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1.3.3函数的最大(小)值与导数-导学案


书 山 有 路 勤 为 径

学 海 无 涯 苦 作 舟

即墨实验高中高二数学导学案
1.3.3 函数的最大(小)值与导数
一、 【预习目标】
1.能够区分极值与最值两个不同的概念. 2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).

【例 1】 求下列各函数的最值: (1)f(x)=-x4+2x2+3,x∈[-3,2]; (2)f(x)=x3-3x2+6x-2,x∈[-1,1].

二、 【教学重点、难点】
重点:利用导数求给定区间上函数的最大值与最小值. 难点:常与函数的单调性、参数的讨论等知识结合命题.
三、 【基础梳理】

【提升总结】 【变式 1】 求下列各函数的最值: (1)f(x)=2x3-6x2+3,x∈[-2,4];
? π π? (2)f(x)=sin 2x-x,x∈?-2,2?. ? ? 取得.

1.函数 f(x)在闭区间[a,b]上的最值 如果在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则该函数 在[a,b]上一定能够取得 2.求函数 y=f(x)在[a,b]上的最值的步骤 (1)求函数 y=f(x)在(a,b)内的 (2)将函数 y=f(x)的 与 是最大值,最小的一个是最小值. ; ,并且函数的最值必在

f(a),f(b)比较,其中最大的一个

【提升总结】 类型二 含参数的最值问题

想一想:在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,想一想,在[a,

b]上一定存在最值和极值吗?

【例 2】 已知 a 是实数,函数 f(x)=x2(x-a). (1)若 f′(1)=3,求 a 的值及曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方

想一想:极值和最值的区别与联系?

程. 四、 【典例探究】 类型一 求函数在闭区间上的最值
05-1

(2)求 f(x)在区间[0,2]上的最大值.

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【示例】 求方程 x3-6x2+9x-4=0 的根的个数. 【提升总结】
【变式 2】 在本例第(2)问中,区间[0,2]改为[-1,0]结果如何?

五、 【当堂检测】
1.函数 y=f(x)在[a,b]上( ) A.极大值一定比极小值大 B.极大值一定是最大值 C.最大值一定是极大值 D.最大值一定大于极小值 3 2.函数 f(x)=x -3x(|x|<1) ( ) A.有最大值,但无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,但有最小值 D.既无最大值,也无最小值 π ? ? 3.函数 y=x-sin x,x∈?2,π?的最大值是 ( ) ? ? π A.π-1 B.2-1 C.π D.π+1 4.函数 f(x)=x3-3x2-9x+k 在区间[-4,4]上的最大值为 10,则其最小值为________.

题型三

函数最值的综合应用

【例 3】 已知函数 f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R). (1)若函数 f(x)在 x=-1 和 x=3 处取得极值,试求 a,b 的值; (2)在(1)的条件下,当 x∈[-2,6]时,f(x)<2|c|恒成立,求 c 的取值 范围.

六、 【课时反思】

【变式 3】 设函数 f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0). (1)求 f(x)的最小值 h(t); (2)若 h(t)<-2t+m 对 t∈(0,2)恒成立,求实数 m 的取值范围.

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