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江西省新建二中2008届高三数学综合复习模拟测试卷(文)


江西省新建二中 2008 届高三数学综合复习模拟测试卷(文)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 若非空数集 A = {x|2a + 1≤x≤3a-5 },B = {x|3≤x≤22 },则能使 A ? B 成立的所有 a 的 集合是( ) B.{a|6≤a≤9} ) B.{x︱x

< ? 2 } D.{x|x< ? 2 或 x>1} ) C.{a|a≤9} D. ? A.{a|1≤a≤9} 2. 不等式

| x ?1| ? 0 的解集是( x?2

A.{x︱x> ? 2 } C.{x︱ ? 2 <x<1 或 x>1}

3.已知函数 f (x)(0≤x≤1)的图象的一段圆弧(如图所示)若 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则( A.

f ( x1 ) f ( x2 ) ? x1 x2
f ( x1 ) f ( x2 ) ? x1 x2

B.

f ( x1 ) f ( x2 ) ? x1 x2

y

C.

D.前三个判断都不正确 O x Xn n B. ? ? ? ? m, ? m , ? ? m D. m // ? , // ? ) 1 x 不 必 X

? 4.已知直线 m、n,平面 ? 、? 、 ,则 ? ? ? 的一个充分
要条件为( ) ? A. ? ? ? , ? ? m C. m // ? , ? ?

5. 抛物线 y 2 ? 4x 按向量 e 平移后的焦点坐标为 (3, 则平移后的抛物线顶点坐标为( 2), A.(4,2) B.(2,2) C.(-2,-2) D.(2,3)

6. 设 a、b、c∈R*,那么三个数 a ? A.都不大于 2 C.至少有一个不大于 2

1 1 1 、b ? 、c ? ( ) b c a B.都不小于 2 D.至少有一个不小于 2

7.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( A.直线 B.圆 C.双曲线 ) D.抛物线
A1 D1 B1 P D A B C C1

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8、函数 f ? x ? ? A. a ? 0

a2 ? x2 是奇函数的充要条件是( x?a ?a
C. ?1 ? a ? 0 或 0 ? a ? 1 ) C.

) D. a ? ?1 或 a ? 1

B. a ? 0

9.点 P 在直径为 6 的球面上,过 P 作两两垂直的三条弦,若其中一条弦长是另一条弦长的 2 倍,则这三条弦长之和的最大值是( A. 6 10. B.6
4 15 5 2 105 5

D.

已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? a 在区间( ? ? ,1)上有最小值,则函数 g ( x) ? ) B.有最大值 C.是减函数

(1, ? ?) 上一定( A.有最小值 11.

f ( x) 在区间 x

D.是增函数 y 已知函数 f (x)的定义域为[a,b],函数 f (x)的图象如右图所示, c ) y c
-a

则函数 f (| x |)的图象是( y c a O x
-b

a y c b x a O b

O y O
-c

b

x

a b x

O

A

B

C

D

12.已知 P 箱中有红球 1 个,白球 9 个,Q 箱中有白球 7 个,(P、Q 箱中所有的球除颜色外 完全相同).现随意从 P 箱中取出 3 个球放入 Q 箱,将 Q 箱中的球充分搅匀后,再从 Q 箱中随 意取出 3 个球放入 P 箱,则红球从 P 箱移到 Q 箱,再从 Q 箱返回 P 箱中的概率等于( A. )?

1 5

B.

9 100

C.

1 100

D.

3 5

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将正确答案填在答题卷上对应题号的 横线上. 已知 e1、 2 是两个不共线的向量, = k2e1 + ( 1 ? e a .

13.

5 k)e2 和 b = 2e1 + 3e2 是两个共线向量, 2

则实数 k =

14.若 (1 ? 2x)100 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) 2 ? ? ? a100 ( x ? 1)100 ,则 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a 99 ? . 15. 出红色或霓虹灯的一个部位由七个小灯泡组成(如右图),每个灯泡均 种不同的变换形式(用数字作答). ○○○○○○○ 可亮黄色.现设计每次变换只闪亮其中三个灯泡,且相邻两个不同时亮, 则一共可呈现

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16.

同一个与正方体各面都不平行的平面去截正方体,截得的截面是四边形的图形可能是 (写出所有可能图形的序号).

①矩形②直角梯形③菱形④正方形中的

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

sin sin 17.(本大题满分 12 分) 已知向量 a ? (1 ? cos ? , ? ) ,b ? (1 ? cos ? , ? ) ,c = (1,0),其 2 ? 中 ? ? (0 , ) , ? ? (? , ? ) .若 a 与 c 的夹角为 ? 1 ,b 与 c 的夹角为 ? 2 ,且 ?1 ? ? 2 ?

?
6

,求

sin

? ??
4

的值.

18.某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯闪动.已知开关第一次闭合后,出现红灯和出现

1 1 ,从开关第二次闭合起,若前次出现红灯,则下一次出现红灯的概率是 , 2 3 2 3 2 出现绿灯的概率是 , 若前次出现绿灯, 则下一次出现红灯的概率是 , 出现绿灯的概率是 . 3 5 5
绿灯的概率都是 问:(1)第二次闭合后,出现红灯的概率是多少?? (2)三次发光中,出现一次红灯,两次绿灯的概率是多少?

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19.(本大题满分 12 分) 如图, 在几何体 ABCDE 中, △ABC 是等腰直角三角形, ∠ABC = 90°, 和 CD 都垂直于平面 ABC, BE = AB = 2, BE 且 CD = 1,点 F 是 AE 的中点. (1)求证:DF∥平面 ABC; (2)求 AB 与平面 BDF 所成角的大小. F

E

D B C

A

20.(本大题满分 12 分) 已知数列{an}的各项均为正数且 a1 = 6,点 An (an , an?1 ) 在抛物线 y 2 ? x ? 1 上;数列{bn}

b 中,点 Bn (n ,n ) 在过点(0,1)且方向向量为(1,2)的直线上.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)对任意正整数 n,不等式 a n ? 2 ? an ≤ (1 ? 的取值范围.

1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ) 成立,求正数 a b1 b2 bn

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21.

(本大题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) 是定义在 R 上的函数,其图象交 x 轴于 A、B、C

三点.若点 B 的坐标为 (2,0),且 f (x) 在[-1,0]和[4,5]上有相同的单调性,在[0,2] 和[4,5]上有相反的单调性. (1)求 c 的值; (2)在函数 f (x)的图象上是否存在一点 M(x0,y0),使得 f (x)在点 M 的切线斜率为 3b? 若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)求| AC |的取值范围.

y x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F 任作一条与两坐标轴都不垂直的弦 2 a b AB, 若点 M 在 x 轴上, 且使得 MF 为△AMB 的一条内角平分线, 则称点 M 为该椭圆的 “左 特征点” . x2 (1)求椭圆 ? y 2 ? 1 的“左特征点”M 的坐标; y 5 y2 x2 A (2) 试 根 据 (1) 中 的 结 论 猜 测 : 椭 圆 2 ? 2 ? 1 a b (a ? b ? 0) 的“左特征点”M 是一个怎样的点?并证明你 x F O M 的结论. B
22.如图,过椭圆

2

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一.选择题:BCCC(C) B 二.填空题:13. k ? 三.解答题:

DDBDD

BB 14.

1 或 k ? ?2 3

5100 - 1 2

15.80 16. ①③④

17.解:| a | ? (1 ? cos ? ) 2 ? sin 2 ? ? 2 cos | b | ? (1 ? cos ? ) 2 ? sin 2 ? ? 2 sin |c|=1
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?

?
2

2

, , 4分

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又 a·c ? 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?
2

,b·c ? 1 ? cos ? ? 2 sin 2

?
2
6分

b?c a?c ? ? sin ? c o s , cos ? 2 ? | b |?| c | 2 | a |?| c | 2 ? ? ? ∵ ? (0, ) ,∴ ? 1 ? 2 2 2

c o ?1 ? s

?

2 ∵ ? ? (? , ? ) ,∴
由 cos? 2 ? sin 由 ? 1?? 2 ? ∴ sin

?
2

?(

?
2

, ? ) ,故 0 ? ?

?

?
2

? cos(

?
2

2

?
?
2

?

2
?

?
?
2

?
2
8分

?
2

) ,得 ? 2? )?

?
6

,有

?
2

?(

?
2

?

?
2

?
6

,∴

? ??
2

??

?
3

10 分 12 分

? ??
4

? sin(?

?
6

)??

1 . 2

18.解:(1)如果第一次出现红灯,则接着又出现红灯的概率是 如果第一次出现绿灯,则接着出现红灯的概率为 ∴第二次出现红灯的概率为

1 1 × , 2 3

1 3 × . 2 5

1 1 1 3 7 × + × = . 2 3 2 5 15

(2)由题意,三次发光中,出现一次红灯,两次绿灯的情况共有如下三种方式:

1 2 3 × × ; 2 5 5 1 3 2 ②出现绿、红、绿的概率为 × × ; 2 5 3 1 2 2 ③出现红、绿、绿的概率为 × × ; 2 3 5
①出现绿、绿、红的概率为 所求概率为

1 2 3 1 3 2 1 2 2 34 × × + × × + × × = . 2 5 5 2 5 3 2 3 5 75

?

0

1

2

3

4

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19.(1)解:取 AB 的中点 G,连 CG,FG, 则 FG∥BE,且 FG=

1 BE, 2

E

∴ FG∥CD 且 FG=CD, 2分 ∴ 四边形 FGCD 是平行四边形, ∴ DF∥CG, 又∵ CG ? 平面 ABC, ∴DF∥平面 ABC 4分 (2)解:以点 B 为原点,BA、BC、BE 所在的直线分别为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标系,则

D F B C

A B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,2,1),E(0,0,2),F(1,0,1) ∴ BD ? (0,2,1), DF ? (1,-2,0) 设平面 BDF 的一个法向量为 n = (2,a,b), 6分

?n ? DF ? 0 ? ∵ n⊥ DF ,n⊥ BD , ∴ ? ?n ? BD ? 0 ?

8分

a b , 0 ?(2, , ) ? (1 ? 2, ) ? 0 ?a ? 1 即? ,解得 ? , (2, , ) ? (0, ,) ? 0 a b 2 1 ? ?b ? ?2 ∴n =(2,1,-2)
又设 AB 与平面 BDF 所成的角为 ? ,则法线 n 与 BA 所成的角为

10 分

?
2

?? ,

∴ cos(

?
2

??) ?

BA ? n | BA | ? | n |

?

(2,, ) ? (2,, 2) 2 0 0 1 ? ? , 2?3 3
12 分

即 sin ? ?

2 2 ,故 AB 与平面 BDF 所成的角为 arcsin . 3 3

20.(1)解:将点 An (an , an?1 ) 代入 y 2 ? x ? 1 中得

a n?1 ? a n ? 1 即 a n?1 ? a n ? 1 ∴ an ? n ? 5 过点(0,1)且方向向量为(1,2)的直线为 y ? 2 x ? 1 ∴ bn ? 2n ? 1
(2) 对任意正整数 n,不等式 a n ? 2 ? an ≤ (1 ? 即 a≤

2分 4分

1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ) 成立 bn b1 b2
6分

1 2n ? 3

(1 ?

1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ) 对任意正整数 n 成立 bn b1 b2

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记 f ( n) ? 则

1 2n ? 3

(1 ?

1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ) bn b1 b2

2n ? 3 1 (1 ? )? bn ?1 2n ? 5 ∴ f (n ? 1) ? f (n) ,即 f (n)递增
故 [ f (n)] min ? f (1) ?

f (n ? 1) ? f ( n)

2 n ? 3 2n ? 4 ? 2n ? 5 2n ? 3

4n 2 ? 16n ? 16 4n 2 ? 16n ? 15

?1

8分 10 分 12 分

4 5 4 5 ,∴0<a≤ . 15 15

21.解:(1) f / ( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c 0 依题意 f (x) 在 [?1, ] 和[0,2]上有相反的单调性, ∴x = 0 是 f (x)的一个极值点,故 f / (0) ? 0 ,得 c = 0 (2) 因为 f (x)交 x 轴于点 B(2,0) ∴ 8a ? 4b ? d ? 0 ,即 d ? ?4(b ? 2a)

2b 3a 因为 f (x)在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性,∴ f / ( x) 在[0,2]和[4,5]上有相反的符号 2b b 故 2≤ ? ≤4 ? -6≤ ≤-3 a 3a 假设存在点 M(x0,y0)使得 f (x)在点 M 的切线斜率为 3b,则 f / (x0) =3b, 2 即 3ax0 ? 2bx0 ? 3b ? 0 b ? ? ? (2b) 2 ? 4 ? 3a ? (?3b) ? 4b 2 ? 36ab ? 4ab( ? 9) a b 而-6≤ ≤-3,∴△<0 a 故不存在点 M(x0,y0),使得 f (x)在点 M 的切线斜率为 3b. 0 0 (3)解:设 A(? , ),C ( ? , ) ,依题意可令 f ( x) ? a( x ? ? )( x ? 2)( x ? ? )
令 f / ( x) ? 0 得 3ax 2 ? 2bx ? 0 , 1 ? 0, 2 ? ? x x

? a[ x 3 ? (2 ? ? ? ? ) x 2 ? (2? ? 2? ? ?? ) x ? 2?? ] b ? ? ?? ?? ?2 ?b ? ? a (2 ? ? ? ? ) ? a 则? 即? d ? ?2a?? d ? ??? ? ? 2a ? b 2d b ? ( ? 2) 2 ? 16 ∴ | AC |?| ? ? ? |? (? ? ? ) 2 ? 4?? ? (? ? 2) 2 ? a d a b b ∵-6≤ ≤-3,∴当 ? ?6 时, AC max ? 4 3 ; a a b 当 ? ?3 时, AC min ? 3 ,故 3≤| AC |≤4 3 . a

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22.(1)解:设 M(m,0)为椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左特征点,椭圆的左焦点为 F (?2,0) , 5 设直线 AB 的方程为 x ? ky ? 2(k ? 0)
将它代入 2分 4分

x2 ? y 2 ? 1 得: (ky ? 2) 2 ? 5 y 2 ? 5 ,即 (k 2 ? 5) y 2 ? 4ky ? 1 ? 0 5 4k 1 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1 ? y 2 ? 2 , y1 y 2 ? ? 2 k ?5 k ?5 ∵∠AMB 被 x 轴平分,∴ k AM ? k BM ? 0 y1 y2 ? ? 0 ,? y1 ( x2 ? m) ? y2 ( x1 ? m) ? 0 即 x1 ? m x 2 ? m

? y1 (ky 2 ? 2) ? y 2 (ky1 ? 2) ? ( y1 ? y 2 )m ? 0
∴ 2ky1 y 2 ? ( y1 ? y 2 )( m ? 2) ? 0 , 于是 2k ? (?
2

6分

1 4k )? 2 (m ? 2) ? 0 k ?5 k ?5 5 ∵ k ? 0 ,∴ 1 ? 2(m ? 2) ? 0 ,即 m ? ? 2 5 ∴M( ? ,0) 8分 2 x2 a2 5 (2)解:对于椭圆 ? y 2 ? 1 , a ? 5 ,b = 1,c = 2,∴ ? ? . 5 c 2 2 2 y x 于是猜想:椭圆 2 ? 2 ? 1 的“左特征点”是椭圆的左准线与 x 轴的交点. 10 分 a b
证明:设椭圆的左准线 l 与 x 轴相交于 M 点,过 A、B 分别作 l 的垂线,垂足分别为 C、D AF BF AF AC 据椭圆第二定义: ,即 ? ? AC BD BF BD ∵ AC // FM // BD ,∴ 于是

AF BF

?

CM DM

12 分

AC BD

?

CM DM

,即

AC CM

?

BD DM

∴ tan ?AMC ? tan ?BMD ,又 ?AMC与?BMD 均为锐角, ∴ ?AMC ? ?BMD ,∴ ?AMF ? ?BMF ∴MF 为∠AMB 的平分线,故 M 为椭圆的“左特征点” .

14 分

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