 故 f ( x ) 在 [1, 2 ) 上的取值范围是 [3, 4 ] . 又 ( ? 2 , 0 ) 是 f ( x ) 的一个“P 数对” ,故 f ( 2 x ) ? ? 2 f ( x ) 恒成立, 当 x ? [ 2 k ? 1 , 2 k ) ( k ? N *) 时,
2 x x f ( x) ? ?2 f ( ) ? 4 f ( ) ? 2 4 x
k ?1

?????????4 分

? [1, 2 )


x 2
k ?1

? ? ( ? 2 ) k ?1 f (

)



???????6 分

故 k 为奇数时, f ( x ) 在 [ 2 k ? 1 , 2 k ) 上的取值范围是 [3 ? 2 k ? 1 , 2 k ? 1 ] ; 当 k 为偶数时, f ( x ) 在 [ 2 k ? 1 , 2 k ) 上的取值范围是 [ ? 2 k ? 1 , ? 3 ? 2 k ? 1 ] . ???????8 分 所以当 n ? 1 时, f ( x ) 在 [1, 2 n ) 上的最大值为 4 ,最小值为 3; 当 n 为不小于 3 的奇数时, f ( x ) 在 [1, 2 n ) 上的最大值为 2 n ? 1 ,最小值为 ? 2 n ; 当 n 为不小于 2 的偶数时, f ( x ) 在 [1, 2 n ) 上的最大值为 2 n ,最小值为 ? 2 n ? 1 .???10 分 (3)由 ( 2, ? 2 ) 是 f ( x ) 的一个“类 P 数对” ,可知 f ( 2 x ) ? 2 f ( x ) ? 2 恒成立, 即 f (x) ? 即f(
1 2
k

1 2

f ( 2 x ) ? 1 恒成立,令 x ?

1 2
k

( k ? N *)

,可得 f (
[来源:Z+xx+k.Com]

1 2
k

)?

1 2

f( 2

1
k ?1

)?1,

)?2?

1 2

[f( 2

1
k ?1

) ? 2 ] 对一切 k ? N * 恒成立,

所以 f (

1 2
n

)?2?

1 2

[f( 2

1
n ?1

) ? 2] ?

1 4

[f( 2

1
n?2

) ? 2] ?

??

1 2
n

[ f (1) ? 2 ] ?

1 2
n



故 f ( 2 ? n ) ? 2 ? n ? 2 ( n ? N *) . 若 x ? (0 ,1] ,则必存在 n ? N * ,使得 x ? ( 由 f ( x ) 是增函数,故 f ( x ) ? f (
2 1
n ?1

?????????????14 分
1 2 )? 2 1
n ?1 n

, 2

1
n ?1

],

?2



又2x ? 2 ? 2 ?

1 2
n

?2? 2

1
n ?1

?2

,故有 f ( x ) ? 2 x ? 2 .?????????????18 分


相关文章:
上海市黄浦区2013年高考一模数学(理科)试题
上海市黄浦区2013年高考一模数学(理科)试题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 上海市黄浦区2013年高考一模数学(理科)试题_数学_高中...
上海市2013年高考一模数学试题嘉定数学(理科)
上海市2013年高考一模数学试题嘉定数学(理科)_数学_高中教育_教育专区。2013年上海高考数学一模 2012 学年嘉定区高三年级第一次质量调研 数学试卷(理)考生注意: 1...
上海市黄浦区2013届高三数学一模试卷---改编
上海市黄浦区2013高三数学一模试卷---改编_数学_高中教育_教育专区。数学练习...(0,1]) . 黄浦区 2012 学年度第一学期高三年级期终考试 数学试卷(理科)参考...
黄浦区2016年高三数学理科一模试卷
黄浦区2016年高三数学理科一模试卷_高三数学_数学_高中教育_教育专区。黄浦区 2015 学年度第一学期高三年级期终调研测试 数学试卷(理科) 2016 年 1 月 考生注意:...
上海市黄浦区2016届高考数学一模试卷 理(含解析)
+nan≥Sn. (参考:12+22+?+n2= n(n+1)(2n+1)) 2 2 2 * 2 2 2 2 3 2016 年上海市黄浦区高考数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、填空题...
2013黄浦区高三三模数学理科试题以及答案(新)
宁波市2013年高考模拟考试... 10页 免费 2013年崇明高三二模数学(理... 8页...黄浦区 2013 年高考模拟考 数学试卷(理科) 考生注意: 1.每位考生应同时收到试...
上海市黄浦区2013年高考模拟考理科数学试卷
上海市黄浦区 2013 年高考模拟数学试卷(理科) 2013 年 4 月 11 日 考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料,解答必须在答题卷上进行,写在...
上海市黄浦区2013届高三一模数学答案(理科)
上海市黄浦区2013届高三一模数学答案(理科)_数学_高中教育_教育专区。2013上海数学一模 上海市黄浦区 2013高三一模数学试题(理科) 参考答案一、填空题(本大题...
上海市黄浦区2013届高三一模数学试题(理科)
2013上海数学一模2013上海数学一模隐藏>> 黄浦区 2012 学年度第一学期高三年级期终考试 数学试卷(理科)(一模)考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料...
上海市2013年高考一模数学试题松江数学(理科)
上海市2013年高考一模数学试题松江数学(理科)_高考_高中教育_教育专区。2013年上海高考数学一模松江区 2012 学年度第一学期高三期末考试 数学(理科)试卷(一模)一、...
更多相关标签: