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【解析】北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题


昌平区 2012-2013 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数 学 试
共 40 分)

卷(理科)

(满分 150 分,考试时间 120 分钟)2013.1 第Ⅰ卷(选择题

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项. (1)设集合 A ? x x >1 , B ? ? x | x( x ? 2) ? 0? ,则 A ? B 等于 A. {x | x ? 2} C. ?x 1 ? x ? 2? 【答案】C 【解析】 B ? ? x | x( x ? 2) ? 0? ? {x 0 ? x ? 2} ,所以 A ? B ? {x 1 ? x ? 2} ,选 C. (2)“ a ? 2 ”是“直线 y ? ? ax ? 2与y ? A. 充分不必要条件 C. 充要条件 【答案】A 【解析】 若直线 y ? ? ax ? 2与y ? 是“直线 y ? ? ax ? 2与y ? B. x 0 ? x ? 2

?

?

?

?

D. {x | 0 ? x ? 1}

a x ? 1 垂直”的 4
B 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

a a 则有 ? a ? = ? 1 , 即 a2 ? 4 , 所以 a ? ?2 。 所以“ a ? 2 ” x ? 1 垂直, 4 4

a x ? 1 垂直”的充分不必要条件,选 A. 4 (3)已知函数 f (x)= ln x ,则函数 g (x)=f (x) ? f '( x) 的零点所在的区间是
A.(0,1) 【答案】B 【解析】函数的导数为 f '( x ) ? B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)

1 1 ,所以 g (x)=f (x) ? f '( x) ? ln x ? 。因为 g (1) ? ln1 ? 1 ? ?1 ? 0 , x x

g (2) ? ln 2 ?

1 ? 0 ,所以函数 g (x)=f (x) ? f '( x) 的零点所在的区间为 (1, 2) .选 B. 2

? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? (4)设不等式组 ? x ≤ 4, 表示的平面区域为 D .在区域 D 内随机取一个点,则此点到直线 y +2=0 的 ? y ? ?2 ?

距离大于 2 的概率是 A.
4 13

B.

5 13

C.

8 25

D.

9 25

【答案】D
-1-

【解析】不等式对应的区域为三角形 DEF,当点 D 在线段 BC 上时,点 D 到直线 y +2=0 的距离等于 2,所以 要 使 点 D 到 直 线 的 距 离 大 于 2 , 则 点 D 应 在 三 角 形 BCF 中 。 各 点 的 坐 标 为

BC ? 6, B(?2,, 0) C (4,, 0) D (? 6, ? 2),E (4 , ? 2) , F (4 , 3),所以 DE ? 10,EF ? 5,
S CF ? 3 , 根 据 几 何 概 型 可 知 所 求 概 率 为 P ? ?BCF S ?DEF 1 ? 6?3 9 2 ? ? , 选 1 ?10 ? 5 25 2

D.

(5)设 Sn 是公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和,且 S1 , S2 , S4 成等比数列,则 A.1 【答案】C B. 2 C. 3 D. 4

a2 等于 a1

【解析】因为 S1 , S2 , S4 成等比数列,所以 S1S 4 ? S 2 2 ,即 a1 (4a1 ? 6d ) ? (2a1 ? d ) 2 ,即 d 2 ? 2a1d , d ? 2a1 , 所以

a2 a1 ? d a1 ? 2a1 ? ? ? 3 ,选 C. a1 a1 a1

(6)在高三(1)班进行的演讲比赛中,共有 5 位选手参加,其中 3 位女生,2 位男生.如果 2 位男生不能 连续出场,且女生甲不能排在第一个,那么出场顺序的排法种数为 A. 24 【答案】D
2 3 【解析】先排 3 个女生,三个女生之间有 4 个空,从四个空中选两个排男生,共有 A4 A3 =72 种,若女生 2 2 甲排在第一个,则三个女生之间有 3 个空,从 3 个空中选两个排男生,有 A3 A2 =12 ,所以满足条件的出错

B. 36

C. 48

D.60

顺序有 72 ? 12=60 种排法,选 D. (7)已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的全面积为

-2-

A. 10 ? 4 3 ? 4 2 【答案】B

B. 10 ? 2 3 ? 4 2

C. 14 ? 2 3 ? 4 2

D. 14 ? 4 3 ? 4 2

【解析】 根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形,一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥 其中 ABCD 是直角梯形,AB⊥AD, AB=AD=2,BC=4,即 PA⊥平面 ABCD,PA=2。且 CD ? 2 2 ,,

PD ? 2 2

,

PB ? 2 2

,,

PC ? 2 6

, 底 面 梯 形 的 面 积 为

(2 ? 4) ? 2 ?6 2



1 1 1 S ?PAB ? ? 2 ? 2 ? 2 , S ?PAD ? ? 2 ? 2 ? 2 , S ?PBC ? ? 2 2 ? 4 ? 4 2 , 侧 面 三 角 形 DPC 中 的 高 2 2 2

DO ? (2 2) 2 ? ( 6) 2 ? 2 ,
所以 S ?PDC ? 选 B. (8)已知函数:① f ( x) ? ? x ? 2 x ,② f ( x) ? cos(
2

1 ? 2 6 ? 2 ? 2 3 ,所以该几何体的总面积为 6 ? 2 ? 2 ? 2 3 ? 4 2 ? 10 ? 2 3 ? 4 2 , 2

?
2

?

?x ) ,③ f ( x) ? |x ? 1| 2 .则以下四个命题对已知 2

1

的三个函数都能成立的是 命题 p : f ( x) 是奇函数; 命题 q : f ( x ? 1) 在 (0,1) 上是增函数; 命题 s : f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称 C.命题 r、s D.命题 p、r

1 2 A.命题 p、q
【答案】C

命题 r : f ( ) ?

1 ; 2
B.命题 q、s

-3-

【解析】当 f ( x) ? ? x 2 ? 2 x 时,函数不是奇函数,所以命题 p 不能使三个函数都成立,排除 A,D. ①

1 ? ? 1 ? 2 1 1 1 1 1 3 1 ? 成立;③ f ( ) ? ?( ) 2 ? 2 ? ? 1 ? ? ? 成 立 ; ② f ( ) ? cos( ? ? ) ? cos ? 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 4 2

1 1 1 1 2 1 f ( ) ? | ? 1| 2 ? ? ? 成立,所以命题 r 能使三个函数都成立,所以选 C. 2 2 2 2 2
第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9)若
ai ? ?2 ? 2i ,其中 i 是虚数单位,则实数 a 的值是____________. 1? i

共 110 分)

【答案】 4 【解析】由
ai ? ?2 ? 2i 得 ai ? (?2 ? 2i )(1 ? i ) ? 4i ,所以 a ? 4 。 1? i

(10)以双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,并与其渐近线相切的圆的标准方程是 9 16
2 2

_____.

【答案】 ( x ? 5) ? y ? 16 【解析】双曲线的渐近线为 y ? ?

4 4 x ,不妨取 y ? x ,即 4 x ? 3 y ? 0 。双曲线的右焦点为 (5, 0) ,圆心 3 3

到 直 线 4x ? 3y ? 0 的 距 离 为 d ?

4?5 32 ? 42

? 4 ,即圆的半径为 4,所以所求圆的标准方程为

( x ? 5) 2 ? y 2 ? 16 。
(11)在 △ABC 中,若 b ? 2 2 , c ? 1 , tan B ? 2 2 ,则 a = 【答案】3 【 解 析 】 由 tan B ? 2 2 ? 0 , 知 0 ? B ? .

?
2

, 得 sin B ?

2 2 1 , cos B ? , 由 余 弦 定 理 可 得 3 3

cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 1 a2 ? 1 ? 8 1 7 ? ,即 ? ,整理得 3a 2 ? 2a ? 21 ? 0 ,解得 a ? 3 或 a ? ? (舍去) 。 2ac 3 2a 3 3

(12)已知某算法的流程图如图所示,则程序运行结束时输出的结果

-4-





【答案】4 【解析】第一次循环有 n ? 2, x ? 5, y ? 2 ? 1 ? 1 ;第二次循环有 n ? 4, x ? 25, y ? 4 ? 1 ? 3 ;第三次循环 有 n ? 6, x ? 125, y ? 6 ? 3 ? 3 ;第四次循环有 n ? 8, x ? 125 ? 5 ? 625, y ? 8 ? 3 ? 5 ;此时满足条件,输 出 log y x ? log 5 625 ? 4 。 (13) 在 Rt?ABC 中 , ?C ? 90? , AC ? 4, BC ? 2 , D 是 BC 的 中 点 , 那 么 ( AB ? AC ) ? AD ? ____________; 若 E 是 AB 的 中点 , P 是 ?ABC ( 包 括边 界) 内任 一点 .则 AD ? EP 的 取 值范围是

uuu r uuu r

uuu r

uuu r uur

___________. 【答案】2; [?9,9] 【解析】 ( AB ? AC ) ? AD ? CB g( AC ? CD ) ? CB g CD ?

uu u r uuu r

uuu r

uur uuu r

uuu r

uur uuu r

1 uur 2 1 2 CB ? ? 2 ? 2 . 2 2

将 直 角 三 角 形 放 入 直 角 坐 标 系 中 , 则 A(0, 4), B (2, 0), E (1, 2), D(1, 0) , 设 P ( x, y ) , 则

uuu r uur 1 7?z 1 AD ? EP ? (1, ?4)g( x ? 1, y ? 2) ? x ? 4 y ? 7 ,令 z ? x ? 4 y ? 7 ,则 y ? x ? ,做直线 y ? x ,平 4 4 4

-5-

移直线 y ?

1 1 7?z 经过点 A 时,直线的截距最大,但此时 z 最小,当直线 x ,由图象可知当直线 y ? x ? 4 4 4

经过点 B 时, 直线的截距最小, 此时 z 最大。 即 z 的最下值为 z ? ?4 ? 4 ? 7 ? ?9 , 最大值为 z ? 2 ? 7 ? 9 ,

即 ?9 ? AD ? EP ? 9 。 AD ? EP 的取值范围是 [?9,9] 。 (14)在平面直角坐标系中,定义 d ( P, Q ) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 为两点 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) 之间的“折线 距离”. 则 ① 到坐标原点 O 的“折线距离”不超过 2 的点的集合所构成的平面图形面积是_________; ② 坐标原点 O 与直线 2 x ? y ? 2 3 ? 0 上任意一点的“折线距离”的最小值是_____________.

uuu r uur

uuu r uur

【答案】 8; 3

【解析】①根据定义可知,如图:

则 图 象 的 面 积 为 2?

1 ? 4? 2 ? 8 。 ② 2

2 x ? y ? 2 3 ? 0 与两坐标轴的交点坐标为 A(0, ?2 3), B( 3, 0) ,设 P( x, y ) ,则 y ? 2 x ? 2 3 ,所以 OP

??3 x ? 2 3, x ? 0, ? ? 的折线距离为 d ? x ? y ? x ? 2 x ? 3 ? ?? x ? 2 3, 0 ? x ? 3, ,作出分段函数的图象如图,由函数 ? ? ?3 x ? 2 3, x ? 3.

-6-

的单调性可知当 x ? 3 时, 函数有最小值为 d ?

3 ?2 3? 3 ? 3。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分)已知函数

f ( x) ?

(2 3 sin 2 x ? sin 2 x) ? cos x ?1. sin x

(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [ , ] 上的最值.
E

? ? 4 2

(16) (本小题满分 14 分)在四棱锥 E - ABCD 中,底面 ABCD 是正

F

方形,
B

AC与BD交于点O, EC ^ 底面ABCD,F 为 BE 的中点. (Ⅰ)求
∥平面 ACF ; (Ⅱ)求证: BD ^ AE ; (Ⅲ)若 AB =
D

C O A

证: DE

2CE , 在线段 EO 上是否存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE ?若存在,求出

EG 的值,若不 EO

存在,请说明理由.

(17) (本小题满分13分)为了解甲、乙两厂的产品的质量,从两厂生产的产品中随机抽取各10件,测量产 品中某种元素的含量(单位:毫克).下表是测量数据的茎叶图: 甲厂 9 0 乙厂

-7-

3

9

6 5 8

1

8

4 5 6 9 0 3

1

5 0 3

2

1 0 3

规定:当产品中的此种元素含量满足≥18 毫克时,该产品为优等品. (Ⅰ)试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率; (Ⅱ)从乙厂抽出的上述 10 件产品中,随机抽取 3 件,求抽到的 3 件产品中优等品数 ? 的分布列及其数学 期望 E (? ) ; (Ⅲ)从上述样品中,各随机抽取 3 件,逐一选取,取后有放回,求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件 的概率.

(18) (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? 4 ( a ? R ).
3 2

(Ⅰ)若函数 y ? f ( x) 的图象在点 P(1, f (1) )处的切线的倾斜角为 (Ⅱ)若存在 x 0 ? (0,??) ,使 f ( x 0 ) ? 0 ,求 a 的取值范围.

? ,求 f ( x) 在 ? ?1,1? 上的最小值; 4

(19) (本小题满分 13 分)已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴, 离心率为 椭圆 M 的一个焦点. (Ⅰ)求椭圆 M 的方程;

2 , 且抛物线 y 2 ? 4 2 x 的焦点是 2

(Ⅱ) 设直线 l 与椭圆 M 相交于 A、 B 两点, 以线段 OA, OB 为邻边作平行四边形 OAPB, 其中点 P 在椭圆 M 上, O 为坐标原点. 求点 O 到直线 l 的距离的最小值.

(20) (本小题满分 14 分) 已 知 每 项 均 是 正 整 数 的 数 列 a1 , a2 , a3 ,? , a100 , 其 中 等 于 i 的 项 有 k i 个 (i ? 1, 2,3?) , 设

b j ? k1 ? k 2 ? ? ? k j ( j ? 1, 2,3?) , g (m) ? b1 ? b2 ? ? ? bm ? 100m (m ? 1, 2,3?).
(Ⅰ)设数列 k1 ? 40, k2 ? 30, k3 ? 20, k4 ? 10, k5 ? ... ? k100 ? 0 ,求 g (1), g (2), g (3), g (4) ;
-8-

(Ⅱ)若 a1 , a2 , a3 ,? , a100 中最大的项为 50, 比较 g ( m ), g ( m ? 1) 的大小; (Ⅲ)若 a1 ? a2 ? ? ? a100 ? 200 ,求函数 g (m) 的最小值.

昌平区 2012-2013 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数 学 试卷 参考答案(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项.) 题 号 答案 C A B D C D B C (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ) (9)
4

(10) ( x ? 5) ? y ? 16
2 2

(11) 3 (13) 2; [-9,9]

(12)4 (14) 8; 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) (15)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由 sin x ? 0 得 x ? k π ( k ? Z), 故 f ( x ) 的定义域为 {x ? R | x ? k π, k ? Z}.???????2 分 因为 f ( x) ?

(2 3 sin 2 x ? sin 2 x) ? cos x ?1 sin x

? (2 3 sin x ? 2cos x ) ? cos x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x
π ? 2sin(2 x ? ) ,????????????6 分 6

-9-

所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? (II)由 x 挝 [ , ], 2 x 当

2π ? π .???????7 分 2
E

? ? 4 2

? ? ? 5? [ , ?], 2 x - ? [ , ], ????..9 2 6 3 6


F G B O A

? 5? ? 2x ? ? , 即x ? 时, f ( x)取得最小值1 ,?????.11 分 6 6 2


C D

2x ?

? ? ? ? , 即x ? 时, f ( x)取得最大值2 .??????.13 6 2 3



(16)(本小题满分 14 分) 解: (I)连接 OF . 由 ABCD 是正方形可知,点 O 为 BD 中点. 又 F 为 BE 的中点, 所以 OF ∥ DE ???????.2 分 又 OF 趟平面ACF , DE

平面ACF ,

所以 DE ∥平面 ACF ????.4 分 (II) 证明:由 EC ^ 底面ABCD,BD ? 底面ABCD, 所以 EC ^ BD, 由 ABCD 是正方形可知, AC ^ BD, 又 AC 翘EC =C , AC ,EC

平面ACE,

所以 BD ^ 平面ACE , ????????????..8 分 又 AE ? 平面ACE, 所以 BD ^ AE ????????????????..9 分 (III)解法一: 在线段 EO 上存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE . 如图,取 EO 中点 G ,连接 CG . 在四棱锥 E - ABCD 中, AB = 理由如下:

2CE , CO =

2 AB = CE , 2

所以 CG ^ EO .?????????????????????????..11 分 由(II)可知, BD ^ 平面ACE , 而 BD ? 平面BDE , 所以, 平面ACE ^ 平面BDE , 且平面ACE ? 平面BDE 因为 CG ^ EO, CG ? 平面ACE, 所以 CG ^ 平面BDE ??????????????????????. 13 分
- 10 -

EO,

故在线段 EO 上存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE . 由 G 为 EO 中点,得 解法二: 由 EC ^ 底面ABCD, 且底面 ABCD 是正方形,如图, 建立空间直角坐标系 C - DBE , 由已知 AB = 则

EG 1 = . ????????????????? 14 分 EO 2

z E F G C O A B y

2CE , 设 CE = a (a > 0) ,

C (0, 0, 0), D( 2a, 0, 0), B

D x

O(

uuu r 2 2 a, a, 0), BD = ( 2a, 2 2

uur 2a, 0), BE = (0, -

uuu r 2 2 2a, a), EO = ( a, a, - a). 设 G 为线段 2 2

EO 上一点,且

uuu r uuu r 2 2 EG ? a, ? a, - ? a), = ? (0 < ? < 1) ,则 EG = ? EO = ( 2 2 EO

uuu r uur uuu r 2 2 CG = CE + ? EO = ( ? a, ? a, (1- ? )a ), ??????????..12 分 2 2
由题意,若线段 EO 上存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE ,则 CG ^ BD , CG ^ BE .

uuu r

uuu r

uuu r

uur

1 , ?(0,1 ) 2 EG 1 = . ???????? 14 分 故在线段 EO 上存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE ,且 EO 2
所以, - ? a 2 + (1- ? )a 2 = 0, 解得,? = (17)(本小题满分 13 分) 解: (I)甲厂抽取的样本中优等品有 6 件,优等品率为

6 3 ? . 10 5 5 1 乙厂抽取的样本中优等品有 5 件,优等品率为 ? . ??????..2 分 10 2

(II) ? 的取值为 0,1,2,3.
3 1 C50 ? C5 C5 ? C52 5 1 P(? ? 0) ? ? , P(? ? 1) ? ? , 3 3 C10 12 C10 12

- 11 -

P(? ? 2) ?

1 3 C52 ? C5 C5 5 1 ? , P ( ? ? 3) ? ? 3 3 C10 12 C10 12

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

1 12
故 ?的数学期望为( E ?) ? 0?

5 12

5 12

1 12

1 5 5 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 12 12 12 12 2 ????????9 分

(III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件包括 2 个事件,即 A=“抽取的优等品数甲厂 2 件,乙厂 0 件”,B=“抽取的优等品数甲厂 3 件,乙厂 1 件”

3 2 1 1 27 P( A) ? C32 ( ) 2 ( ) ? C30 ( ) 0 ( )3 ? 5 5 2 2 500 3 1 1 81 3 1 P( B) ? C3 ( )3 ? C3 ( )1 ( ) 2 ? 5 2 2 1000
抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件的概率为 P ( A) ? P ( B ) ? (18)(本小题满分 13 分)
2 解: (I) f ?( x) ? ?3 x ? 2ax.

27 81 27 ? ? . ?13 分 500 1000 200

??????????. ?????1 分

根据题意, f ?(1) ? tan

? ? 1,??3 ? 2a ? 1, 即a ? 2. ???????3 分 4
3 2 2

此时, f ( x) ? ? x ? 2 x ? 4 ,则 f ?( x) ? ?3 x ? 4 x . 令 f '( x) ? 0,得x1 ? 0, x2 ?

4 . 3

x
f ?? x?
f ? x?

?1

(?1, 0)


0

(0,1)
+ ↗

1
1

?7
?1

0
?4

?3

??????????????????????????????????. 6 分 ∴当 x ? ? ?1,1? 时, f ? x ? 最小值为 f ? 0 ? ? ?4 . ?????????7 分 (II)? f ?( x) ? ?3 x( x ?

2a ). 3

①若 a ≤ 0, 当x ? 0时, f ?( x) ? 0,? f ( x)在(0, ??) 上单调递减. 又 f (0) ? ?4, 则当x ? 0时, f ( x) ? ?4.
- 12 -

?当a ≤ 0时, 不存在x0 ? 0, 使f ( x0 ) ? 0. ????????????????..10 分
②若 a ? 0, 则当0 ? x ?

2a 2a 时, f ?( x) ? 0;当x ? 时, f ?( x) ? 0. 3 3 2a 2a 从而 f ( x) 在(0, 上单调递增,在( ,+ ?) 上单调递减. ) 3 3

?当x ? (0,??)时, f ( x) max ? f (

2a 8a 3 4a 3 4a 3 )?? ? ?4? ? 4. 3 27 9 27

根据题

意,

4a 3 ? 4 ? 0, 即a 3 ? 27.? a ? 3. ?????.............................. 13 分 27

综上, a 的取值范围是 (3, ??) . (19)(本小题满分 13 分) 解: ( I ) 由 已 知 抛 物 线 的 焦 点 为 ( 2, 0) , 故 设 椭 圆 方 程 为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2



c ? 2,由e ?

x2 y 2 2 ? 1. ??5 分 , 得a ? 2, b 2 ? 2. 所以椭圆 M 的方程为 ? 4 2 2

(II)当直线 l 斜率存在时,设直线方程为 y ? kx ? m , 则由 ?

? y ? kx ? m, ? x2 y 2 ? 1. ? ? ?4 2
2 2 2

消去 y 得, (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 4 ? 0 ,

???????6 分

? ? 16k 2 m 2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m 2 ? 4) ? 8(2 ? 4k 2 ? m 2 ) ? 0 , ①????7 分
设 A、B、P 点的坐标分别为 ( x1 , y1 )、 ( x2 , y2 )、 ( x0 , y0 ) ,则:

x0 ? x1 ? x2 ? ?

4km 2m ????8 分 , y0 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ,
2 x0 y2 ? 0 ?1 . 4 2

由于点 P 在椭圆 M 上,所以

??? 9 分

从而

4k 2 m 2 2m 2 ? ? 1 ,化简得 2m 2 ? 1 ? 2k 2 ,经检验满足①式. 2 2 2 2 (1 ? 2k ) (1 ? 2k )
???10 分

又点 O 到直线 l 的距离为:

- 13 -

d?

|m| 1? k 2

?

1 2 ?k 1 1 2 2 ? 1? ? 1? ? 2 2 2(1 ? k ) 2 2 1? k

???11 分 ???12 分

当且仅当 k ? 0 时等号成立 当直线 l 无斜率时,由对称性知,点 P 一定在 x 轴上,

从而点 P 的坐标为 (?2, 0)或(2, 0) ,直线 l 的方程为 x ? ?1 ,所以点 O 到直线 l 的距离为 1 . 所以点 O 到直线 l 的距离最小值为 (20)(本小题满分 14 分) 解: (I) 因为数列 k1 ? 40, k2 ? 30, k3 ? 20, k4 ? 10 , 所以 b1 ? 40, b2 ? 70, b3 ? 90, b4 ? 100 , 所以 g (1) ? ?60, g (2) ? ?90, g (3) ? ?100, g (4) ? ?100 ???????4 分 (II) 一方面, g ( m ? 1) ? g ( m ) ? bm ?1 ? 100 , 根据 b j 的含义知 bm ?1 ? 100 , 故 g (m ? 1) ? g (m) ? 0 ,即 g (m) ? g (m ? 1) , 当且仅当 bm ?1 ? 100 时取等号. 因为 a1 , a2 , a3 ,? , a100 中最大的项为 50,所以当 m ? 50 时必有 bm ? 100 , 所以 g (1) ? g (2) ? ? ? g (49) ? g (50) ? g (51) ? ?? 即当 1 ? m ? 49 时,有 g ( m ) ? g ( m ? 1) ; 当 m ? 49 时,有 g ( m ) ? g ( m ? 1) ?9 分 (III)设 M 为 ?a1 , a2 ,? , a100 ? 中的最大值. 由(II)可以知道, g (m) 的最小值为 g ( M ) . 根据题意, bM ? k1 ? k2 ? k3 ? L ? k M ? 100, ①

2 . 2

???13 分

k1 ? 2k2 ? 3k3 ? L ? Mk M ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a100 .
下面计算 g ( M ) 的值.

g ( M ) ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bM ? 100 M

- 14 -

? (b1 ? 100) ? (b2 ? 100) ? (b3 ? 100) ? ? ? (bM ?1 ? 100) ? ( ? k 2 ? k 3 ? ? ? k M ) ? ( ? k 3 ? k 4 ? ? ? k M ) ? ( ? k 4 ? k5 ? ? ? k M ) ? ? ? ( ? k M ) ? ?[k2 ? 2k3 ? ? ? ( M ? 1)k M ] ? ?(k1 ? 2k2 ? 3k3 ? ? ? Mk M ) ? (k1 ? k2 ? ? ? k M ) ? ?( a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ) ? bM ? ?( a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ) ? 100 ,
∵ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? 200 , ∴ g (m) 最小值为 ?100 . ∴ g ( M ) ? ?100 ,

????????????????.14 分

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