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高中数学 第二章之《曲线的参数方程》教学课件 新人教A版选修1-1


曲线的参数方程

曲线的参数方程
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2 3 4 5

教材分析
方法分析 课堂结构 教学过程 教学评价

教材的地位与作用
“坐标平面上的直线”、“圆锥曲线”与“参数方程和极 坐标方程”是高中解析几何的三个重要组成部分。 “坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”这两个章节主要 以曲线 与方程的一一对应的关系作为解析几何的理论依据。通过直 接 x、y 建立动点横、纵坐标 之间的关系,刻画其整体运动的 轨 迹,从而研究直线、圆锥曲线的有关性质。 “参数方程和极坐标方程”这一章节内容是在前两章的基础 上,从新的角度来建立曲线的方程,从而找到研究的新的方法 与途径。本章的知识结构分为“曲线的参数方程”与“极坐标方 程”两个部分。

一、教材分析

教材的地位与作用
曲线的参数方程是通过某个参数间接建立横、纵 坐标 x、y 之间的关系,通过参数可以确定曲线上每个 点的位置,从而确定曲线的轨迹。参数方程作为解析 几何的重要内容之一,是进一步学习数学、运动学等 学科的基础,并在实践中有着广泛的应用。

本章节主要学习基本概念、基本方法、基本思想。 因此在教学中应适当控制难度。

教学内容
上海教育出版社出版的上海市高中三年级(理科) 数学课本,内容为第十七章第一节
1 2

曲线参数方 本小节安排两课时 程的概念、建立 曲线参数方 本教案为第一课时 曲线的参数方程、 程的应用。 圆的参数方程的 简单应用。

教学目标

1

2

3

知道曲线 参数方程的概 念,能选取适 当的参数建立 曲线的参数方 程。

通过对圆 和直线的参数 方程的探究, 了解某些参数 的几何意义或 物理意义,培 养探究意识。

初步了解 运用参数方程 来解决问题的 过程与方法; 逐步体验参数 的基本思想。

教学重点、难点

重点 曲线的参数方程的概念

难点 曲线的参数方程的建立

学生情况分析

本教案教学对 象为上海市实验性、 示范性高中的学生, 数学基础良好,思 维活跃,具备一定 的分析问题和自主 探究能力。

二、方法分析

课堂教学中强 调学生的自主探究, 强调数学知识的形 成过程、思想方法 的渗透与应用,期 望加深学生对知识 本质的理解。

教法选择

教师“启发引导” 学生“自主探究”

辅助工具: 计算机,投影仪

探究学习

知 知 知 识 识 识 的 的 的 研究的原因 研究的方法 研究的价值 应 产 发 用 生 展
发现问题 研究问题 解决问题

课堂结构设计
引 入 课 题 曲 程 线 的 参 概 数 念 方 巩 固 与 实 践 归 纳 小 结
作 业 与 思 考

三、课堂结构 巩
回归再探究 固 与 拓 展

概念的引入
已知该摩天轮半径为51.5米,逆时针匀速旋转 引 例 一周需时20分钟。 如图所示,某游客现在P0点(其中P0点和转轴 的连线与水平面平行)。问:经过t秒,该游客的 位置在何处? 2002年5月1日,中国第一座身高108米的摩天 轮,在上海锦江乐园正式对外运营。并以此高度 跻身世界三大摩天轮之列,居亚洲第一。

?t ? ? x ? 51.5cos 600 ? ? ? y ? 51.5sin ? t ? 600 ?

t ? [0, ??)

t为变数

圆的参数方程的形成

一般地,设圆半径为r,以⊙O的圆心为原点, OP0 所在直线为x轴,如图,以OP0 为始边,按逆 时针方向绕原点以角速度ω作匀速圆周运动,则 质点P的坐标与时刻t的关系该如何建立?(其中 r与ω为常数,t为变数)

? x ? r cos ?t ? ? y ? r sin ?t

t ? [0, ??) t为变数 ①

圆的参数方程的形成

点P运动的角速度为ω ,所用的时间为t,则 角位移θ=ωt ,那么方程①可以改写为何种形式?

? x ? r cos ? ? ? y ? r sin ?

? ? [0, ??) θ为变数



体验同一曲线可由不同的 参数方程来表示这一数学事实。

圆的参数方程的形成
方程①、②是否是圆心在原点, 半径为r的圆方程?为什么? 体会定义是进行数学研究的 重要依据,养成良好的数学思维 习惯。

圆的参数方程的形成
若要表示一个完整的圆,则t与θ较为 合适的取值范围是什么?
? x ? r cos ?t ? ? y ? r sin ?t

t ? [0,

2?

?

)

? x ? r cos ? ? ? y ? r sin ?

? ? [0, 2? )

我们把方程①(或②)叫做圆的参 数方程,变数t(或θ )叫做参数。

圆的参数方程及参数的定义 变数t(或θ )在以上范围内取值时, 可以表示一个完整的圆。

圆的参数方程的理解
? x ? 3cos ? ? x ? 3cos ? ? ? ? [0, ] ? ? [0, 2? ) 与 ? (ⅱ)根据下列要求,分别写出圆心在原点、半径为r (ⅰ)参数方程 ? y ? 3sin ? 2 ? y ? 3sin ? ?

体会参数的取值范 1、 围与曲线的关系。
的圆的部分圆弧的参数方程: 是否表示同一曲线?为什么? ①在轴左侧的半圆(不包括轴上的点); ②在第四象限的圆弧。

根据圆的参数方程与参数的取值 根据给定的曲线,确定所对应的 为曲线的参数方程 范围确定所对应的曲线。 参数方程与参数的取值范围。 2、

定义的引出作铺垫。

曲线参数方程的形成

学生自主探究,由“圆的参数 方程”的概念,抽象出“曲线的参 数方程”的概念。

再次体会“特殊到一般”的数学 思想方法。

曲线参数方程的理解
学生、教师互动,对参数方程的形式、 参数的取值范围、参数方程与普通方程的 统一性、参数的意义和作用进行深入的理 解与探讨。
通过这一环节,学生的认识逐步从 感性上升到理性; 对于概念的理解得到 巩固与深化。

概念的巩固
例1

原题
5? 写出经过定点P(3,1) ,且倾斜角为 的直线 l 的参 6

数方程。

(1)质点开始位于坐标平面内的点P0(3,1)处,沿某一方
向作匀速直线运动。水平分速度vx= 3 厘米/秒,铅垂 分速度vy=1厘米/秒, (ⅰ)求此质点的坐标与时刻(秒)的关系; (ⅱ)问5秒时质点所处的位置。 ?

(2)

6 与引例呼应,实际情景以及解决方法与引例 都有相似性。帮助学生突破难点,解决问题。初 步体会直线参数方程的作用。

概念的巩固
(2)
? 写出经过定点P(3,1) ,且倾斜角为 的直线 l 的参 6

数方程。

学生自主选择参数建立直线的参数方程,在课 后对自己选取的参数是否有几何意义或物理意义这 一问题加以思考,从而领悟建立参数方程的关键。 问题: 作出例题1中两小题的直线图形,判断它们的位置
关系。从中你能得到什么启示?

了解参数的选取有多种方法,同一曲线可以用 不同形式的参数方程来表示。

概念的巩固
例2

已知点P在圆:x ? y ? 4 上运动, 求 x ? y 的最大值。
2 2

初步体验参数方程的作用,并为 下一课时做准备。

知识内容

课堂小结

思想与方法

圆 曲 建 理 参 特 的 线 立 解 数 殊 参 参 曲 参 思 曲 圆 巩 到 数 数 线引 数 想 一 程 程 方 方 的 的 线 的 固 般 程 对本节课所学的知识有一个完整、系 程 参入 意 的 的 的 的 数 义 参 参 与 概 概 概 概 方课 统的认识;在培养概括能力的同时,也对 数 数 实 念 念 程题 念 念

课堂的教学效果进行反馈。 方 方



作业

课本P7 ,练习17.1(1),第2、3题。 对课堂所学内容加以巩固、加深理解。

思考

(2)根据引例中的实际情况,游客总是从摩天轮的最低点登 (1)若圆的一般方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2,你能写出它的一
上转盘。若某游客登上转盘的时刻记为t0,则经过时间 个参数方程吗? t该游客的位置在何处?你能否建立合适的参数方程, 确定游客的具体位置?

对圆的参数方程的理解加以深化。
回归到引例的实际问题,使条件更符合生活实 际。把数学知识延伸到课后,进一步体会参数方程 的作用与意义。为下一课时做准备。

教学评价
采用学生互评与教师点评相结合的方 式进行,其中体现评价的几个主要环节为:

学生参与的 过程性评价 积极程度

?

五、教学评价
实践性评价

?
?

课堂练习 学生在探究 过程中的思 关键问题 维水平 探究实践 作业 思考

谢 谢!

采用学生互评与教师点评相结合的方 式进行,其中体现评价的几个主要环节为:

?

过程性评价

?
?

课堂练习 关键问题 探究实践 作业 思考

实践性评价


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