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4.1.2圆的一般方程(教案)


必修 2 第四章 圆与方程

4.1.2 圆的一般方程
【教学目标】 1.掌握圆的一般方程,理解圆的一般房车与标准方程的联系; 2.初步了解用代数方法处理几何问题,掌握求点的轨迹方程的思想方法. 【重点】圆的一般方程 【难点】点的轨迹方程的求法

问题解决最佳方案

【学习探究 学习探究】 学习探究
【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 121 页~第 123 页) 1.圆的一般方程 (1)方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 . ①当 ②当 ③当 等于 时,方程表示一个点,该点的坐标为 时,方程不表示任何图形; 时,方程表示的曲线为圆,它的圆心坐标为 ,上述方程称为圆的一般式方程. (2)比较二元二次方程 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 和圆的一般方程 ; ,半径

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ,可以得出如下结论:当二元二次方程具备条件:
① x 和 y 2 的系数相同,且不等于 0 ,即 ②没有 xy 项 ③ 【感悟】 时,才表示圆.
2



2.圆的标准方程与一般方程的特点对比 标准方程 一般方程

( x ? a ) 2 + ( y ? b ) 2 = r 2 ( r > 0)

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0( D 2 + E 2 + F > 0)
是一种特殊的 方程,代数特征明显.

指出了 特征明显. 【感悟】



, 几何

二者都含有三个待定参数,要确定方程,均需要三个独立条件.

3.待定系数法求圆的方程 (1) (2) (3) 【感悟】

; ; ;

1

必修 2 第四章 圆与方程

问题解决最佳方案

4.轨迹与轨迹方程 (1)求动点的轨迹方程,就是根据题意建立动点的坐标 ( x, y ) 所满足的等量关 系, 并把这个方程化成最简形式, 如题目中无坐标系, 就要先建立适当的直角坐标系. (2)阅读例 5 并与推导圆的标准方程的方法对比. 圆的标准方程推导 动点 个数 动点 特征 推导 过程 动点几何条件明显 例5

A 点在圆上运动导致 M 变
化. A 是主动点, B 是被动点.

将几何条件直接坐标化

将主动点坐标用被动点坐标 表示,带入圆的方程.

(3)轨迹与轨迹方程不同,前者是曲线,后者是方程,但要求轨迹往往先求轨 迹方程.如例 5,若改为求线段 AB 的中点 M 的轨迹,我们根据题意看不出 M 的轨 迹是什么曲线,但先求出点 M 的轨迹方程 ( x ? ) + ( y ? ) = 1 ,根据方程就能知
2 2

3 2

3 2

道点 M 的轨迹是以 ( , ) 为圆心,半径长是 1 的圆,这就是解析几何的重要思想. 【基础练习】 1.求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长: (1) x 2 + y 2 ? 6 x = 0 (2) x 2 + y 2 + 2by = 0 (3) x + y ? 2ax ? 2 3ay + 3a = 0
2 2 2

3 3 2 2

2.判断下列方程分别表示什么图形: (1) x 2 + y 2 = 0 ; (2) x 2 + y 2 ? 2 x + 4 y ? 6 = 0 ;

(3) x 2 + y 2 + 2ax ? b 2 = 0 . 3.若方程 a 2 x 2 + ( a + 2) y 2 + 2ax + a = 0 表示圆,则 a 等于 4.已知 M (?1,1), N ( 2,5) , 则到 M , N 距离相等的点的轨迹是 【典型例题】 例 1 求过三点 O (0,0), M 1 (1,1), M 2 ( 4,2) 的圆的方程,并求这个圆的半径长和 圆心坐标. . .

【方法总结】

2

必修 2 第四章 圆与方程

例 2 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4,3) ,端点 A 在圆 ( x + 1) 2 + y 2 = 4 上运 动,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.

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【方法总结】

【自我检测 自我检测】 自我检测
1.方程 x + y + 2ax + 2by + a + b = 0 表示的图形是(
2 2 2 2

).

(A)以 (a, b) 为圆心的圆 (C)点 (a, b)

(B)以 (? a,?b) 为圆心的圆 (D)点 (? a,?b) ).

2.圆的方程为 ( x ? 1)( x + 2) + ( y ? 2)( y + 4) = 0 ,则圆心坐标为( (A) (1,?1) (B) ( ,?1)

1 2

(C) (?1,2)

(D) (?

1 ,?1) 2
).

3.若方程 x 2 + y 2 ? 4 x + 2 y + 5k = 0 表示圆,则 k 的取值范围是( (A) k > 1 (B) k < 1 (C) k ≥ 1 (D) k ≤ 1

4.圆 2 x 2 + 2 y 2 ? 4ax + 12ay + 16a 2 = 0(a < 0) 的周长等于( (A) 2 2πa (B) ? 2 2πa (C) 2πa
2

). (D) ? 2πa

5.到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( (A) y = x (B) y = x (C)x 2 = y 2

). (D)x 2 + y 2 = 0

6. 如 果 过 A( 2,1) 的 直 线 l 将 圆 x 2 + y 2 ? 2 x ? 4 y = 0 平 分 , 则 l 的 方 程 为 ( ). (A) x + y ? 3 = 0 (B) x + 2 y ? 4 = 0 (C) x ? y ? 1 = 0 (D) x ? 2 y = 0 7. 已 知 圆 x 2 + y 2 + kx + 2 y = ?k 2 , 当 该 圆 的 面 积 取 最 大 值 时 , 圆 心 坐 标 为 . 8.设圆 x 2 + y 2 ? 4 x + 2 y ? 11 = 0 的圆心为 A , P 在圆上, PA 的中点 M 的 点 则 轨迹方程是 .

3

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9.圆 x + y + Dx + Ey ? 3 = 0 的圆心在坐标轴上,半径为 2 ,当 D > E 时,求
2 2

圆的方程.

10.已知一条曲线在 x 轴的上方,它上面的每一点,到点 A(0,2) 的距离减去它到

x 轴的距离的差都是 2 ,求这条曲线的方程,并说明是什么曲线.

教后反思

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