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1.2 数列的极限答案


第二次课 1. 根据极限的定义,证明下列极限:
? (3) lim(1 n ?? 1 ) ?1 2n

课后作业

1 1 ? 1| ? ?? , 2n 2n 1 1 只要 n ? 取 N ?[ ] 2? 2? 1 则当 n ? N 时,恒有 |1 ? ? 1| ? ? , 2n sin n ?0 (4) lim n ?? n sin n ? 0 |? ? , 解: ?? ? 0 ,要使 | n | sin n | 1 1 ? ?? , n? 即 n n ? 1 只要取 N ? [ ] ,

解: ?? ? 0 ,要使 |1 ?

1 所以 l i m ? (1 ? ) n ?? 2n

1

?

则当 n ? N 时,恒有 | (5) lim n ??
2 ?0 3n ? 10

sin n ? 0 |? ? , n

所以 lim n ??

sin n ? 0. n

解: ?? ? 0 ,要使 | 即|

2 ? 0 |? ? , 3n ? 10

2 2 3 |? ? ? , 只要 n ? 3n ? 10 3n 2? 3 取 N ?[ ], 2? 2 ? 0 |? ? , 则当 n ? N 时,恒有 | 3n ? 10 1 n ) ?0 (6) lim( n ?? 5 1 解: ?? ? 0 ,要使 | ( )n ? 0 |? ? , 5 1 1 1 即 | ( ) n |? n ? ? , n ? log 5 5 5 ? 1 只要取 N ? [log 5 ] ,

所以 lim n ??

2 ?0. 3n ? 10

?

则当 n ? N 时,恒有 | ( )n ? 0 |? ? ,

1 5

)n ? 0 . 所以 lim( n ??

1 5

1

(9) lim n ??

n 1 ? 3 n ?1 3 n 1 ? |? ? , 3 n ?1 3

解: ?? ? 0 ,要使 | 即|

1 n 1 1 1 ? |? ? ?? , n ? 2 ? 3 n ?1 3 9 n ? 3 n

只要取 N ? [ 2 ] ,
?

1

则当 n ? N 时,恒有 | 求下列极限:

n 1 ? |? ? , 3 n ?1 3

所以 lim

n 1 ? . n ?? 3 n ? 1 3

2 3 n ?2 1 (1) 解: lim 3 ? lim n ? n ?? 2n ? 1 n ?? 1 2 2? 3 n (?1) n 6? 2 n 6n ? (?1) n n =6 lim ? lim 2 (2) 解: n?? 5n ? n n ?? 1 5 5? n
3

1?

(3) 解: lim( n ? 1 ? n) ? lim n ?? n ??
2
2 n

n2 ? 1 ? n2 n2 ? 1 ? n

?0

1 ? a n?1 1? a ? a ?? a 1? b (6) 解: lim ( ) ? lim 1 ? a ? n ? 1 2 n n ?? 1 ? b ? b ? ? b n ?? 1 ? b 1? a 1? b n(n ? 1) 1? 2 ?? ? n n n ?n 1 ? ) ? lim( 2 ? )= lim( )=(7) 解: lim( n ?? n?2 2 n?? n ? 2 2 n?? 2n ? 4 2
? 0 ?2 3 ? =? ?1 2 ? ? ?x x ?1 x ? ?1 | x |? 1 | x |? 1

1? x 1? x ? lim (9) 解: n?? 2 ? x 2 n n?? 2 ? x 2 n lim

2 n ?1

2 n ?1

2

yn 存在,并求出它 例题: 证明:lim n ??

y1 ? a ,

y2 ? a ? a ,

y3 ? a ? a ? a , ? a ? 0

证明: 先证明{yk } ?
n ? 2 时,y1 ? y2 显然成立 假设 n ? k 时结论成立,即:yk ?1 ? yk

则 yk ?1 ? a ? yk ? a ,从而有 yk ?1 ? a ? yk ? a
即:yk ? yk ?1 ? n ? k ? 1时结论成立

所以{ yk } ?
再证明{ yn } 有上界
2 由 yn ? a ? yn?1 知 yn ? a ? yn?1

yn ?

a yn?1 a ? ? ?1 ? a ?1 yn yn a

所以 { yk } ? 且有上界,lim yn
n ??

存在

设 lim yn ? l
n ??

对 yn ? a ? yn?1 两边取极限,得: l ? a ? l
解之,得:l ? 1 ? 1 ? 4a 2 1 ? 1 ? 4a 2

又 yn ? 0, 所以 l ? 0 所以 l ?

3


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