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【高优指导】2017版高考数学一轮复习 滚动测试卷四 文 北师大版


滚动测试卷四(第一~九章)
(时间:120 分钟 满分:150 分) 滚动测试卷第 13 页 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.集合 M=,N={x|y=lg(x+2)},则 M∩N 等于( ) A.[0,+∞) B.(-2,0] C.(-2,+∞) D.(-∞,-2)∪[0,+∞) 答案:B 解析:因为集合 M=, 所以 M={x|

x≤0}, N={x|y=lg(x+2)}={x|x>-2}, 所以 M∩N={x|x≤0}∩{x|x>-2}={x|-2<x≤0}. 2 2.全称命题:任意 x∈R,x >0 的否定是( ) 2 A.任意 x∈R,x ≤0 2 B.存在 x∈R,x >0 2 C.存在 x∈R,x <0 2 D.存在 x∈R,x ≤0 答案:D 2 2 解析:命题:任意 x∈R,x >0 的否定是:存在 x∈R,x ≤0. 3.将函数 f(x)=sin 的图像向右平移个单位,那么所得的图像对应的函数解析式是( ) A.y=sin 2x B.y=cos 2x C.y=sin D.y=sin 答案:D 解析:∵f(x)=sin, ∴将函数 f(x)=sin 的图像向右平移个单位,得 f=sin=sin, 所得的图像对应的函数解析式是 y=sin. 4.已知函数 y=f(x)的定义域为{x|x≠0},满足 f(x)+f(-x)=0,当 x>0 时,f(x)=ln x-x+1,则函数 y=f(x)的大致图像是( )

答案:A 解析:因为函数 y=f(x)的定义域为{x|x≠0}, 满足 f(x)+f(-x)=0, 所以函数是奇函数,排除 C,D. 当 x=e 时,f(10)=1-e+1=2-e<0,排除 B,A 正确. 5.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若=2+λ ,则 λ =( ) A. B. C.D.答案:A 解析:在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点. ∵=2+λ , 又) =,∴λ =. 6.

1

某几何体的三视图如图所示,其中左视图为半圆,则该几何体的体积是( ) A. B. C. D.π 答案:A 解析:根据几何体的三视图,得 该几何体是平放的半圆锥,且圆锥的底面半径为 1,母线长为 3, ∴圆锥的高为=2; ∴该几何体的体积为 V 半圆锥=π ?12?2π . 7.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则 双曲线的方程为( ) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 答案:A 解析:∵双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:x+2y+5=0, 双曲线的一个焦点在直线 l 上, ∴解得 a=2,b=, ∴双曲线方程为=1. 8.

如图,在△ABC 中,点 D 在 AC 上,AB⊥BD,BC=3,BD=5,sin∠ABC=,则 CD 的长为( ) A. B. C.2 D.5 答案:B 解析:由题意可得 sin∠ABC= =sin=cos∠CBD, 2 2 2 再根据余弦定理可得 CD =BC +BD -2BC?BD?cos∠CBD=27+25-2?3?5?=22,可得 CD=. 2 2 9.过 P(2,0)的直线 l 被圆(x-2) +(y-3) =9 截得的弦长为 2 时,直线的斜率为( ) A.± B.± C.±1 D.± 答案:A 解析:(方法一)设直线的斜率为 k,则直线方程为 y=k(x-2), 即 kx-y-2k=0. 圆心为 C(2,3),半径 r=3, 圆心到直线的距离 d=. 2 由题意得 2=2,即 3 -=1,解得 k=±. (方法二)如图,圆心 C(2,3),半径 3,取弦 PA 的中点 D,PD=1,

2

则 CD=2,tan∠PCD=. 由对称性知所求直线斜率为±. 2 10.已知抛物线方程为 y =8x,直线 l 的方程为 x-y+2=0,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴距离为 d1,P 到 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为( ) A.2-2 B.2 C.2-2 D.2+2 答案:C 解析:∵点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离, ∴过焦点 F 作直线 x-y+2=0 的垂线,此时 d1+d2 最小. ∵F(2,0), ∴d1+d2=-2=2-2. 3 2 2 11.若存在过点 O(0,0)的直线 l 与曲线 f(x)=x -3x +2x 和 y=x +a 都相切,则 a 的值是( ) A.1 B. C.1 或 D.1 或答案:C 解析:设过 O(0,0)与 f(x)相切的切点为 P(x0,y0), 则 y0=-3+2x0,且 k=f'(x0)=3-6x0+2.① 又 k=-3x0+2,② 由①,②联立,得 x0=或 x0=0, 所以 k=-或 2. ∴所求切线 l 的方程为 y=-x 或 y=2x. 2 2 直线 l 与曲线 y=x +a 相切,当切线为 y=2x 时,联立方程可得 x +a-2x=0 满足 Δ =4-4a=0,a=1. 当切线为 y=-x 时, 2 可得得 x +x+a=0. 依题意,Δ =-4a=0.∴a=. 综上,a=1 或 a=.故选 C. 12.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2=-11,a5+a9=-2,则当 Sn 取最小值时,n 等于( ) A.9 B.8 C.7 D.6 答案:C 解析:设等差数列的首项为 a1,公差为 d, 由 a2=-11,a5+a9=-2,得 解得 ∴an=-15+2n. 由 an=-15+2n≤0,解得 n≤. ∴当 Sn 取最小值时,n 等于 7. 二、填空题(本大题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分) 2 13.(2015 辽宁锦州二模)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,过点 F 的倾斜角为 60°的直线 l 与 抛物线 C 在第一、四象限分别交于 A,B 两点,则的值等于 . 答案:3 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则=2px1,=2px2, |AB|=x1+x2+p=p, 即有 x1+x2=p, 由直线 l 的倾斜角为 60°, 则直线 l 的方程为 y-0=, 即 y=x-p,联立抛物线方程, 消去 y 并整理,得 3

12x -20px+3p =0, 则 x1x2=,可得 x1=p,x2=p. 则=3. 14.若变量 x,y 满足约束条件且 z=x+3y 的最小值为 4,则 k= 答案:1 解析:由 z=x+3y,得 y=-x+,画出不等式对应的可行域, 平移直线 y=-x+,由平移可知当直线 y=-x+经过点 B 时, 直线 y=-x+的截距最小,此时 z 取得最小值为 4, 即 x+3y=4, 由解得即 B(1,1), 点 B 同时也在直线 y=k 上,则 k=1.

2

2

.

15.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线垂直于直线 l:x-2y-5=0,双曲线的一个焦点在 l 上,则双 曲线的方程为 . 答案:=1 解析:∵双曲线的一个焦点在直线 l 上, 令 y=0,可得 x=5,即焦点坐标为(5,0), ∴c=5. ∵双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线垂直于直线 l:x-2y-5=0,∴=2. ∵c2=a2+b2,∴a2=5,b2=20. ∴双曲线的方程为=1. 16.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积分别为 V1,V2,若它们的侧面积相等,且,则的值 为 . 答案: 解析:设两个圆柱的底面半径分别为 R,r,高分别为 H,h, ∵,∴, ∵它们的侧面积相等,∴=1, ∴,

∴.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 2 17.(10 分)已知函数 f(x)=sin-4sin wx+2(w>0),其图像与 x 轴相邻两个交点的距离为. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若将 f(x)的图像向左平移 m(m>0)个长度单位得到函数 g(x)的图像恰好经过点,求当 m 取得最小 值时,g(x)在上的单调增区间. 2 解:(1)函数 f(x)=sin-4sin wx+2(w>0) =sin 2wx-cos 2wx-4?+2 =sin 2wx+cos 2wx =sin, 根据图像与 x 轴相邻两个交点的距离为,可得函数的最小正周期为 2?,求得 ω =1, 故函数 f(x)=sin. (2)将 f(x)的图像向左平移 m(m>0)个长度单位得到函数 g(x)=sinsin 的图像, 再根据 g(x)的图像恰好经过点, 可得 sin=0,故 m=, 所以 g(x)=sin. 令 2kπ -≤2x+≤2kπ +,k∈Z,求得 kπ -≤x≤kπ -,k∈Z,故函数 g(x)的增区间为,k∈Z. 4

再结合 x∈,可得增区间为. 18.

(12 分)如图,已知平行四边形 ABCD 与直角梯形 ABEF 所在的平面互相垂直,且 AB=BE=AF=1,BE∥ AF,AB⊥AF,∠CBA=,BC=,P 为 DF 的中点. (1)求证:PE∥平面 ABCD; (2)求三棱锥 A-BCE 的体积. (1)证明:取 AD 的中点 M,连接 MP,MB,

∵P 为 DF 的中点, ∴MPAF, 又∵BEAF, ∴BEMP, ∴四边形 BEPM 是平行四边形. ∴PE∥BM. 又 PE?平面 ABCD,BM? 平面 ABCD, ∴PE∥平面 ABCD. (2)解:在△ABC 中,由余弦定理可得: AC2=AB2+BC2-2AB?BCcos∠ABC=1+()2-2?1??cos=1, ∴AC=1.∴AC2+AB2=BC2. ∴AC⊥AB. ∵平面 ABCD⊥平面 ABEF,平面 ABCD∩平面 ABEF=AB, ∴AC⊥平面 ABEF. ∵S△ABE=BE?AB=?1?1=, ∴VA-BCE=VC-ABE=S△ABE?AC=?1=. 19.(12 分)已知椭圆 C:=1(a>b>0)的焦距为 2,长轴长是短轴长的 2 倍.
(1)求椭圆的标准方程; (2)斜率为 k 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,其中 A 点为椭圆的左顶点,若椭圆的上顶点 P 始终在以 AB 为直径的圆内,求实数 k 的取值范围. 解:(1)根据题意,得 解得 a=2,b=1. ∴椭圆的标准方程为+y2=1. (2)由(1)及题意,知顶点 A 为(-2,0), ∴直线 l 的方程为 y=k(x+2), 与椭圆方程联立,得 2 2 2 2 消去 y,得(1+4k )x +16k x+(16k -4)=0; 设点 B 为(x0,y0),则 x0-2=-, ∴x0=,y0=. 又椭圆的上顶点 P 在以 AB 为直径的圆内, ∴∠APB 为钝角,即<0. ∵P(0,1),A(-2,0),B, 5

∴=(-2,-1),. ∴<0, 2 即 20k -4k-3<0,解得 k∈.
20.(12 分)已知各项为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}的通项公式 bn=(n∈N+),若 S3=b5+1,b4 是 a2 和 a4 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an?bn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)∵数列{bn}的通项公式 bn=(n∈N+), ∴b5=6,b4=4, 设各项为正数的等比数列{an}的公比为 q,q>0, ∵S3=b5+1=7,∴a1+a1q+a1q2=7,① ∵b4 是 a2 和 a4 的等比中项, ∴=a2?a4==16,解得 a3=a1q2=4,② 2 由①②得 3q -4q-4=0, 解得 q=2,或 q=-(舍), ∴a1=1,∴an=2n-1. (2)当 n 为偶数时, Tn=(1+1)?20+2?2+(3+1)?22+4?23+(5+1)?24+…+[(n-1)+1]?2n-2+n?2n-1 =(20+2?2+3?22+4?23+…+n?2n-1)+(20+22+…+2n-2), 0 2 3 n-1 设 Hn=2 +2?2+3?2 +4?2 +…+n?2 ,① 2 3 4 n 2Hn=2+2?2 +3?2 +4?2 +…+n?2 ,② 0 2 3 n-1 ①-②,得-Hn=2 +2+2 +2 +…+2 -n?2n =-n?2n=(1-n)?2n-1, ∴Hn=(n-1)?2n+1, ∴Tn=(n-1)?2n+1+?2n+. 当 n 为奇数,且 n≥3 时, Tn=+(n+1)?2n-1=?2n-1++(n+1)?2n-1=?2n-1+, 经检验,T1=2 符合上式,

∴Tn=
21.(12 分)已知点 M 是圆心为 C1 的圆(x-1) +y =8 上的动点,点 C2(-1,0),若线段 MC2 的中垂线交 MC1 于点 N. (1)求动点 N 的轨迹方程; 2 2 (2)若直线 l:y=kx+t 是圆 x +y =1 的切线且 l 与点 N 的轨迹交于不同的两点 P,Q,O 为坐标原点,若 =μ ,且≤μ ≤,求△OPQ 面积的取值范围. 解:(1)由已知得|MN|=|NC2|,则|NC1|+|NC2|=|NC1|+|MN|=2>|C1C2|=2, 2 故动点 N 的轨迹是以 C1,C2 为焦点,以 2 为长轴长的椭圆,a=,c=1,b =1, 2 动点 N 的轨迹方程为+y =1. 2 2 (2)∵直线 l:y=kx+t 是圆 x +y =1 的切线, 2 2 ∴=1,∴t =k +1. 2 2 2 直线 l:y=kx+t 代入椭圆方程可得(1+2k )x +4ktx+2t -2=0, 2 2 2 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 Δ =16k -8t +8=8k >0 可得 k≠0. ∴x1+x2=-,x1x2=, ∴y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=, ∵t2=k2+1, ∴x1x2=,y1y2=, ∴=μ =x1x2+y1y2=, ∵≤μ ≤,∴, ∴≤k2≤1,
2 2

∵|PQ|= =2. 4 2 2 令 λ =k +k ,∵≤k ≤1,
6

∴λ ∈. |PQ|=2?=2?上递增, ∴≤|PQ|≤. ∵直线 PQ 是圆 x2+y2=1 的切线, ∴O 到 PQ 的距离为 1, ∴S△OPQ=|PQ|,即|PQ|≤. 故△OPQ 面积的取值范围是. 22.(12 分)已知函数 f(x)=x--aln x, (1)若 f(x)无极值点,求 a 的取值范围; 2 (2)设 g(x)=x+-(ln x) ,当 a 取(1)中的最大值时,求 g(x)的最小值; (3)证明:>ln(n∈N+). (1)解:求导可得 f'(x)=, ∵函数 f(x)无极值,∴方程 x2-ax+1=0 在(0,+∞)上无根或有唯一根, ∴方程 a=x+在(0,+∞)上无根或有唯一根, 又 x+≥2(x=1 取等号), 故=2,∴a≤2. 2 (2)解:a=2 时,f(x)=x--2ln x,g(x)=x+-(ln x) , 由(1)知,f(x)在(0,+∞)上是增函数, 当 x∈(0,1)时,f(x)=x--2ln x<f(1)=0,即 x-<2ln x<0; 当 x∈(1,+∞)时,f(x)=x--2ln x>f(1)=0,即 x->2ln x>0; ∴x>0 时,≥|2ln x|=|ln x2|, 2 令 x =t>0,∴≥|ln t|, 2 2 平方得 t+-2≥(ln t) ,∴t>0 时,t+-2≥(ln t) 成立,当且仅当 t=1 时取等号, ∴当 x=1 时,函数 g(x)取最小值 2. 2 (3)证明:由上知,x>1 时,x+-(ln x) >2, ∴x>1 时,>ln x 成立, 令 x=,得>ln,即>ln, ∴不等式:>ln+…+ln>ln+…+ln =ln=ln. 即>ln(n∈N+).

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