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空间向量法解决立体几何问题(学生版)


空间向量法解决立体几何问题

? 空间直角坐标系
(1)定义:如图, OBCD ? D, A, B,C , 是单位正方体.以 A 为原点,分别以 OD,O A , ,OB 的方向为正方向,建立三 条数轴 x轴.y轴.z轴 。这时建立了一个空间直角坐标系 O-xyz. 1)O 叫做坐标原点 2)x 轴,y 轴,z 轴叫做坐标轴. 3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。 (2)右手表示法: 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形成的位置。大拇指指向为 x 轴正方向,食指 指向为 y 轴正向,中指指向则为 z 轴正向,这样也可以决定三轴间的相位置。 (3)任意点坐标表示:空间一点 M 的坐标可以用有序实数组 ( x, y , z ) 来表示,有序实数组 ( x, y , z ) 叫做点 M 在此 空间直角坐标系中的坐标,记作 M ( x, y, z ) (x 叫做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标) (4)空间两点距离坐标公式: d ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2

一、引入两个重要空间向量 1、直线的方向向量; 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中, 由 A( x1 , y1 , z1 ) 与 B( x2 , y2 , z2 ) 确定的直线 AB 的方向向量是 AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1 )

2、平面的法向量。
1

如果表示向量 n 的有向线段所在的直线垂直于平面α ,称这个向量垂直于平面α ,记作 n ⊥α ,这 时向量 n 叫做平面α 的法向量.

? 在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢? 如图,设 a ? ( x1, y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) 是平面α 内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直 的判定定理知,若 n ⊥ a 且 n ⊥ b ,则 n ⊥α .换句话说,若 n · a = 0 且 n · b = 0,则 n ⊥ α . ? 求平面的法向量的坐标的步骤: ?第一步(设):设出平面法向量的坐标为 n =(x,y,z).

? x x ? y1y ? z1 z ? 0 ?第二步(列):根据 n · a = 0 且 n · b = 0 可列出方程组 ? 1 ? x2 x ? y 2 y ? z2 z ? 0
?第三步(解):把 z 看作常数,用 z 表示 x、y. ?第四步(取):取 z 为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量 n 的坐标. 【例题讲解】? ?例 1 在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,O 是面 AC 的中心,求平面 OA1D1 的法向量.

? 二、常见立体几何问题的类型及解法 1、判断直线、平面间的位置关系;
2

(1)直线与直线的位置关系; 不重合的两条直线 a,b 的方向向量分别为 a , b . ①若 a ∥ b ,即 a =λ b ,则 a ∥ b . ②若 a ⊥ b ,即 a · b = 0,则 a ⊥ b

(2)直线与平面的位置关系; 直线 L 的方向向量为 a ,平面α 的法向量为 n ,且 L ? α . ?①若 a ∥ n ,即 a =λ n ,则 L⊥α ?②若 a ⊥n,即 a · n = 0,则 a ∥α .

(3)平面与平面的位置关系; 平面α 的法向量为 n1 ,平面β 的法向量为 n2 ? ?①若 n1 ∥ n2 ,即 n1 =λ n2 ,则α ∥β ?②若 n1 ⊥ n2 ,即 n1 · n2 = 0,则α ⊥β

【例题讲解】
3

例 2 已知平行六面体 ABCD ? A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ , 求证: CC1⊥BD

?例 3 棱长都等于 2 的正三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,D,E 分别是 AC,CC1 的中点,求证: ? (I)A1E⊥平面 DBC1; ? (II)AB1∥平面 DBC1 A1

4

例 4 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CD 的中点,求证:面 AED⊥面 A1FD

2、求解空间中的角度; (1)异面直线之间的夹角 利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,而是求出两条异面直线 的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们一般仅取锐角或直角就可以. (2)直线与与平面所成的角 ?若 n 是平面α 的法向量, a 是直线 L 的方向向量,则 L 与α 所成的角 ? ? 或 ? ? a, n ?

?
2

? a, n

?
2
a?n an
a?n an

则 sin ? ? cos a, n ?

,故 ? ? arcsin

5

(3)二面角 ?设 n1 , n2 分别是二面角两个半平面α 、β 的法向量,由几何知识可知,二面角α -L-β 的大 小与法向量 n1 , n2 夹角相等(选取法向量竖坐标 z 同号时相等)或互补(选取法向量竖坐 标 z 异号时互补) ,于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角,这样可避免 了二面角的平面角的作图麻烦.

?

【例题讲解】
(1)求异面直线所成的角

例 5 如图在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,M 是 AB 的中点,则对角线 DB1 与 CM 所成角的余弦 值为_____.

【练习】已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的所有棱长都是 1,且∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60° ,E、F 分别 为 A1B1 与 BB1 的中点,求异面直线 BE 与 CF 所成角的余弦值.

6

【变式】正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 A1D1、A1C1 的中点. 求:异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值.

(2)求线面角 例 6 正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面边长为 a,高为 2a ,求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角

【反思】充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系,再用向量有关知识求解线面角.或 者先求平面法向量与斜线夹角,再进行换算.
【变式】如图所示,已知直角梯形 ABCD,其中 AB=BC=2AD,AS⊥平面 ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,且 AS=AB.求直线 SC 与底面 ABCD 的夹角 θ 的余弦

(3)求二面角 例 7 在四棱锥 S-ABCD 中∠DAB=∠ABC=90°,侧棱 SA⊥底面 AC,SA=AB=BC=1,AD=2,
7

求二面角 A-SD-C 的大小.

【练习】在棱长为 1 的正方体 AC1 中,求平面 C1BD 与底面 ABCD 所成二面角 C1 ? BD ? C 的平面角正弦值
D1 A1 B1 C1

D
O

C

A

B

【反思】几何法求二面角,往往需要作出平面角,这是几何中一大难点,而用向量法求解二面角无需作出二面角 的平面角,只需求出平面的法向量,经过简单运算即可。 【变式】若 PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC= 2,求二面角 A—PB—C 的余弦值.

【巩固提升】
1、若两个平面 α,β 的法向量分别是 n=(1,0,1),ν=(-1,1,0).则这两个平面所成的锐二面角的度数是________.
8

2、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为侧面 BCC1B1 的中心,则 AO 与平面 ABCD 所成角的正弦值为

____

3、如图,已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BC 和 A1D1 的中点. D1 F (1)直线 CA1 与 DE 所成的角的余弦值为 ; (2)直线 AD 与平面 B1EF 所成角正弦值为 ; A1 B1

C1

D E A B

C

4、如图,甲站在水库底面上的点 A 处,乙站在水坝斜面上的点 B 处,从 A、B 到直线 l (库底与水坝的交线)的距 离 AC 和 BD 分别为 a 和 b,CD 的长为 c,AB 的长为 d,求库底与水坝所成二面角的余弦值.

?
C

B D

?A

5、已知正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 2 ,AF=1,M 是线段 EF 的中点. (1)求直线 DF 与平面 ACEF 所成的角 (2)求二面角 F—DB—A 的大小; (3)试在线段 AC 上确定一点 P,使得 PF 与 BC 所成角是 60o. E M F C B

D

3、求解空间中的距离。 (1)异面直线间的距离
9

A

? 两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接计算. ? 如图,设两条异面直线 a、b 的公垂线的方向向量为 n , 这时分别在 a、b 上任取 A、B 两点,则向 量 AB 在 n 上的正射影长就是两条异面直线 a、b 的距离. ? ∴ d ? AB ?

n n

?

AB ? n n

? 即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方 向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.

(2)点到平面的距离 ? A 为平面α 外一点(如图), n 为平面α 的法向量,过 A 作平面α 的斜线 AB 及垂线 AH.

AH ? AB ? sin ? ? AB ? cos AB, n ? AB ? AB ? n n AB ? n AB ? n

?

?

?即点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量 模的比值. 【例题讲解】 例 8 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,求异面直线 AC1 与 BD 间的距离.

例 9 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AA1= 2 ,AC=BC=1,∠ACB=90°,求 B1 到面 A1BC 的距离.
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【会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求.】 【例题讲解】 ?例 10 四棱锥 P-ABCD 的底面 ACBD 是菱形,AB= 4, ∠ABC=60°, 侧棱 PA⊥底面 AC 且 PA=4,E 是 PA 的中点,求 PC 与平面 PED 间的距离.

? 小结:空间向量理论引入立体几何中,通常涉及到夹角、行、垂直、距离等问题,其方法是不 必添加繁杂的辅助线,只要建立适当的空间直角坐标系,写出相关点的坐标,利用向量运算解
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决立体几何问题 。这样使问题坐标化、符号化、数量化,从而将推理问题完全转化为代数运 算,降低了思维难度,这正是在立体几何中引进空间向量的独到之处。

立体几何中的向量方法(求角)
【学习目标】1、掌握用向量方法求解直线与直线、直线与平面、平面与平面夹角问题;
2、体会化归思想和类比思想.

一、导学部分
1. 异面直线成的角:过空间任意一点引两条直线分别 面直线所成的角。范围: 2. 线面角:斜线和它在平面内的 于平面,成角 ;直线平行于平面成角 。 所成的角叫做斜线和平面所成的角,范围是 . , 特别地,直线垂直 两条异面直线,它们所成的最小角就是异

3. 二面角的平面角:在二面角α -l-β 的棱上任取一点 O,在两个半平面内分别作射线 则∠AOB 叫做二面角的平面角.。范围:

a O B θ A b’ a’ b

P O θ A B

A θ B

C 4.自学检测:如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 2; 1)直线 AC 与直线 A1B 所成角的大小 ; ; B1 C
1

D A D1 A
1

B

2)直线 A1B 与平面 A1B1C1D1 所成角的大小为

二、合作探究:
(1).异面直线所成的角 ? (2)直线与平面所成的角 ?

cos? ? cos?CD, AB? sin ? ? cos? n, AB?

? ? ________ ? ? ________

?? ? ??? ? (3)二面角 ? ? [0, ] cos ? ? cos?U1 , U 2 ? ; ? ? ( , ? ] 2 2
三、课堂小结 |a· b| 1、两条异面直线所成角的求法:cosθ=|cosφ|= . |a|· |b| 2.直线与平面所成角的求法 sinθ=|cosφ|= |a· u| 或 cosθ=sinφ. |a||u|

?

?? ? ??? cos ? ? ? cos?U1 ,U 2 ?

3.二面角的求法:设 U1、U2 是二面角 α—l—β 的两个面 α、β 的法向量,则向量 U1 与 U2 的夹角(或其补角)就是 二面角的平面角的大小.

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