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【创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:选修4-4 第2讲 参数方程


第2讲 [最新考纲] 1.了解参数方程,了解参数的意义.

参数方程

2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程. 3.掌握直线的参数方程及参数的几何意义,能用直线的参数方程解决简单的相 关问题.

知 识 梳 理 1.曲线的参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变量 t 的 ?x=f?t?, 函数? ?y=g?t?. 并且对于 t 的每一个允许值上式所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,则称上式 为该曲线的参数方程,其中变量 t 称为参数. 2.一些常见曲线的参数方程 ?x=x0+tcos α (1)过点 P0(x0, y0), 且倾斜角为 α 的直线的参数方程为? (t 为参数). ?y=y0+tsin α ?x=a+rcos θ (2)圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程为? (θ 为参数). ?y=b+rsin θ ?x=acos θ x2 y2 (3)椭圆方程a2+b2=1(a>b>0)的参数方程为? (θ 为参数). ?y=bsin θ
2 ?x=2pt (4)抛物线方程 y =2px(p>0)的参数方程为? (t 为参数). ?y=2pt 2

诊 断 自 测 ?x=-1-t, 1.极坐标方程 ρ=cos θ 和参数方程? (t 为参数)所表示的图形分别 ?y=2+t 是________. ①直线、直线;②直线、圆;③圆、圆;④圆、直线. x x 解析 ∵ρcos θ=x,∴cos θ=ρ代入到 ρ=cos θ,得 ρ=ρ,∴ρ2=x,∴x2+y2=x

?x=-1-t, 表示圆.又∵? 相加得 x+y=1,表示直线. ?y=2+t, 答案 ④ ?x=1-2t, 2.若直线? (t 为实数)与直线 4x+ky=1 垂直,则常数 k=________. ?y=2+3t ?x=1-2t, 解析 参数方程? 所表示的直线方程为 3x+2y=7,由此直线与直线 ?y=2+3t, 3 ? 4? 4x+ky=1 垂直可得-2×?-k?=-1,解得 k=-6. ? ? 答案 -6 ?x=2+t, ?x=3cos α, 3.(2012· 北京卷)直线? (t 为参数)与曲线? (α 为参数)的交 ?y=-1-t ?y=3sin α 点个数为________. 解析 直线方程可化为 x+y-1=0,曲线方程可化为 x2+y2=9,圆心(0,0)到直 线 x+y-1=0 的距离 d= 答案 2 ?x=1- 2t, 4.已知直线 l:? (t 为参数)上到点 A(1,2)的距离为 4 2的点的坐标 ?y=2+ 2t 为________. 解析 设点 Q(x,y)为直线上的点, 则|QA|= ?1-1+ 2t?2+?2-2- 2t?2 = ? 2t?2+?- 2t?2=4 2, 解之得,t=± 2 2,所以 Q(-3,6)或 Q(5,-2). 答案 (-3,6)和(5,-2) 5.(2013· 广东卷)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线 C 的参数方程为________. 解析 由 ρ=2cos θ 知,ρ2=2ρcos θ 所以 x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1, 1 2 = 2 <3.∴直线与圆相交有两个交点. 2

?x=1+cos θ, 故其参数方程为? (θ 为参数). ?y=sin θ ?x=1+cos θ, 答案 ? (θ 为参数) ?y=sin θ

考点一 参数方程与普通方程的互化 【例 1】 把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线; 1 x=1+2t, ? ? (1)? (t 为参数); 3 ? ?y=2+ 2 t
2 ?x=1+t , (2)? (t 为参数); ?y=2+t

1 ? ?x=t+ t , (3)? 1 ? ?y= t -t

(t 为参数).

1 解 (1)由 x=1+2t 得 t=2x-2. 3 ∴y=2+ 2 (2x-2). ∴ 3x-y+2- 3=0,此方程表示直线. (2)由 y=2+t 得 t=y-2,∴x=1+(y-2)2. 即(y-2)2=x-1,此方程表示抛物线. 1 ? ?x=t+ t (3)? 1 y = ? ? t -t ① ②

∴①2-②2 得 x2-y2=4,此方程表示双曲线. 规律方法 参数方程化为普通方程:化参数方程为普通方程的基本思路是消去参 数,常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去 法,不要忘了参数的范围. 【训练 1】 将下列参数方程化为普通方程.

?x=1-sin 2θ, (1)? (θ 为参数); ?y=sin θ+cos θ 1 t ? ?x=2?e +e (2)? 1 t ? ?y=2?e -e
-t

?, (t 为参数). ?

-t

解 (1)由(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=2-(1-sin 2θ), 得 y2=2-x.又 x=1-sin 2θ∈[0,2], 得所求的普通方程为 y2=2-x,x∈[0,2]. (2)由参数方程得 et=x+y,e-t=x-y, ∴(x+y)(x-y)=1,即 x2-y2=1. 考点二 直线与圆参数方程的应用

【例 2】

2 ? ?x=3- 2 t, 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? 2 ? ?y= 5+ 2 t

(t 为参

数).在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ρ=2 5sin θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B,若点 P 的坐标为(3, 5),求|PA|+|PB|. 解 (1)由 ρ=2 5sin θ,得 ρ2=2 5ρsin θ. ∴x2+y2=2 5y,即 x2+(y- 5)2=5. (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程. ? 2? ? 2? 得?3- t?2+? t?2=5,即 t2-3 2t+4=0. 2 ? ?2 ? ? 由于 Δ=(3 2)2-4×4=2>0,故可设 t1,t2 是上述方程的两实根, ?t1+t2=3 2, 所以? t2=4. ?t1· 又直线 l 过点 P(3, 5), 故由上式及 t 的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2. 规律方法 (1) 过定点 P0(x0 , y0) ,倾斜角为 α 的直线参数方程的标准形式为

?x=x0+tcos α, ? (t 为参数), t 的几何意义是直线上的点 P 到点 P0(x0, y0)的数量, ?y=y0+tsin α 即 t=|PP0|时为距离.使用该式时直线上任意两点 P1、P2 对应的参数分别为 t1、 1 t2,则|P1P2|=|t1-t2|,P1P2 的中点对应的参数为2(t1+t2). ?x=x0+at, (2)对于形如? (t 为参数),当 a2+b2≠1 时,应先化为标准形式后才 y = y + bt ? 0 能利用 t 的几何意义解题. ?x=1+t, 【训练 2】 已知直线 l 的参数方程为? (参数 t∈R),圆 ?y=4-2t ?x=2cos θ+2, 数方程为? (参数 θ∈[0,2π]),求直线 l 被 ?y=2sin θ 圆 C 所截得的弦长. ?x=1+t, 解 由? 消参数后得普通方程为 2x+y-6=0, ?y=4-2t ?x=2cos θ+2, 由? 消参数后得普通方程为 (x - 2)2 + y2 = 4 ,显然圆心坐标为 ?y=2sin θ (2,0),半径为 2.由于圆心到直线 2x+y-6=0 的距离为 d= ?2 5?2 8 5 ?= 22-? 5 . ? 5 ? 考点三 极坐标、参数方程的综合应用 |2×2+0-6| 2 5 = 5 , 22+1 C 的参

所以所求弦长为 2

?x=cos θ, 【例 3】 已知 P 为半圆 C:? (θ 为参数,0≤θ≤π)上的点,点 A 的坐 ?y=sin θ 标为(1,0),O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度 π 均为3. (1)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (2)求直线 AM 的参数方程. π π ?π π? 解 (1)由已知, 点 M 的极角为3, 且点 M 的极径等于3, 故点 M 的极坐标为?3,3?. ? ?

?π 3π? ?,A(1,0). (2)点 M 的直角坐标为? , 6 6 ? ? ?π ? -1?t, ? ?x=1+? ?6 ? 故直线 AM 的参数方程为? 3π ? ?y= 6 t

(t 为参数).

规律方法 涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普 通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方 程. 【训练 3】 (2013· 福建卷)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半 π 轴为极轴建立极坐标系,已知点 A 的极坐标为( 2,4),直线 l 的极坐标方程为 π ρcos(θ-4)=a,且点 A 在直线 l 上. (1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; ?x=1+cos α, (2)圆 C 的参数方程为? (α 为参数), 试判断直线 l 与圆 C 的位置关 ?y=sin α 系. π π 解 (1)由点 A( 2,4)在直线 ρcos(θ-4)=a 上,可得 a= 2. 所以直线 l 的方程可化为 ρcos θ+ρsin θ=2, 从而直线 l 的直角坐标方程为 x+y-2=0. (2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1, 所以圆 C 的圆心为(1,0),半径 r=1, 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d= 所以直线 l 与圆 C 相交. 1 2 = 2 <1, 2

转化思想在解题中的应用 ?x=2cos θ 【典例】 已知圆锥曲线? (θ 是参数)和定点 A(0, ?y= 3sin θ 曲线的左、右焦点. 3),F1、F2 是圆锥

(1)求经过点 F1 且垂直于直线 AF2 的直线 l 的参数方程; (2)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 AF2 的极坐标 方程. [审题视点] (1)先将圆锥曲线参数方程化为普通方程,求出 F1 的坐标,然后求

出直线的倾斜角度数,再利用公式就能写出直线 l 的参数方程.(2)直线 AF2 是已 知确定的直线,利用求极坐标方程的一般方法求解. ?x=2cos θ x2 y2 解 (1)圆锥曲线? 化为普通方程 4 + 3 =1,所以 F1(-1,0),F2(1,0), ?y= 3sin θ 则直线 AF2 的斜率 k=- 3, 于是经过点 F1 且垂直于直线 AF2 的直线 l 的斜率 k′ 3 = 3 ,直线 l 的倾斜角是 30° , ?x=-1+tcos 30° 所以直线 l 的参数方程是? (t 为参数), ?y=tsin 30° 3 ? ?x= 2 t-1, 即? 1 y = ? ? 2t

(t 为参数).

(2)直线 AF2 的斜率 k=- 3,倾斜角是 120° , 设 P(ρ,θ)是直线 AF2 上任一点, ρ 1 则sin 60° = ,ρsin(120° -θ)=sin 60° , sin?120° -θ? 则 ρsin θ+ 3ρcos θ= 3. [反思感悟] (1)本题考查了极坐标方程和参数方程的求法及应用. 重点考查了转

化与化归能力.(2)当用极坐标或参数方程研究问题不很熟练时,可以转化成我 们比较熟悉的普通方程求解.(3)本题易错点是计算不准确,极坐标方程求解错 误. 【自主体验】 ?x=4-2t x2 2 ? 已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数),P 是椭圆 4 +y =1 上任意一点, ?y=t-2 求点 P 到直线 l 的距离的最大值.

?x=4-2t 解 将直线 l 的参数方程? (t 为参数)转化为普通方程为 x+2y=0, 因为 ?y=t-2 x2 2 P 为椭圆 4 +y =1 上任意一点, 故可设 P(2cos θ,sin θ),其中 θ∈R. 因此点 P 到直线 l 的距离 ? ? π?? ?sin?θ+4?? 2 2 |2cos θ+2sin θ| ? ? ?? d= = . 2 2 5 1 +2 π 所以当 θ=kπ+4,k∈Z 时, 2 10 d 取得最大值 5 .

一、填空题 ?x=-2- 2t, 1. (2014· 芜湖模拟)直线? (t 为参数)上与点 A(-2,3)的距离等于 2 ?y=3+ 2t 的点的坐标是________. 解析 1 2 由 题 意 知 ( - 2 t)2 + ( 2 t)2 = ( 2 )2 , 所 以 t2 = 2 , t = ± 2 , 代 入

?x=-2- 2t, ? (t 为参数),得所求点的坐标为(-3,4)或(-1,2). ?y=3+ 2t 答案 (-3,4)或(-1,2) ?x=2+cos θ, 2.(2014· 海淀模拟)若直线 l:y=kx 与曲线 C:? (参数 θ∈R)有唯 ?y=sin θ 一的公共点,则实数 k=________. 解析 曲线 C 化为普通方程为(x-2)2+y2=1,圆心坐标为(2,0),半径 r=1.由已 知 l 与圆相切,则 r= 3 答案 ± 3 |2k| 3 2=1?k=± 3 . 1+k

?x=2cos t π 3.已知椭圆的参数方程? (t 为参数),点 M 在椭圆上,对应参数 t=3, ?y=4sin t 点 O 为原点,则直线 OM 的斜率为________. π 解析 当 t=3时,x=1,y=2 3,则 M(1,2 3),∴直线 OM 的斜率 k=2 3. 答案 2 3 ?x=t, 4.(2013· 湖南卷)在平面直角坐标系 xOy 中,若 l:? (t 为参数)过椭圆 C: ?y=t-a ?x=3cos φ, ? (φ 为参数)的右顶点,则常数 a 的值为________. ?y=2sin φ 解析 ∵x=t,且 y=t-a, 消去 t,得直线 l 的方程 y=x-a, 又 x=3cos φ 且 y=2sin φ,消去 φ, x2 y2 得椭圆方程 9 + 4 =1,右顶点为(3,0), 依题意 0=3-a, ∴a=3. 答案 3 ?x=cos α, 5.直线 3x+4y-7=0 截曲线? (α 为参数)的弦长为________. ?y=1+sin α 解析 曲线可化为 x2+(y-1)2=1,圆心(0,1)到直线的距离 d= 8 弦长 l=2 r2-d2=5. 8 答案 5 ?x=1-2t, ?x=s, 6.已知直线 l1:? (t 为参数),l2:? (s 为参数),若 l1∥l2, ?y=2+kt ?y=1-2s 则 k=________;若 l1⊥l2,则 k=________. 解析 将 l1、l2 的方程化为直角坐标方程得 l1:kx+2y-4-k=0,l2:2x+y-1 k 2 4+k =0,由 l1∥l2,得2=1≠ 1 ?k=4,由 l1⊥l2,得 2k+2=0?k=-1. |0+4-7| 3 = ,则 9+16 5

答案 4

-1

7.(2012· 广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为 ?x= 2cos θ, ?x=t, ? (t 为参数)和? (θ 为参数),则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为 ?y= t ?y= 2sin θ ________. 解析 曲线 C1 的普通方程为 y2=x(y≥0), 曲线 C2 的普通方程为 x2+y2=2.
2 ?y =x?y≥0?, 由? 2 2 ?x +y =2,

?x=1, 解得? 即交点坐标为(1,1). ?y=1, 答案 (1,1) 8.直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设 ?x=3+cos θ, 点 A,B 分别在曲线 C1:? (θ 为参数)和曲线 C2:ρ=1 上,则|AB| ?y=sin θ 的最小值为________. 解析 消掉参数 θ,得到关于 x、y 的一般方程 C1:(x-3)2+y2=1,表示以(3,0) 为圆心, 以 1 为半径的圆; C2: x2+y2=1, 表示的是以原点为圆心的单位圆,|AB| 的最小值为 3-1-1=1. 答案 1 9.(2012· 湖南卷)在极坐标系中,曲线 C1:ρ( 2cos θ+sin θ)=1 与曲线 C2:ρ= a(a>0)的一个交点在极轴上,则 a=______. 解析 ρ( 2cos θ+sin θ)=1,即 2ρcos θ+ρsin θ=1 对应的普通方程为 2x+y -1=0,ρ=a(a>0)对应的普通方程为 x2+y2=a2.在 2x+y-1=0 中,令 y=0, 2 ? 2 ? 2 得 x= 2 .将? ,0?代入 x2+y2=a2 得 a= 2 . ?2 ? 答案 2 2

二、解答题

?x=4+5cos t, 10.(2013· 新课标全国Ⅰ卷)已知曲线 C1 的参数方程为? (t 为参 ?y=5+5sin t 数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标 方程为 ρ=2sin θ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). ?x=4+5cos t, 解 (1)将? 消去参数 t, ?y=5+5sin t 化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, 即 C1:x2+y2-8x-10y+16=0. ?x=ρcos θ, 将? 代入 x2+y2-8x-10y+16=0 得 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. ?y=ρsin θ 所以 C1 的极坐标方程为 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0.
2 2 ?x +y -8x-10y+16=0, 由? 2 2 ?x +y -2y=0,

?x=1, ?x=0, 解得? 或? ?y=1 ?y=2. π? ? π? ? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为? 2,4?,?2,2?. ? ? ? ? ?x=2cos t, 11.(2013· 新课标全国Ⅱ卷)已知动点 P、Q 都在曲线 C:? (t 为参数) ?y=2sin t 上,对应参数分别为 t=α 与 t=2α(0<α<2π),M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程; (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数, 并判断 M 的轨迹是否过坐标原点. 解 (1)依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α), 因此 M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). ?x=cos α+cos 2α, M 的轨迹的参数方程为? (α 为参数,0<α<2π). ?y=sin α+sin 2α,

(2)M 点到坐标原点的距离 d= x2+y2= 2+2cos α(0<α<2π). 当 α=π 时,d=0,故 M 的轨迹通过坐标原点. ?x=2cos φ, 12. (2012· 新课标全国卷)已知曲线 C1 的参数方程是? (φ 为参数), 以 ?y=3sin φ 坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ =2,正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A π? ? 的极坐标为?2,3?. ? ? (1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围. π ? 解 (1)由已知可得 A?2cos 3,2sin ? ? ?π π? ?π π?? B?2cos?3+2?,2sin?3+2??, ? ? ? ? ?? ? ?π ? ?π ?? C?2cos?3+π?,2sin?3+π??, ? ? ? ? ?? ? ?π 3π? ?π 3π?? D?2cos?3+ 2 ?,2sin?3+ 2 ??, ? ? ? ? ?? 即 A(1, 3),B(- 3,1),C(-1,- 3),D( 3,-1). (2)设 P(2cos φ,3sin φ), 令 S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2, 则 S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ. 因为 0≤sin2φ≤1, 所以 S 的取值范围是[32,52]. π? , 3? ?


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