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高中数学必修1课后习题答案完整版


高中数学必修 1 课后习题答案 第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示
练习(第 5 页) 1.用符号“ ? ”或“ ? ”填空:
(1)设 A 为所有亚洲国家组成的集合,则:中国_______ A ,美国_______ A , 印度_______ A ,英国_______ A ; (2)若 A ? { x | x ? x} ,则 ?1 _______ A ;
2

(3)若 B ? { x | x ? x ? 6 ? 0} ,则 3 _______ B ;
2

(4)若 C ? {x ? N |1 ? x ? 10} ,则 8 _______ C , 9.1 _______ C . 1. (1)中国 ? A ,美国 ? A ,印度 ? A ,英国 ? A ; 中国和印度是属于亚洲的国家,美国在北美洲,英国在欧洲. (2) ?1 ? A (3) 3 ? B
2 A ? { x | x ? x ? { 0 ,. } } 1

2 B ? { x | x ? x? 6 ? 0 } ? {? 3 . } ,2

(4) 8 ? C , 9.1 ? C 9.1? N . 2.试选择适当的方法表示下列集合: (1)由方程 x ? 9 ? 0 的所有实数根组成的集合;
2

(2)由小于 8 的所有素数组成的集合; (3)一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2 x ? 6 的图象的交点组成的集合; (4)不等式 4 x ? 5 ? 3 的解集.
2 2.解: (1)因为方程 x ? 9 ? 0 的实数根为 x1 ? ?3, x2 ? 3 ,

所以由方程 x ? 9 ? 0 的所有实数根组成的集合为 {?3,3} ;
2

(2)因为小于 8 的素数为 2, 3, 5, 7 , 所以由小于 8 的所有素数组成的集合为 {2, 3, 5, 7} ;

(3)由 ?

?y ? x ?3 ? y ? ?2 x ? 6

,得 ?

?x ? 1 ?y ? 4



即一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2 x ? 6 的图象的交点为 (1, 4) ,

所以一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2 x ? 6 的图象的交点组成的集合为 {(1, 4)} ; (4)由 4 x ? 5 ? 3 ,得 x ? 2 , 所以不等式 4 x ? 5 ? 3 的解集为 {x | x ? 2} .

1.1.2 集合间的基本关系
练习(第 7 页)
1.写出集合 {a, b, c} 的所有子集. 1.解:按子集元素个数来分类,不取任何元素,得 ? ; 取一个元素,得 {a},{b},{c} ; 取两个元素,得 {a, b},{a, c},{b, c} ; 取三个元素,得 {a, b, c} , 即集合 {a, b, c} 的所有子集为 ?,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c} . 2.用适当的符号填空: (1) a ______ {a, b, c} ; (3) ? ______ { x ? R | x ? 1 ? 0} ;
2

(2) 0 ______ { x | x ? 0} ;
2

(4) {0,1} ______ N ; (6) {2,1} ______ { x | x ? 3 x ? 2 ? 0} .
2

(5) {0} ______ { x | x ? x} ;
2

2. (1) a ? {a, b, c} (2) 0 ? { x | x ? 0}
2 2

a 是集合 {a, b, c} 中的一个元素;
{ x |x 2 ? 0 ? }
2

{ ;} 0
2

(3) ? ? { x ? R | x ? 1 ? 0} (4) {0,1} (5) {0}

方程 x ? 1 ? 0 无实数根, { x ? R | x ? 1 ? 0} ? ? ; 是自然数集合 N 的子集,也是真子集; { 0 , 1}
2

N

(或 {0,1} ? N )

{ x | x 2 ? x}
2

(或 {0} ? { x | x ? x} )

{ x | x2 ? x} { 0 ,; } ? 1

(6) {2,1} ? { x | x ? 3 x ? 2 ? 0} 3.判断下列两个集合之间的关系:

2 方程 x ? 3 x ? 2 ? 0 两根为 x1 ? 1, x2 ? 2 .

(1) A ? {1, 2, 4} , B ? { x | x是 8 的约数} ; (2) A ? {x | x ? 3k , k ? N } , B ? {x | x ? 6 z , z ? N } ; (3) A ? { x | x是 4 与 10 的公倍数,x ? N ? } , B ? { x | x ? 20 m, m ? N ? } .

3.解: (1)因为 B ? { x | x是 8 的约数} ? {1, 2, 4,8} ,所以 A

B;

(2)当 k ? 2 z 时, 3k ? 6 z ;当 k ? 2 z ? 1 时, 3k ? 6 z ? 3 , 即 B 是 A 的真子集, B

A;

(3)因为 4 与 10 的最小公倍数是 20 ,所以 A ? B .

1.1.3 集合的基本运算
练习(第 11 页)
1.设 A ? {3, 5, 6,8}, B ? {4, 5, 7,8} ,求 A ? B, A ? B . 1.解: A ? B ? {3, 5, 6,8} ? {4, 5, 7,8} ? {5,8} ,

A ? B ? {3, 5, 6,8} ? {4, 5, 7,8} ? {3, 4, 5, 6, 7,8} .
2.设 A ? { x | x ? 4 x ? 5 ? 0}, B ? { x | x ? 1} ,求 A ? B, A ? B .
2 2

2 2.解:方程 x ? 4 x ? 5 ? 0 的两根为 x1 ? ?1, x2 ? 5 , 2 方程 x ? 1 ? 0 的两根为 x1 ? ?1, x2 ? 1 ,

得 A ? {?1, 5}, B ? {?1,1} , 即 A ? B ? {?1}, A ? B ? {?1,1, 5} . 3.已知 A ? {x | x是等腰三角形} , B ? { x | x是直角三角形} ,求 A ? B, A ? B . 3.解: A ? B ? { x | x是等腰直角三角形} ,

A ? B ? { x | x是等腰三角形或直角三角形} .
4.已知全集 U ? {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} , A ? {2, 4, 5}, B ? {1, 3, 5, 7} , 求 A ? (痧B ), ( U

U

A) ? ( U B ) .

4.解:显然 ?U B ? {2, 4, 6} , ?U A ? {1, 3, 6, 7} , 则 A ? (?U B ) ? {2, 4} , (痧A) ? ( U
U

B ) ? {6} .

1.1 集合 习题 1.1
1.用符号“ ? ”或“ ? ”填空:

(第 11 页)

A组

(1) 3

2 7

_______ Q ;

(2) 3 2 ______ N ;

(3) ? _______ Q ;

(4) 2 _______ R ; 1. (1) 3

2 (5) 9 _______ Z ; (6) ( 5) _______ N .

2 7

?Q

2 3 是有理数; 7

(2) 3 ? N
2

32 ? 9 是个自然数;

(3) ? ? Q (5) 9 ? Z

? 是个无理数,不是有理数; (4) 2 ? R
9 ? 3 是个整数;
(6) ( 5) ? N
2

2 是实数;
( 52 ? 5 ) 是个自然数.

2.已知 A ? {x | x ? 3k ? 1, k ? Z } ,用 “ ? ”或“ ? ” 符号填空: (1) 5 _______ A ; (2) 7 _______ A ; (3) ?10 _______ A . 2. (1) 5 ? A ; (2) 7 ? A ; (3) ?10 ? A . 当 k ? 2 时, 3k ? 1 ? 5 ;当 k ? ?3 时, 3k ? 1 ? ?10 ; 3.用列举法表示下列给定的集合: (1)大于 1 且小于 6 的整数; (2) A ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0} ; (3) B ? {x ? Z | ?3 ? 2 x ? 1 ? 3} . 3.解: (1)大于 1 且小于 6 的整数为 2, 3, 4, 5 ,即 {2, 3, 4, 5} 为所求; (2)方程 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 的两个实根为 x1 ? ?2, x2 ? 1 ,即 {?2,1} 为所求; (3)由不等式 ?3 ? 2 x ? 1 ? 3 ,得 ?1 ? x ? 2 ,且 x ? Z ,即 {0,1, 2} 为所求. 4.试选择适当的方法表示下列集合: (1)二次函数 y ? x ? 4 的函数值组成的集合;
2

(2)反比例函数 y ?

2

的自变量的值组成的集合;

x (3)不等式 3x ? 4 ? 2 x 的解集.
4.解: (1)显然有 x ? 0 ,得 x ? 4 ? ?4 ,即 y ? ?4 ,
2 2

得二次函数 y ? x ? 4 的函数值组成的集合为 { y | y ? ?4} ;
2

(2)显然有 x ? 0 ,得反比例函数 y ? (3)由不等式 3x ? 4 ? 2 x ,得 x ? 5.选用适当的符号填空:

2 x

的自变量的值组成的集合为 {x | x ? 0} ;

4 5

,即不等式 3x ? 4 ? 2 x 的解集为 { x | x ? } .

4

5

(1)已知集合 A ? {x | 2 x ? 3 ? 3 x}, B ? { x | x ? 2} ,则有:

?4 _______ B ;

_______ B ; ?3 _______ A ; { 2 }
2

B _______ A ;

(2)已知集合 A ? { x | x ? 1 ? 0} ,则有: _______ A ; 1 _______ A ; {? 1}

, _______ A ; ? _______ A ; {1 ? 1}

(3) { x | x是菱形} _______ { x | x是平行四边形} ; _______ { x | x是等边三角形} . { x | x是等腰三角形 } 5. (1) ?4 ? B ;

?3 ? A ; { 2 } B ;

B

A;

2 x ? 3 ? 3x ? x ? ?3 ,即 A ? {x | x ? ?3}, B ? {x | x ? 2} ;
(2) 1 ? A ;

{? 1} A ;

?

, = A ; {1 ? 1}A ;

A ? { x | x 2 ? 1 ? 0} ? {?1,1} ;
(3) { x | x是菱形}

{ x | x是平行四边形} ;

菱形一定是平行四边形,是特殊的平行四边形,但是平行四边形不一定是菱形;

{ x | x是等边三角形}

{ x | x是等腰三角形} .

等边三角形一定是等腰三角形,但是等腰三角形不一定是等边三角形. 6.设集合 A ? {x | 2 ? x ? 4}, B ? { x | 3 x ? 7 ? 8 ? 2 x} ,求 A ? B, A ? B . 6.解: 3 x ? 7 ? 8 ? 2 x ,即 x ? 3 ,得 A ? {x | 2 ? x ? 4}, B ? { x | x ? 3} , 则 A ? B ? { x | x ? 2} , A ? B ? {x | 3 ? x ? 4} . 7.设集合 A ? { x | x是小于 9 的正整数} , B ? {1, 2, 3}, C ? {3, 4, 5, 6} ,求 A ? B ,

A ? C , A ? (B ? C ) , A ? (B ? C ) .
7.解: A ? { x | x是小于 9 的正整数} ? {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8} , 则 A ? B ? {1, 2, 3} , A ? C ? {3, 4, 5, 6} , 而 B ? C ? {1, 2, 3, 4, 5, 6} , B ? C ? {3} , 则 A ? ( B ? C ) ? {1, 2, 3, 4, 5, 6} ,

A ? ( B ? C ) ? {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8} .

8.学校里开运动会,设 A ? { x | x是参加一百米跑的同学} ,

B ? { x | x是参加二百米跑的同学} , C ? { x | x是参加四百米跑的同学} ,
学校规定,每个参加上述的同学最多只能参加两项,请你用集合的语言说明这项规定, 并解释以下集合运算的含义: (1) A ? B ; (2) A ? C . 8.解:用集合的语言说明这项规定:每个参加上述的同学最多只能参加两项, 即为 ( A ? B ) ? C ? ? . (1) A ? B ? { x | x是参加一百米跑或参加二百米跑的同学} ; (2) A ? C ? {x | x是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学} . 9.设 S ? { x | x是平行四边形或梯形} , A ? { x | x是平行四边形} , B ? { x | x是菱形} , ,求 B ? C , ?A B , ?S A . C ? { x | 是矩形 } x 9.解:同时满足菱形和矩形特征的是正方形,即 B ? C ? { x | x是正方形} , 平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类,而邻边相等的平行四边形就是菱形, 即 ?A B ? { x | x是邻边不相等的平行四边形} ,

?S A ? { x | x是梯形} .
10.已知集合 A ? {x | 3 ? x ? 7}, B ? { x | 2 ? x ? 10} ,求 ?R ( A ? B ) , ?R ( A ? B ) ,

(?R A) ? B , A ? (?R B ) .
10.解: A ? B ? { x | 2 ? x ? 10} , A ? B ? {x | 3 ? x ? 7} ,

?R A ? { x | x ? 3, 或 x ? 7} , ?R B ? { x | x ? 2, 或x ? 10} ,
得 ?R ( A ? B ) ? { x | x ? 2, 或 x ? 10} ,

?R ( A ? B ) ? { x | x ? 3, 或x ? 7} , (?R A) ? B ? { x | 2 ? x ? 3, 或 7 ? x ? 10} , A ? (?R B ) ? { x | x ? 2, 或3 ? x ? 7或x ? 10} .

B组
1.已知集合 A ? {1, 2} ,集合 B 满足 A ? B ? {1, 2} ,则集合 B 有 1. 4 个.

集合 B 满足 A ? B ? A ,则 B ? A ,即集合 B 是集合 A 的子集,得 4 个子集.

2.在平面直角坐标系中,集合 C ? {( x, y ) | y ? x} 表示直线 y ? x ,从这个角度看, 集合 D ? ? ( x , y ) | ?

? ?

?2 x ? y ? 1 ? ? 表示什么?集合 C , D 之间有什么关系? ? x ? 4 y ? 5? ?2 x ? y ? 1 ? ? 表示两条直线 2 x ? y ? 1, x ? 4 y ? 5 的交点的集合, ? x ? 4 y ? 5?

2.解:集合 D ? ? ( x , y ) | ?

?

?

即 D ? ?( x, y ) | ?

? ?

?2 x ? y ? 1 ? ? ? {(1,1)} ,点 D (1,1) 显然在直线 y ? x 上, ? x ? 4 y ? 5?

得D

C.

3.设集合 A ? {x | ( x ? 3)( x ? a ) ? 0, a ? R} , B ? {x | ( x ? 4)( x ? 1) ? 0} ,求 A ? B, A ? B . 3.解:显然有集合 B ? {x | ( x ? 4)( x ? 1) ? 0} ? {1, 4} , 当 a ? 3 时,集合 A ? {3} ,则 A ? B ? {1, 3, 4}, A ? B ? ? ; 当 a ? 1 时,集合 A ? {1, 3} ,则 A ? B ? {1, 3, 4}, A ? B ? {1} ; 当 a ? 4 时,集合 A ? {3, 4} ,则 A ? B ? {1, 3, 4}, A ? B ? {4} ; 当 a ? 1 ,且 a ? 3 ,且 a ? 4 时,集合 A ? {3, a} , 则 A ? B ? {1, 3, 4, a}, A ? B ? ? . 4.已知全集 U ? A ? B ? {x ? N | 0 ? x ? 10} , A ? (?U B ) ? {1, 3, 5, 7} ,试求集合 B . 4.解:显然 U ? {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9,10} ,由 U ? A ? B , 得 ?U B ? A ,即 A ? (痧B ) ? U

U

B ,而 A ? (?U B ) ? {1, 3, 5, 7} ,
U

得 ?U B ? {1, 3, 5, 7} ,而 B ? 痧( U 即 B ? {0, 2, 4, 6,8.9,10} .

B) ,

第一章

集合与函数概念

1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
练习(第 19 页)
1.求下列函数的定义域:

(1) f ( x ) ?

1 4x ? 7



(2) f ( x ) ? 1 ? x ?

x ? 3 ? 1.

1.解: (1)要使原式有意义,则 4 x ? 7 ? 0 ,即 x ? ? 得该函数的定义域为 { x | x ? ? } ;

7 4



7

4

(2)要使原式有意义,则 ?

?1 ? x ? 0 ?x ? 3 ? 0

,即 ?3 ? x ? 1 ,

得该函数的定义域为 {x | ?3 ? x ? 1} . 2.已知函数 f ( x ) ? 3 x ? 2 x ,
2

(1)求 f (2), f ( ?2), f (2) ? f ( ?2) 的值; (2)求 f (a ), f ( ?a), f ( a) ? f ( ?a) 的值. 2.解: (1)由 f ( x ) ? 3 x ? 2 x ,得 f (2) ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 18 ,
2 2

同理得 f ( ?2) ? 3 ? ( ?2) ? 2 ? ( ?2) ? 8 ,
2

则 f (2) ? f ( ?2) ? 18 ? 8 ? 26 , 即 f (2) ? 18, f ( ?2) ? 8, f (2) ? f ( ?2) ? 26 ; (2)由 f ( x ) ? 3 x ? 2 x ,得 f ( a ) ? 3 ? a ? 2 ? a ? 3a ? 2 a ,
2 2 2

同理得 f ( ? a ) ? 3 ? ( ? a ) ? 2 ? ( ? a ) ? 3a ? 2 a ,
2 2

则 f ( a ) ? f ( ? a ) ? (3a ? 2 a ) ? (3a ? 2 a ) ? 6 a ,
2 2 2

即 f ( a ) ? 3a ? 2 a , f ( ? a ) ? 3a ? 2a , f ( a ) ? f ( ? a ) ? 6a .
2 2 2

3.判断下列各组中的函数是否相等,并说明理由: (1)表示炮弹飞行高度 h 与时间 t 关系的函数 h ? 130t ? 5t 和二次函数 y ? 130 x ? 5 x ;
2
2

(2) f ( x ) ? 1 和 g ( x ) ? x .
0

3.解: (1)不相等,因为定义域不同,时间 t ? 0 ; (2)不相等,因为定义域不同, g ( x ) ? x ( x ? 0) .
0

1.2.2 函数的表示法
练习(第 23 页)
1.如图,把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料,如果矩形的一边长为 xcm ,

面积为 ycm ,把 y 表示为 x 的函数. 1.解:显然矩形的另一边长为 50 ? x cm ,
2 2

2

y ? x 50 2 ? x 2 ? x 2500 ? x 2 ,且 0 ? x ? 50 ,
即 y ? x 2500 ? x (0 ? x ? 50) .
2

2.下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图象写出一件事. (1)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是返回家里找到了作业本再上学; (2)我骑着 车一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间; (3)我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速.
离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离

O

时间

O

时间

O

时间

O

时间

(A)

(B)

(C)

(D)

2.解:图象(A)对应事件(2) ,在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化; 图象(B)对应事件(3) ,刚刚开始缓缓行进,后来为了赶时间开始加速; 图象(D)对应事件(1) ,返回家里的时刻,离开家的距离又为零; 图象(C)我出发后,以为要迟到,赶时间开始加速,后来心情轻松,缓缓行进. 3.画出函数 y ?| x ? 2 | 的图象. 3.解: y ?| x ? 2 |? ?

? x ? 2, x ? 2 ? ? x ? 2, x ? 2

,图象如下所示.

4.设 与 A

A ? { x | x是锐角}, B ? {0,1} ,从 A 到 B 的映射是“求正弦” ,
中元素 60 相对应
?

的 么?

B 中的元素是什么?与 B 中的元素

2 2

相对应的 A 中元素是什

4.解:因为 sin 60 ?
?

3 2 2 2

,所以与 A 中元素 60 相对应的 B 中的元素是

?

3 2
?



因为 sin 45 ?
?

,所以与 B 中的元素

2 2

相对应的 A 中元素是 45 .

1.2 函数及其表示 习题 1.2(第 23 页)
1.求下列函数的定义域: (1) f ( x ) ?

3x x?4
2



(2) f ( x ) ?

x2 ;

(3) f ( x ) ?

6 x ? 3x ? 2



(4) f ( x ) ?

4? x x ?1



1.解: (1)要使原式有意义,则 x ? 4 ? 0 ,即 x ? 4 , 得该函数的定义域为 {x | x ? 4} ; (2) x ? R , f ( x ) ?

x 2 都有意义,

即该函数的定义域为 R ; (3)要使原式有意义,则 x ? 3 x ? 2 ? 0 ,即 x ? 1 且 x ? 2 ,
2

得该函数的定义域为 { x | x ? 1且x ? 2} ;

(4)要使原式有意义,则 ?

?4 ? x ? 0 ?x ?1 ? 0

,即 x ? 4 且 x ? 1 ,

得该函数的定义域为 { x | x ? 4且x ? 1} . 2.下列哪一组中的函数 f ( x ) 与 g ( x ) 相等?

(1) f ( x ) ? x ? 1, g ( x ) ? (3) f ( x ) ? x , g ( x ) ?
2

x2 x

?1;

(2) f ( x ) ? x , g ( x ) ? ( x ) ;
2 4

3

x6 .

2.解: (1) f ( x ) ? x ? 1 的定义域为 R ,而 g ( x ) ?

x2 x

? 1 的定义域为 {x | x ? 0} ,

即两函数的定义域不同,得函数 f ( x ) 与 g ( x ) 不相等; (2) f ( x ) ? x 的定义域为 R ,而 g ( x ) ? ( x ) 的定义域为 {x | x ? 0} ,
2
4

即两函数的定义域不同,得函数 f ( x ) 与 g ( x ) 不相等; (3)对于任何实数,都有 x ? x ,即这两函数的定义域相同,切对应法则相同,
3 6 2

得函数 f ( x ) 与 g ( x ) 相等. 3.画出下列函数的图象,并说出函数的定义域和值域. (1) y ? 3 x ; (2) y ? 3.解: (1)

8 x

; (3) y ? ?4 x ? 5 ; (4) y ? x ? 6 x ? 7 .
2

定义域是 ( ??, ?? ) ,值域是 ( ??, ?? ) ; (2)

定义域是 ( ??, 0) ? (0, ?? ) ,值域是 ( ??, 0) ? (0, ?? ) ;

(3)

定义域是 ( ??, ?? ) ,值域是 ( ??, ?? ) ; (4)

定义域是 ( ??, ?? ) ,值域是 [ ?2, ?? ) . 4.已知函数 f ( x ) ? 3 x ? 5 x ? 2 ,求 f ( ? 2 ) , f ( ? a ) , f ( a ? 3) , f ( a ) ? f (3) .
2

4.解:因为 f ( x ) ? 3 x ? 5 x ? 2 ,所以 f ( ? 2 ) ? 3 ? ( ? 2 ) ? 5 ? ( ? 2 ) ? 2 ? 8 ? 5 2 ,
2
2

即 f (? 2 ) ? 8 ? 5 2 ; 同理, f ( ? a ) ? 3 ? ( ? a ) ? 5 ? ( ? a ) ? 2 ? 3a ? 5a ? 2 ,
2 2

即 f ( ? a ) ? 3a ? 5 a ? 2 ;
2

f ( a ? 3) ? 3 ? ( a ? 3) 2 ? 5 ? ( a ? 3) ? 2 ? 3a 2 ? 13a ? 14 ,
即 f ( a ? 3) ? 3a ? 13a ? 14 ;
2

f ( a ) ? f (3) ? 3a 2 ? 5a ? 2 ? f (3) ? 3a 2 ? 5a ? 16 ,
即 f ( a ) ? f (3) ? 3a ? 5a ? 16 .
2

5.已知函数 f ( x ) ?

x?2 x?6



(1)点 (3,14) 在 f ( x ) 的图象上吗? (2)当 x ? 4 时,求 f ( x ) 的值;

(3)当 f ( x) ? 2 时,求 x 的值. 5.解: (1)当 x ? 3 时, f (3) ?

3? 2 3?6

??

5 3

? 14 ,

即点 (3,14) 不在 f ( x ) 的图象上; (2)当 x ? 4 时, f (4) ?

4?2 4?6

? ?3 ,

即当 x ? 4 时,求 f ( x ) 的值为 ?3 ; (3) f ( x ) ?

x?2

x?6 即 x ? 14 .
2

? 2 ,得 x ? 2 ? 2( x ? 6) ,

6.若 f ( x ) ? x ? bx ? c ,且 f (1) ? 0, f (3) ? 0 ,求 f ( ?1) 的值. 6.解:由 f (1) ? 0, f (3) ? 0 , 得 1, 3 是方程 x ? bx ? c ? 0 的两个实数根,
2

即 1 ? 3 ? ?b,1 ? 3 ? c ,得 b ? ?4, c ? 3 , 即 f ( x ) ? x ? 4 x ? 3 ,得 f ( ?1) ? ( ?1) ? 4 ? ( ?1) ? 3 ? 8 ,
2 2

即 f ( ?1) 的值为 8 . 7.画出下列函数的图象: (1) F ( x ) ? ?

? 0, x ? 0 ?1, x ? 0



(2) G ( n) ? 3n ? 1, n ? {1, 2, 3} .

7.图象如下:

8.如图,矩形的面积为 10 ,如果矩形的长为 x ,宽为 y ,对角线为 d , 周长为 l ,那么你能获得关于这些量的哪些函数?

8.解:由矩形的面积为 10 ,即 xy ? 10 ,得 y ?

10 x

( x ? 0) , x ?

10 y

( y ? 0) ,

由对角线为 d ,即 d ?

x 2 ? y 2 ,得 d ?

x2 ?

100 x2

( x ? 0) ,

由周长为 l ,即 l ? 2 x ? 2 y ,得 l ? 2 x ?
2 2

20 x
2

( x ? 0) ,

另外 l ? 2( x ? y ) ,而 xy ? 10, d ? x ? y , 得 l ? 2 ( x ? y ) ? 2 x ? y ? 2 xy ? 2 d ? 20 ( d ? 0) ,
2 2 2 2

即 l ? 2 d ? 20 ( d ? 0) .
2

9.一个圆柱形容器的底部直径是 dcm ,高是 hcm ,现在以 vcm / s 的速度向容器内注入某种溶液.求溶 液内溶液的高度 xcm 关于注入溶液的时间 ts 的函数解析式,并写出函数的定义域和值域. 9.解:依题意,有 ? ( ) x ? vt ,即 x ?
2

3

d

4v

2

?d2

t,
h? d 2 4v

显然 0 ? x ? h ,即 0 ?

4v

?d2

t ? h ,得 0 ? t ?



得函数的定义域为 [0,

h? d 2 4v

] 和值域为 [0, h ] .

10.设集合 A ? {a, b, c}, B ? {0,1} ,试问:从 A 到 B 的映射共有几个? 并将它们分别表示出来. 10.解:从 A 到 B 的映射共有 8 个.

? f (a ) ? 0 ? f (a ) ? 0 ? f (a ) ? 0 ? f (a ) ? 0 ? ? ? ? 分别是 ? f (b ) ? 0 , ? f (b ) ? 0 , ? f (b ) ? 1 , ? f (b ) ? 0 , ? f (c ) ? 0 ? f (c ) ? 1 ? f (c ) ? 0 ? f (c ) ? 1 ? ? ? ? ? f (a ) ? 1 ? f (a ) ? 1 ? f (a ) ? 1 ? f (a ) ? 1 ? ? ? ? ? f (b ) ? 0 , ? f (b ) ? 0 , ? f (b ) ? 1 , ? f (b ) ? 0 . ? f (c ) ? 0 ? f (c ) ? 1 ? f (c ) ? 0 ? f (c ) ? 1 ? ? ? ?

B组
1.函数 r ? f ( p ) 的图象如图所示. (1)函数 r ? f ( p ) 的定义域是什么? (2)函数 r ? f ( p ) 的值域是什么? (3) r 取何值时,只有唯一的 p 值与之对应? 1.解: (1)函数 r ? f ( p ) 的定义域是 [ ?5, 0] ? [2, 6) ; (2)函数 r ? f ( p ) 的值域是 [0, ?? ) ; (3)当 r ? 5 ,或 0 ? r ? 2 时,只有唯一的 p 值与之对应. 2.画出定义域为 { x | ?3 ? x ? 8, 且 x ? 5} ,值域为 { y | ?1 ? y ? 2, y ? 0} 的一个函数的图象.

(1)如果平面直角坐标系中点 P ( x, y ) 的坐标满足 ?3 ? x ? 8 , ?1 ? y ? 2 ,那么其中哪些点不能在图象 上? (2)将你的图象和其他同学的相比较,有什么差别吗? 2.解:图象如下, (1)点 ( x, 0) 和点 (5, y ) 不能在图象上; (2)省略.

3.函数 f ( x ) ? [ x ] 的函数值表示不超过 x 的最大整数,例如, [ ?3.5] ? ?4 , [2.1] ? 2 . 当 x ? ( ?2.5, 3] 时,写出函数 f ( x ) 的解析式,并作出函数的图象.

? ? 3, ? 2.5 ? x ? ? 2 ? ? 2, ? 2 ? x ? ? 1 ? ? ? 1, ? 1 ? x ? 0 ? 3.解: f ( x ) ? [ x ] ? ? 0, 0 ? x ? 1 ?1, 1 ? x ? 2 ? ? 2, 2 ? x ? 3 ? ?3, x ? 3
图象如下

4. 如图所示, 一座小岛距离海岸线上最近的点 P 的距离是 2km , 从点 P 沿海岸正东 12km 处有一个城镇.

(1)假设一个人驾驶的小船的平均速度为 3km / h ,步行的速度是 5km / h , t (单位: h )表示他从小岛 到城镇的时间, x (单位: km )表示此人将船停在海岸处距 P 点的距离.请将 t 表示为 x 的函数. (2)如果将船停在距点 P 4km 处,那么从小岛到城镇要多长时间(精确到 1h )? 4.解: (1)驾驶小船的路程为 x ? 2 ,步行的路程为 12 ? x ,
2 2

得t ?

x 2 ? 22 3 x2 ? 4 3

?

12 ? x 5

, (0 ? x ? 12) ,

即t ?

?

12 ? x 5

, (0 ? x ? 12) .

(2)当 x ? 4 时, t ?

42 ? 4 3

?

12 ? 4 5

?

2 5 3

?

8 5

? 3 (h) .

第一章

集合与函数概念

1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 练习(第 32 页)
1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.

1.答:在一定的范围内,生产效率随着工人数量的增加而提高,当工人数量达到某个数量时,生产效率 达到最大值,而超过这个数量时,生产效率随着工人数量的增加而降低.由此可见,并非是工人 越多,生产效率就越高. 2.整个上午 (8 : 00 ? 12 : 00) 天气越来越暖,中午时分 (12 : 00 ? 13 : 00) 一场暴风雨使天气骤然凉爽了许 多.暴风雨过后,天气转暖,直到太阳落山 (18 : 00) 才又开始转凉.画出这一天 8 : 00 ? 20 : 00 期间气温 作为时间函数的一个可能的图象,并说出所画函数的单调区间. 2.解:图象如下

是递增区间, [12,13] 是递减区间, [13,18] 是递增区间, [18, 20] 是递减区间. [8,12]

3.根据下图说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数.

3.解:该函数在 [ ?1, 0] 上是减函数,在 [0, 2] 上是增函数,在 [2, 4] 上是减函数, 在 [4, 5] 上是增函数.

4.证明函数 f ( x ) ? ?2 x ? 1 在 R 上是减函数. 4.证明:设 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 , 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?2( x1 ? x2 ) ? 2( x2 ? x1 ) ? 0 , 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 所以函数 f ( x ) ? ?2 x ? 1 在 R 上是减函数. 5.设 f ( x ) 是定义在区间 [ ?6,11] 上的函数.如果 f ( x ) 在区间 [ ?6, ?2] 上递减,在区间 [ ?2,11] 上递增,画 出 f ( x ) 的一个大致的图象,从图象上可以发现 f ( ?2) 是函数 f ( x ) 的一个 5.最小值. .

1.3.2 单调性与最大(小)值
练习(第 36 页)
1.判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x ) ? 2 x ? 3 x ; (2) f ( x ) ? x ? 2 x
4 2 3

(3) f ( x ) ?

x2 ? 1 x



(4) f ( x ) ? x ? 1 .
2 4 2

1.解: (1)对于函数 f ( x ) ? 2 x ? 3 x ,其定义域为 ( ??, ?? ) ,因为对定义域内 每一个 x 都有 f ( ? x ) ? 2( ? x ) ? 3( ? x ) ? 2 x ? 3 x ? f ( x ) ,
4 2 4 2

所以函数 f ( x ) ? 2 x ? 3 x 为偶函数;
4 2

(2)对于函数 f ( x ) ? x ? 2 x ,其定义域为 ( ??, ?? ) ,因为对定义域内
3

每一个 x 都有 f ( ? x ) ? ( ? x ) ? 2( ? x ) ? ? ( x ? 2 x ) ? ? f ( x ) ,
3 3

所以函数 f ( x ) ? x ? 2 x 为奇函数;
3

(3)对于函数 f ( x ) ?

x2 ? 1 x

,其定义域为 ( ??, 0) ? (0, ?? ) ,因为对定义域内

每一个 x 都有 f ( ? x ) ?

(? x)2 ? 1 ?x

??

x2 ? 1 x

? ? f ( x) ,

所以函数 f ( x ) ?

x2 ? 1 x

为奇函数;

(4)对于函数 f ( x ) ? x ? 1 ,其定义域为 ( ??, ?? ) ,因为对定义域内
2

每一个 x 都有 f ( ? x ) ? ( ? x ) ? 1 ? x ? 1 ? f ( x ) ,
2 2

所以函数 f ( x ) ? x ? 1 为偶函数.
2

2.已知 f ( x ) 是偶函数, g ( x ) 是奇函数,试将下图补充完整.

2.解: f ( x ) 是偶函数,其图象是关于 y 轴对称的;

g ( x) 是奇函数,其图象是关于原点对称的.

习题 1.3
A组
1.画出下列函数的图象,并根据图象说出函数 y ? f ( x ) 的单调区间,以及在各单调区间 上函数 y ? f ( x ) 是增函数还是减函数. ( 1 ) y ? x ? 5x ? 6 ;
2

(2) y ? 9 ? x .
2

1.解: (1)

函数在 ( ?? , ) 上递减;函数在 [ , ?? ) 上递增;

5

5

2

2

(2)

函 2.证明:





( ?? , 0) 上递增;函数在 [0, ?? ) 上递减.

(1)函数 f ( x ) ? x ? 1 在 ( ?? , 0) 上是减函数;
2

(2)函数 f ( x ) ? 1 ?

1 x

在 ( ?? , 0) 上是增函数.
2 2

2.证明: (1)设 x1 ? x2 ? 0 ,而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) , 由 x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0 ,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以函数 f ( x ) ? x ? 1 在 ( ?? , 0) 上是减函数;
2

(2)设 x1 ? x2 ? 0 ,而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

1 x2

?

1 x1

?

x1 ? x2 x1 x2



由 x1 x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0 ,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以函数 f ( x ) ? 1 ?

1 x

在 ( ?? , 0) 上是增函数.

3.探究一次函数 y ? mx ? b ( x ? R ) 的单调性,并证明你的结论. 3.解:当 m ? 0 时,一次函数 y ? mx ? b 在 ( ??, ?? ) 上是增函数;

当 m ? 0 时,一次函数 y ? mx ? b 在 ( ??, ?? ) 上是减函数, 令 f ( x ) ? mx ? b ,设 x1 ? x2 , 而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? m ( x1 ? x2 ) , 当 m ? 0 时, m ( x1 ? x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 得一次函数 y ? mx ? b 在 ( ??, ?? ) 上是增函数; 当 m ? 0 时, m ( x1 ? x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 得一次函数 y ? mx ? b 在 ( ??, ?? ) 上是减函数. 4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢,之后随着药力的减退,心率再次 慢慢升高.画出自服药那一刻起,心率关于时间的一个可能的图象(示意图). 4.解:自服药那一刻起,心率关于时间的一个可能的图象为

5.某汽车租赁公司的月收益 y 元与每辆车的月租金 x 元间的关系为

y??
少?

x2 50

? 162 x ? 21000 ,那么,每辆车的月租金多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多

5.解:对于函数 y ? ? 当x ? ?

x2 50

? 162 x ? 21000 ,
, ? 4050 时, ymax ? 307050 (元)

162 1 2 ? (? ) 50

即每辆车的月租金为 4050 元时,租赁公司最大月收益为 307050 元. 6.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? x (1 ? x ) .画出函数 f ( x ) 的图象,并求出函数的解析式. 6.解:当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,而当 x ? 0 时, f ( x ) ? x (1 ? x ) , 即 f ( ? x ) ? ? x (1 ? x ) ,而由已知函数是奇函数,得 f ( ? x ) ? ? f ( x ) , 得 ? f ( x ) ? ? x (1 ? x ) ,即 f ( x ) ? x (1 ? x ) ,

所以函数的解析式为 f ( x ) ? ?

? x (1 ? x ), x ? 0 ? x (1 ? x ), x ? 0

.

B组
1.已知函数 f ( x ) ? x ? 2 x , g ( x ) ? x ? 2 x ( x ? [2, 4]) .
2 2

(1)求 f ( x ) , g ( x ) 的单调区间; (2)求 f ( x ) , g ( x ) 的最小值. 1.解: (1)二次函数 f ( x ) ? x ? 2 x 的对称轴为 x ? 1 ,
2

则函数 f ( x ) 的单调区间为 ( ??,1),[1, ??) , 且函数 f ( x ) 在 ( ?? ,1) 上为减函数,在 [1, ?? ) 上为增函数, 函数 g ( x ) 的单调区间为 [2, 4] , 且函数 g ( x ) 在 [2, 4] 上为增函数; (2)当 x ? 1 时, f ( x ) min ? ?1 , 因为函数 g ( x ) 在 [2, 4] 上为增函数, 所以 g ( x ) min ? g (2) ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 .
2

2.如图所示,动物园要建造一面靠墙的 2 间面积相同的矩形熊猫居室,如果可供建造围墙的材料总长是 30m ,那么宽 x (单位: m )为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大?每间熊猫居室的最大面积 是多少?

2.解:由矩形的宽为 x m ,得矩形的长为 则S ? x

30 ? 3 x 2

m ,设矩形的面积为 S ,

30 ? 3 x 2

??

3( x 2 ? 10 x ) 2
2



当 x ? 5 时, S max ? 37.5 m , 即宽 x ? 5 m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大, 且每间熊猫居室的最大面积是 18.75m^2.

3.已知函数 f ( x ) 是偶函数,而且在 (0, ?? ) 上是减函数,判断 f ( x ) 在 ( ?? , 0) 上是增函数还是减函数,并 证明你的判断. 3.判断 f ( x ) 在 ( ?? , 0) 上是增函数,证明如下: 设 x1 ? x2 ? 0 ,则 ? x1 ? ? x2 ? 0 , 因为函数 f ( x ) 在 (0, ?? ) 上是减函数,得 f ( ? x1 ) ? f ( ? x2 ) , 又因为函数 f ( x ) 是偶函数,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 所以 f ( x ) 在 ( ?? , 0) 上是增函数.

复习参考题 A组
1.用列举法表示下列集合: (1) A ? { x | x ? 9} ;
2

(2) B ? {x ? N |1 ? x ? 2} ; (3) C ? { x | x ? 3 x ? 2 ? 0} .
2

2 1.解: (1)方程 x ? 9 的解为 x1 ? ?3, x2 ? 3 ,即集合 A ? {?3, 3} ;

(2) 1 ? x ? 2 ,且 x ? N ,则 x ? 1, 2 ,即集合 B ? {1, 2} ;
2 (3)方程 x ? 3 x ? 2 ? 0 的解为 x1 ? 1, x2 ? 2 ,即集合 C ? {1, 2} .

2.设 P 表示平面内的动点,属于下列集合的点组成什么图形? (1) {P | PA ? PB} ( A, B是两个定点) ; (2) {P | PO ? 3cm} (O是定点) . 2.解: (1)由 PA ? PB ,得点 P 到线段 AB 的两个端点的距离相等, 即 {P | PA ? PB} 表示的点组成线段 AB 的垂直平分线; (2) {P | PO ? 3cm} 表示的点组成以定点 O 为圆心,半径为 3cm 的圆. 3.设平面内有 ?ABC ,且 P 表示这个平面内的动点,指出属于集合

{P | PA ? PB} ? {P | PA ? PC} 的点是什么.

3.解:集合 {P | PA ? PB} 表示的点组成线段 AB 的垂直平分线, 集合 {P | PA ? PC } 表示的点组成线段 AC 的垂直平分线, 得 {P | PA ? PB} ? {P | PA ? PC} 的点是线段 AB 的垂直平分线与线段 AC 的 垂直平分线的交点,即 ?ABC 的外心. 4.已知集合 A ? { x | x ? 1} , B ? { x | ax ? 1} .若 B ? A ,求实数 a 的值.
2

4.解:显然集合 A ? {?1,1} ,对于集合 B ? { x | ax ? 1} , 当 a ? 0 时,集合 B ? ? ,满足 B ? A ,即 a ? 0 ; 当 a ? 0 时,集合 B ? { } ,而 B ? A ,则

1 a

1 a

? ? 1 ,或

1 a

? 1,

得 a ? ?1 ,或 a ? 1 , 综上得:实数 a 的值为 ?1, 0 ,或 1 . 5.已知集合 A ? {( x, y ) | 2 x ? y ? 0} , B ? {( x, y ) | 3 x ? y ? 0} , C ? {( x, y ) | 2 x ? y ? 3} ,求 A ? B ,

A ? C , ( A ? B) ? ( B ? C ) .
5.解:集合 A ? B ? ? ( x , y ) | ?

? ?

?2 x ? y ? 0? ? ? {(0, 0)} ,即 A ? B ? {(0, 0)} ; ?3 x ? y ? 0 ? ?2 x ? y ? 0? ? ? ? ,即 A ? C ? ? ; ?2 x ? y ? 3 ?

集合 A ? C ? ? ( x , y ) | ?

? ?

集合 B ? C ? ? ( x , y ) | ?

? ?

?3 x ? y ? 0 ? 3 9 ? ? {( , ? )} ; 5 5 ? 2 x ? y ? 3?

则 ( A ? B ) ? ( B ? C ) ? {(0, 0), ( , ? )} .

3

9

5

5

6.求下列函数的定义域: (1) y ? (2) y ?

x?2? x?5 ;

x?4 | x | ?5

.

6.解: (1)要使原式有意义,则 ?

?x ? 2 ? 0 ?x ? 5 ? 0

,即 x ? 2 ,

得函数的定义域为 [2, ?? ) ;

(2)要使原式有意义,则 ?

?x ? 4 ? 0 ?| x | ? 5 ? 0

,即 x ? 4 ,且 x ? 5 ,

得函数的定义域为 [4, 5) ? (5, ?? ) . 7.已知函数 f ( x ) ?

1? x 1? x

,求: (2) f ( a ? 1)( a ? ?2) . , ,得 f ( a ) ? 1 ?

(1) f ( a ) ? 1( a ? ?1) ; 7.解: (1)因为 f ( x ) ? 所以 f ( a ) ?

1? x 1? x 1? a

1? a

1? a 1? a 2 即 f (a) ? 1 ? ; 1? a 1? x (2)因为 f ( x ) ? , 1? x 1 ? ( a ? 1) a 所以 f ( a ? 1) ? , ?? 1? a ?1 a?2 a 即 f ( a ? 1) ? ? . a?2
8.设 f ( x ) ?

?1 ?

2 1? a



1 ? x2 1 ? x2

,求证:50 (2) f ( ) ? ? f ( x ) .

(1) f ( ? x ) ? f ( x ) ;

1 x

8.证明: (1)因为 f ( x ) ?

1 ? x2 1 ? x2



所以 f ( ? x ) ?

1 ? (? x)2 1 ? (? x)2

?

1 ? x2 1 ? x2

? f ( x) ,

即 f (? x) ? f ( x) ;

(2)因为 f ( x ) ?

1 ? x2 1 ? x2



1 1 ? ( )2 2 1 x ? 1 ? x ? ? f ( x) , 所以 f ( ) ? 1 x x2 ?1 1 ? ( )2 x 1 即 f ( ) ? ? f ( x) . x
9.已知函数 f ( x ) ? 4 x ? kx ? 8 在 [5, 20] 上具有单调性,求实数 k 的取值范围.
2

9.解:该二次函数的对称轴为 x ?
2

k 8



函数 f ( x ) ? 4 x ? kx ? 8 在 [5, 20] 上具有单调性, 则

k 8

? 20 ,或

k 8

? 5 ,得 k ? 160 ,或 k ? 40 ,

即实数 k 的取值范围为 k ? 160 ,或 k ? 40 . 10.已知函数 y ? x , (1)它是奇函数还是偶函数? (2)它的图象具有怎样的对称性? (3)它在 (0, ?? ) 上是增函数还是减函数? (4)它在 ( ?? , 0) 上是增函数还是减函数? 10.解: (1)令 f ( x ) ? x ,而 f ( ? x ) ? ( ? x ) 即函数 y ? x (2)函数 y ? x (3)函数 y ? x (4)函数 y ? x
?2 ?2 ?2 ?2 ?2

? x ?2 ? f ( x ) ,

是偶函数;

的图象关于 y 轴对称; 在 (0, ?? ) 上是减函数; 在 ( ?? , 0) 上是增函数.

?2

?2

B组
1.学校举办运动会时,高一(1)班共有 28 名同学参加比赛,有 15 人参加游泳比赛,有 8 人参加田径比赛, 有 14 人参加球类比赛, 同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人, 同时参加游泳比赛和球类比赛的有 3 人, 没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? 1.解:设同时参加田径和球类比赛的有 x 人, 则 15 ? 8 ? 14 ? 3 ? 3 ? x ? 28 ,得 x ? 3 , 只参加游泳一项比赛的有 15 ? 3 ? 3 ? 9 (人) , 即同时参加田径和球类比赛的有 3 人,只参加游泳一项比赛的有 9 人. 2.已知非空集合 A ? { x ? R | x ? a} ,试求实数 a 的取值范围.
2

2.解:因为集合 A ? ? ,且 x ? 0 ,所以 a ? 0 .
2

3.设全集 U ? {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9} , ?U ( A ? B ) ? {1, 3} , A ? (?U B ) ? {2, 4} ,求集合 B . 3.解:由 ?U ( A ? B ) ? {1, 3} ,得 A ? B ? {2, 4, 5, 6, 7,8, 9} , 集合 A ? B 里除去 A ? (?U B ) ,得集合 B ,

所以集合 B ? {5, 6, 7,8, 9} . 4.已知函数 f ( x ) ? ?

? x ( x ? 4), x ? 0 ? x ( x ? 4), x ? 0

.求 f (1) , f ( ?3) , f ( a ? 1) 的值.

4.解:当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ( x ? 4) ,得 f (1) ? 1? (1 ? 4) ? 5 ; 当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ( x ? 4) ,得 f ( ?3) ? ?3 ? ( ?3 ? 4) ? 21 ;

? ( a ? 1)( a ? 5), a ? ?1 f ( a ? 1) ? ? . ? ( a ? 1)( a ? 3), a ? ? 1
5.证明: (1)若 f ( x ) ? ax ? b ,则 f (
2

x1 ? x2 2

)?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) )?

; .

(2)若 g ( x ) ? x ? ax ? b ,则 g (

x1 ? x2 2

2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 2 )?a ? a

5.证明: (1)因为 f ( x ) ? ax ? b ,得 f (

x1 ? x2

x1 ? x2 2

f ( x1 ) ? f ( x2 )

2 2 2 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以 f ( ; )? 2 2
(2)因为 g ( x ) ? x ? ax ? b ,
2

?

2 ax1 ? b ? ax2 ? b

?b ?

a 2

( x1 ? x2 ) ? b ,

( x1 ? x2 ) ? b ,

)?b, 2 4 2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 1 ? [( x12 ? ax1 ? b ) ? ( x2 2 ? ax2 ? b )] 2 2 x ? x2 1 ? ( x12 ? x2 2 ) ? a ( 1 )?b , 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 因为 ( x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ? ( x1 ? x2 ) ? 0 , 4 2 4 1 2 1 2 2 2 即 ( x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ) ? ( x1 ? x2 ) , 4 2 x1 ? x2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 所以 g ( . )? 2 2
得 g( 6.(1)已知奇函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上是减函数,试问:它在 [ ?b, ? a ] 上是增函数还是减函数? (2)已知偶函数 g ( x ) 在 [ a , b ] 上是增函数,试问:它在 [ ?b, ? a ] 上是增函数还是减函数? 6.解: (1)函数 f ( x ) 在 [ ?b, ? a ] 上也是减函数,证明如下: 设 ?b ? x1 ? x2 ? ? a ,则 a ? ? x2 ? ? x1 ? b ,

x1 ? x2

)?

1

( x12 ? x2 2 ? 2 x1 x2 ) ? a (

x1 ? x2

因为函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上是减函数,则 f ( ? x2 ) ? f ( ? x1 ) , 又因为函数 f ( x ) 是奇函数,则 ? f ( x2 ) ? ? f ( x1 ) ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 所以函数 f ( x ) 在 [ ?b, ? a ] 上也是减函数; (2)函数 g ( x ) 在 [ ?b, ? a ] 上是减函数,证明如下: 设 ?b ? x1 ? x2 ? ? a ,则 a ? ? x2 ? ? x1 ? b , 因 为 函 数 g ( x) 在 [ a , b ] 上 是 增 函 数 , 则 全月应纳税所得额 不超过 500 元的部分 税率 ( 0 0 )

g ( ? x2 ) ? g ( ? x1 ) ,
又因为函数 g ( x ) 是偶函数,则 g ( x2 ) ? g ( x1 ) ,即

5 超过 500 元至 2000 元的部分 10 超过 2000 元至 5000 元的部分 15

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,

所以函数 g ( x ) 在 [ ?b, ? a ] 上是减函数. 7.《中华人民共和国个人所得税》规定,公民全月工资、薪金所得不超过 2000 元的部分 不必纳税,超过 2000 元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算: 某人一月份应交纳此项税款为 26.78 元,那么他当月的工资、薪金所得是多少?

7.解:设某人的全月工资、薪金所得为 x 元,应纳此项税款为 y 元,则

? 0, 0 ? x ? 2000 ? ( x ? 2000) ? 5%, 2000 ? x ? 2500 ? y?? ? 25 ? ( x ? 2500) ? 10%, 2500 ? x ? 4000 ?175 ? ( x ? 4000) ? 15%, 4000 ? x ? 5000 ?
由该人一月份应交纳此项税款为 26.78 元,得 2500 ? x ? 4000 ,

25 ? ( x ? 2500) ? 10% ? 26.78 ,得 x ? 2517.8 ,
所以该人当月的工资、薪金所得是 2517.8 元.

第三章

函数的应用

3.1 函数与方程
练习(P88)

1.(1)令 f(x)=-x2+3x+5,作出函数 f(x)的图象(图 3-1-2-7(1)),它与 x 轴有两个交点, 所以方程-x2+3x+5=0 有两个不相等的实数根. (2)2x(x-2)=-3 可化为 2x2-4x+3=0,令 f(x)=2x2-4x+3, 作出函数 f(x)的图象(图 3-1-2-7(2)),它与 x 轴没有交点,所以方程 2x(x-2)=-3 无实数根. (3)x2=4x-4 可化为 x2-4x+4=0,令 f(x)=x2-4x+4,作出函数 f(x)的图象(图 3-1-2-7(3)), 它与 x 轴只有一个交点(相切),所以方程 x2=4x-4 有两个相等的实数根. (4)5x2+2x=3x2+5 可化为 2x2+2x-5=0,令 f(x)=2x2+2x-5,作出函数 f(x)的图象(图 3-1-2-7(4)), 它与 x 轴有两个交点,所以方程 5x2+2x=3x2+5 有两个不相等的实数根.

图 3-1-2-7 2.(1)作出函数图象(图 3-1-2-8(1)),因为 f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0, 所以 f(x)=-x3-3x+5 在区间(1,1.5)上有一个零点. 又因为 f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,所以 f(x)=-x3-3x+5 在区间(1,1.5)上有且只有一个零点. (2)作出函数图象(图 3-1-2-8(2)),因为 f(3)<0,f(4)>0, 所以 f(x)=2x· ln(x-2)-3 在区间(3,4)上有一个零点. 又因为 f(x)=2x· ln(x-2)-3 在(2,+∞)上是增函数,所以 f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点. (3)作出函数图象(图 3-1-2-8(3)),因为 f(0)<0,f(1)>0, 所以 f(x)=ex-1+4x-4 在区间(0,1)上有一个零点. 又因为 f(x)=ex-1+4x-4 在(-∞,+∞)上是增函数,所以 f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点. (4)作出函数图象(图 3-1-2-8(4)),因为 f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0, 所以 f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x 在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.

图 3-1-2-8

练习(P91)
1.由题设可知 f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,于是 f(0)· f(1)<0, 所以函数 f(x)在区间(0,1)内有一个零点 x0. 下面用二分法求函数 f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4 在区间(0,1)内的零点. 取区间(0,1)的中点 x1=0.5,用计算器可算得 f(0.5)=-0.55. 因为 f(0.5)· f(1)<0,所以 x0∈(0.5,1). 再取区间(0.5,1)的中点 x2=0.75,用计算器可算得 f(0.75)≈0.32. 因为 f(0.5)· f(0.75)<0,所以 x0∈(0.5,0.75). 同理,可得 x0∈(0.625,0.75),x0∈(0.625,0.687 5),x0∈(0.656 25,0.687 5). 由于|0.687 5-0.656 25|=0.031 25<0.1, 所以原方程的近似解可取为 0.656 25. 2.原方程可化为 x+lgx-3=0,令 f(x)=x+lgx-3,用计算器可算得 f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48. 于是 f(2)· f(3)<0,所以这个方程在区间(2,3)内有一个解 x0. 下面用二分法求方程 x=3-lgx 在区间(2,3)的近似解. 取区间(2,3)的中点 x1=2.5,用计算器可算得 f(2.5)≈-0.10. 因为 f(2.5)· f(3)<0,所以 x0∈(2.5,3). 再取区间(2.5,3)的中点 x2=2.75,用计算器可算得 f(2.75)≈0.19. 因为 f(2.5)· f(2.75)<0,所以 x0∈(2.5,2.75). 同理,可得 x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.562 5,2.625),x0∈(2.562 5,2.593 75), x0∈(2.578 125,2.593 75),x0∈(2.585 937 5,2.59 375). 由于|2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 5<0.01, 所以原方程的近似解可取为 2.593 75.

习题 3.1

A 组(P92)

1.A,C 点评:需了解二分法求函数的近似零点的条件. 2.由 x,f(x)的对应值表可得 f(2)· f(3)<0,f(3)· f(4)<0,f(4)· f(5)<0, 又根据“如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线, 并且 f(a)· f(b)<0,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点.” 可知函数 f(x)分别在区间(2,3),(3,4),(4,5)内有零点.

3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令 f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1, 可算得 f(-1)=-1,f(0)=5.于是 f(-1)· f(0)<0,所以这个方程在区间(-1,0)内有一个解. 下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1 在区间(-1,0)内的近似解. 取区间(-1,0)的中点 x1=-0.5,用计算器可算得 f(-0.5)=3.375. 因为 f(-1)· f(-0.5)<0,所以 x0∈(-1,-0.5). 再取(-1,-0.5)的中点 x2=-0.75,用计算器可算得 f(-0.75)≈1.58. 因为 f(-1)· f(-0.75)<0,所以 x0∈(-1,-0.75). 同理,可得 x0∈(-1,-0.875),x0∈(-0.937 5,-0.875). 由于|(-0.875)-(-0.937 5)|=0.062 5<0.1, 所以原方程的近似解可取为-0.937 5. 4.原方程即 0.8x-1-lnx=0,令 f(x)=0.8x-1-lnx,f(0)没有意义, 用计算器算得 f(0.5)≈0.59,f(1)=-0.2.于是 f(0.5)· f(1)<0, 所以这个方程在区间(0.5,1)内有一个解. 下面用二分法求方程 0.8x-1=lnx 在区间(0,1)内的近似解. 取区间(0.5,1)的中点 x1=0.75,用计算器可算得 f(0.75)≈0.13. 因为 f(0.75)· f(1)<0,所以 x0∈(0.75,1). 再取(0.75,1)的中点 x2=0.875,用计算器可算得 f(0.875)≈-0.04. 因为 f(0.875)· f(0.75)<0,所以 x0∈(0.75,0.875). 同理,可得 x0∈(0.812 5,0.875),x0∈(0.812 5,0.843 75). 由于|0.812 5-0.843 75|=0.031 25<0.1, 所以原方程的近似解可取为 0.843 75. 5.由题设有 f(2)≈-0.31<0,f(3)≈0.43>0,于是 f(2)· f(3)<0, 所以函数 f(x)在区间(2,3)内有一个零点. 下面用二分法求函数 f(x)=lnx ?

2 x

在区间(2,3)内的近似解.

取区间(2,3)的中点 x1=2.5,用计算器可算得 f(2.5)≈0.12. 因为 f(2)· f(2.5)<0,所以 x0∈(2,2.5). 再取(2,2.5)的中点 x2=2.25,用计算器可算得 f(2.25)≈-0.08. 因为 f(2.25)· f(2.5)<0,所以 x0∈(2.25,2.5). 同理,可得 x0∈(2.25,2.375),x0∈(2.312 5,2.375),x0∈(2.343 75,2.375), x0∈(2.343 75,2.359 375),x0∈(2.343 75,2.351 562 5),x0∈(2.343 75,2.347 656 25). 由于|2.343 75-2.347 656 25|=0.003 906 25<0.01, 所以原方程的近似解可取为 2.347 656 25.

B组
1.将系数代入求根公式 x=

?b ? b 2 ? 4 ac 2a
17 4

,得 x=

3 ? ( ?3) 2 ? 4 ? 2 ? ( ?1) 2 2? 2

=3?
4

17

,

所以方程的两个解分别为 x1= 3 ?

,x2= 3 ? 17 .
4

下面用二分法求方程的近似解. 取区间(1.775,1.8)和(-0.3,-0.275),令 f(x)=2x2-3x-1. 在区间(1.775,1.8)内用计算器可算得 f(1.775)=-0.023 75,f(1.8)=0.08. 于是 f(1.775)· f(1.8)<0. 所以这个方程在区间(1.775,1.8)内有一个解.

由于|1.8-1.775|=0.025<0.1, 所以原方程在区间(1.775,1.8)内的近似解可取为 1.8. 同理,可得方程在区间(-0.3,-0.275)内的近似解可取为-0.275. 所以方程精确到 0.1 的近似解分别是 1.8 和-0.3. 2.原方程即 x3-6x2-3x+5=0,令 f(x)=x3-6x2-3x+5,函数图象如下图所示.

图 3-1-2-9 所以这个方程在区间(-2,0),(0,1),(6,7)内各有一个解. 取区间(-2,0)的中点 x1=-1,用计算器可算得 f(-1)=1. 因为 f(-2)· f(-1)<0,所以 x0∈(-2,-1). 再取(-2,-1)的中点 x2=-1.5,用计算器可算得 f(-1.5)=-7.375. 因为 f(-1.5)· f(-1)<0,所以 x0∈(-1.5,-1). 同理,可得 x0∈(-1.25,-1),x0∈(-1.125,-1),x0∈(-1.125,-1.062 5). 由于|(-1.062 5)-(-1.125)|=0.062 5<0.1, 所以原方程在区间(-2,0)内的近似解可取为-1.062 5. 同理,可得原方程在区间(0,1)内的近似解可取为 0.7,在区间(6,7)内的近似解可取为 6.3. 3.(1)由题设有 g(x)=2-[f(x)]2=2-(x2+3x+2)2=-x4-6x3-13x2-12x-2. (2)函数图象如下图所示.

图 3-1-2-10 (3)由图象可知,函数 g(x)分别在区间(-3,-2)和区间(-1,0)内各有一个零点. 取区间(-3,-2)的中点 x1=-2.5,用计算器可算得 g(-2.5)=0.187 5. 因为 g(-3)· g(-2.5)<0,所以 x0∈(-3,-2.5). 再取(-3,-2.5)的中点 x2=-2.75,用计算器可算得 g(-2.75)≈0.28. 因为 g(-3)· g(-2.75)<0,所以 x0∈(-3,-2.75). 同理,可得 x0∈(-2.875,-2.75),x0∈(-2.812 5,-2.75). 由于|-2.75-(-2.812 5)|=0.062 5<0.1, 所以原方程在区间(-3,-2)内的近似解可取为-2.812 5. 同样可求得函数在区间(-1,0)内的零点约为-0.2. 所以函数 g(x)精确到 0.1 的零点约为-2.8 或-0.2. 点评:第 2、3 题采用信息技术画出函数图象,并据此明确函数零点所在的区间.在教学中,如果没有信息技术

条件,建议教师直接给出函数图象或零点所在区间.

第三章 复习参考题 A 组(P112)
1.C 2.C 3.设经过时间 t 后列车离 C 地的距离为 y,则 y= ? 4.(1)圆柱形; (3)上底大、下底小的圆台形;

? 200 ? 100t , 0 ? t ? 2, ?100t ? 200, 2 ? t ? 5.

图 3-2

(2)上底小、下底大的圆台形; (4)呈下大上小的两节圆柱形.

图略.

图 3-3 5.令 f(x)=2x -4x -3x+1,函数图象如图 3-3 所示: 函数分别在区间(-1,0)、(0,1)和区间(2,3)内各有一个零点, 所以方程 2x3-4x2-3x+1=0 的最大的根应在区间(2,3)内. 取区间(2,3)的中点 x1=2.5,用计算器可算得 f(2.5)=-0.25.因为 f(2.5)· f(3)<0,所以 x0∈(2.5,3). 再取(2.5,3)的中点 x2=2.75,用计算器可算得 f(2.75)≈4.09. 因为 f(2.5)· f(2.75)<0,所以 x0∈(2.5,2.75). 同理,可得 x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.5,2.5625),x0∈(2.5,2.53125), x0∈(2.515625,2.53125),x0∈(2.515625,2.5234375). 由于|2.523 437 5-2.515 625|=0.007 812 5<0.01, 所以原方程的最大根约为 2.523 437 5. 6.令 lgx=
3 2

1 x

,即得方程 lgx ?

1 x

=0,再令 g(x)=lgx ?

1 x

,用二分法求得交点的横坐标约为 2.5.

图 3-4 7.如图,作 DE⊥AB,垂足为 E.由已知可得∠ADB=90° . 因为 AD=x,AB=4,于是 AD2=AE× AB,即 AE=

AD 2 AB

=

x2 4

.

所以 CD=AB-2AE=4-2×

x2 4

=4 ?

x2 2

.

于是 y=AB+BC+CD+AD=4+x+4 ?

x2 2 x2 4

+x= ?

x2 2 x2 2

+2x+8.

由于 AD>0,AE>0,CD>0,所以 x>0,

>0,4 ?

>0,解得 0<x<2 2 .

所以所求的函数为 y= ?

x2 2

+2x+8,0<x<2 2 .

8.(1)由已知可得 N=N0(

1 e
?

)t.因为 λ 是正常数,e>1,所以 eλ>1,即 0<

1 e?

<1.

又 N0 是正常数,所以 N=N0( (2)N=N0e-λt,因为 e-λt=

1 e
?

)t 是在于 t 的减函数.

N N0

,所以-λt=ln

N N0

,即 t= ?

1

?

ln

N N0

.

(3)当 N=

N0 2

时,t= ?

1 N0 1 = ? ln2. ? 2N 0 ?

9.因为 f(1)=-3+12+8=17>0,f(2)=-3× 8+12× 2+8=8>0,f(3)<0,所以,下次生产应在两个月后开始.

B组
1.厂商希望的是甲曲线;客户希望的是乙曲线.

? 3 2 t , 0 ? t ? 1, ? ? 2 ? 3 ? 2.函数的解析式为 y=f(t)= ? ? (t ? 2) 2 ? 3, 1 ? t ? 2, ? 2 ? 3, t ? 2. ? ? ?
函数的图象为

图 3-5

备课资料 [备选例题] 【例】对于函数 f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(a≠0),若存在实数 x0,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x)的不动点. (1)当 a=2,b=-2 时,求 f(x)的不动点;

(2)若对于任何实数 b,函数 f(x)恒有两个相异的不动点,求实数 a 的取值范围. 解:(1)f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(a≠0),当 a=2,b=-2 时,f(x)=2x2-x-4, 设 x 为其不动点,即 2x2-x-4=x,则 2x2-2x-4=0,解得 x1=-1,x2=2,即 f(x)的不动点为-1,2. (2)由 f(x)=x,得 ax2+bx+b-2=0.关于 x 的方程有相异实根,则 b2-4a(b-2)>0,即 b2-4ab+8a>0. 又对所有的 b∈R,b2-4ab+8a>0 恒成立,故有(4a)2-4· 8a<0,得 0<a<2.


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