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高中数学选修2-1.2.4.2抛物线的简单几何性质(第2课时)2013.12.19


2.4 抛物线
2.4.2 抛物线的简单几何性质
(第2课时)

高二数学 选修 2-1 第二章 圆锥曲线与方程

知识回顾:

1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l l

N

M

(l 不经过点F)的距离相等的

点的轨迹
叫做抛物线.定点 F 叫做抛物线的焦

· · F

点,定直线 l 叫做抛物线的准线.

2.抛物线的标准方程
图形
l

标准方程 焦点坐标准线方程
x

y o
F

y2=2px (p>0)

p ( , 0) 2 p ( ? , 0) 2 p (0, ) 2 p (0, ? ) 2

p x?? 2 p x? 2 p y?? 2 p y? 2

yl
F

o y
F

x

y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)

l

o

x

y
l

o
F

x

3. 抛物线的几何性质
图 形
y
l
O F

方程

焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0

e

y2 = 2px p F ( ,0 ) x ? ? p (p>0) x 2

2

y∈R
x≤0

x轴

y
F O

l x y2 = -2px (p>0)
F (? p ,0) 2

p x? 2

y∈R
(0,0) 1

y
O

F x l l

x2 = 2py p F (0, ) (p>0) 2

p y≥0 y?? 2 x∈R

y
O F

y轴 y≤0

p x2 = -2py p y? F (0,? ) 2 x(p>0) 2

x∈R

典例精析:
例1、求焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的标准方程

y ? 16 x或x ? ?8 y
2 2

例2、点A的坐标为(3,1),若P是抛物线 y 2 ? 4 x 上 的 一动点,F是抛物线的焦点,则|PA|+|PF|的最小

值为( B ) (A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 6

例3.已知过抛物线y 2 ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l 交抛物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点.求证 :以AB为 直径的圆与准线相切.
解 : 设AB的中点为M , 过A, B , M 分别 作准线的垂线, 垂足分别为A1 , B1 , M1 , 则 MM1 ? AA1 ? BB1 2 ? AF ? BF 2 ? AB 2

结论得证.

例4 .已知过抛物线y ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l
2

交抛物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点.过A, B分别作 准线的垂线, 垂足分别为A1 , B1 , 求证:AF1 ? BF1 .
解 : AA1 ? AF ,??AA1F ? ?AFA1 ? ? AA1 / / OF ??AA1F ? ?A1FO ??A1FO ? ?A1FA, 同理?B1FO ? ?B 1 FB , ??A1FB1 ? 90?,? AF1 ? BF1 .

例5:过抛物线焦点作直线交抛物线y2 =2px(p>0) 于A、B两点,设A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ),求证:y1y2 =-p2
解:因为直线AB过定点F且不与x轴平
行,设直线AB的方程为
2

? y ? 2 px p ? 2 ? p ? y ? 2 p ( my ? ) 2 ? x ? my ? ? 2
即:y ? 2 pmy ? p ? 0
2 2

p x ? my ? 2

y A O

F B

x

? y1 y2 ? ? p  (定值)
2

例5:过抛物线焦点作直线交抛物线y2 =2px(p>0) 于A、B两点,设A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ),求证:y1y2 =-p2 y

思考 : 在同样的条件下,注意到 y1 y2 ? ? p , 那么x1 x2 ? ________?
2

A O F B

x

过抛物线y 2 ? 2 px( p ? 0)焦点F的直线,交抛 p2 物线于点A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ), 则有x1 x2 ? . 4

例6.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物 线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物 线的对称轴。 证明:以抛物线的对称轴为x轴,它的顶点为原点,建立直角
坐标系。设抛物线的方程为y ? 2 px,
2

p 0 x? p y 又点F ( ,0), 直线AF 为 ? 2 2 . ( y 2 ? p2 ) 0 2 y0 y0 p ? D 2p 2 2 p 2 与y =2px联立可得yB ? ? . 由yD ? yB知, DB / / x轴。 y0

2p 则直线OA的方程为y ? x, y0 p p2 准线 x ? ? 联立可得 yD ? ? . 2 y

2 y0 点A( , y0 ) 2p

y

A O F B

当y02 ? p2时, 结论显然成立.
所以,直线DB平行于抛物线的对称轴。

例6.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线 顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的 对称轴. 另证:以抛物线的对称轴为x轴,它的顶点为原点,建立直角坐标
系。设抛物线的方程为y 2 ? 2 px,
y

A

当直线AB存在斜率时,设AB为 p y ? k ( x ? ) 与y2=2px联立,得 2
yAyB=-p2
x

F
O D B

p2 即yB ? ? . yA p2 yD ? ? . yA

2p 直线OA的方程为y ? x, yA
由yD ? yB知, DB / / x轴。

所以,直线DB平 行于抛物线的对称轴。

当直线AB存在斜率时,结论显然成立.

例 7. 已知抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,直线 l 过定点 P ( ?2,1) ,斜率 为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物线 y 2 ? 4 x :⑴只有一个公共点; ⑵有两个公共点;⑶没有公共点?

解:直线l的方程为y ?1 ? k ( x ? 2).

? y ? 1 ? k ( x ? 2) 由方程组? y2 ? 4x ?

?

可得 ky 2 ? 4 y ? 4(2k ? 1) ? 0

⑴只有一个公共点

1 ? k ? ?1, 或 k ? 0, 或 k= 2

?k ? 0 ? k ? 0, 或 ? △ ? ?16(2k 2 ? k ? 1) ? 0 ?

⑵有两个公共点

?k ? 0 ?? △ ? ?16(2k 2 ? k ? 1) ? 0 ?

1 ? ?1 ? k ? 0, 或0 ? k ? 2 1 ?k ? 0 ? k ? ?1, 或k ? ⑶没有公共点 ? ? 2 2 ?△ ? ?16(2k ? k ? 1) ? 0

综上所述 1 当k ? ?1, 或k ? 0, 或k ? 时,直线与抛物线只有一个公共点; 2 1 当 ? 1 ? k ? 0或0 ? k ? 时,直线与抛物线有两个公共点; 2 1 当k ? ?1或k ? 时,直线与抛物线没有公共点。 2

今日作业:
优化设计P24-P28

(不包括例题)

例2、过抛物线焦点作直线交抛物线y 2 ? 2 px( p ? 0)于 A,B两点,设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 求证 : y1 y2 ? ? p 2 .

例5:过抛物线焦点作直线交抛物线y2 =2px(p>0) 于A、B两点,设A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ),求证:y1y2 =-p2


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