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平面解析几何知识点归纳


圆锥曲线高考专题测试
一、选择题 1、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1, F 为右焦点,A 为长轴的左端点,P 点为该椭圆上的动点,则能够使 PA ? PF ? 0 4 3
B、3 C、2 D、1

的 P 点的个数为( D ) A、4 2、已知双曲线 ( C A. )

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率 e ? [ 2 ,2] ,则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是 a2 b2

?? ? ? , ? ?6 4? ?

B. ?

?? ? ? , ?6 3? ?

C. ?

?? ? ? , ?4 3? ?

D. ?

?? ? ? , ?3 2? ?

3、设点 P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上的一点, F1 , F2 分别是双曲线的左、右焦点,已知 a2 b2

PF1 ? PF2 ,且 PF1 ? 2 PF2 ,则双曲线的离心率为( D )
(A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 5

4、若直线 ax ? (1 ? a) y ? 3与(a ?1) x ? (2a ? 3) y ? 2 互相垂直,则 a 等于(D ) A、3
2

B、1
2

C、0 或 ?

3 2

D、1 或-3

5、已知双曲线 my ? x ? 1(m ? R) 与椭圆

y2 ? x 2 ? 1 有相同的焦点,则该双曲线的渐近线方程为( ) 5
(C) y ? ?

(A) y ? ? 3x 【答案】A 【解析】

(B) y ? ?

3 x 3

1 x 3

(D) y ? ?3x

试题分析:根据题意椭圆的焦点为 ? ?2,0 ? ,所以双曲线

y2 ? x 2 ? 1(m ? R ) 的焦点坐标为 ? ?2, 0? ,由 1 m

y2 1 1 1 ? 1 ? 4 ,解得 m ? ,所以双曲线 ? x 2 ? 1 的渐近线的方程为: y ? ? x ? ? 3 x ,故答案为 A. 1 3 m 3 3 3

6、已知椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? 1(m ? 0, n ? 0) 有相同的焦点 F1 (?c,0), F2 (c,0) , 与双曲线 a 2 b2 m2 n2
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细节决定成败,规范铸就辉煌。

若 c 是 a, m 的等比中项, n 是 2m 与 c 的等差中项,则椭圆的离心率是( D ) A.

2

2

2

3 3

B.

2 2

C.

1 4

D.

1 2

二、填空题 1 、椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点分别为 F1 和 F2 ,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点在 y 轴上,那么 12 3


cos ?F1PF2 ?
【答案】 【解析】

1 7

试题分析: 设 PF1 与 y 轴交于点 M , 因 M、O 分别为 PF1 和 F1 F2 的中点, 则 OM // PF2 , 则 PF2 ? x轴 ,

PF2 ?

3 7 3 b2 3 3 ,在 Rt?PF ? ? , F1 F2 ? 2c ? 6, PF1 ? 6 ,则 PF1 ? 36 ? ? 1 F2 中,有 4 2 a 2 3 2
1 7

cos?F1 PF2 ?

考点:1.三角形中位线定理;2.直角三角形边角关系;

2、 (淮南市 2015 届高三第一次模拟) 已知双曲线

y2 2 ? x 2 ? 1一个焦点与抛物线 x ? ay ( a >0)的焦点 F 重 3 合, O 为原点,点 P 是抛物线准线上一动点,点 A 在抛物线上,且 AF ? 4 ,则 PA ? PO 的最小
值为

2 13
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0学科网) 上任意一点 P 到两焦点 a 2 b2

3、 (江南十校 2015 届高三上学期期末大联考)椭圆

1 x2 y 2 ? ? 1 ___ 的距离之和为 6,且椭圆的离心率为 ,则椭圆的方程为_ 3 9 8
4、 (宣城市 2015 届高三上学期期末考试)已知点 M( 3 ,0) ,椭圆 于点 A,B,则△ABM 的周长为_8____ 5、 (滁州市高级中学联谊会 2015 届高三上学期期末联考)过焦点为 F 的抛物线 y ? 4 x 上一点 ? 向其
2

x2 ? y 2 =1 与直线 y ? k ( x ? 3) 交 4

准线作垂线,垂足为 Q ,若 ?Q?F ? 120 ,则 ?F ?
6、 (皖江名校 2015 届高三 1 月联考)已知双曲线

4 3

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦距为 2c,焦点到双曲线 C a 2 b2

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的渐近线的距离为

c 2 3 ,则双曲线 C 的离心率为_ ___ 2 3

三、解答题 1.已知椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1, ? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,且过点 2, 2 2 a b 2

?

?
b2 ?? 2 a

(1)求椭圆的标准方程: (2)四边形 ABCD 的顶点在椭圆上,且对角线 AC,BD 过原点 O,若 k AC ? k BD ①求 OA ? OB 的最值: ②求证:四边形 ABCD 的面积为定值.

【答案】 (1) 【解析】

x2 y 2 ? ? 1; (2)① OA ? OB 的最小值为 ?2 ,最大值为 2 ;② 8 2 . 8 4

2 2 2 试题分析: (1)根据离心率写出有关 a, c 的等式,将点 2, 2 代入椭圆方程,同时椭圆中 a ? b ? c 三

?

?

个等式联立求得 a , b 的值,得到所求椭圆的方程; (2)①直线 AB 的斜率存在时 lAB : y ? kx ? m 与(1)中 的椭圆方程联立,又韦达定理得到 x1 ? x2 , x1 x2 ,同时又得到 y1 y2 , k AC k BD ? kOA kOB ? ? 于 k 和

b2 化简得到关 a2

m 的 关 系 m2 ? 4k 2 ? 2 , 所 以 要 求 的 OA OB ? 2 ?

4 ,根据函数单调性求得 1 ? 2k 2

?2 ? OA OB ? 2 ;当直线 AB 的斜率不存在时得到 OA OB ? 2 ,综上得到 OA ? OB 的最小值为 ?2 ,最大
值为 2 ;②根据已知条件及椭圆的对称性知 S ABCD ? 4S
AOB

,由弦长公式及点到直线的距离公式,得到

S

AOB

? 2 2 ,进而得到四边形的 ABCD 面积为定值 8 2 .

? c 2 ? ? 2 ? a ?a 2 ? 8 x 2 y 2 ? 4 2 试题解析: (1) ? 2 ? 2 ? 1 ? ? 2 ? ? ?1; 4 ?b ? 4 8 ? a2 b ?a ? b 2 ? c 2 ? ?
(2)设 l AB : y ? kx ? m, A ? x1 , y1 ? B ? x2 , y2 ? ?

? y ? kx ? m 2 ? x 2 ? 2 ? kx ? m ? ? 8 2 2 ?x ? 2 y ? 8

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?4km 2m 2 ? 8 ?1 ? 2k ? x ? 4kmx ? 2m ? 8 ? 0 ? x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 , x1x2 ? 1 ? 2k 2
2 2 2

y1 y2 ? ? kx1 ? m ?? kx2 ? m ? ? k 2
kOA ? kOB

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ?4km ? 2 ? km ? m ? ? 2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? 1 ? 2k ?

b2 y1 y2 1 m2 ? 8k 2 1 2m2 ? 8 ?? 2? ? ?? ? ?? ? ? m2 ? 4k 2 ? 2 2 2 a x1 x2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 4k 2 ? 2 4 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? ? ? 2? , 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2

??2 ? OA ? OB ? 2,当k=0时OA ? OB=-2,当k不存在即AB ? x轴

OA ? OBmax =2,SABCD ? 4S

AOB

S

AOB

1 ? ? 1? k 2 ? 2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ?

m 1? k 2

? 2 4k 2 ? m 2 ? 4 ? 2 2 ? S ABCD ? 8 2 .
考点:1.椭圆的标准方程;2.韦达定理;3.弦长公式.

2 、在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0,? 3), (0, 3) 的距离之和为 4 ,设点 P 的轨迹为 C , 直线

y ? kx ? 1 与轨迹 C 交于 A, B 两点.
(1)求出轨迹 C 的方程; (2)若 OA ? OB ,求弦长 AB 的值. 【答案】 (1) x ?
2

y2 ? 1; 4

( 2)

4 65 17

【解析】 试题分析:( Ⅰ ) 设 P?x, y ? , 由 椭 圆 定 义 可 知 , 点 p 的 轨 迹 C 是 以 ( 0,? 半轴为 2 的椭圆,由此能求出曲线 C 的方程.

3 ), ( 0, 为 3 )焦 点 , 长

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 ( Ⅱ ) A( x , 整 理 得 (k ? 4) x ? 2kx ? 3 ? 0 , 由 此 利 用 ) 其坐标满足 ? 4 1, y 1 ), B ( x 2 ,y 2 , ? y ? kx ? 1 ?
韦 达 定 理 、 弦 长 公 式 能 求 出 弦 长 AB 的 值 . 试题解析: (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, ? 3),, (0 3) 为焦点,长半轴为 2 的椭圆.

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y2 ? 1. 它的短半轴 b ? 2 ? ( 3) ? 1 ,故曲线 C 的方程为 x ? 4
2 2
2

? 2 y2 ? 1, ?x ? (Ⅱ)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,其坐标满足 ? 消去 y 4 ? y ? kx ? 1. ?
整理得 (k 2 ? 4) x2 ? 2kx ? 3 ? 0 , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? 若 OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 而 y1 y2 ? k 2 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ,于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ?
2 化简得 ?4k 2 ? 1 ? 0 ,所以 k ?

2k 3 ,x1 x2 ? ? 2 . k ?4 k ?4
2

3 3k 2 2k 2 ? ? ?1 ? 0 , k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4

1 . 4

5 4k 2 12 4 65 AB ? (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? [ 2 ? 2 ]? 2 4 (k ? 4) k ? 4 17
2 2

考点:直线与圆锥曲线的综合问题.

3、已知椭圆 C 中心在原点 O,对称轴为坐标轴,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率 e ? (Ⅰ)椭圆 C 的标准方程. (Ⅱ)已知 P、Q 是椭圆 C 上的两点,若 OP ? OQ ,求证:

1 3 ,且经过点 A(1, ) 。 2 2

1 OP
2

?

1 OQ
2

为定值

(Ⅲ)当

1 OP
2

?

1 OQ
2

为(Ⅱ)所求定值时,试探究 OP ? OQ 是否成立?并说明理由.

3 x2 y 2 解析:(Ⅰ)解:由题意: 设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1学科网 (a>b>0),把点 A(1, ) 代入椭圆方程, 2 a b
把离心率 e ?

1 2 2 2 用 a, c 表示及 a ? b ? c ,解得 a ? 2, b ? 3 , 2

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x2 y2 ? ? 1 ……………………………………..4 分 故椭圆方程; 4 3

1
(Ⅱ)证明:①若 P、Q 分别为长轴和短轴的端点,则 ②若 P、Q 都不为长轴和短轴的端点, 设 OP: y ? kx; 那么 OQ:

OP

2

?

1 OQ
2

?

7 12

...................5 分

y??

1 x.P ( xP , yP ), Q( xQ , yQ ) k

? x2 y 2 ?1 ? ? , 3 ?4 12 12k 2 2 2 xP ? 2 , yP ? 2 ? y ? kx 4k ? 3 4k ? 3 联立方程 ? 解得
? x2 y2 ? ?1 ? ?4 3 ? 12k 2 12 2 2 ? y??1x xQ ? 2 , yQ ? 2 ; k ,解得 ? 3k ? 4 3k ? 4 ...............................7 分 同理联立方程 ?
7k 2 ? 7 7 ? ? 2 12k ? 12 12

?

1 OP
2

?

1 OQ
2

?

1 12 12k 2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

?

1 12k 2 12 ? 2 2 3k ? 4 3k ? 4

1
综合①②可知

OP

2

?

7 OQ 为定值 12 ..........................................................9 分
2

1

1
(Ⅲ)解:对于 C 上的任意两点 P 、 Q, 当
2 xP ?

OP

2

?

1 OQ
2

?

7 12

时,设

OP : y ? k1x, OQ : y ? k2 x, 易得

2 1 1 7 12k12 12k2 12 12 2 2 2 ? ? , y ? ; x ? , y ? , 2 2 P Q Q 2 2 12 OQ 4k12 ? 3 4k12 ? 3 4k2 ?3 4k 2 ? 3 由 OP 得

2 4k12 ? 3 4k2 ?3 7 ? ? , 2 2 12k1 ? 12 12k2 ? 12 12



2 2 2 2 ? 1), 亦即 k1k2 ? ?1, ………………..12 分 8k12k2 ? 7k12 ? 7k2 ? 6 ? 7(k12k2 ? k12 ? k2

1
所以当

OP

2

?

1 OQ
2

7 为定值 12 时, OP ? OQ 不一定成立………………………..13 分

4、已知正三角形 OEF 的三个顶点(O 为坐标原点)都在抛物线 x2=y 上,圆 D 为三角形 OEF 的外接圆, 第 6 页 共 9 页

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圆 C 的方程为 ( x ? 5cos ? )2 ? ( y ? 5sin ? ? 2)2 ? 1(? ? R) , 过圆 C 上任意一点 M 作圆 D 的两条切线 MA,MB,切点分别为 A,B,设 d=|MA| (I)求圆 D 的方程; (II)试用 d 表示 MA ? MB ,并求 MA ? MB 的最小值。

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x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,以该椭圆上的异于长轴端点的点和椭圆的左,右焦点 F1 , F2 为 a 2 b2 顶点的三角形的周长为 8 2 ,以椭圆的四个顶点组成的菱形的面积为 8 2 ,双曲线 G : x2 ? y 2 ? m(m ? 0) 的顶点是该椭圆的焦点,设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A, B 和 C, D .
5、如图,已知椭圆 E : (Ⅰ )求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ )设直线 PF1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k2 ,探求 k1 与 k 2 的关系; 在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

(Ⅲ ) 是否存在常数 ? , 使得 | AB | ? | CD |? ? | AB || CD |恒成立 ? 若存

解析: (1)由题意知,椭圆中 4a ? 8 2, a ? 2 2, 2ab ? 8 2, b ? 2

所以椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ?1 8 4
2 2 2

…………2 分

又顶点与焦点重合,所以 m ? c ? a ? b ? 4 ;

所以该双曲线的标准方程为

x2 y2 ? ? 1。 4 4
k1 ?

…………4 分

(2)设点 P( x, y ), x ? ?2

y y , k2 ? x?2 x?2

k1 ? k 2 ?

y2 x2 ? 4
…………8 分

x2 y2 ?1 P 在双曲线上,所以 ? 4 4
(3)设直线 AB: y ? k1 ( x ? 2) k1 ? 0

y2 ? x2 ? 4

所以 k1 ? k 2 ? 1

? y ? k1 ( x ? 2) ? 2 2 2 由方程组 ? x 2 得 (2k1 ? 1) x 2 ? 8k1 x ? 8k1 ? 8 ? 0 y2 ?1 ? ? 4 ?8
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 所以 x1 ? x2 ?

………10 分

? 8k1
2

2

2k1 ? 1

, x1 x2 ?

8k1 ? 8 2k1 ? 1
第 8 页 共 9 页
2

2

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由弦长公式 | AB |? 1 ? k1

2

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?

4 2 (1 ? k1 ) 2 k1 ? 1
2 2

2

同理 | CD |? 1 ? k 2

2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

4 2 (1 ? k 2 ) 2k 2 ? 1
2
2

………12 分

4 2 (1 ? k1 ) 1 由 k1 ? k 2 ? 1, k 2 ? 代入得 | CD |? 2 k1 k1 ? 2
| AB | ? | CD |? ? | AB | CD |, ? ? 1 1 3 2 ? ? | AB | | CD | 8
………13 分

所以存在 ? ?

3 2 使得 | AB | ? | CD |? ? | AB | CD | 成立。 8

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