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高中数学解析几何解题方法[1]


高考专题:解析几何常规题型及方法
本章节处理方法建议:
纵观 2006 年全国各省市 18 套文、理高考试卷,普遍有一个规律:占解几分值接近一 半的填空、选择题难度不大,中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中;而占解几分值一 半偏上的解答题得分很不理想,其原因主要体现在以下几个方面:(1)解析几何是代数与 几何的完美结合,解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式

、三角、几何、数列、向 量等知识,形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题,因而成为高中数学综合 能力要求最高的内容之一(2)解析几何的计算量相对偏大(3)在大家的“拿可拿之分” 的理念下,大题的前三道成了兵家必争之地,而排放位置比较尴尬的第 21 题或 22 题(有 时 20 题)就成了很多人遗忘的角落,加之时间的限制,此题留白的现象比较普遍。 鉴于解几的特点,建议在复习中做好以下几个方面.1.由于高考中解几内容弹性很 大。有容易题,有中难题。因此在复习中基调为狠抓基础。不能因为高考中的解几解答题 较难,就拼命地去搞难题,套新题,这样往往得不偿失;端正心态:不指望将所有的题攻 下,将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上,这样复习,高考时就 能保证首先将选择、填空题拿下,然后对于大题的第一个小问争取得分,第二小题能拿几 分算几分。

三、高考核心考点
1、准确理解基本概念(如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等) 2、熟练掌握基本公式(如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角 公式等) 3、熟练掌握求直线方程的方法(如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为 0 等 等) 4、在解决直线与圆的位置关系问题中,要善于运用圆的几何性质以减少运算 5、了解线性规划的意义及简单应用 6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算 7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法(如:定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系 数法等) 8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法,能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题

四、常规题型及解题的技巧方法

A:常规题型方面
(1)中点弦问题 具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,代入方程,然后 两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。 典型例题 的轨迹方程。 分析:设 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 ) 代入方程得 x1 ?
2

给定双曲线 x ?
2

y2 ? 1 。过 A(2,1)的直线与双曲线交于两点 P1 2

及 P2 ,求线段 P 1 P 2 的中点 P

y12 y2 2 ? 1 , x2 ? 2 ? 1。 2 2

两式相减得

( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ?

1 ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0 。 2

又设中点 P(x,y),将 x1 ? x 2 ? 2 x , y1 ? y2 ? 2 y 代入,当 x1 ? x2 时得

2x ?

y ? y2 2y · 1 ? 0。 2 x1 ? x 2 y1 ? y2 y ?1 , ? x1 ? x2 x ? 2

又k ?

代入得 2 x 2 ? y 2 ? 4 x ? y ? 0 。 当弦 P1 P2 斜率不存在时,其中点 P(2,0)的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是 2 x 2 ? y 2 ? 4 x ? y ? 0 说明:本题要注意思维的严密性,必须单独考虑斜率不存在时的情况。 (2)焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点 P,与两个焦点 F1 、 F2 构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。

典型例题

设 P(x,y)为椭圆

x2 y2 ? ? 1 上任一点, F1 ( ?c,0) , F2 (c,0) 为焦点, ?PF1 F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? 。 a 2 b2

(1)求证离心率 e ?

sin(? ? ? ) ; sin ? ? sin ?
3

(2)求 | PF1 | ? PF2 | 的最值。
3

分析:(1)设 | PF1 | ? r1 , | PF2 ? r2 ,由正弦定理得

r1 r 2c ? 2 ? 。 sin ? sin ? sin(? ? ? )



r1 ? r2 2c ? , sin ? ?sin ? s i n? ( ? ?)

e?

c s i n? ( ? ?) ? a sin ? ?sin ?
3 3 3 2 2

(2) (a ? ex) ? (a ? ex) ? 2a ? 6ae x 。 当 x ? 0 时,最小值是 2 a ;
3 3 2 3 当 x ? ? a 时,最大值是 2a ? 6e a 。

(3)直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合 的办法 典型例题
抛物线方程y 2 ? p( x ? 1) ( p ? 0) ,直线x ? y ? t与x轴的交点在抛物线准线的右边。

(1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点 (2)设直线与抛物线的交点为 A、B,且 OA⊥OB,求 p 关于 t 的函数 f(t)的表达式。 p (1)证明:抛物线的准线为 1:x ? ?1 ? 4 由直线 x+y=t 与 x 轴的交点(t,0)在准线右边,得 t ? ?1 ?
?x ? y ? t 由? 2 消去y得 x 2 ? (2t ? p) x ? ( t 2 ? p) ? 0 ?y ? p( x ? 1)
? ? ? (2t ? p) 2 ? 4( t 2 ? p) ? p(4 t ? p ? 4) ? 0

p ,而4t ? p ? 4 ? 0 4

故直线与抛物线总有两个交点。 (2)解:设点 A(x1,y1),点 B(x2,y2)
? x1 ? x 2 ? 2t ? p,x1 x 2 ? t 2 ? p
? OA?OB, ? k OA ? k OB ? ?1 则 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 又 y1 y 2 ? ( t ? x1 )( t ? x 2 )

? x1 x 2 ? y1 y 2 ? t 2 ? ( t ? 2) p ? 0
? p ? f (t) ? t2 t?2
( ?2 ,0) ? (0, ? ?)

又p ? 0,4t ? p ? 4 ? 0得函数f ( t ) 的定义域是

(4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题 圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式, 则可建立目标函数 (通常利用二次函数, 三角函数, 均值不等式) 求最值。 典型例题 已知抛物线 y2=2px(p>0),过 M(a,0)且斜率为 1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点 A、B,|AB|≤2p (1)求 a 的取值范围;(2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求△NAB 面积的最大值。 分析:这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题,对于(1),可以设法得到关于 a 的不等式,通过解不等式求出 a 的范围,即:“求范围,找不等式”。或者将 a 表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出 a 的范围;对于(2) 首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即:“最值问题,函数思想”。

解:(1)直线 L 的方程为: y=x-a,将 y=x-a 代入抛物线方程 y2=2px,得:设直线 L 与抛物线两交点的坐标分别为 A

?4(a ? p) ? 4a 2 ? 0 ? (x1,y1),B(x2,y2),则 ? x1 ? x 2 ? 2(a ? p) ,又 y1=x1-a,y2=x2-a, ? 2 ? x1 x 2 ? a

?| AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2[(x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? 8 p( p ? 2a) ?0 ?| AB |? 2 p,8 p( p ? 2a) ? 0, ?0 ? 8 p( p ? 2a) ? 2 p,
解得:

?

p p ?a?? . 2 4

(2)设 AB 的垂直平分线交 AB 与点 Q,令其坐标为(x3,y3),则由中点坐标公式得:

x3 ?

x1 ? x 2 2

?a? p,

y3 ?

y1 ? y 2 ( x1 ? a) ? ( x 2 ? a) ? ? p. 2 2

所 以 |QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2. 又 △ MNQ 为 等 腰 直 角 三 角 形 , 所 以 |QM|=|QN|=

2P , 所 以 S



NAB=

1 2 2 | AB | ? | QN |? p? | AB |? p ? 2 p ? 2 p 2 ,即△NAB 面积的最大值为 2 P 2。 2 2 2

(5)求曲线的方程问题 1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 典型例题 已知直线 L 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上。若点 A(-1,0)和点 B(0,8)关于 L 的对 称点都在 C 上,求直线 L 和抛物线 C 的方程。 分析:曲线的形状已知,可以用待定系数法。 设出它们的方程,L:y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0) 设 A、B 关于 L 的对称点分别为 A/、B/,则利用对称性可求得它们的坐标分别为:

k 2 ?1 2k 16k 8(k 2 ? 1) ,? 2 , 2 A( 2 ),B( 2 )。因为 A、B 均在抛物线上,代入,消去 p,得:k2-k-1=0.解得: k ?1 k ?1 k ?1 k ?1
/

k=

1? 5 2 5 ,p= . 2 5 1? 5 4 5 x,抛物线 C 的方程为 y2= x. 2 5

所以直线 L 的方程为:y=

2.曲线的形状未知-----求轨迹方程 典型例题

已知直角坐标平面上点 Q (2, 0) 和圆 C: x2+y2=1, 动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ| 的比等于常数 ? ( ? >0),求动点 M 的轨迹方程,并说明它是什么曲线。 分析: 如图, 设 MN 切圆 C 于点 N, 则动点 M 组成的集合是: P={M||MN|= ? |MQ|}, 由平面几何知识可知: |MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1 ,将 M 点坐标代入,可得: ( ? 2-1)(x2+y2)-4 ? 2x+(1+4 ? 2)=0. 当 ? =1 时它表示一条直线;当 ? ≠1 时,它表示圆。这种方法叫做直接法。 (6) 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这 交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决) 典型例题 O Q N M

x2 y2 ? ? 1 ,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 y ? 4 x ? m ,椭圆 C 上有不同两 已知椭圆 C 的方程 4 3

点关于直线对称。 分析:椭圆上两点 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,代入方程,相减得 3( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ?

4( y1 ? y2 ) ( y1 ? y2 ) ? 0 。
又x ?

x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 1 ,y ? 1 ,k ? 1 ? ? ,代入得 y ? 3x 。 2 2 x1 ? x2 4

又由 ?

? y ? 3x 解得交点 ( ?m,?3m) 。 y ? 4 x ? m ?
( ?m) 2 ( ?3m) 2 2 13 2 13 ? ? 1 ,得 ? ?m? 。 4 3 13 13

交点在椭圆内,则有 (7)两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用 k1 ·k 2 ? 典型例题

y1 ·y2 ? ?1 来处理或用向量的坐标运算来处理。 x1 ·x2
2

已知直线 l 的斜率为 k ,且过点 P( ?2,0) ,抛物线 C: y ? 4( x ? 1) ,直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交

点(如图)。 (1)求 k 的取值范围; (2)直线 l 的倾斜角 ? 为何值时,A、B 与抛物线 相垂直。 分析:(1 )直线 y ? k ( x ? 2) 代入抛物线方程得

C 的焦点连线互
y B A P (-2,0) O x

k 2 x 2 ? (4k 2 ? 4) x ? 4k 2 ? 4 ? 0 ,
由 ? ? 0 ,得 ?1 ? k ? 1( k ? 0) 。

(2)由上面方程得 x1 x 2 ?

4k 2 ? 4 , k2

y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 4 ,焦点为 O(0,0) 。
由 k OA ·k OB ?

y1 y2 2 k2 2 2 , ? ? arctan 或 ? ? ? ? arctan ? 2 ? ?1 ,得 k ? ? 2 2 2 x1 x2 k ? 1

B:解题的技巧方面
在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲 线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量。下面举例说明: (1)充分利用几何图形 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条 件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。 典型例题 设直线 3x ? 4 y ? m ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 0 相交于 P、Q 两点,O 为坐标原点,若 OP?OQ ,求

m 的值。
解: ?圆 x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 0 过原点,并且 OP?OQ ,

1 ? PQ 是圆的直径,圆心的坐标为 M ( ? ,1) 2 1 又 M ( ? ,1) 在直线 3x ? 4 y ? m ? 0 上, 2 1 5 ? 3 ? ( ? ) ? 4 ? 1 ? m ? 0, ? m ? ? 即为所求。 2 2
评注: 此题若不充分利用一系列几何条件: 该圆过原点并且 OP?OQ , PQ 是圆的直径, 圆心在直线 3x ? 4 y ? m ? 0 上,而是设 P( x1 ,y1 ) 、Q( x2 ,y2 ) 再由 OP?OQ 和韦达定理求 m ,将会增大运算量。 评注:此题若不能挖掘利用几何条件 ?OMP ? 90? ,点 M 是在以 OP 为直径的圆周上,而利用参数方程等方法, 计算量将很大,并且比较麻烦。 二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。 典型例题 已知中心在原点 O,焦点在 y 轴上的椭圆与直线 y ? x ? 1 相交于 P、Q 两点,且 OP?OQ ,| PQ| ?

10 , 2

求此椭圆方程。
2 2 解:设椭圆方程为 ax ? by ? 1(a ? b ? 0) ,直线 y ? x ? 1 与椭圆相交于 P ( x1 ,y1 ) 、 Q( x2 ,y2 ) 两点。

由方程组 ?

?y ? x ? 1
2 2 ?ax ? by ? 1

消去 y 后得

(a ? b) x 2 ? 2bx ? b ? 1 ? 0 2b b ?1 ? x1 ? x 2 ? ? ,x1 x 2 ? a ?b a ?b
由 k OP ? k OQ ? ?1 ,得 y1 y2 ? ? x1 x2 又 P、Q 在直线 y ? x ? 1 上, (1)

( 2) ? y1 ? x1 ? 1, ? (3) ? y 2 ? x 2 ? 1, ? y1 y 2 ? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1
把(1)代入,得 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 , 即

2(b ? 1) 2b ? ?1? 0 a ?b a ?b
(4)

化简后,得

a ?b ? 2
由 | PQ| ?

5 10 2 2 ,得 ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? 2 2

? ( x1 ? x2 ) 2 ?

5 5 ,( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? , 4 4 2b 2 4(b ? 1) 5 ( ) ? ? a ?b a ?b 4
2

把(2)代入,得 4b ? 8b ? 3 ? 0 ,解得 b ?

1 3 或b ? 2 2

3 1 或a ? 2 2 3 1 由 a ? b ? 0 ,得 a ? ,b ? 。 2 2
代入(4)后,解得 a ?

?所求椭圆方程为

3x 2 y 2 ? ?1 2 2

评注:此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略,简化了计算。 三. 充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。 典型例题 求经过两已知圆 C1 :x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0 和 C2 :x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 的交点,且圆心在直线 l :
2 2 2 2

2 x ? 4 y ? 1 ? 0 上的圆的方程。
解:设所求圆的方程为:

x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? ? ( x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4) ? 0
即 (1 ? ? ) x ? (1 ? ? ) y ? 4 x ? 2(1 ? ? ) y ? 4? ? 0 ,
2 2

2 ? ?1 , ) 1? ? ? ?1 2 ? ?1 1 ? 4? ? 1 ? 0 ,解得 ? ? ,代入所设圆的方程得 x 2 ? y 2 ? 3x ? y ? 1 ? 0 为 又 C 在直线 l 上,? 2 ? 1? ? ? ?1 3
其圆心为 C( 所求。 评注:此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点,故简化了计算。 四、充分利用椭圆的参数方程 椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三角 代换法。 典型例题 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一动点,A 为长轴的右端点,B 为短轴的上端点,求四边形 OAPB 面积的最大值 a 2 b2

及此时点 P 的坐标。 五、线段长的几种简便计算方法 ① 充分利用现成结果,减少运算过程 一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦 AB 长的方法是:把直线方程 y ? kx ? b 代入圆锥曲线方程中,得到型如

△ ax 2 ? bx ? c ? 0 的方程,方程的两根设为 x A , x B ,判别式为△,则 | AB| ? 1 ? k 2 ·| x A ? x B | ? 1 ? k 2· ,若 |a|
直接用结论,能减少配方、开方等运算过程。 例 求直线 x ? y ? 1 ? 0 被椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 16 所截得的线段 AB 的长。

② 结合图形的特殊位置关系,减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算。 例

F1 、 F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,AB 是经过 F1 的弦,若 | AB| ? 8 ,求值 | F2 A | ? | F2 B | 25 9

③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离 例 点 A(3,2)为定点,点 F 是抛物线 y ? 4 x 的焦点,点 P 在抛物线 y ? 4x 上移动,若 | PA|?| PF | 取得
2 2

最小值,求点 P 的坐标。


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