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高中数学必修3(人教B版)第三章概率3.1知识点总结含同步练习题及答案


高中数学必修3(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 概率 3.1 事件与概率

一、学习任务 1. 了解随机事件的统计规律性和随机事件概率的意义,了解概率的统计定义以及频率与概率的区别. 2. 了解互斥事件、对立事件的概念,能判断某两个事件是否是互斥事件、是否是对立事件;了解两个互斥事件概率的加法公式,了解对立事件概率之和为 1 的结论,

会用相关公式进行简 单概率计算.

二、知识清单
随机事件的概念 频率与概率 事件的关系与运算

三、知识讲解
1.随机事件的概念 描述: 必然事件 一般地,我们把在条件 S 下,一定会发生的事件,叫做相对于条件 S 的必然事件(certain event),简称必然事件.
不可能事件 在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件 S 的不可能事件(impossible event),简称不可能事件.

确定事件 必然事件与不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件,简称确定事件. 随机事件 在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫做相对于条件 S 的随机事件(random event),简称随机事件. 基本事件与基本事件空间 通常用大写英文字母 A 、B 、C 、? 来表示随机事件,随机事件可以简称为事件.在一次试验中,所有可能发生的基本结果,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描述, 这样的事件称为基本事件(elementary event),所有基本事件构成的集合称为基本事件空间,基本事件空间常用大写希腊字母 Ω 表示. 例题: 下列事件中哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机事件? ①如果 x,y 均为实数,那么 x ? y = y ? x ; ②三张奖券只有一张中奖,任取一张奖券能中奖; ③掷骰子出现 7 点; ④某高速公路收费站 3 分钟内至少经过 8 辆车; ⑤声音在真空中传播; ⑥地球绕太阳旋转. 解:①⑥是必然事件,③⑤是不可能事件,②④是随机事件. 由实数的运算性质知①恒成立,是必然事件;⑥是自然常识,是必然事件,所以①⑥为必然事件;掷骰子不可能出现 7 点,声音不能在真空中传播,所以③⑤为不可能事件;三张奖券只有一张中奖,任 取一张可能中奖也可能不中奖,收费站 3 分钟内经过的车辆还可能少于8 辆,因此②④为随机事件. 从 a ,b ,c ,d 中任取两个字母,求该试验的基本事件空间. 解:含 a 的有 ab 、ac 、ad;不含 a ,含 b 的有 bc,bd ;不含 a 、b ,含 c 的有 cd . 所以该试验的基本事件空间 Ω = {ab, ac, ad, bc, bd, cd}. 从 A 、B 、C 、D 、E、F 这 6 名学生中选出 4 人参加数学竞赛. (1)写出这个试验的基本事件空间; (2)求这个试验的基本事件总数; (3)写出事件 “A 没被选中”所包含的基本事件. 解:(1)这个试验的基本事件空间是

Ω = {(A, B, C , D), (A, B, C , E), (A, B, C , F ), (A, B, D, E), (A, B, D, F ), (A, B, E, F ), (A, C , D, E), (A, C , D, F ), (A, C , E, F ), (A, D, E, F ), (B, C , D, E), (B, C , D, F ), (B, C , E, F ), (B, D, E, F ), (C , D, E, F )} (2)从 6 名学生中选出 4 人参加数学竞赛,共有 15 种可能情况. (3)“A 没被选中”包含下列 5 个基本事件:(B, C , D, E) 、(B, C , D, F )、(B, C , E, F ) 、(B, D, E, F )、(C , D, E, F ) .

2.频率与概率 描述: 频率 在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次事件中 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数(frequency),称事件 A 出现的比例

f n (A ) =

的频率(relative frequency) 概率 对于给定的随机事件 A ,由于事件 A 发生的频率 f n (A) 随着试验次数的增加稳定于某个常数,把这个常数记作 P (A) ,称为事件 A 的概率,简称为 A 的概率. 频率与概率的区别与联系 ①频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近于概率,在实际问题中,通常事件发生的概率未知,常用频率作为它的估计值; ②频率本身是随机的,是一个变量,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率会不同. ③概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关. ④二者都介于 0 ? 1 之间. 例题: 某人将一枚质地均匀的骰子连抛了 10 次,其中 2 点朝上出现了 6 次,若用 A 表示“ 2 点朝上”这一事件,则事件 A 的(

nA 为事件 A 出现 n

3 5 C.频率为 6
A.概率为

B.频率为

D.概率接近于频率 解:B C 选项明显错误,应该是频数为 6 .选项 D 错误,应该是“频率接近于概率”.试验的次数确定是 10 次,因此仅凭 10 次试验不能确定事件 A 发生的概率大小,由频率的定义知事件 A 发生的频率 为

3 5



3 . 5

某地气象局预报说,明天本市降雨的概率是 80% ,则下列解释: ①明天本地有 80% 的区域降雨,20% 的区域不降雨; ②明天本地有 80% 的时间降雨,20% 的时间不降雨; ③明天本地降雨的机率是 80% . 其中正确的是______.(填序号) 解:③ ①②不正确,因为 80% 的概率是说降雨的概率,而不是说 80% 的区域降雨或 80% 的时间降雨.

3.事件的关系与运算 描述: 事件的关系 (1)包含关系:一般地,对于事件 A 与事件 B ,如果事件 A 发生,则事件 B 一定发生,这时称事件 B 包含事件 A (或称事件 A 包含于事件 B ),记作 B ? A (或 A ? B ).不可能事件记作 ?,任何事件都包含不可能事件. (2)相等关系:如果事件 C1 发生,那么事件 D 1 一定发生,反过来也对,这时我们说这两个事件相等,记作 C1 = D 1 .一般地,若 B ? A ,且 A ? B ,那么称事件 A 与事件 B 相等,记作 A=B. 事件的运算 (1)并(和)事件:若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生,则称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件),记作 A ∪ B (或 A + B). (2)交(积)事件:若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生,则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件),记作 A ∩ B (或 AB ). 互斥事件与对立事件 (1)互斥事件:若 A ∩ B 为不可能事件(A ∩ B = ?) ,那么称事件 A 与事件 B 互斥,其含义是,事件 A 与事件 B 在任何一次试验中都不会同时发生. (2)对立事件:若 A ∩ B 为不可能事件, A ∪ B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件,其含义是,事件 A 与事件 B 在任何一次试验中有且仅有一个发生. 对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件. 概率的几个基本性质 (1)概率的范围:由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在 0 ? 1 之间,从而任何事件的概率在 0 ? 1 之间,即 0 ≤ P (A) ≤ 1 . (2)概率的加法公式:当事件 A 与事件 B 互斥时,P (A ∪ B) = P (A) + P (B). 一般地,如果事件 A 1 ,A 2 ,?,A n 两两互斥(彼此互斥),那么事件“ A 1 ∪ A 2 ∪ ? ∪ A n ”发生(是指事件 A 1 ,A 2 ,?,A n 中至少有一个发生)的概率,等于这 n 个事件发生的概 率和,即

P (A 1 ∪ A 2 ∪ ? ∪ A n ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + ? + P (A n ).
(3)对立事件的概率:若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 A ∪ B 为必然事件,P (A ∪ B) = 1 . 例题: 盒子里有 6 个红球,4 个白球,现从中任取 3 个球,设事件 A = {3个球中有1个红球,2个白球},事件 B = {3个球中有2个红球,1个白球},事件 C = {3个球中至少有1个红球},事件 D = {3个球中既有红球又有白球}. (1)事件 D 与 A 、B 是什么样的运算关系? (2)事件 C 与 A 的交事件是什么事件? 解:(1)对于事件 D ,可能的结果为 1 个红球 2 个白球,或 2 个红球 1 个白球,故 D = A ∪ B . (2)对于事件 C ,可能的结果为 1 个红球 2 个白球,2 个红球 1 个白球,3 个均为红球,故 C ∩ A = A. 判断下列给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由. 从 40 张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花的牌面数字都是从 1 到 10)中任意抽取 1 张. (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”; (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; (3)“抽出的牌的牌面数字为 5 的倍数”与“抽出的牌的牌面数字大于 9 ”. 解:(1)是互斥事件,不是对立事件. 从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.由于可能抽出方块或者梅花,因此不能保证其中必有一个发生,所以二者不是对立事件. (2)既是互斥事件,又是对立事件. 从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张,“抽取红色牌”与“抽取黑色牌”不可能同时发生,且其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件,又是对立事件. (3)不是互斥事件,也不是对立事件. 从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张,“抽出的牌的牌面数字为 5 的倍数”与“抽出的牌的数字大于 9 ”这两个事件可能同时发生,如抽出的牌的牌面数字为 10,因此二者不是互斥事件,当然也不可能 是对立事件. 某人去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为 0.3,0.2,0.1,0.4. (1)求他乘火车或乘飞机去的概率; (2)求他不乘轮船去的概率; (3)请问他可能乘何种交通工具去的概率为 0.5? 解:(1)记“他乘火车去”为事件 A 1 ,“他乘轮船去”为事件 A 2 ,“他乘汽车去”为事件 A 3 ,“他乘飞机去”为事件 A 4 ,这四个事件不可能同时发生,故它们彼此互斥. 所以

P (A 1 ∪ A 4 ) = P (A 1 ) + P (A 4 ) = 0.3 + 0.4 = 0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为 P ,则

P = 1 ? P (A 2 ) = 1 ? 0.2 = 0.8.
(3)由于

0.3 + 0.2 = 0.5, 0.1 + 0.4 = 0.5,
故他有可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽车或乘飞机去.

四、课后作业

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1. 下列事件中,随机事件的个数为 ( (1) 物体在重力作用下会自由下落;

).

(2) 方程 x2 + 2x + 3 = 0 有两个不相等的实根; (3) 某传呼台每天的某一时段内收到的传呼要求次数不超过 10 次; (4) 下周日会下雨. A.1 个
答案: B 解析: (3)(4)是随机事件.

B.2 个

C.3 个

D.4 个

2. 在 10 件同类产品中,有 8 件是正品, 2 件是次品,从中任意抽出 3 件的必然事件是 ( A.3 件都是正品
答案: D

)
B.至少有 1 件是次品 D.至少有 1 件是正品

C.3 件都是次品

3. 下面说法正确的是 (

)

A.事件 A 、 B 中至少有一个发生的概率一定比 A 、 B 中恰有一个发生的概率大 B.事件 A 、 B 同时发生的概率一定比 A 、 B 中恰有一个发生的概率小 C.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件 D.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件
答案: D

4. 下列说法: ①频率是反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性的大小; ②做 n 次随机试验,事件 A 发生的频率 ③百分率是频率,但不是概率;

m 就是事件的概率; n

④频率是不能脱离具体的 n 次试验的实验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值; ⑤频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值. 其中正确的是 ( A.①④⑤
答案: A

)
B.②④⑤ C.①③④ D.①③⑤

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