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命题及其关系(2)(教学设计)


命题及其关系(2) (教学设计) 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系 教学目标: 知识与技能:了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念,掌握四种命题的形式和四种命题间的相互 关系,会用等价命题判断四种命题的真假. 过程与方法:多让学生举命题的例子,并写出四种命题,培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决 问题的能力;培养学生抽象概括能力和思维能力. 情感、态度与价值观:通过学生的举例,激发学生学习数学的兴趣和积极性,培养他们的辨析能力以及培养他们的分 析问题和解决问题的能力. 教学重点:逆命题、否命题、逆否命题的概念及求法. 教学难点:把命题写成若 P 则 q 的形式。 教学过程: 一、复习回顾 1、什么叫命题 2、如何判定命题的真假 二、创设情境,新课引入 歌德是 18 世纪德国的一位著名文艺大师,一天,他与一位批评家“狭路相逢”,这位文艺批评家生性古怪,遇到 歌德走来,不仅没有相让,反而卖弄聪明,一边高兴地往前走。一边大声说道:“我从来不给傻子让路!”而对如此 的尴尬的局面,但只见歌德笑容可掬,谦恭的闪在一旁,一边有礼貌回答道“呵呵,我可恰恰相反,”结果故作聪明 的批评家,反倒自讨没趣。 在我们日常生活中,经常涉及到逻辑上的问题。无论是进行思考、交流,还是从事各项工作,都需要用逻辑用语 表达自己的思想,需要用逻辑关系进行判断和推理。因此,正确使用逻辑用语和逻辑关系是现代社会公民应该具备的 基本素质。 本章我们将从命题及其关系入手,学习四种命题的相互关系、充分条件和必要条件,学习逻辑用语,了解数理逻 辑的有关知识,体会逻辑用语在表述或论证中的作用,使以后的论证和表述更加准确、清楚和简洁。在学习过程中我 们应避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释,而应该通过具体、生动的实例来使学生体会常用的逻辑用语,学习使用 常用的逻辑用语,掌握常用逻辑用语,并在使用过程中纠正出现的逻辑错误。 三、师生互动,新课讲解 问题 1:判断下列命题的真假,你能发现各命题之间有什么关系? ①如果两个三角形全等,那么它们的面积相等; ②如果两个三角形的面积相等,那么它们全等; ③如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等; ④如果两个三角形不相等,那么它们不全等; 结论:命题①④为真,②③为假;①与②、③与④条件和结论互逆,①与③、②与④条件和结论互否; 1.原命题与逆命题的知识 即在两个命题中,如果第一个命题的条件(或题设)是第二个命题的结论,且第一个命题的结论是第二个命题的 条件,那么这两个命题叫做互逆命题;如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆命题. 例如,如果原命题是:⑴同位角相等,两直线平行; 它的逆命题就是:⑵两直线平行,同位角相等. 2. 否命题与逆否命题的知识 即在两个命题中,一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定,这样的两个命题就叫做 互否命题,若把其中一个命题叫做原命题,则另一个就叫做原命题的否命题. 例如⑶同位角不相等,两直线不平行; ⑷两直线不平行,同位角不相等. 3. 原命题与逆否命题的知识 即在两个命题中,一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定,这样的两个命题就叫做 互为逆否命题,若把其中一个命题叫做原命题,则另一个就叫做原命题的否命题.
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概括地说,设命题⑴为原命题,则命题⑵为逆命题;命题⑶为否命题;命题⑷为 逆否命题. 关于逆命题、否命题与逆否命题,也可以这样表述: ⑴交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题; ⑵同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题; ⑶交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题. 4.四种命题的形式 一般到,我们用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论,用┐p 和┐q 分别表 示 p 和 q 的否定,于是四种命题的形式就是: 原命题:若 p 则 q; 逆命题:若 q 则 p; 否命题:若┐p 则┐q; 逆否命题:若┐q 则┐p. 常见词语的否定的形式: 原语句 否定形式 是 不 是 都是 不都是 > 至少有一 个 一个也没 有 至 多 有 一个 至 少 有 两个 对任意 x ? A, P 且 q 使 P(x)为真 存在 x0 ? A,使 P(x0)假 P或q

?

?p 或?q

?q 且?q

例 1.写出命题“若 a=0,则 ab=0”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断各命题的真假。 解:原命题:若 a=0,则 ab=0 是真命题; 逆命题:若 ab=0,则 a=0 是假命题; 否命题:若 a ? 0,则 ab ? 0”是假命题; 逆否命题:若 ab ? 0,则 a ? 0”是真命题; 结论:原命题为真,它的否命题不一定为真;原命题为真,它的逆否命题一定为真. 例 2.把下列命题改写成“若 p 则 q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题,同时指出它们的真假。 (1)两个全等的三角形的三边对应相等; (2)四边相等的四边形是正方形; (3)负数的平方是正数; 分析:关键是找出原命题的条件 p 和结论 q. 解: (1)原命题可以写成:若两个三角形全等,则这两个三角形的三边对应相等; (真) 逆命题:若两个三角形的三边对应相,则这两个三角形全等; (真) 否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不是三边对应相等; (真) 逆否命题:若两个三角形不是三边对应相等,则这两个三角形不全等; (真) (2)原命题可以写成:若一个四边形四边相等,则它是正方形; (假) 逆命题:若一个四边形是正方形,则它的四条边相等; (真) 否命题:若一个四边形四边不相等,则它不是正方形; (真) 逆否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等; (假) (3)原命题可以写成:若一个数是负数,则它的平方是正数; 逆命题:若一个数的平方是正数,则它是负数; 否命题:若一个数不是负数,则它的平方不是正数; 逆否命题:若一个数的平方不是正数,则它不是负数. 另解:原命题可写成:若一个数是负数的平方,则这个数是正数; (真) 逆命题:若一个数是正数,则它是负数的平方; (假) 否命题:若一个数不是负数的平方,则这个数不是正数; (假) 逆否命题:若一个数不是正数,则它不是负数的平方. (真) 结论:两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题,逆命题和否命题),其余情况则不一定同真或同假 (如原命题和逆命题,否命题和逆否命题等). 例 3.设原命题是“当 c>0 时,若 a>b,则 ac>bc” ,写出它的逆命题、否命题与逆否命题,并分别判断它们的真假.
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分析: “当 c>0 时”是大前提,写其他命题时应该保留,原命题的条件是 a>b,结论是 ac>bc. 解:逆命题:当 c>0 时,若 ac>bc,则 a>b.它是真命题; 否命题:当 c>0 时,若 a ? b,则 ac ? bc.它是真命题; 逆否命题:当 c>0 时,若 ac ? bc,则 a ? b.它是真命题. 2 2 例 4(课本 P8 例 4)证明:若 x +y =0,则 x=y=0。 分析:证明逆否命题成立,即反证法的思想 课堂练习: (课本 P8 练习) 四、课堂小结,巩固反思 本节重点研究了四种命题的概念与表示形式,即如果原命题为:若 p 则 q,则它的逆命题为:若 q 则 p,即交换原 命题的条件和结论即得其逆命题;否命题为:若 ? p 则 ? q,即同时否定原命题的条件和结论,即得其否命题;逆否命 题为:若 ? q 则 ? p,即交换原命题的条件和结论,并且同时否定,即得其逆否题;两个互为逆否的命题同真或同假; 五、布置作业: A 组: 1、 (课本 P8 习题 1.1A 组 NO:2) 2、 (课本 P8 习题 1.1A 组 NO:3) 3、命题“内错角相等,则两直线平行”的否命题为(C) A.两直线平行,内错角相等 B.两直线不平行,则内错角不相等 C.内错角不相等,则两直线不平行 D.内错角不相等,则两直线平行 4.命题“若 a ? b ,则 A.若

a ? 1 ”的逆否命题为( D) b
B.若 a ≤ b ,则 D.若

a ? 1 ,则 a ? b b

a ≤1 b

C.若 a ? b ,则 b ? a

a ≤1,则 a ≤ b b
; (答:逆否命题: 若x≠0或y≠0,则

5.写出“若x2+y2=0,则x=0且y=0”的逆否命题: x +y ≠0)
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6.把下列命题写成“若 p 则 q”的形式,并判断其真假. (1)实数的平方是非负数; (2)等底等高的两个三角形是全等三角形; (3)能被 6 整除的数既能被 3 整除也能被 2 整除; (4)弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧. 解:(1)原命题可以写成:若一个数是实数,则它的平方是非负数.这个命题是真命题. (2)原命题可以写成:若两个三角形等底等高,则这两个三角形是全等三角形.这个命题是假命题. (3)原命题可以写成:若一个数能被 6 整除,则它既能被 3 整除也能被 2 整除.这个命题是真命题. (4)原命题可以写成:若一条直线是弦的垂直平分线,则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧.这个命题是真命题. 7.写出命题“若 a 和 b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的否命题和逆否命题. 解:否命题为:若a和b不都是偶数,则a+b不是偶数;逆否命题为:若a+b不是偶数,则a和b不都是偶数 B 组: 1、 (课本 P8 习题 1.1A 组 NO:4) 2、 (课本 P8 习题 1.1B组 NO:1) 3.判断命题“若 x+y≤5,则 x≤2 或 y≤3”的真假. 分析:此命题从正面判断较为困难,可利用两个互为逆否命题的命题真假一致,转化为判断原命题的逆否命题真假,从 而得出原命题的真假.逆否命题:“若 x>2 且 y>3,则 x+y>5” ,容易判断逆否命题为真,故原命题为真. 2 2 4.证明:若 p + q =2,则 p + q ≤ 2. 分析:如果直接证明这个命题比较困难,可考虑转化为对它的逆否命题的证明。 2 2 将“若 p + q =2,则 p + q ≤ 2”视为原命题,要证明原命题为真命题,可以考虑证明它的逆否命题“若 p +
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q >2,则 p + q ≠2”为真命题,从而达到证明原命题为真命题的目的. 证明:若 p + q >2,则 p + q
2 2 2

2

2


2

1 1 1 2 2 2 2 [ -q) +(p +q) ]≥ (p +q) > ×2 =2 (p 2 2 2

所以 p + q ≠2. 这表明,原命题的逆否命题为真命题,从而原命题为真命题。

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