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浙江省温州市2013届高三第一次适应性测试数学(理)试题


浙江省温州市 2013 届高三第一次适应性测试

数学(理)试题
本试题卷分选择题和非选择题两部分,分 150 分,考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标

号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上. 参考公式: 如果事件 A, B 互斥,那么
P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

棱柱的体积公式
V ? Sh

如果事件 A, B 相互独立,那么
P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式
1 V ? Sh 3

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k Pn (k ) ? Cn p k (1 ? p)n ?k ,(k ? 0,1, 2,?, n)

其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 棱台的体积公式
V? 1 h( S1 ? S1S2 ? S2 ) 3

球的表面积公式
S ? 4? R2

其中 S1、S2 分别表示棱台的上、下底面积,
h 表示棱台的高

球的体积公式
4 V ? ?R 3 3 其中 R 表示球的半径

选择题部分(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求. 1.设全集 A.

U ? ?1, 2,3, 4,5? A ? ?1, 2? B ? ?2,3, 4? (CU A) ? B ? , 则
B.

( D.



?3, 4?

?3,4,5?

C.

?2,3, 4,5?

?1, 2,3, 4?

·1·

2i ? 2.已知 i 为虚数单位,则 1 ? i
A. 1 ? i 3.已知 q 是等比数列 B. ?1 ? i C. 1 ? i D.





?1 ? i
( )

{an }

的公比,则“ q ? 1 ”是“数列

{an }

是递减数列”的

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4.将函数 y ? sin 2 x ? cos2 x 的图象向左平移 4 个单位,所得图象的解析式是 A. y ? cos2 x ? sin 2 x C. y ? cos2 x ? sin 2 x B. y ? sin 2 x ? cos2 x D. y ? sin x cos x

?





5.甲、乙两人计划从 A 、 B 、 C 三个景点中各选择两个游玩,则两人所选景点不全相同的选法共有 ( A. 3 种 6.正方体 B. 6 种 中, C. 9 种 与平面 D.12 种 ( ) )

ABCD ? A1 B1C1D1

CC1

A1 BD

所成角的余弦值为

2 A. 3

3 B. 3

2 C. 3

6 D. 3
2 2

7.设点 A(1, ?1) , B(0,1) ,若直线 ax ? by ? 1 与线段 AB (包括端点)有公共点,则 a ? b 的最小 值为 ( )

1 A. 4

1 B. 3

1 C. 2

D. 1

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 8.椭圆 M: a 长轴上的两个顶点为 A 、 B ,点 P 为椭圆 M 上除 A 、 B 外的一
个动点,若 QA · 且 QB · ,则动点 Q 在下列哪种曲线上 PA PB A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ( )

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?





9.若实数 a,b,c 满足 log a 2 ? logb 2 ? log c 2 ,则下列关系中不可能成立的是 A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? b ? a
·2·

D. a ? c ? b

x 10.已知函数 f (x) 在 R 上是单调函数,且满足对任意 x ? R ,都有 f [ f ( x) ? 2 ] ? 3 ,若则 f (3) 的

值是 A.3

( B.7 C.9 D.12



非选择题部分(共 100 分)
注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.

( x?
11.

1 6 ) 2 x 展开式中的常数项是

。 。

12.按右图所示的程序框图运算,若输入 x ? 20 ,则输出的 k =

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 13.已知双曲线 a 的一条渐近线方程为 y ? 2 x ,则其离心率
为 。

??? ? AB ? AC ? ?1 ,则 | BC | 的最小值是 14. 在 ?ABC 中,若 ?A ? 120 ? ,
。 15.已知正四面体的俯视图如图所示,其中四边形 ABCD 是边长为 2 的 正方形,则这个正四面体的体积为 . 第 12 题

第 15 题 16.已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ?1 ? (?1) (an ? 1) ,记 S n 为 {an } 前 n 项的和,则 S 2013 =
n

; ;

17.已知 {x1 , x2 , x3 , x4 } ? {x ? 0 | ( x ? 3) ? sin ? x ? 1} ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 的最小值为 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分)

2b ? c cos C ? cos A . 已知 a , b , c 分别是 ?ABC 的三个内角 A , B , C 的对边, a
(Ⅰ)求角 A 的大小;

y ? 3 sin B ? sin(C ? ) 6 的值域. (Ⅱ)求函数
·3·

?

19. (本题满分 14 分) 从装有大小相同的 2 个红球和 6 个白球的袋子中,每摸出 2 个球为一次试验,直到摸出的球中有 红球(不放回) ,则试验结束. (Ⅰ)求第一次试验恰摸到一个红球和一个白球概率; (Ⅱ)记试验次数为 X ,求 X 的分布列及数学期望 E ( X ) . 20. (本题满分 14 分) 如图,已知平面 QBC 与直线 PA 均垂直于 Rt ?ABC 所在平面,且 PA=AB=AC. (Ⅰ)求证:PA∥平面 QBC; (Ⅱ)若 PQ ? 平面QBC ,求二面角 Q-PB-A 的余弦值. Q P

C

A

B 21. (本题满分 15 分)
2 已知点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是抛物线 y ? 4 x 上相异两点,且满足 x1 ? x2 ? 2 .

(Ⅰ)若 AB 的中垂线经过点 P(0,2) ,求直线 AB 的方程; (Ⅱ)若 AB 的中垂线交 x 轴于点 M ,求 ?AMB 的面积的最大值及此时直线 AB 的方程.

22. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? e (a ? R) .
2 x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,试判断 f (x) 的单调性并给予证明; (Ⅱ)若 f (x) 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) . (i) 求实数 a 的取值范围;
·4·

(ii)证明:

?

e ? f ( x1 ) ? ?1 2 。 (注: e 是自然对数的底数)

参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求. 答案 1 C 2 B 3 D 4 C 5 B 6 D 7 C 8 B 9 A 10 C

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分

15 11. 4

12.3

13. 5

14. 6

8 15. 3

16. ?1005

17.12

三、解答题:

2sin B ? sin C cos C ? sin A cos A 18.解: (I)由正弦定理,得:
即 2sin B cos A ? sin A cos C ? sin C cos A 故 2sin B cos A ? sin( A ? C ) ? sin B

…………………………2 分

…………………………………4 分

? sin B ? 0,? cos A ?
A?
所以

1 2
……………………………………………………6 分

?
3

?A?
(II)

?
3

2 2 ? B ? C ? ? 且B ? (0, ? ) 3 3

……………………………8 分

·5·

? y ? 3 sin B ? sin(C ? ) ? 3 sin B ? sin( ? B) 6 2 ? 3 sin B ? cos B ? 2sin( B ? ) 6
2 ? ? 5 ? 1 ? B ? (0, ? ), B ? ? ( , ? ),? sin( B ? ) ? ( ,1] 3 6 6 6 6 2
所以所求函数值域为 (1, 2]

?

?

?

……………………11 分

………………13 分 ……………………14 分

P ( A) ?
19.解: (I)

1 1 C 2 C6 3 ? C82 7 1 1 2 C2C6 ? C2 13 ? C82 28 ;

………………4 分

P( X ? 1) ?
(II)

P ( X ? 2) ?

1 1 2 C62 C4C 2 ? C 2 9 ? ? C82 C62 28 ;

P( X ? 3) ?
X 的分布列为 X P 1

2 1 1 2 C62 C4 C2C2 ? C2 C2 C2 C2 5 1 ? 2? ? P ( X ? 4) ? 62 ? 4 ? 2 ? 2 2 2 2 C8 C6 C4 28 ; C8 C6 C4 28 ;

2

3

4

13 28

9 28

5 28

1 28

……………………12 分

E ( X ) ? 1?
20.方法一:

13 9 5 1 25 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 28 28 28 28 14

……………………14 分

解: (I)证明:过点 Q 作 QD ? BC 于点 D , ∵平面 QBC ⊥平面 ABC 又∵ PA ⊥平面 ABC ∴ QD ∥ PA 又∵ QD ? 平面 QBC ∴ QD ? 平面 ABC

∴ PA ∥平面 QBC ……6 分 (Ⅱ)∵ PQ ? 平面 QBC
·6·

∴ ?PQB ? ?PQC ? 90 ∴ ?PQB ? ?PQC

?

又∵ PB ? PC, PQ ? PQ

∴ BQ ? CQ

∴点 D 是 BC 的中点,连结 AD ,则 AD ? BC ∴ AD ? 平面 QBC ∴ PQ ∥ AD , AD ? QD

∴四边形 PADQ 是矩形 ……8 分 设 PA ? 2a ∴ PQ ? AD ?

2a , PB ? 2 2a

∴ BQ ?

6a

过 Q 作 QR ? PB 于点 R ,

QR ?


2a ? 6a 6 PQ 2 2a 2 2 ? a PR ? ? ? a 2 , PB 2 2a 2 2 2a
取 PB 中点 M ,连结 AM ,取 PA 的中点 N ,连结 RN

PR ?


1 1 1 PB ? PM PN ? PA 4 2 2 , ∴ MA ∥ RN
∴ AM ? PB ∴ RN ? PB

∵ PA ? AB

∴ ?QRN 为二面角 Q ? PB ? A 的平面角……12 分

连结 QN ,则

QN ? QP ? PN ? 2a ? a ? 3a
2 2 2 2

RN ?
又∵

2 a 2

3 2 1 2 a ? a ? 3a 2 QR 2 ? RN 2 ? QN 2 2 3 2 cos ?QRN ? ? ?? 2QR ? RN 3 6 2 2? a? a 2 2 ∴
即二面角 Q ? PB ? A 的余弦值为 方法二: (I)同方法一

?

3 3 ……14 分

……………………………………6 分
·7·

(Ⅱ)∵ PQ ? 平面 QBC ∴ ?PQB ? ?PQC ? 90 ,又∵ PB ? PC, PQ ? PQ
?

∴ ?PQB ? ?PQC

∴ BQ ? CQ

∴点 D 是 BC 的中点,连结 AD ,则 AD ? BC ∴ AD ? 平面 QBC ∴ PQ ∥ AD , AD ? QD

∴四边形 PADQ 是矩形 ……………………8 分 分别以 AC, AB, AP 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz 设 PA ? 2a ,则 Q(a, a, 2a) , B(0, 2a, 0) , P(0, 0, 2a) , 设平面 QPB 的法向量为 n ? ( x, y, z )

?

??? ? ??? ? PQ ? (a, a, 0) , PB ? (0, 2a, ?2a) ∵

? ? ax ? ay ? 0 ? n ? (1, ?1, ?1) ? 2ay ? 2az ? 0 ∴? ?? PAB 的法向量为 m ? (1, 0, 0) ……12 分 又∵平面
设二面角 Q ? PB ? A 为 ? ,则

?? ? ?? ? m?n 3 | cos ? |?| cos ? m, n ?|? ?? ? ? 3 | m |?| n |
又∵二面角 Q ? PB ? A 是钝角

cos ? ? ?
∴ 21.方法一:

3 3 ………………………………14 分

解: (I)当 AB 垂直于 x 轴时,显然不符合题意, 所以可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? b ,代入方程 y ? 4 x 得:
2

k 2 x 2 ? (2kb ? 4) x ? b2 ? 0
·8·



x1 ? x2 ? 2 ?k k

4 ? 2kb ?2 k2

………………………………2 分

b?
得:

∴直线 AB 的方程为

y ? k ( x ? 1) ?

2 k

2 (1, ) ∵ AB 中点的横坐标为 1,∴ AB 中点的坐标为 k 1 2 1 3 y ? ? ( x ? 1) ? ? ? x ? k k k k ∴ AB 的中垂线方程为
3 3 ?2 k? 2 ∵ AB 的中垂线经过点 P(0, 2) ,故 k ,得

…………………………4 分

………………………6 分

∴直线 AB 的方程为

y?

3 1 x? 2 6

………………………7 分

1 3 y ?? x? k k ,∴ M 点的坐标为 (3, 0) …………8 分 (Ⅱ)由(I)可知 AB 的中垂线方程为
因为直线 AB 的方程为 k x ? ky ? 2 ? k ? 0
2 2

d?
∴ M 到直线 AB 的距离

| 3k 2 ? 2 ? k 2 | k4 ? k2

?

2 k 2 ?1 |k|

…………………10 分

? k 2 x ? ky ? 2 ? k 2 ? 0 k 2 ? y 2 ? ky ? 2 ? k 2 ? 0 y2 ? 4x 由? 得 4 ,

y1 ? y2 ?

4 8 ? 2k 2 , y1 ? y2 ? k k2
1 4 1 ? k 2 k 2 ?1 | y1 ? y2 |? k2 k2

| AB |? 1 ?

…………………………12 分



S?AMB ? 4(1 ?

1 1 ) 1? 2 2 k k ,

1?


1 ?t k2 ,则 0 ? t ? 1 ,
·9·

S ? 4t (2 ? t ) ? ?4t ? 8t , S ' ? ?12t ? 8 ,由 S ' ? 0 ,得
2 3

2

t?

6 3

即k ? ? 3 时

Smax ?

16 6 9
……………15 分

此时直线 AB 的方程为 x ? 3 y ? 3 ? 0 (本题若运用基本不等式解决,也同样给分) 法二:

k AB ?
(1)根据题意设 AB 的中点为 Q(1, t ) ,则 分 由 P 、 Q 两点得 AB 中垂线的斜率为 k ? t ? 2 ,

y2 ? y1 y ?y 2 ? 22 1 ? 2 x2 ? x1 y2 y1 t ? 4 4

………………2

………………4 分

(t ? 2) ?


2 4 t? ? ?1 3 t ,得 y? 3 1 x? 2 6

………………6 分

∴直线 AB 的方程为

………………7 分

2 y ? t ? ( x ? 1) t (2) (1) 由 知直线 AB 的方程为


………………8

t y ? t ? ? ( x ? 1) 2 AB 中垂线方程为 ,中垂线交 x 轴于点 M (3, 0)
d?
点 M 到直线 AB 的距离为

t2 ? 4 t ?4
2

? t2 ? 4
………………10 分

2 ? ? y ? t ? ( x ? 1) t ? 2 2 2 ? y2 ? 4x 由? 得: 4 x ? 8 x ? (t ? 2) ? 0

x1 ? x2 ? 2, x1 x2 ?
?| AB |? 1 ?

(t 2 ? 2)2 4

4 | x1 ? x2 |? (t 2 ? 4)(4 ? t 2 ) 2 t
·10·

?S ?

1 1 | AB | ?d ? (t 2 ? 4) 2 (4 ? t 2 ) 2 2 2 2 16 3 16 6 ? (t 2 ? 4)(t 2 ? 4)(8 ? 2t 2 ) ? ( ) ? 4 4 3 9

t2 ?


16 6 4 3 时, S 有最大值 9 ,此时直线 AB 方程为 3x ? 3 y ? 1 ? 0 ……………15 分
2 x

22.解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? e , f (x) 在 R 上单调递减

…………1 分 …………………………2 分

f ' ( x) ? 2 x ? e x ,只要证明 f ' ( x) ? 0 恒成立,
设 g ( x) ? f ' ( x) ? 2 x ? e ,则 g ' ( x) ? 2 ? e ,
x x

当 x ? ln 2 时, g ' ( x) ? 0 , 当 x ? (??, ln 2) 时, g ' ( x) ? 0 ,当 x ? (ln 2,??) 时, g ' ( x) ? 0 ………………4 分

? f 'max ( x) ? g max ( x) ? g (ln 2) ? 2 ln 2 ? 2 ? 0
所以 f (x) 在 R 上单调递减

,故 f ' ( x) ? 0 恒成立 ……………………6 分

(2) (i)若 f (x) 有两个极值点 x1 , x2 ,则 x1 , x2 是方程 f ' ( x) ? 0 的两个根, 故方程 2ax ? e ? 0 有两个根 x1 , x2 ,
x

又? x ? 0 显然不是该方程的根,所以方程

2a ?

ex x 有两个根,

…………8 分

? ( x) ?


ex e x ( x ? 1) ? ' ( x) ? x ,得 x2

若 x ? 0 时, ? ( x) ? 0 且 ? '( x) ? 0 , ? ( x) 单调递减 若 x ? 0 时, ? ( x) ? 0

0 ? x ? 1时 ? '( x) ? 0 , ? ( x) 单调递减 x ? 1 时 ? '( x) ? 0 , ? ( x) 单调递增
……………………………10 分

·11·

2a ?
要使方程

ex e a? x 有两个根,需 2a ? ? (1) ? e ,故 2 且 0 ? x1 ? 1 ? x2

e ( , ??) 故 a 的取值范围为 2
x

……………………………………12 分

法二:设 g ( x) ? f '( x) ? 2ax ? e ,则 x1 , x2 是方程 g ( x) ? 0 的两个根, 则 g '( x) ? 2a ? e ,
x

当 a ? 0 时, g '( x) ? 0 恒成立, g ( x) 单调递减,方程 g ( x) ? 0 不可能有两个根 所以 a ? 0 ,由 g '( x) ? 0 ,得 x ? ln 2a , 当 x ? (??,ln 2a) 时, g '( x) ? 0 ,当 x ? (ln 2a, ??) 时, g ' ( x) ? 0

? g max ( x) ? g (ln 2a) ? 2a ln 2a ? 2a ? 0

a?
,得

e 2
e x1 2 x1 , x1 ? (0,1)

(ii) 由 f ' ( x1 ) ? 0 ,得: 2ax1 ? e

x1

? 0 ,故

a?

f ( x1 ) ? ax1 ? e x1 ?
2

e x1 x 2 ? x1 ? e x1 ? e x1 ( 1 ? 1) x ? (0,1) 2 x1 2 , 1

………………14 分

? (t ) ? et ( ? 1)(0 ? t ? 1)
设 ,则

t 2

? ' (t ) ? et (

t ?1 )?0 2 , ? (t )在0 ? t ? 1上单调递减

故 ? (1) ? ? (t ) ? ? (0) ,即 2

e ? ? f ( x1 ) ? ?1

………………………………15 分

·12·


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