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非常完美二次函数的复习课件


2+bx+c 二次函数y=ax

的图象与性质

复习
抛物线 y ? ax ? bx ? c 的对称轴及顶点 坐标: (公式法) b (1)对称轴:直线 x ? ? 2a
2

b 4ac ? b (2)顶点坐标: ? , ( ) 2a 4a
2

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值

y=ax2+bx+c(a>0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ?

y=ax2+bx+c(a<0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ?

直线 x ? ?

b 2a

直线 x ? ?

b 2a

向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, 最小值为 2a 4a

b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, 最大值为 2a 4a

归纳知识点:
抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点 (x=0时,求y的值)

交点坐标:(0,c)
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点 (y=0时,求x的值)

ax2+bx+c=0

回味知识点:
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关?

2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是 3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是

.

.

归纳知识点:
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题: (1)a的符号: 由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 (2)C的符号:由抛物线与y轴的交点位置确定: 交点在x轴上方 c>0 c<0 a>0 a<0

交点在x轴下方
经过坐标原点

c=0

归纳知识点:
(3)b的符号:由对称轴的位置确定: 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴 (4)b2-4ac的符号: 由抛物线与x轴的交点个数确定: 与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点 a、b同号 a、b异号 b=0 简记为:左同右异

b2-4ac>0
b2-4ac=0 b2-4ac<0

归纳知识点:
(5)a+b+c的符号: 由x=1时抛物线上的点的位置确定 (6)a-b+c的符号: 由x=-1时抛物线上的点的位置确定 (7)2a-b 2a+b 的符号:

b 由x ? - 和x ? 1或x ? -1决定 2a

快速回答:
抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、△的 符号: y

o

x

快速回答:
抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、△的 符号: y

o

x

快速回答:
抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、△的 符号: y

o

x

快速回答:
抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、△的 符号: y

o

x

快速回答:
抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、△的 符号: y

o

x

巩固练习
(1)二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标 25 1 1 x=— (—,-—) 是___________对称轴是_________。 4 2 2 (2)抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标 (0,0)(2,0) 是___________ 1 (3)已知函数y=—x2-x-4,当函数值y随 2 x的增大而减小时,x的取值范围是 1 2 x<1 ___________若变为 y ? x - kx - 4 当x<1时,y
k≦1 随x的增大而减小,则k的范围是____

2

(4)二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象 经过原点,则m= ____。 2

5.二次函数y=x2+2x-5取最小值时,自变量x 的值是 x=-1 . 6.已知抛物线y=3x2-mx-2的对称轴是x=1, 则m= 6 . 7.抛物线y=2x2+bx+c的顶点坐标是(-1,-2), 则b= 4 c= 0 .
y ? x ? 2 x ? 4关于Y轴的对称图象的解析式为
2

关于X轴的对称图象的解析式为 关于顶点旋转180°的图象的解析式为

利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 1、根据下列表格的对应值:
x y=ax2+bx+c 3.23 -0.06 3.24 -0.02 3.25 0.03 3.26 0.09

判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a、b、c为常数)一个 解的范围是 ( C ) A、3<x<3.23 B、3.23<x<3.24 C、3.24<x<3.25 D、3.25<x<3.26

y ? 2x 2 ? 6x ? 3 2、 当若二次函数 X取两个不同的值X1和X2时,函数值相 等,则X1+X2=

范例 例2、如图,二次函数 y ? ax ? bx ? c的 图象如图所示,则( C ) A. a>0,b>0,c>0 y B. a>0,b<0,c>0 C. a<0,b>0,c>0 D. a<0,b<0,c>0 x o
2

巩固 1.如图,若a<0,b>0,c>0,则二次 2 函数 y ? ax ? bx ? c的图象大致是( A ) y y A o
y B o

x

C

o

x

x

D

o

x

巩固 2 2.若函数 y ? 2 x ? bx ? c的顶点坐标 是(1,-2),则b= -4 ,c= 0 。
3.已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图 象如图所示,则一次函数 y ? bx ? ac 的图象不经过第 二 象限。 y
2

o

x

例题

若抛物线 y ? (m ?1) x ? 2mx ? m ? 3 全部位于x轴上方,求m的取值范围.
2

△=(2m)2-4(m-1)(m+3) =-8m+12

1 顶点位于x轴上(y轴上),求m 函数 2 若抛物线

y ? (m ?1) x ? 2mx ? m ? 3
2

与x轴有交点,则x的范围

若函数 y ? x 2 - 6 x ? c - 2 顶点到x轴的距离为3, 3 14或8 c=________
15或7 若顶点到原点的距离为5,c=_______

4

y ? x 2 ? bx ? c 二次函数

的图象上有两点 (3, -8)和(-5,-8),则此拋物线的对称轴是( ) X=-1

5 .由函数y=

-3(x-1)2+2的图象向右平移4个单位, 再向上平移3个单位,得到的图象的函数解析式 y= -3(x-5)2+5 为_____________________________

思考题:
? ( m ? 1) x 2 ? 2 x ? m , 已知 : y 当m ? _____ 时,图象为直线; 1

?1 当m _____ 时,图象为抛物线 当m _____ 时,抛物线开口向下 ?1
当m _____ 时,抛物线经过原点。 ?0

练一练:
1.已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点 b M( ,a)在( D ) c y A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
o x

练一练:
2、已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 下列结论中:①abc>0;② a+b+c<0 ③ a-b+c>0 ; ④a+b-c>0; ⑤ b=2a正确的个数是 ( ) C A、2个 B、3个

y

C、4个

D、5个



-1 o

1

x

练一练:
3、已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 下列结论中:①b>0;②c<0;③4a+2b+c > 0; ④(a+c)2<b2,其中正确的个数是 ( B ) A、4个 C、2个 B、3个 D、1个 y

o x=1

x

练一练:
4.如图,在同一坐标系中,函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是( D )
y y y y

o

x

o x

o x

o

x

A

B

C

D

再想一想:
6.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+c(a<0) 的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C,则ac的值 是 -2 .

仔细想一想:
7. 如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,图象经过点 (-1,2)和(1,0),且与y轴相交于负半轴. (以下有(1)、(2)两问,你只需选答一问,若两问都答,则只以 第(2)问计分) 第(1)问:给出四个结论: ①a>0;② b>0;③c>0;④ a+b+c=0.其中正确结论的序号 是 ①④ (答对得3分,少选、错选均不得分). 第(2)问:给出四个结论: ① abc<0;②2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确结论的序 号是 ② ③ ④(答对得5分,少选、错选均不得分).
y

2
x -1 O 1

1.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和 一次函数y2=mx+n的图象,观察 图象写出y2 ≥y1时,x的取值范围 是________;
2.若关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个 交点,则a可取的值为 ; 3.已知抛物线y=ax2+bx+c (a<0)经过点(-1,0), 且满足4a+2b+c>0.以下结论:①a+b>0;②a+c>0;③ -a+b+c>0;④b2-2ac>5a2.其中正确的个数有( (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 )

2+bx+c 二次函数y=ax

的图象与性质

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的 图象如图所示,顶点为D,求:


X=-1 (1)对称轴方程____________; y=x2+2x-3 (2)函数解析式____________; x<-1 (3)当x______时,y随x增大而减小; B A (4)由图象回答: 当y>0时,x的取值范围 x>1或x<-3 C 当y=0时, x=1,-3 D 当y<0时, -3<x<1 - 6 - 1<x x的取值范围当y<2时,x的取值范围______ <- 1 ? 6 ax2+bx+c+m=0有解,m 的范围是 _______ x≦4 (5)直线BC的解析式为:y1=kx+b,当x 0<x<1 时,y1>y (6)在x轴上取点P,使△BCP是等腰三角形,写出 点P的坐标 p1 ( 10 ? 1,0) p2 (- 10 ? 1,0) p3 (-1,0) p4 (-4,0)

(7)求△ACD的面积,判断△ACD的形状 过D作DE垂直y轴于E,△ACD的面积等于梯形DEOA的 面积减去△AOC的面积与△DCE的面积之和(或者过D 作x轴的垂线也可以) S△ACD=3

AC ? 3 2, DC ? 2, AD ? 2 5
A B

用勾股定理逆定理或者△AOC,△DCE是等腰直角三角 形∠ACO=∠DCE=45°可判断△ACD是直角三角形 (8)M是抛物线AC段上一动点,求S△ACM的最大值 过M作MN∥y轴交AC于N。S△ACM=S△ANM+S△NCM △AMN与△NCM的底MN相同,高之和等于AO=3, S△AMN=1.5MN,MN等于点N的纵坐标减去点M的纵坐标, 27 用二次函数配方即可当x=-1.5是y有最大值 8 (9)在x轴上求点F使△OCF与△ACD相似

N
M D C

F1(1,0) F2(-1,0) F3(9,0) F4(-9,0)

(10)在对称轴上求点G,使△BCG的周长最小。求 出点G的坐标以及△BCG的周长
G(-1,-2)

3 2 ? 10
A S1 S4 B S3

(11)点H在抛物线上,点K在对称轴上,是否存 在点H,K使A,B,H,K构成平行四边形?如果存在, S2 写出点H 、K的坐标 H1(3,12) K1(-1,12) H2(-5,12) H3(-1,-4) K2(-1,4)

C

D (12)点T在抛物线上,点S在x轴上,是否存在点T,S使A,C,T,S 构成平行四边形?如果存在,写出点S 的坐标

分两种情况讨论;AC为边或AC为对角线 如图:共有四个点

S1 - 1,0)S2 (?5,0)S3 (2 ? 7 ,0)S4 (2 ? 7 ,0) (
其中S1为AC为对角线,S2S3S4为AC是边的情况,(用全等即可)

(13)在抛物线上是否存在点W,使S△ABC=3S△ABW 如果存在求出点W的坐标

(? 1 ? 5,1)(?1 ? 5,1)(?1 ? 3,?1)(?1 ? 3,?1)
(14)在抛物线上是否存在点P,使∠PBC=90° 如果存在求出点P的坐标 △BOE与△BOC相似求出点E的坐标,再求出直线BP 的解析式,与抛物线联立解方程组即可。或△PMB与 △BOC相似,直接可求出点P的坐标

P

M

A

E F

B

N D

C

10 13 P (? , ) 3 9
(15)如果点N(m,m-1)在第三象限,求点N关于直线AC对称的点的坐标 点N的坐标为(-2,-3),所以CN∥x轴,所以∠CAN=∠OAC∠ACO=45°

所以CN=CF=2,所以F的坐标为(0,-1)

(16)在AC上是否存在点E,使△ABC和△AOE相 似,如果存在求出点E的坐标。

分两种情况相似。△AOE∽△ABC或者 △AOE∽△ACB

3 9 E1 ? ,? ) E 2 (?2, 1) ( ? 4 4
(17)求△ABD和△ABC的外心的坐标

A

B

C D

△ABD的外心坐标为

3 ( ?1, ) ? 2
A B M C D

△ABC的外心M坐标为

(?1, 1) ?

提示: ∠ BAC=45°,∠BMC是圆 心角=2∠BAC=90°,所以△MBC是 等腰直角三角形,利用BC求出BM即 可

能力拓展
1.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价
是每件60元,每星期可卖出300件。市场调查 反映:如调整价格 ,每涨价一元,每星期要 少卖出10件;每降价一元,每星期可多卖出20 件。如何定价才能使利润最大?
在上题中,若商场规定试销期间获利不得低于 40%又不得高于60%,则销售单价定为多少时, 商场可获得最大利润?最大利润是多少?

如图,已知抛物线与x轴交于A、B 两点,与y轴交于C点. (1)求此抛物线的解析式; (2)抛物线上有一点P,满足 ∠PBC=90°,求点P的坐标; (3)在(2)的条件下,问在y轴 上是否存在点E,使得以A、O、E 为顶点的三角形与⊿PBC相似?若 存在,求出点E的坐标;若不存在, 请说明理由.

X=4
y

C O

3
2
A B

P

6

Qx

如图所示,已知抛物线 y ? x ?1与轴交于A、B两点,与轴交于C. 1、求A、B、C三点的坐标. 2、过A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积. 3、在x轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG垂直x轴 于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似.若存 在,请求出M点的坐标;否则,请说明理由
2

1.A (-1,0) B (1,0) C (0,-1) 2.P(2,3)面积为4
4 7 ( 3.M坐标为(-2,3)(4,15) , ) 3 9
A

y

P

B

C 图11

这节课你有哪些体会?
1.a,b,c等符号与二次函数y=ax2+bx+c有密切的 联系; 2.解决这类问题的关键是运用数形结合思想, 即会观察图象;如遇到2a+b,2a-b要与对称轴联 系等; 3.要注意灵活运用数学知识,具体问题具体分 析


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