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2015-206学年高中数学(人教A版,必修五)同步作业:2 习题课(1)


习题课(1)
课时目标 1.熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前 n 项和公式,并能综合运用这些知识解决 一些问题. 2.熟练掌握等差数列的性质、等差数列前 n 项和的性质,并能综合运用这些性质解决 相关问题. 要点回顾 ? n=1, ?S1, 1.若 Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 Sn=a1+a2+…+an,an=? ?Sn-Sn-1, n≥2. ? 2.若

数列{an}为等差数列,则有: (1)通项公式:an=a1+(n-1)d; n?n-1?d n?a1+an? (2)前 n 项和:Sn=na1+ = . 2 2 3.等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列,且 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则 am+an=ap+aq. (2)若 Sn 表示等差数列{an}的前 n 项和,则 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k 成等差数列.

一、选择题 1.在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则 2a9-a10 的值为( ) A.24 B.22 C.20 D.-8 答案 A 2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3+a7+a11=6,则 S13 等于( ) A.24 B.25 C.26 D.27 答案 C 解析 ∵a3+a7+a11=6,∴a7=2, 13?a1+a13? ∴S13= =13a7=26. 2 3.设数列{an}、{bn}都是等差数列,且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,则 a37+b37 等于 ( ) A.0 B.37 C.100 D.-37 答案 C 解析 设数列{an},{bn}的公差分别为 d,d′, 则 a2+b2=(a1+d)+(b1+d′) =(a1+b1)+(d+d′) =100. 又∵a1+b1=100,∴d+d′=0. ∴a37+b37=(a1+36d)+(b1+36d′) =(a1+b1)+36(d+d′)=100. 4.设{an}是公差为正数的等差数列,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则 a11+a12+a13 等于( ) A.120 B.105

C.90 D.75 答案 B 解析 ∵a1+a2+a3=3a2=15,∴a2=5. ∵a1=5-d,a3=5+d,d>0, ∴a1a2a3=(5-d)· 5· (5+d)=80, ∴d=3,a1=2. ∴a11+a12+a13=3a12=3(a1+11d) =3a1+33d=3×2+33×3=105. 5.若{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 a1>0,d<0,S4=S8,则 Sn>0 成立的最大 自然数 n 为( ) A.11 B.12 C.13 D.14 答案 A ?a1+a12?· 12 解析 S4=S8?a5+a6+a7+a8=0?a6+a7=0,又 a1>0,d<0,S12= =0, 2 n<12 时, Sn>0. S2 008 S2 006 6.在等差数列{an}中,a1=-2 008,其前 n 项和为 Sn,若 - =2,则 S2 012 2 008 2 006 等于( ) A.-2 012 B.2 012 C.6 033 D.6 036 答案 D ?n-1?d Sn 解析 =a1+ , n 2 2 008-1 2 006-1 S2 008 S2 006 ∴ - =a + d-a1- d 2 008 2 006 1 2 2 =d=2. 2 012×2 011 ∴S2 012=2 012×(-2 008)+ ×2 2 =2 012×3=6 036. 二、填空题 7.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+n+1,则 a6+a7+…+a10 的值为________. 答案 80 解析 a6+a7+…+a10=S10-S5=111-31=80. 8.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sp=Sq(p,q∈N*且 p≠q),则 Sp+q=________. 答案 0 解析 设 Sn=an2+bn,由 Sp=Sq. b 知 ap2+bp=aq2+bq,∴p+q=- . a ∴Sp+q=a(p+q)2+b(p+q) b b =a(- )2+b(- ) a a b2 b2 = - =0. a a 9. 等差数列{an}中, |a3|=|a9|, 公差 d<0, 则使前 n 项和 Sn 取得最大值的自然数 n 是______. 答案 5 或 6 解析 d<0,|a3|=|a9|,∴a3>0,a9<0 且 a3+a9=0, ∴a6=0,∴a1>a2>…>a5>0,a6=0,0>a7>a8>…. ∴当 n=5 或 6 时,Sn 取到最大值. 10.已知数列{an}中,a1=20,an+1=an+2n-1,n∈N*,则数列{an}的通项公式 an= ________.

答案 n2-2n+21 解析 ∵an+1-an=2n-1, ∴a2-a1=1,a3-a2=3,…, an-an-1=2n-3,n≥2. ∴an-a1=1+3+5+…+(2n-3). ?n-1??2n-2? 2 ∴an=20+ =n -2n+21. 2 三、解答题 11.甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动,甲第 1 分钟走 2 m,以后每 分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙每分钟走 5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇? (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙继续每 分钟走 5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇? 解 (1)设 n 分钟后第 1 次相遇,依题意, n?n-1? 有 2n+ +5n=70, 2 2 整理得 n +13n-140=0. 解之得 n=7,n=-20(舍去). 第 1 次相遇是在开始运动后 7 分钟. (2)设 n 分钟后第 2 次相遇,依题意,有 n?n-1? 2n+ +5n=3×70, 2 2 整理得 n +13n-420=0. 解之得 n=15,n=-28(舍去). 第 2 次相遇是在开始运动后 15 分钟. 12.已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足:a3· a4=117,a2+a5=22. (1)求数列{an}的通项公式 an; Sn (2)若数列{bn}是等差数列,且 bn= ,求非零常数 c. n+c 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,且 d>0. ∵a3+a4=a2+a5=22,又 a3· a4=117, 又公差 d>0,∴a3<a4,∴a3=9,a4=13. ?a1+2d=9 ?a1=1 ? ? ∴? ,∴? ,∴an=4n-3. ? ? ?a1+3d=13 ?d=4 n?n-1? (2)由(1)知,Sn=n· 1+ · 4=2n2-n, 2 2n2-n Sn ∴bn= = . n+c n+c 1 6 15 ∴b1= ,b = ,b = . 1+c 2 2+c 3 3+c ∵{bn}是等差数列,∴2b2=b1+b3, 1 ∴2c2+c=0,∴c=- (c=0 舍去). 2 能力提升 13.在等差数列{an}中,a10<0,a11>0,且|a10|<a11,Sn 为{an}的前 n 项的和,则下列结 论正确的是( ) A.S1,S2,…,S10 都小于零,S11,S12,…都大于零 B.S1,S2,…,S5 都小于零,S6,S7,…都大于零 C.S1,S2,…,S20 都小于零,S21,S22,…都大于零 D.S1,S2,…,S19 都小于零,S20,S21,…都大于零 答案 D

19?a1+a19? ∵S19= =19a10<0, 2 20?a1+a20? S20= . 2 而 a1+a20=a10+a11,∵a10<0,a11>0 且|a10|<a11, ∴a10+a11>0, 20?a1+a20? ∴S20= =10(a10+a11)>0. 2 又∵d=a11-a10>0. ∴Sn>0 (n≥20). 14.把自然数 1,2,3,4,…按下列方式排成一个数阵. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …………………………… 根据以上排列规律,数阵中第 n (n≥3)行从左至右的第 3 个数是______________. n2 n 答案 - +3 2 2 解析 该数阵的第 1 行有 1 个数, 第 2 行有 2 个数, …, 第 n 行有 n 个数, 则第 n-1 (n≥3) 2 ?n-1??1+n-1? n n n2 n 行的最后一个数为 = - ,则第 n 行从左至右的第 3 个数为 - +3. 2 2 2 2 2 解析 1.等差数列是最基本、最常见的数列,等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和 性质,推导通项公式、前 n 项和公式的出发点. 2.通项公式与前 n 项和公式联系着五个基本量:a1、d、n、an、Sn.掌握好本部分知识 的内在联系、结构,以便灵活运用. 3.另外用函数观点和方法揭示等差数列的特征,在分析解决数列的综合题中有重要的 意义.


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