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江苏省南通中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 理


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江苏省南通中学 2014-2015 学年度第二学期期末考试 高二数学试卷(理科)
一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上. 1.极坐标系中,两点 A(3, 2.已知矩阵 M ? ?

?
12<

br />
), B(4,

13? ) 的距离 AB= 12






? x 5? ? 不存在逆矩阵,则 x= ?6 6 ?



3.已知随机变量 X 的方差 V(X)=1,设随机变量 Y=2X+3,则 V(Y)=





4.抛掷两颗质量均匀的骰子各一次,向上的点数不同时,其中有一个点数为 2 的概率为 ▲ .

5.参数方程 ?

? x ? sin ? (θ 为参数)化为普通方程为 y ? cos 2 ? ?





6.直线 l 经过点 A(1, 2) 、倾斜角为 交点到点 A 的距离之积为
n

? 2 2 ,圆 O 的方程为: x ? y ? 9 ,则 l 与圆 O 的两个 3





1 ? ? 2n 7.已知 ? x ? ? 的展开式的二项式系数之和比(a+b) 的展开式的系数之和小 240,则 3 x? ?
1 ? ? ? x ? 3 ? 的展开式中系数最大的项是 x? ?
n





8.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 c(a,

b,c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为 2,则

2 1 ? 的最小值为 a 3b





9.某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各 2 株,设甲、乙两种大树移栽的成活率分别 为

2 1 和 ,且各株大树是否成活互不影响,在移栽的 4 株大树中,两种大树各成活 1 株的 3 2
▲ . ▲ . ▲

概率为

1 2 27 10. S ? C27 ? C27 ? ? ? C27 除以 9 的余数为

11.将 4 个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的 4 个盒子中,恰有一个空盒的方法共有

1

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种(用数字作答). 12.矩阵 A= ?

?a k ? ?k ? (k≠0)的一个特征向量为 α = ? ? , A 的逆矩阵 A-1 对应的变换将点(3, ? ?0 1 ? ? ?1?
▲ .

1)变为点(1,1).则 a+k =

13.100 只灯泡中含有 n(2≤n≤92)只不合格品,若从中一次任取 10 只,记“恰好含有 2 只不 合格品”的概率为 f(n),当 f(n)取得最大值时,n= ▲ .

14.某活动中, 有 42 人排成 6 行 7 列,现从中选出 3 人进行礼仪表演,要求这 3 人中的任意 2 人不同行也不同列,则不同的选法种数为 ▲ (用数字作答).

二.解答题:本大题共 6 小题, 共计 90 分.请在答题纸指定区域内作答, 解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题 14 分)在极坐标系中,已知 A 离为 3. (1)求 m 的值. (2)设 P 是直线 l 上的动点,点 Q 在线段 OP 上,满足 OP ? OQ ? 1 ,求点 Q 的轨迹方程.

?

? 2,0 到直线 l:? sin(? ? ) ? m, ( m ? 0) 的距 4

?

??? ?

????

16.(本小题 14 分)在平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? a cos ? ? y ? b sin ?

(a>b

>0, ? 为 参数),以Ο 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 是圆心在极轴 上且经过极点的圆,已知曲线 C1 上的点 M (2, 3) 对应的参数 ? ? 点 D ( 2,

?
3

.? ?

?
4

与曲线 C2 交于

?
4

).

(1)求曲线 C1,C2 的直角坐标方程; (2) A( ?1 ,? ) , B( ? 2 , ? ?

?
2

) 是曲线 C1 上的两点,求

1

?

2 1

?

1

?2 2

的值.

17.(本小题 15 分)已知△ABC 三个顶点的坐标分别是 A(0,2),B(1,1),C(1,3).若 △ABC 在一个切变变换 T 作用下变为△A1B1C1,其中 B(1,1)在变换 T 作用下变为点 B1(1,

2

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-1). (1)求切变变换 T 所对应的矩阵 M; (2)将△A1B1C1 绕原点按顺时针方向旋转 45° 后得到△A2B2C2.求 B1 变化后的对应点 B2 的坐 标.

18.(本小题15分)已知从“神七”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为

1 ,某 3

植物研究所进行该种子的发芽实验,每 次实验种一粒种子, 每次实验结果相互独立. 假定 某次实验种子发芽则称该次实验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次实验是失败的.若 该研究所共进行四次实验, 设 ? 表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的 绝对值. ⑴ 求随机变量 ? 的分布列及 ? 的数学期望 E (? ) ; ⑵ 记“不等式 ? x2 ? ? x ? 1 ? 0 的解集是实数集R”为事件A,求事件A发生的概率 P ( A) .

3m 1 19.(本小题 16 分)设数列{an}为等比数列,首项 a1 ? C2 公比 q 是 m ?3 ? A m? 2 ,

(x ?

1 4 ) 的展开式中的第二项. 4x2

(1)用 n,x 表示数列{an}的前 n 项和 Sn;
1 2 n (2)若 An ? Cn S1 ? Cn S2 ??? Cn Sn ,用 n,x 表示 An.

20.(本小题16分) 设n为给定的不小于3的正整数,数集P={x|x≤n,x∈N*},记数集P的所有k (1 ≤k≤n,k∈N*)元子集的所有元素的和为Pk. (1) 求P1,P2;

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(2) 求P1+P2+?+Pn .

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江苏省南通中学 2016 届高二数学期末试卷(理科) 参考答案 二.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上. 1. 7;2. 5;3. 4 ;4. 1/3:5.y=-2x +1, x ???1,1? ;6. 4;7. 6 3 x ;8. 16/3;
2

9. 2/9;10. 7;11. 144;12. 3;13. 20;14. 4200 三.解答题:本大题共 6 小题, 共计 90 分.请在答题纸指定区域内作答, 解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 15.解:(1)以极点为原点,极轴为 x 的正半轴建立直角坐标系,则 A

?

2, 0 ,
?3

?

直线 l 的直角坐标方程是:x-y- 2m =0,A 到 l 的距离 d ? 所

2 ? 2m 2

以 ..................................................................... ...................7 分

m=2

(2)由(1)得直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ?

?
4

) ? 2 ,设 Q( ? ,? ), P( ?0 ,?0 ) ,

? ??0 ? 1 则? ?? ? ?0
点 Q

1 ? ? 1 ? ? ?0 ? ? ? P ? l ? ?0 sin(?0 ? ) ? 2 ? sin(? ? ) ? 2 所以 ? 4 ? 4 ?? ? ? ? 0
的 轨 迹 方 程 是 :

1 ? ? ? sin(? ? ) ........................................................14 分 2 4

16.解:(1)将 M(2,

)及对应的参数 φ =

;θ =



代入

得:

得:

∴曲线 C1 的方程为:

(φ 为参数)即:



设圆 C2 的半径 R,则圆 C2 的方程为:ρ =2Rcosθ ,将点 D(





5

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代入得: =2R ∴R=1

∴圆 C2 的方程为:ρ =2cosθ 即:(x﹣1)2+y2=1..................8 分 (2)将 A(ρ 1,θ ),Β (ρ 2,θ + )代入 C1 得:

?12 cos 2 ?
16
∴ +

?

?12 sin 2 ?
4
+

?1

?2 2 sin 2 ?
16
)+(

?

?2 2 cos2 ?
4
+

?1

=(

)=

........14 分

17.解:(1)设 M ? ? 所以

?1 b ? ?1 b ? ?1? ?1 ? ?b ? 0 ,则有 ? ? ?? ? ? ? ? 得? ?c 1 ? ?c 1 ? ?1? ? ?1? ?c ? ?2

?1 0? M ?? ? .................................................................. ??2 1 ?
..................7 分

? 2 ?cos ? ?450 ? ? sin ? ?450 ?? ?1 ? ? ?? ? ? ? 2 (2)由 ? 0 0 ?sin ? ?45 ? cos ? ?45 ? ? ? ?1? ? 2 ? ? ?? ? 2
得 B2(0 ,

2? ? 2 ? ?1 ? ? ?0 ? ? ? ? ? 2 ? ? ?1? ? ? 2 ? ? 2 ?

? 2 )........................................................................
.........15 分 18.解:⑴四次实验结束时,实验成功的次数可能为 能为 ,所以 的可能取值为 . , 相应地,实验失败的次数可

所以 的分布列为
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0 2 4

期望 ⑵ 的可能取值为0,2,4. 当 当 时,不等式为 时,不等式为 对

.

..........................8分

恒成立,解集为 ,解集为 ,



时, 不等式为

,解集为

,不为

,

所以 19.解:(1)

...............................15分

?2m ? 3 ? 3m 3m 1 ? a1 ? C2 ? m ? 3? a1 ? 1 m ? 3 ? Am ? 2 ? ? ?m ? 2 ? 1 ?n( x ? 1) ? n ?1 ? q ? T2 ? x ? an ? x ? S n ? ?1 ? x 2 ( x ? 1) ? ? 1? x

............................................................................... ..................................6 分 (2)当 x=1 时,Sn=n,
1 2 3 n 0 1 2 3 n 所以: An ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ??? nCn ? 0Cn ?1Cn ? 2Cn ? 3Cn ??? nCn n n?1 n ?2 1 0 又? An ? nCn , ? (n ?1)Cn ? (n ? 2)Cn ??? Cn ? 0Cn 0 1 2 n ∴上两式相加得:2An=n Cn =n?2n, ? Cn ? Cn ??? Cn

∴An=n?2n- 1,...................................... ............................. ....................10 分
当 x≠1 时, S n ?

1 ? xn 1? x

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所以有:

1 ? x 1 1 ? x2 2 1 ? xn n An ? Cn ? Cn ? ? ? Cn 1? x 1? x 1? x 1 1 2 n 1 2 n ? (Cn ? Cn ? ? Cn ) ? ( xCn ? x 2 Cn ? ? x n Cn ) 1? x 1 ? ? (2n ? 1) ? (1 ? x) n ? 1? ? ? 1? x 1 ? ? 2n ? (1 ? x) n ? ? ? 1? x

............................................................................... .......................................15 分

?n ? 2n ?1 , x ? 1 ? ? An ? ? 2n ? (1 ? x) n ,x ?1 ? ? 1? x

............................................................................... .....................................16 分
20.解:(1) 易得数集P={1,2,3,?,n}, 则P1= 1+2+3+?+n= 数集P的2元子集中,每个元素均出现n-1次,故

n(n ? 1) , 2

P2=(n-1)(1+2+3+?+n)=

n(n ? 1)(n-1) ...............................6分 2
k -1

(2) 易得数集P的k(1≤k≤n,k∈N*)元 子集中,每个元素均出现 C n -1 次, 故Pk= C n -1 ·(1+2+3+?+n)= 则P1+P2+?+Pn=
k -1

n(n ? 1) k -1 C n -1 , 2

n(n ? 1) n(n ? 1) 0 1 2 n -1 ( C n -1 + C n -1 + C n -1 +? C n -1 )= ·2n-1 2 2
=n(n+1)·2n-2........................... ...........16分

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