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广东省广州市执信中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)


广东省广州市执信中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 M={x|0<x≤3},N={x|x=2k+1,k∈Z},则图中阴影部分表示的集合是()

A.φ

B.

{1}

C.{1,3}

D.{0,1,3}

2. (5 分)下列对一组数据的分析,不正确的说法是() A.数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定 B. 数据平均数越小,样本数据分布越集中、稳定 C. 数据标准差越小,样本数据分布越集中、稳定 D.数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定 3. (5 分)已知 m,n 为两条不同的直线,α,β 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是() A.m?α,n?α,m∥β,n∥β?α∥β B. α∥β,m?α,n?β,?m∥n C. m⊥α,m⊥n?n∥α D.m∥n,n⊥α?m⊥α 4. (5 分)用系统抽样法(按等距离的规则)要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 160 名学生从 1~160 编号.按编号顺序平均分成 20 组(1~8 号,9~16 号,…,153~160 号) , 若第 16 组应抽出的号码为 125,则第一组中按此抽签方法确定的号码是() A.7 B. 5 C. 4 D.3 5. (5 分)函数 f(x)=2 +x﹣5 的零点所在的区间为() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)
x﹣1

D.(3,4)

6. (5 分)如图所示,为函数 y=Asin(ωx+φ)+k 在一个周期内的图象,则这个函数的一个解 析式为()

A.y=2sin( +

)﹣1

B. y=2sin( +

)﹣1

C. y=2sin(2x+

)﹣1

D.y=2sin(2x+

)﹣1

7. (5 分)将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则该几何体的 左视图为()

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)运行如图的程序框图,输出的结果是()

A.510

B.1022

C.254

D.256

9. (5 分)设实数 x,y 满足

,则 x +y 的取值范围是()

2

2

A.

B.

C.[1,8]

D.

10. (5 分)在 R 上定义运算⊕:x?y=x(1﹣y)若对任意 x>2,不等式(x﹣a)?x≤a+2 都 成立,则实数 a 的取值范围是() A.[﹣1,7] B.(﹣∞,3] C.(﹣∞,7] D.(﹣∞,﹣1]∪[7, +∞)

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答卷的相应位置. 11. (5 分)数列{an}是等差数列,a8=2,则前 15 项和 S15=. 12. (5 分)在△ ABC 中, = ,E 为 BC 边的中点,设 =a, =b,则 =. (注意:

手写向量,小写字母上面要加箭头)

13. (5 分)设不等式组

,表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点

到坐标原点的距离小于 2 的概率是. 14. (5 分)圆 C:x +y ﹣x+2y=0 的圆心是, 与圆 C 关于直线 l:x﹣y+1=0 对称的圆的方程是.
2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (12 分)△ ABC 的面积是 4,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, (1)求 (2)分别求 c,a 的值. 16. (12 分)某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件 的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组[20,25) ,第 2 组[25,30) ,第 3 组[30,35) , 第 4 组[35,40) ,第 5 组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动,应从第 3, 4,5 组各抽取多少名志愿者? (Ⅱ) 在(1)的条件下,该市决定在第 3,4 组的志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经 验,求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率. 的值;

17. (14 分)如图,五面体 EF﹣ABCD 中,ABCD 是以点 H 为中心的正方形,EF∥AB,EH 丄平面 ABCD,AB=2,EF=EH=1. (1)证明:EH∥平面 ADF; (2)证明:平面 ADF 丄平面 ABCD; (3)求五面体 EF﹣ABCD 的体积.

18. (14 分)已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且其第 2 项、第 5 项、第 14 项成等 比数列, (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和为 Tn,并证明: ≤Tn .

19. (14 分)已知两点 M(﹣1,0) 、N(1,0) ,点 P 为坐标平面内的动点,满足 . (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若点 A(t,4)是动点 P 的轨迹上的一点,K(m,0)是 x 轴上的一动点,试讨论直线 AK 与圆 x +(y﹣2) =4 的位置关系. 20. (14 分)已知函数 f(x)=ax ﹣2x+a﹣1,a∈R (1)若函数 f(x)满足 f(1﹣x)=f(1+x) ,求实数 a 的值; (2)若函数 f(x)在区间 (3)若函数 f(x)在区间 上总是单调函数,求实数 a 的取值范围; 上有零点,求实数 a 的取值范围.
2 2 2

广东省广州市执信中学 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 M={x|0<x≤3},N={x|x=2k+1,k∈Z},则图中阴影部分表示的集合是()

A.φ

B.{1}

C.{1,3}

D.{0,1,3}

考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 专题: 计算题. 分析: 图中阴影部分表示的集合是 A∩B,由集合 M={x|0<x≤3},N={x|x=2k+1,k∈Z}={奇 数},能求出 A∩B. 解答: 解:图中阴影部分表示的集合是 A∩B, ∵集合 M={x|0<x≤3},N={x|x=2k+1,k∈Z}={奇数},

∴A∩B={1,3}, 故选 C. 点评: 本题考查交集的概念及其运算,解题时要认真审题,仔细解答,注意文氏图的合理 运用. 2. (5 分)下列对一组数据的分析,不正确的说法是() A.数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定 B. 数据平均数越小,样本数据分布越集中、稳定 C. 数据标准差越小,样本数据分布越集中、稳定 D.数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定 考点: 极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数. 专题: 阅读型. 分析: 根据极差、平均数、标准差、方差的意义即可判断. 解答: 极差反映了最大值与最小值差的情况,极差越小,数据越集中. 方差、标准差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差标准差越大,表明这组数据偏离平均 数越大,即波动越大,数据越不稳定.方差较小的数据波动较小,稳定程度高. 平均数越小,说明数据整体上偏小,不能反映数据稳定与否. 故选 B 点评: 本题考查极差、平均数、标准差、方差的意义,属于基础题. 3. (5 分)已知 m,n 为两条不同的直线,α,β 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是() A.m?α,n?α,m∥β,n∥β?α∥β B. α∥β,m?α,n?β,?m∥n C. m⊥α,m⊥n?n∥α D.m∥n,n⊥α?m⊥α 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 探究型;数形结合;分类讨论. 分析: 根据 m,n 为两条不同的直线,α,β 为两个不同的平面,可得该直线与直线可以平 行, 相交或异面, 平面与平面平行或相交, 把平面和直线放在长方体中, 逐个排除易寻到答案. 解答: 解:在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, A、若平面 AC 是平面 α,平面 BC1 是平面 β, 直线 AD 是直线 m,点 E,F 分别是 AB,CD 的中点,则 EF∥AD,EF 是直线 n, 显然满足 α∥β,m?α,n?β,但是 m 与 n 异面; B、若平面 AC 是平面 α,平面 A1C1 是平面 β, 直线 AD 是直线 m,A1B1 是直线 n, 显然满足 m?α,n?α,m∥β,n∥β,但是 α 与 β 相交; C、若平面 AC 是平面 α,直线 AD 是直线 n,AA1 是直线 m, 显然满足 m⊥α,m⊥n,但是 n∈α; 故选 D.

点评: 此题是个基础题.考查直线与平面的位置关系,属于探究性的题目,要求学生对基 础知识掌握必须扎实并能灵活应用,解决此题问题,可以把图形放入长方体中分析,体现了数 形结合的思想和分类讨论的思想. 4. (5 分)用系统抽样法(按等距离的规则)要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 160 名学生从 1~160 编号.按编号顺序平均分成 20 组(1~8 号,9~16 号,…,153~160 号) , 若第 16 组应抽出的号码为 125,则第一组中按此抽签方法确定的号码是() A.7 B. 5 C. 4 D.3 考点: 系统抽样方法. 专题: 阅读型. 分析: 根据系统抽样法按等距离的规则,故可转化成一个等差数列,公差为 8,第 16 项为 125 的等差数列,求首项,然后根据通项公式求出即可. 解答: 解:由系统抽样知按等距离的规则可看成公差为 8,第 16 项为 125 的等差数列,求 首项 a16=a1+15×8=125 ∴a1=5 第一组确定的号码是 5. 故答案为:B 点评: 系统抽样过程中,每个个体被抽取的可能性是相等的,结合系统抽样的特征构造等 差数列使我们解决系统抽样常用的方法,属于基础题. 5. (5 分)函数 f(x)=2 +x﹣5 的零点所在的区间为() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) 考点: 函数零点的判定定理. 分析: 根据零点的判定定理,对选项逐一验证即可. 解答: 解:∵f(0)f(1)=( ) (1+1﹣5)>0,排除 A.
x﹣1

D.(3,4)

f(1)f(2)=(1+1﹣5) (2+2﹣5)>0,排除 B f(2)f(3)=(2+2﹣5) (4+3﹣5)<0,一定有零点 故选 C. 点评: 本题主要考查零点的判定定理.属基础题. 6. (5 分)如图所示,为函数 y=Asin(ωx+φ)+k 在一个周期内的图象,则这个函数的一个解 析式为()

A.y=2sin( + C. y=2sin(2x+

)﹣1 )﹣1

B. y=2sin( + D.y=2sin(2x+

)﹣1 )﹣1

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 由函数的周期 T=π 算出 ω=2.由函数的最大值为 1、最小值为﹣3,算出 A=2 且 k= ﹣1.再根据当 x= 时函数有最大值,利用正弦函数的取最大值时对应自变量的公式,建立 ,可得满足条件的一个解析式. ﹣(﹣ )=π,

关于 φ 的方程解出 φ=

解答: 解:∵函数的周期 T= ∴ =π,解得 ω=2,

又∵函数 y=Asin(ωx+φ)+k 的最大值为 1,最小值为﹣3, ∴A= [1﹣(﹣3)]=2,k= [1+(﹣3)]=﹣1, 由此可得函数解析式为 y=2sin(2x+φ)﹣1, ∵当 x= (﹣ ∴2 +φ= + ) ,即 x= 时,函数有最大值, .

+2kπ(k∈Z) ,取 k=0 得 φ= )﹣1.

因此函数解析式为 y=2sin(2x+

故选:D 点评: 本题给出正弦函数三角函数图象满足的条件,求函数的一个解析式.着重考查了三 角函数的图象与性质的知识,属于中档题. 7. (5 分)将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则该几何体的 左视图为()

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 计算题. 分析: 直接利用三视图的画法,画出几何体的左视图即可. 解答: 解:由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段,上面的射影也是线段, 后面与底面的射影都是线段,轮廓是正方形,AD1 在右侧的射影是正方形的对角线, B1C 在右侧的射影也是对角线是虚线. 如图 B. 故选 B.

点评: 本题考查几何体的三视图的画法,考查作图能力. 8. (5 分)运行如图的程序框图,输出的结果是()

A.510

B.1022

C.254

D.256

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用循环计算并输出 m 值.模拟程序的运行过程,用表格对程序运行过程中各变量的值 进行分析,不难得到最终的输出结果. 解答: 解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: m n 是否继续循环 循环前 2 2 / 2 第一圈 2+2 3 是 2 3 第二圈 2+2 +2 4 是 … … … … 第五圈 2+2 +2 +…+2 +2 7 是 2 3 6 7 第六圈 2+2 +2 +…+2 +2 8 是 2 3 7 8 第七圈 2+2 +2 +…+2 +2 9 否 2 3 7 8 则程序运行后输出的结果是 2+2 +2 +…+2 +2 =510. 故选 A. 点评: 本题主要考查了直到型循环结构,循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循 环结构,当型循环是先判断后循环,直到型循环是先循环后判断,属于基础题.
2 3 5 6

9. (5 分)设实数 x,y 满足

,则 x +y 的取值范围是()

2

2

A.

B.

C.[1,8]

D.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由题意,画出题中不等式组表示的平面区域,得到如图的三角形及其内部,设 P(x, y)是区域内的动点,由两点间的距离公式可得:z=x +y =|OP| ,再运动点 P 并加以观察即可 2 2 求出 z=x +y 的取值范围.
2 2 2

解答: 解:画出不等式组

表示的平面区域如图,

得到三角形及其内部,其中 A(1,1) , 2 2 2 设 P(x,y)是区域内的动点,可得 z=x +y =|OP| , 运动点 P,当点 P 与 A 重合时,|OP|取到最大值, 此时|OP|≤|OA|=2 +2 =8, 当 P 与原点 O 在直线 2x+y﹣2=0 上的射影重合时,|OP|取到最小值,此时|OP|= 则 x +y 的取值范围是 故选 A.
2 2 2 2





点评: 本题给出不等式组,求目标函数 z=x +y 的取值范围.着重考查了两点的距离公式和 简单线性规划等知识,属于基础题. 10. (5 分)在 R 上定义运算⊕:x?y=x(1﹣y)若对任意 x>2,不等式(x﹣a)?x≤a+2 都 成立,则实数 a 的取值范围是() A.[﹣1,7] B.(﹣∞,3] C.(﹣∞,7] D.(﹣∞,﹣1]∪[7, +∞)

2

2

考点: 其他不等式的解法. 专题: 压轴题;新定义;不等式的解法及应用. 分析: 由 x?y=x(1﹣y) ,把(x﹣a)?x≤a+2 转化为(x﹣a) (1﹣x)≤a+2,由任意 x>2, 不等式 (x﹣a) ?x≤a+2 都成立, 知 a≤ . 令f (x) = , x>2, 则 a≤[f (x) ]min,

x<2.由此能求出结果. 解答: 解:∵x?y=x(1﹣y) , ∴(x﹣a)?x≤a+2 转化为(x﹣a) (1﹣x)≤a+2, 2 ∴﹣x +x+ax﹣a≤a+2, 2 a(x﹣2)≤x ﹣x+2, ∵任意 x>2,不等式(x﹣a)?x≤a+2 都成立, ∴a≤ .

令 f(x)=

,x>2,

则 a≤[f(x)]min,x>2 而 f(x)= =(x﹣2)+ ≥2 +3 +3=7, =

当且仅当 x=4 时,取最小值. ∴a≤7. 故选:C. 点评: 本题考查了在新定义下对函数恒成立问题的应用.关于新定义型的题,关键是理解 定义,并会用定义来解题. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答卷的相应位置. 11. (5 分)数列{an}是等差数列,a8=2,则前 15 项和 S15=30. 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的求和公式和性质可得 S15=15a8,代值计算可得. 解答: 解:由题意可得 S15= = =15a8=15×2=30

故答案为:30

点评: 本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题. 12. (5 分)在△ ABC 中,

=

,E 为 BC 边的中点,设

=a,

=b,则

=

+

. (注

意:手写向量,小写字母上面要加箭头) 考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据已知条件画出图形,根据图形及共线向量基本定理 = 解答: 解:如图,根据已知条件得: = 故答案为: . = . = .

点评: 考查共线向量基本定理,以及向量的加法运算,减法运算.

13. (5 分)设不等式组 到坐标原点的距离小于 2 的概率是

,表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点 .

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 根据题意,在区域 D 内随机取一个点 P,则 P 点到坐标原点的距离小于 2 时,点 P 位于图中正方形 OABC 内,且在扇形 OAC 的内部,如图中的扇形部分.因此算出图中扇形部 分面积,再除以正方形 OABC 面积,即得本题的概率. 解答: 解:到坐标原点的距离小于 2 的点,位于以原点 O 为圆心、半径为 2 的圆内, 区域 D: 表示正方形 OABC, (如图)

其中 O 为坐标原点,A(2,0) ,B(2,2) ,C(0,2) . 因此在区域 D 内随机取一个点 P, 则 P 点到坐标原点的距离大于 2 时,点 P 位于图中正方形 OABC 内, 且在扇形 OAC 的内部,如图中的扇形部分 ∵S 正方形 OABC=2 =4,S 扇形= π?2 =π
2 2

∴所求概率为 P= 故答案为: .

=



点评: 本题给出不等式组表示的平面区域,求在区域内投点使该到原点距离小于 2 的概率, 着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点,属于基础题.
2 2

14. (5 分)圆 C:x +y ﹣x+2y=0 的圆心是( ,﹣1) ,与圆 C 关于直线 l:x﹣y+1=0 对称的 圆的方程是(x+2) +(y﹣1.5) = .
2 2

考点: 关于点、直线对称的圆的方程;圆的标准方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 先求出圆 x +y ﹣x+2y=0 的圆心和半径;再利用两点关于已知直线对称所具有的结 论,求出所求圆的圆心坐标即可求出结论. 解答: 解:∵圆 x +y ﹣x+2y=0 转化为标准方程为(x﹣ ) +(y+1) = , 所以其圆心为:C( ,﹣1) ,r= 设( ,﹣1)关于直线 x﹣y+1=0 对称点为: (a,b)
2 2 2 2 2 2

则有

,∴a=﹣2,b=1.5

故所求圆的圆心为: (﹣2,1.5) ,半径为
2 2



所以所求圆的方程为: (x+2) +(y﹣1.5) = . 故答案为: ( ,﹣1) , (x+2) +(y﹣1.5) = .
2 2

点评: 本题主要考查圆的方程的求法.解决问题的关键在于会求点关于直线的对称点的坐 标,主要利用两个结论:①两点的连线和已知直线垂直;②两点的中点在已知直线上. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (12 分)△ ABC 的面积是 4,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, (1)求 (2)分别求 c,a 的值. 考点: 解三角形. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (1)利用二倍角公式,化简代数式,代入计算即可求得结论; (2)利用面积公式求得 c 的值,再利用余弦定理,可求 a 的值. 解答: 解: (1) ∵ ∴ (2)∵ ,∴ = ,∴ ,解得 c=5 = = . ; = = , = 的值;

∵△ABC 的面积是 4,b=2,∴ 由余弦定理可得 a=

点评: 本题考查三角函数的化简,考查余弦定理的运用,考查学生的计算能力,属于基础 题. 16. (12 分)某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件 的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组[20,25) ,第 2 组[25,30) ,第 3 组[30,35) , 第 4 组[35,40) ,第 5 组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动,应从第 3, 4,5 组各抽取多少名志愿者? (Ⅱ) 在(1)的条件下,该市决定在第 3,4 组的志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经 验,求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

考点: 等可能事件的概率;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)先分别求出这 3 组的人数,再利用分层抽样的方法即可得出答案; (Ⅱ)从 5 名志愿者中抽取 2 名志愿者有 10 种情况,其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少 有一名志愿者被抽中有 7 种情况,再利用古典概型的概率计算公式即可得出. 解答: 解: (Ⅰ) 第 3 组的人数为 0.3×100=30,第 4 组的人数为 0.2×100=20,第 5 组的人 数为 0.1×100=10. 因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者, 所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者, 每组抽取的人数分别为:第 3 组: ×6=3; 第 4 组: ×6=2; 第 5 组: ×6=1.

所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人; (Ⅱ) 记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2, .则从 5 名志 愿者中抽取 2 名志愿者有: (A1,A2) , (A1,A3) , (A1,B1) , (A1,B2) , (A2,A3) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A3,B1) , (A3,B2) , (B1,B2)共有 10 种. 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名志愿者被抽中的有: (A1,B1) , (A1,B2) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A3,B1) , (A3,B2) , (B1,B2) ,共有 7 种 所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 .

点评: 熟练掌握频率分布直方图、分层抽样的定义、古典概型的概率计算公式、互斥事件 及相互独立事件的概率计算公式是解题的关键. 17. (14 分)如图,五面体 EF﹣ABCD 中,ABCD 是以点 H 为中心的正方形,EF∥AB,EH 丄平面 ABCD,AB=2,EF=EH=1. (1)证明:EH∥平面 ADF; (2)证明:平面 ADF 丄平面 ABCD; (3)求五面体 EF﹣ABCD 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1) 由已知得 EF∥AB 且 EF= AB, 取 AD 的中点 G, 连结 GH, GF, 证明 FG∥EH, 利用直线与平面平行的判定定理证明 EH∥平面 ADF.

(2)证明 FG⊥平面 ABCD,利用直线与平面垂直的判定定理证明平面 ADF⊥平面 ABCD. (2)说明 GH 为该柱体的高,利用 VABCD﹣EF=VADF﹣RTE+VE﹣BCTR 求解即可. 解答: 证明: (1)由已知得 EF∥AB 且 EF= AB 取 AD 的中点 G,连结 GH,GF…..(1 分) 则 GH∥AB 且 GH= AB…(2 分) EF∥GH 且 EF=GH,即 EFGH 为平行四边形 ∴FG∥EH,FG?平面 ADF,EH?平面 ADF ∴EH∥平面 ADF; (2)∵EH⊥平面 ABCD,且 FG∥EH,…(7 分) ∴FG⊥平面 ABCD,且 FG?平面 ADF,…(9 分) ∴平面 ADF⊥平面 ABCD;…. (10 分) (2)解:在面 ABCD 内过 H 作 RT∥AD, 如图,则面 RTE∥面 ADF,ADF﹣RTE 为三棱柱, 由(1)及 HG⊥AD 得 GH 为该柱体的高,…. (12 分) ∴VABCD﹣EF=VADF﹣RTE+VE﹣BCTR =( ×2×1)×1+ ×(2×1)×1= . (不排除其它方法,酌情分布给分)

点评: 本题考查直线与平面平行的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理,几何体的体 积的求法,考查空间想象能力以及计算能力. 18. (14 分)已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且其第 2 项、第 5 项、第 14 项成等 比数列, (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和为 Tn,并证明: ≤Tn .

考点: 数列与不等式的综合;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)设等差数列{an}的公差为 d,利用第 2 项、第 5 项、第 14 项成等比数列,得到 关系式,求出公差,即可求出 an=2n﹣1. (2)化简 bn= = ﹣ 利用裂项法求和,通过 Tn+1﹣Tn>0,判断数列{Tn}

是递增数列,即可证明 ≤Tn< . 解答: 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,

∵an=a1+(n﹣1)d, (a1+d) (a1+13d)=(a1+4d) (d>0)…(4 分) 2 整理:3d =6a1d(d>0) ,∴d=2a1=2,∴an=1+(n﹣1)2=2n﹣1. * ∴an=2n﹣1 (n∈N )…(7 分) (2)bn= = ﹣ = ﹣ …(10 分) …(9 分)

2

∴b1+b2+…+bn= ﹣ + ﹣ +…+ = ﹣ < …(12 分)

∵Tn+1﹣Tn=bn= ∴ ≤Tn< . …(14 分)

>0,数列{Tn}是递增数列.∴Tn≥T1= .

…(13 分)

点评: 本题考查数列的综合应用,数列与不等式的关系,考查数列求和的基本方法,难度 比较大,考查分析问题解决问题的能力. 19. (14 分)已知两点 M(﹣1,0) 、N(1,0) ,点 P 为坐标平面内的动点,满足 . (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若点 A(t,4)是动点 P 的轨迹上的一点,K(m,0)是 x 轴上的一动点,试讨论直线 2 2 AK 与圆 x +(y﹣2) =4 的位置关系. 考点: 抛物线的标准方程;轨迹方程;直线与圆的位置关系. 专题: 计算题. 分析: (1)设 P(x,y) ,由 ,得 ,

由此化简能求出点 P 的轨迹 C 的方程. (2)由题意得,圆的圆心坐标为(0,2) ,半径为 2.当 m=4 时,直线 AK 的方程为 x=4,此 时,直线 AK 与圆 M 相离;当 m≠4 时,写出直线 AK 的方程,圆心 M(0,2)到直线 AK 的 距离,由此可判断直线 AK 与圆的位置关系. 解答: 解: (1)设 P(x,y) ,则 分) 由 得
2





. (2

, , (4 分)

化简得 y =4x. 2 所以动点 P 的轨迹方程为 y =4x. (5 分) 2 2 (2)由点 A(t,4)在轨迹 y =4x 上,则 4 =4t,解得 t=4,即 A(4,4) . (6 分) 2 2 当 m=4 时,直线 AK 的方程为 x=4,此时直线 AK 与圆 x +(y﹣2) =4 相离. (7 分) 当 m≠4 时,直线 AK 的方程为 ,即 4x+(m﹣4)y﹣4m=0, (8 分)

圆心(0,2)到直线 AK 的距离





,解得 m<1;



,解得 m=1;



,解得 m>1.
2 2

综上所述,当 m<1 时,直线 AK 与圆 x +(y﹣2) =4 相交; 2 2 当 m=1 时,直线 AK 与圆 x +(y﹣2) =4 相切; 2 2 当 m>1 时,直线 AK 与圆 x +(y﹣2) =4 相离. (14 分) 点评: 本题在向量与圆锥曲线交汇处命题,考查了向量的数量积、曲线方程的求法、直线 与圆的位置关系以及分类讨论思想和等价转化能力. 20. (14 分)已知函数 f(x)=ax ﹣2x+a﹣1,a∈R (1)若函数 f(x)满足 f(1﹣x)=f(1+x) ,求实数 a 的值; (2)若函数 f(x)在区间 (3)若函数 f(x)在区间 上总是单调函数,求实数 a 的取值范围; 上有零点,求实数 a 的取值范围.
2

考点: 二次函数的性质;函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数满足 f(1﹣x)=f(1+x) ,关于 x=1 对称,再求出函数 f(x)=ax ﹣ 2x+a﹣1,的对称轴令其相等即可求出 a 值; (2)函数 f(x)在区间 上总是单调函数,讨论 a=0,或 a≠0 的情况,讨论二次函数
2

的图象及其对称轴,从而进行求解; (3)函数 f(x)在区间 上有零点,讨论 a=0 和 a≠0 的情况,a≠0 时,讨论有几个零
2

点可以有一个也可以有两个,利用转化的思想将问题转化为求函数的值域的问题; 解答: 解: (1)∵函数 f(x)=ax ﹣2x+a﹣1,a∈R, ∵函数 f(x)满足 f(1﹣x)=f(1+x) ,∴f(x)关于直线 x= 因为 f(x)的对称轴为 x= ∴ =1,解得 a=1; 上总是单调函数, , =1 对称,

(2)∵函数 f(x)在区间

若 a=0,可得 f(x)=﹣2x﹣1,是单调减函数,满足题意; 若 a≠0 可得,f(x)=ax ﹣2x+a﹣1,a∈R 对称轴为:x=﹣ = ,要使函数 f(x)在区间 上总是单调函数,可得
2

解得 a≥2 或 a<0 或 0<a≤ ,

综上可得:a≤ 或 a≥2; (3)当 a=0 时,令 f(x)=0 解得 x=﹣ 不在区间 当 a≠0 时, 函数 ( f x) =ax ﹣2x+a﹣1 在区间 上有解, ?a= 在区间 上有解,问题转化为函数 y= 在区间 上的值域,
2

上,不满足题意; 上有零点?a (x +1) =1+2x 在区间
2

设 t=1+2x∈[2,5],g(t)=递减,t∈( 事实上,设 0<t1<t2

,5) ,g(t)递增, )﹣(t2+ )

,则 g(t1)﹣g(t2)=(t1+

=



由 0<t1<t2 ,得 t1﹣t2<0,0<t1t2<5,即 g(t1)﹣g(t2)>0 所以 g(t)在(2, )上单调递减,同理得 g(t)在( ,5)上单调递增,又 g(5)=6 >g(2)=4.5, 故 g( )≤g(t)≤g(5) , ∴2 ≤g(t)≤6, ,0<2 ﹣2≤g(t)﹣2≤4, ∴1≤ ∴y∈[1, ] .…(14 分) ≤ ,1≤ ≤ ,

故实数 a 的取值范围为

点评: 此题主要考查二次函数的性质及零点问题,考查的知识点比较多,解题过程中用到 了转化的思想,这是高考常考的热点问题,此题是一道中档题;


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