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离散型随机变量的方差导学案(1)


§ 2.3.2 离散型随机变量的方差
学习目标
1.理解随机变量方差的概念; 2.掌握几种分布的方差.

求 DX 和 ? X .

学习过程
复习 1:若随机变量 X ~ B ( 5 , 0 . 8 ) ,则 E X ? 复习 2:已知随机变量 ? 的分布列为 :
?

练习 1

.已知随机变量 X 的分布列: ;又若 X ?
1 2 Y ? 4 ,则 E Y ?



X

?2
0 . 16

1
0 . 44

3
0 . 40

P 求 DX , D ( 2 X ? 1)

0
1 5

1
p

x
3 10

P

且 E ? ? 1 . 1 ,则 p ? ;x ? . 二、新课导学 探究:要从两名同学中挑出一名,代表班级参加射击比赛,根据以往的成绩纪录,第一名同学 击中目标靶的环数 X 1 ~ B (10 , 0 . 8 ) ,第二名同学击中目标靶的环数 X 2 ? Y ? 4 , 其中 Y ~ B ( 5 , 0 . 8 ) ,请问应该派哪名同学参赛?

小结:求随机变量的方差的两种方法: ①列出分布列,求出期望,再利用方差定义求解;②借助方差的性质求解. 例 2.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数 X 的均值、方差和标准差.

新知 1:离散型随机变量的方差: 当已知随机变量 X 的分布列为 P ? X ? x k ? ? p k ( k ? 1, 2 , ? ) 时,则称 D X ? 为 X 的方差, ? X ? 为 X 的标准差. 意义:随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的 定性越 ,波动越 . 新知 2:方差的性质: 当 a , b 均为常数时,随机变量 Y ? aX ? b 的方差 D (Y ) ? D ( aX ? b ) ? . D ? 越小,稳 练习 2.运动员投篮时命中率 P ? 0 . 6 (1)求一次投篮时命中次数 ? 的期望与方差; (2)求重复 5 次投篮时,命中次数? 的期望与方差. .特别是:

①当 a ? 0 时, D ?b ? ? ,即常数的方差等于 ; ②当 a ? 1 时, D ( X ? b ) ? ,即随机变量与常数之和的方差就等于这个随机变量的方 差 ; ③当 b ? 0 时, D ? a X ? ? ,即随机变量与常之积的方差,等于常数的 与这个 随机变量方差的 . 新知 3:常见的一些离散型随机变量的方差: (1)单点分布: D X ? ; (2)两点分布: D X ? ; (3)二项分布: D X ? . ※ 典型例题 例 1.已知随机变量 X 的分布列为: 0 1 2 X 0.1 0.2 0.3 P

例 3.设 ? ~ B ( n , p ) ,且 EX ? 12 , DX ? 4 ,则 n 与 p 的值分别为多少?

练习 3. 若随机变量 X ~ B ( 5 , 0 . 8 ) , D X ? 则 3 0.2 4 0.1 5 0.1

; 又若 Y ?

1 2

X ? 4 , DY ? 则



1

例 4. 有甲、乙两个单位都愿意用你,而你能获得如下信息:
甲单位不同职位 月工资 X 1 /元 获得相应职位的 概率 P1

A . 39 D. 117
1 8

B. 117

C. 39

1 8
乙单位不同职位 月工资 X 概率 P2
2

1200 0.4

1400 0.3

1600 0.2

1800 0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单 位?

/元

1000 0.4

1400 0.3

1800 0.2

2000 0.1

获得相应职位的

3.已知随机变量 ? 服从二项分布 B ( 4 , ) ,则
3

1

D ? 的值为(

) . B.
8 3

思考:若认为自已的能力很强, 应选择 单位; 若认为自已的能力不强,应该选择 练习 4.甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环数的分布列是
X
P甲 P乙

单位.

A.

4 3

C.

8 9

D.

1 9

6 0.16 0.19

7 0.14 0.24

8 0.42 0.12

9 0.1 0.28

10 0.18 0.17

4.随机变量 X 满足 P ( X ? c ) ? 1 ,其中 c 为常数,则 DX 等于( ) . A. 0 B. c (1 ? c ) C. c D. 1 5. D (? ? D ? ) 的值为 ( A.无法求 B. 0 ) . C. D ?
1 3

D. 2 D ? , k ? 1, 2 ,3 ,则 D ( 3? ? 5 ) 的值为( ) .

6.已知随机变量 ? 的分布为 P ( ? ? k ) ?

根据环数的期望和方差比较这两名射击队手的射击水平.

小结: 1.离散型随机变量的方差、标准差; 2.方差的性质,几个常见的随机变量的方差. 3.求随机变量的方差,首先要求随机变量的分布列;再求出均值;最后计算方差(能利用公 式的直接用公式,不必列分布列) . ※ 知识拓展 1.随机变量 ? 期望与方差的关系: D ? ? E (? 2 ) ? ( E ? ) 2 . 2.事件发生的概率为 p .则事件在一次试验中发生次数的方差不超过 1/4.

A.6 B.9 C. 3 D.4 7. 甲、乙两工人在同样的条件下生产,日产量相等,每天出废品的情况如下表所列: 工人 甲 乙 0 1 2 3 0 1 2 3 废品数 0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0 概率 则有结论( ) A.甲的产品质量比乙的产品质量好一些 B.乙的产品质量比甲的产品质量好一些 C.两人的产品质量一样好 D.无法判断谁的质量好一些 8.已知随机变量 ? 服从二项分布 B ( n , p ) ,且 E ? =6, D ? =3,则 P (? ? 1) 的值为



9.设随机变量 ? 可能取值为 0,1,且满足 P (? ? 1) ? p , P (? ? 0 ) ? 1 ? p ,则 D ? = . 11.设一次试验成功的概率为 p ,进行了 100 次独立重复试验,当 p ? 时,成功次数 的标准差最大,且最大值是 . 12.若事件在一次试验中发生次数的方差等于 0 . 25 ,则该事件在一次试验中发生的概率为 14.设是一个离散型随机变量,其分布列如下表,试求 E ? , D ? .
?
P ?1
0 .5

四、当堂检测 1.已知离散型随机变量的分布列为
X

0
1? 2p

1
q
2

P A.
5 12

?2 1
6

?1 1
3

0
1 3

1
1 6

B.
1 8

10 12

C.

11 12

D. 1 ) .

则 DX 等于(

) .

2.已知? ? 3 ? ?

,且 D ? ? 13 ,那么 D ? 的值为 (

15.有一批零件共 10 个合格品,2 个不合格品,安装机器时从这批零件中任选一个,取到合 格品才能安装;若取出的是不合格品,则不再放回. (1)求最多取 2 次零件就能安装的概率; (2)求在取得合格品前已经取出的次品数 ? 的分布列,并求出 ? 的期望 E ? 和方差 D ? .

2


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