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云南省玉溪一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


云南省玉溪一中 2014-2015 学年高一上学期期中数学试卷
一、选择题: (本大题共 12 个小题.每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ) 1. (5 分)集合 A={0,2,a},B={1,a },若 A∪B={0,1,2,4,16},则 a 的值为() A.0 B. 1 C. 2 D.4 2. (5 分)若集合

A= 结论正确的是() A.A∩B={﹣1,1} B.(CUA)∪B=[﹣1,1] D.(CUA)∩B=[﹣2,2] C. A∪B=(﹣2,2) ,B={﹣2,﹣1,1,2},全集 U=R,则下列
2

3. (5 分)已知镭经过 100 年,剩留原来质量的 95.76%,设质量为 1 的镭经过 x 年的剩留量 为 y,则 y 与 x 的函数关系是() A.y=(0.9576) C. y=( )
x

B. y=(0.9576)

100x

D.y=1﹣(0.0424)

4. (5 分)函数 f(x)=e +x﹣2 的零点所在的一个区间是() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1)
x

x

D.(1,2)

5. (5 分)已知函数 y=g(x)的图象与函数 y=3 的图象关于直线 y=x 对称,则 g(2)的值为 () A.9 B. C. D.log32 6. (5 分)三个数 A. C. ,log0.23,lnπ 的大小关系为() B. D.

7. (5 分)若 lga,lgb 是方程 2x ﹣4x+1=0 两个根,则(lg ) 值等于() A.2 B. C. 4 D.

2

2

8. (5 分)函数 y=a ﹣ (a>0,a≠1)的图象可能是()

x

A.

B.

C.

D.

9. (5 分)设函数

,则实数 a 的取值范

围是() A.(﹣∞,﹣3) +∞)

B.(1,+∞)

C.(﹣3,1)

D.(﹣∞,﹣3)∪(1,

10. (5 分)已知函数 f(x)=3 +x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x 的零点依次是 a,b,c, 则 a,b,c,的大小关系是() A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<a<c 11. (5 分)方程 log2x+log2(x﹣1)=1 的解集为 M,方程 2 M 与 N 的关系是() A.M=N B.M?N C.N?M
2x+1

x

﹣9?2 +4=0 的解集为 N,那么 D.M∩N=φ

x

12. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递增.若实数 a 满足 f(log2a)+f(log A.[1,2] a)≤2f(1) ,则 a 的取值范围是() B. C. D.(0,2]

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分.共 20 分) 13. (5 分)幂函数 y=f(x)的图象经过点(﹣2, ) ,则满足 f(x)=27 的 x 的值是.

14. (5 分)函数 f(x)=

,x∈[0,3]的最大值为.

15. (5 分)函数 f(x)=

+

的定义域是.

16. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x) .若当 0≤x≤1 时.f(x)=x(1﹣x) , 则当﹣1≤x≤0 时,f(x)=.

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)已知函数 f (x)= 的定义域集合是 A,函数 g(x)=lg[x ﹣(2a+1)x+a +a]
2 2

的定义域集合是 B. (1)求集合 A,B. (2)若 A∪B=B,求实数 a 的取值范围. 18. (12 分)某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每 毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t) ; (2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时,治疗疾病有效.求服药一次治 疗疾病有效的时间?

19. (12 分)计算: (1)

(2)



20. (12 分)已知二次函数 f(x)=x ﹣2ax+4,求下列条件下,实数 a 的取值范围. (1)零点均大于 1; (2)一个零点大于 1,一个零点小于 1; (3)一个零点在(0,1)内,另一个零点在(6,8)内. 21. (12 分)定义在 R 上的偶函数 y=f(x)在(﹣∞,0]上递增,函数 y=f(x)的一个零点为 ﹣ .求满足 的 x 的取值集合.

2

22. (12 分)已知 f(x)=(x+1)?|x﹣1|,若关于 x 的方程 f(x)=x+m 有三个不同的实数解, 求实数 m 的取值范围?

云南省玉溪一中 2014-2015 学年高一上学期期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 个小题.每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ) 2 1. (5 分)集合 A={0,2,a},B={1,a },若 A∪B={0,1,2,4,16},则 a 的值为() A.0 B. 1 C. 2 D.4 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据题意,由并集的计算方法,结合 a 与 a 的关系,易得 解答: 解:∵A={0,2,a},B={1,a },A∪B={0,1,2,4,16} ∴ ∴a=4, 故选 D. 点评: 本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题 属于容易题.
2 2

,即可得答案.

2. (5 分)若集合 A= 结论正确的是()

,B={﹣2,﹣1,1,2},全集 U=R,则下列

A.A∩B={﹣1,1} B.(CUA)∪B=[﹣1,1] D.(CUA)∩B=[﹣2,2] 考点: 对数函数的值域与最值;交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 先将 A 化简.再利用集合的运算对各选项逐一化简检验. 解答: 解:集合 =[﹣1,1],

C. A∪B=(﹣2,2)

B={﹣2,﹣1,1,2}, 所以 A∩B={﹣1,1},A 正确. B. (CUA)=(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) , (CUA)∪B=)=(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞) ,错误 C.A∪B=[﹣1,1]∪{2}∪(﹣2},错误 D(CUA)∩B={﹣2,2}.错误 故选 A 点评: 本题考查集合的交、并、补集的混合运算,是基础题. 3. (5 分)已知镭经过 100 年,剩留原来质量的 95.76%,设质量为 1 的镭经过 x 年的剩留量 为 y,则 y 与 x 的函数关系是() A.y=(0.9576) B. y=(0.9576)
100x

C. y=(



x

D.y=1﹣(0.0424)

考点: 等比数列的通项公式. 专题: 应用题. 分析: 设衰变率为 a,可以得到(1﹣a)
100

=0.9576,进而解出 1﹣a=0.9576

,最后得到

x、y 之间的函数关系式. 100 解答: 解:设衰变率为 a,则(1﹣a) =0.9576, 得 1﹣a=0.9576 则 y=0.9576 , ,

故选:A. 点评: 本题主要考查求指数函数解析式的问题,比较基础. 4. (5 分)函数 f(x)=e +x﹣2 的零点所在的一个区间是() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1)
x

D.(1,2)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 将选项中各区间两端点值代入 f(x) ,满足 f(a)?f(b)<0(a,b 为区间两端点) 的为答案. 解答: 解:因为 f(0)=﹣1<0,f(1)=e﹣1>0,所以零点在区间(0,1)上, 故选 C. 点评: 本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题.函数零点附近函数值 的符号相反,这类选择题通常采用代入排除的方法求解. 5. (5 分)已知函数 y=g(x)的图象与函数 y=3 的图象关于直线 y=x 对称,则 g(2)的值为 () A.9 B. C. D.log32 考点: 反函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 反函数只在课本指对函数中介绍,并且说明指对函数互为反函数、图象关于直线 y=x 对称,因此可以求出 y=g(x)的解析式,将 x=2 代入即可. x 解答: 解:因为函数 y=g(x)的图象与函数 y=3 的图象关于直线 y=x 对称, 所以 g(x)=log3x,故 g(2)=log32, 故选 D. 点评: 本题考察反函数的概念,对于反函数只掌握指对函数互为反函数并且互为反函数的 图象关于直线 y=x 对称就可以了.
x

6. (5 分)三个数

,log0.23,lnπ 的大小关系为()

A. C.

B. D.

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数, 对数函数和幂函数的性质求出 a, b, c 的取值范围即可确定中间的数. 解答: 解:∵0< 故 log0.23< <lnπ. <1,log0.23<0,lnπ>1,

故选:A. 点评: 本题主要考查函数值的大小比较,利用指数函数,对数函数和幂函数的性质确定 a, b,c 的取值范围是解决本题的关键. 7. (5 分)若 lga,lgb 是方程 2x ﹣4x+1=0 两个根,则(lg ) 值等于() A.2 B. C. 4 D.
2 2

考点: 函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据一元二次方程的根与系数的关系得:lga+lgb=2, (lga)?(lgb)= ,再利用对数 的运算性质对(lg ) 化简求值. 解答: 解:∵lga,lgb 是方程 2x ﹣4x+1=0 两个根, ∴lga+lgb=2, (lga)?(lgb)= , 则(lg ) =(lga﹣lgb) =(lga+lgb) ﹣4(lga)?(lgb) =4﹣4× =2, 故选:A. 点评: 本题考查对数的运算性质,求解的关键是熟练掌握对数的运算性质,以及一元二次 方程的根与系数的关系.
x 2 2 2 2 2

8. (5 分)函数 y=a ﹣ (a>0,a≠1)的图象可能是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 讨论 a 与 1 的大小,根据函数的单调性,以及函数恒过的定点进行判定即可. 解答: 解:函数 y=a ﹣ (a>0,a≠1)的图象可以看成把函数 y=a 的图象向下平移 个单 位得到的. 当 a>1 时,函数 y=a ﹣ 在 R 上是增函数,且图象过点(﹣1,0) ,故排除 A,B. 当 1>a>0 时,函数 y=a ﹣ 在 R 上是减函数,且图象过点(﹣1,0) ,故排除 C, 故选 D. 点评: 本题主要考查了指数函数的图象变换,指数函数的单调性和特殊点,体现了分类讨 论的数学思想,属于基础题.
x x x x

9. (5 分)设函数

,则实数 a 的取值范

围是() A.(﹣∞,﹣3) +∞)

B.(1,+∞)

C.(﹣3,1)

D.(﹣∞,﹣3)∪(1,

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;分段函数的应用. 分析: a<0 时,f(a)<1 即 解答: 解:a<0 时,f(a)<1 即 ,a≥0 时, ,分别求解即可.

,解得 a>﹣3,所以﹣3<a<0;

a≥0 时, ,解得 0≤a<1 综上可得:﹣3<a<1 故选 C 点评: 本题考查分段函数、解不等式等问题,属基本题,难度不大. 10. (5 分)已知函数 f(x)=3 +x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x 的零点依次是 a,b,c, 则 a,b,c,的大小关系是() A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<a<c 考点: 函数的零点;对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用.
x

分析: 利用函数图象及其单调性可分别得出三个零点范围与大小关系. 解答: 解:①令 f(x)=0,得 3 +x=0,化为 3 =﹣x,分别作出函数 y=3 ,y=﹣x 的图象, 由图象可知函数 f(x)的零点 a<0; ②令 g(x)=log3x+2=0,解得 x= ,∴b= ; ③令 h(x)=log3x+x=0,可知其零点 c>0, 而 h( )=﹣2+ <0=h(c) , 又函数 h(x)单调递增, ∴ <c. 综上①②③可知:a<b<c. 故选 A.
x x x

点评: 正确利用函数图象及其单调性是解题的关键. 11. (5 分)方程 log2x+log2(x﹣1)=1 的解集为 M,方程 2 M 与 N 的关系是() A.M=N B.M?N C.N?M 考点: 函数的零点;集合的包含关系判断及应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 解对数方程 log2(x ﹣x)=1 我们可以求出集合 M,解指数方程 2 ﹣9?2 +4=0 我 们可以求出集合 N,进而根据集合包含关系的判定方法,易判断出集合 M,N 的关系. 2 解答: 解:∵log2x+log2(x﹣1)=1,∴log2(x ﹣x)=1, 2 即 x ﹣x=2,解得 x=﹣1,或 x=2, 又∵x>0,x﹣1>0,∴函数的定义域是 x>1, M={2}; 若2
2x+1 2 2x+1 x 2x+1

﹣9?2 +4=0 的解集为 N,那么 D.M∩N=φ

x

﹣9?2 +4=0,∴2 =4,或 2 = ,解得 x=2,x=﹣1,即 N={﹣1,2}

x

x

x

故 M?N, 故选 B. 点评: 本题考查的知识点是对数方程的解法,指数方程的解法,其中解对应的指数方程和 对数方程,求出集合 M,N 是解答本题的关键.

12. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递增.若实数 a 满足 f(log2a)+f(log A.[1,2] a)≤2f(1) ,则 a 的取值范围是() B. C. D.(0,2]

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据偶函数的定义将所给的式子化为:f(|log2a|)≤f(1) ,再利用偶函数的单调性列 出关于 a 的不等式求解. 解答: 解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴ ∴ , 可变为 f(log2a)≤f(1) ,

即 f(|log2a|)≤f(1) , 又∵在区间[0,+∞)上单调递增,且 f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴ 解得 ≤a≤2, 故选:C. 点评: 本题考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用,易错处是忽略定义域内的单调性不 同,即对称区间单调性相反,注意自变量的取值范围,考查了学生的转化能力. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分.共 20 分) 13. (5 分)幂函数 y=f(x)的图象经过点(﹣2, ) ,则满足 f(x)=27 的 x 的值是 . ,即 ,

考点: 幂函数的性质. 专题: 计算题. 分析: 先设出幂函数的解析式,把点 析式求出 x 的值. 解答: 解:设幂函数 y=f(x)=x ,∵过点 ∴ =(﹣2) ,解得 α=﹣3,∴f(x)=x ,
﹣3

代入求出 α 的值,再把 27 代入解

α



α

﹣3

∴f(x)=27=x ,解得 x= . 故答案为: . 点评: 本题考查了幂函数的解析式的求法,即利用待定系数法进行求解,属于基础题.

14. (5 分)函数 f(x)=

,x∈[0,3]的最大值为 .

考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先利用 g(x)=x ﹣2x+3=(x﹣1) +2,求出值域,再利用 f(x)= 解答: 解:设 g(x)=x ﹣2x+3=(x﹣1) +2, ∵在[0,1]单调递减,在[1,3]单调递增, ∴g(1)=2,g(3)=2,g(3)=6, ∴2≤g(x)≤6, ∴函数 f(x)= 的值域为[ , ]
2 2 2 2

求解.

故答案为: . 点评: 本题考查了二次函数的性质,整体求解函数 值域,最值问题,属于容易题.

15. (5 分)函数 f(x)=

+

的定义域是(﹣2,3)∪(3,+∞) .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数 f(x)的解析式,列出使函数解析式有意义的不等式组,求出解集即可. 解答: 解:∵函数 f(x)= + ,





解得



∴f(x)的定义域是(﹣2,3)∪(3,+∞) . 故答案为: (﹣2,3)∪(3,+∞) . 点评: 本题考查了求函数定义域的问题,解题时应结合题意,列出使函数有意义的不等式 组,是基础题. 16. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x) .若当 0≤x≤1 时.f(x)=x(1﹣x) , 则当﹣1≤x≤0 时,f(x)=﹣ x(x+1) .

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 压轴题;函数的性质及应用. 分析: 当﹣1≤x≤0 时,0≤x+1≤1,由已知表达式可求得 f(x+1) ,根据 f(x+1)=2f(x)即 可求得 f(x) . 解答: 解:当﹣1≤x≤0 时,0≤x+1≤1, 由题意 f(x)= f(x+1)= (x+1)[1﹣(x+1)]=﹣ x(x+1) , 故答案为:﹣ x(x+1) . 点评: 本题考查函数解析式的求解,属基础题,正确理解函数定义是解决问题的关键. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)已知函数 f (x)= 的定义域集合是 A,函数 g(x)=lg[x ﹣(2a+1)x+a +a]
2 2

的定义域集合是 B. (1)求集合 A,B. (2)若 A∪B=B,求实数 a 的取值范围. 考点: 函数的定义域及其求法;并集及其运算. 分析: (1)被开方数≥0,求 A,对数的真数>0 求出 B. (2)由题意 A 是 B 的子集,可解出实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)由题意
2 2

所以 A={x|x≤﹣1 或 x>2};

x ﹣(2a+1)x+a +a>0 B={x|x<a 或 x>a+1}; (2)由 A∪B=B 得 A?B, 因此 解得:﹣1<a≤1, ∴实数 a 的取值范围是(﹣1,1]. 点评: 本题考查函数的定义域及其求法,并集及运算,是基础题. 18. (12 分)某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每 毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t) ; (2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时,治疗疾病有效.求服药一次治 疗疾病有效的时间?

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: (1)由函数图象我们不难得到这是一个分段函数,第一段是正比例函数的一段,第 二段是指数型函数的一段,由于两段函数均过 M(1,4) ,故我们可将 M 点代入函数的解析 式,求出参数值后,即可得到函数的解析式. (2)由(1)的结论我们将函数值 0.25 代入函数解析式,构造不等式,可以求出每毫升血液 中含药量不少于 0.25 微克的起始时刻和结束时刻,他们之间的差值即为服药一次治疗疾病有 效的时间. 解答: 解: (1)由题意,当 0≤t≤1 时,函数图象是一个线段,由于过原点与点(1,4) ,故 其解析式为 y=4t,0≤t≤1; 当 t≥1 时,函数的解析式为 , ,解得 a=3

此时 M(1,4)在曲线上,将此点的坐标代入函数解析式得 故函数的解析式为 ,t≥1.

所以



(2)由题意,令 f(t)≥0.25,即



解得





. 个小时.

∴服药一次治疗疾病有效的时间为

点评: 已知函数图象求函数的解析式,是一种常见的题型,关键是要知道函数的类型,利 用待定系数法设出函数的解析式, 然后将函数图象上的点的坐标代入求出参数的值, 即可得到 要求函数的解析式. 19. (12 分)计算: (1)

(2)



考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用对数性质和运算法则求解. (2)利用分数指数幂性质和运算法则求解.

解答: 解: (1) =lg = =lg = . ﹣lg4+lg7

(2) = = .

点评: 本题考查对数和分数指数幂的化简求值,解题时要认真审题,注意运算法则的合理 运用. 20. (12 分)已知二次函数 f(x)=x ﹣2ax+4,求下列条件下,实数 a 的取值范围. (1)零点均大于 1; (2)一个零点大于 1,一个零点小于 1; (3)一个零点在(0,1)内,另一个零点在(6,8)内. 考点: 专题: 分析: 解答: 函数的零点与方程根的关系;函数的零点. 计算题;函数的性质及应用. 由二次函数的性质,结合二次函数的图象,依次对其分析. 解:由题意得
2

(1)

解得,2



(2)f(1)=1﹣2a+4<0 则 a> .

(3)

解得,

<a<



点评: 本题考查了二次函数的图象特征及二次函数与二次方程之间的联系,属于基础题. 21. (12 分)定义在 R 上的偶函数 y=f(x)在(﹣∞,0]上递增,函数 y=f(x)的一个零点为 ﹣ .求满足 的 x 的取值集合.

考点: 函数的零点;奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数是偶函数,得到 也是函数的零点,然后利用函数单调性和奇偶性之间的关 系解不等式即可. 解答: 解:∵﹣ 是函数的零点,∴ ∵f(x)为偶函数,∴ ∵f(x)在(﹣∞,0]上递增, ,…(2 分) …(4 分) ,…(1 分)

∴0≥

≥﹣ ,∴1≤x≤2,…(7 分)

∵f(x)为偶函数,∴f(x)在[0,+∞)上单调减,…(8 分) 又 ,∴0≤ ≤ ,∴ ≤x≤1,∴ ≤x≤2.…(11 分)

故 x 的取值集合为{x| ≤x≤2}.…(12 分) 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,考查函数的综合性质的应用. 22. (12 分)已知 f(x)=(x+1)?|x﹣1|,若关于 x 的方程 f(x)=x+m 有三个不同的实数解, 求实数 m 的取值范围? 考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 数形结合. 分析: 关于 x 的方程 f(x)=x+m 有三个不同的实数解,即函数 f(x)=(x+1)?|x﹣ 1|= 和 y=x+m 的图象有三个交点,在同一坐标中画出函数 f(x)=(x+1)?|x

﹣1|=

和 y=x+m 的图象,数形结合可得答案.

解答: 解:在同一坐标系中画出函数 f(x)=(x+1)?|x﹣1|= 的图象如图所示; 根据 f′(x)= ,令 f′(x)=1,解得 x=﹣ ,

和 y=x+m

此时切点坐标为(﹣ , ) ,切线方程为 y=x+ 故当﹣1<x< 时,函数 f(x)和 y=x+m 的图象有三个零点 此时关于 x 的方程 f(x)=x+m 有三个不同的实数解, 即满足条件的实数 m 的取值范围为(﹣1, )

点评: 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,利用数形结合思想解答函数的零 点是求函数零点个数及位置最常用的方法,一定要熟练掌握.


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