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重庆南开中学高2011级高三5月月考数学试题(理)


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重庆南开中学高 2011 级高三 5 月月考数学试题(理)
满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求的。 1.在复平面内,复数 (1 ? 3i ) 对应的点位于
2

( ) A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 )

2.已知集合 A ? { y | y ? lg x, x ? 1}, B ? {?2, ?1,1, 2} ,全集 U、R,则下列结论正确的是( A. A ? B ? {?2, ?1} C. A ? B ? (0, ??) 3 . 若 点 P 分 有 向 线 段 AB 所 成 的 比 为 ? ( A.3 ) B. B. (CU A) ? B ? (??, 0) D. (CU A) ? B ? {?2, ?1}

??? ?

??? ? 1 , 则 点 B 分 有 向 线 段 PA 所 成 的 比 为 3
C. ?

1 2

1 2

D. ? (

3 2


4.已知角 ? 的终边与角β 的终边关于直线 y ? ?x 对称,则 sin ? = A. ? sin ? B. ? cos ? C. sin ?

D. cos ? ( )

5. | a ?a 0 ”是“ a ? 0 ”的 “ | ? A.必要不充分条件 C.充要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

6. 已知数列 {an } 的通项为 an ? 2n ? 1, S n 为数列 {an } 的前 n 项和, bn ? 令 前 n 项和的取值范围为 A. ? ,1? ( )

1 , 则数列 {bn } 的 Sn ? n

?1 ? ?2 ?

B. ( ,1)

1 2

C. ? , ?

?1 3 ? ?2 4 ?

D. ? ,1?

?2 ? ?3 ?

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7.已知函数 y ? xf '( x) 的图象如右图所示, (其中 f '( x) 是函数 f ( x) 的导函数) ,则函数 y ? f ( x) 的大致图象是下图中的 ( )

8.某班有 9 名学生,按三行三列正方形座次表随机安排他们的座位,学生张明和李智是好朋友, 则他们相邻而坐(一个位置的前后左右位置叫这个座位的邻座)的概率为 ( ) A.

2 3

B.

1 2

C.

1 3

D.

1 4
2

9.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(5,0) ,对于某个正实数 k,存在函数 f ( x) ? ax (a ? 0) ,

??? ? ???? ??? ? OA OQ ? 使 得 OP ? ? ? ( ??? ? ???? ) ( ? 为 常 数 ), 这 里 点 P 、 Q 的 坐 标 分 别 为 | OA | | OQ |

P(1, f (1)), Q(k , f (k )) ,则 k 的取值范围为(
A. (2, ??) B. (3, ??)

) C. ? 4, ?? ? D. ?8, ?? ?

10.如图,已知 A(-2,0) ,B(2,0) ,等腰梯形 ABCD 满足|AB|=-2|CD|,E 为 AC 上一点,且

??? ? ??? ? 2 3 AE ? ? EC 。又以 A、B 为焦点的双曲线过 C、D、E 三点。若 ? ? [ , ] ,则双曲线离心 3 4
率 e 的取值范围为( A. [ 7, 10] C. ? 10, ?? ) B. 1, 7 ?

?

?

?

?

D. ? 7, ??

?

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二、填空题:本大题共 5 小题,共 25 分,把答案填写在答题卡相应位置上。 11.直线 (m ? 1) x ? 3 y ? m ? 0 与直线 x ? (m ? 1) y ? 2 ? 0 平行,则实数 m= 12.若不等式 | x ? a |? 4 的解集是集合 (?6,6) 的子集,则实数 a 的取值范围为 。 。

13.如图 13 图,已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图象如图所示, 则函数 f ( x) = 。 (写出函数 f ( x) 的解析式)

14. an 是 (3 ? x ) (n ? N 且n ? 2) 的展开式中 x 的系数, lim( 设 则
n *

n ??

32 33 3n ? ?? ? ) = a2 a3 an



15.如题 15 图是边长分别为 a、b 的矩形,按图中实线切割后,将它们作为一个正四棱锥的底面 (由阴影部分拼接而成)和侧面,则

a 的取值范围是 b



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, a, c 分别为角 A, C 的对边, m ? (sin 边 b, B, 若 且 m / / n. (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 3, b ? c ? 3 ,求 ?ABC 的面积 S。

??

2

? B?C 7 ,1), n ? (cos 2 A ? , 4) , 2 2

??

?

17. (本小题满分 13 分) 如图是两个独立的转盘(A) (B) 在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为 、 ,

60?,120?,180? ,用这两个转盘进行游戏,规则是:同时转动两个转盘待指针停下(当两个
转盘中任意一个指针恰好落在分界线时,则这次转动无效,重新开始) ,记转盘(A)指针所 对的区域为 x,转盘(B)指针所对的区域为 y, x, y ?{1, 2,3} ,设 x ? y 的值为 ? . (1)求 x ? 2且y ? 1 的概率; (2)求随机变量 ? 的发布列与数学期望。

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18. (本小题满分 13 分) 如图,SD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,AB=1, SB ? 3. (1)求证: BC ? SC; (2)设棱 SA 的中点为 M,求异面直线 DM 与 SC 所成角的大小。 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 4ln x ? a.
2

(1)求函数的单调区间; (2)a 为何值时,方程 f ( x) ? 0 有三个不同的实根。

20. (本小题满分 12 分) 如图,斜率为 1 的直线过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点,与抛物线交于两点 A、B,将
2

直 线 AB 按向量 a ? ( ? p, 0) 平移得直线 l ,N 为 l 上的动点。 (1)若|AB|=8,求抛物线的方程; (2)求 NA ? NB 的最小值。

?

??? ??? ? ?

21. (本小题满分 12 分) 古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏,其玩 法如下:如图,设有 n(n ? N ) 个圆盘依其半径大小,大的在下,小的在上套在 A 杆上,现
*

要将套在 A 柱上的盘换到 C 柱上, 要求每次只能搬动一个,而且任何不允许将大盘套在小盘 上面,假定有三柱子 A,B,C 可供使用。

现用 an 表示将 n 个圆盘全部从 A 柱上移到 C 上所至少需要移动的次数,回答下列问题: (1)写出 a1 , a2 , a3 ,并求出 an ;

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(2)记 bn ? an ? 1 ,求和 Sn ? (其中

1?i ? j ? n

?

bi b j (i, j ? N * ) ;

1?i ? j ? n

?

bi b j 表示所有的积 bi b j (1 ? i ? j ? n) 的和)

(3)证明:

S ? S ?? S2 n ?1 4 1 S1 S1 ? S 2 ? ? ??? 1 3 ? (n ? N * ). 7 S2 S2 ? S4 S2 ? S4 ?? S2 n 21

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