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广东省惠州一中2011-2012学年高一上学期期中考数学试卷


惠州一中高一级 2011—2012 学年度(上)期中考试

数学科试题
命题人:刘健 120 分钟 校对人:李晓明 时间:

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)
1.已知全集 U ? ?1,2,3,4,5,6,7? , A ? ?2, 4,5? ,则 Cu A ? ( A. ? 2.函数 B. ?1,3,6,7?

的图象是 ( ) C. ) D. ?1,3,5,7?

?2,4,6?

f ( x) ? log2 x

A
? 2 3. 如果幂函数 f ( x) ? x 的图象经过点 (2, ) ,则

2

f (4) 的值等于(
D.
1 2



A.16
1 2

B. 2
1 2

C.

1 16

4. 设 a ? 0.7 , b ? 0.8 ,c ? log3 0.7 ,则( A. c ? b ? a B. c ? a ? b

) D. b ? a ? c )

C. a ? b ? c

5.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( A.y = x 2 (x∈(0,+∞))
1
1

B.y = 3x (x∈R) D.y = lg|x| (x≠0) )

C.y = x 3 (x∈R)

6. 偶函数 y ? f ( x) 在区间[0,4]上单调递减,则有(

第1页

? A. f (?1) ? f ( ) ? f (?? ) 3 ? C. f (?? ) ? f (?1) ? f ( ) 3
7. 在 b ? log? a ?2?

? 5 ? a ? 中,实数 a 的取值范围是(
B D

? B. f ( ) ? f (?1) ? f (?? ) 3 ? D. f (?1) ? f (?? ) ? f ( ) 3


A a?5 或 a?2 C 2? a ?3 或 3? a ?5

2?a?5

3? a ? 4

? 1 x ( ? ), x ? ?? 1,0? 8.若函数 f ( x) ? ? 4 ,则 f (log4 3) ? ?4 x , x ? ?0,1? ?
1 A. 3





B. 3

1 C. 4

D. 4 )

9. 设集合 A ? {x | 0 ? log2 x ? 1}, B ? {x | x ? a}. 若 A ? B, 则 a 的范围是 ( A. a ? 2 B. a ? 1 C. a ? 1 D. a ? 2

10.如果一个函数 f ( x) 满足: (1) 定义域为 R; (2) 任意 x1 , x2 ? R , 若 x1 ? x2 ? 0 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ; 则 f ( x) 可以是( A. y ? ? x (3)任意 x ? R ,若 t ? 0 , f ( x ? t ) ? f ( x) . ) B. y ? 3
x

C. y ? x

3

D. y ? log3 x

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
11.
f ( x) ? x?4 x ? 1 的定义域为_________________

12.函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? log3 x ( x ? 0 )的图象关于直线 y ? x 对称,则 函数 f ( x) 的解析式为_______________
2 13.函数 y ? 5 ? 4 x ? x 的单调递增区间是_______________

第2页

14.定义集合运算: A ? B ? ?z | z ? x ? y, x ? A, y ? B? .设 A ? ? 1,2?, B ? ?0,2?, 则集合
A ? B 的所有元素之和为

三、 解答题: (共 80 分、 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤)
15. (本题 12 分)计算 (1)2
? 1 2

?

(?4) 0 2

?

1 2 ?1

? (1 ? 5 ) 0

(2)log 2 25 ? log 3

1 1 ? log 5 16 9

16. (本题 12 分)设函数 f ( x) ? log2 (a x ? b x ) 且 f (1) ? 1, f (2) ? log2 12 (1)求 a,b 的值; (2)当 x ? ?1,2? 时,求 f ( x) 最大值

?? x 2 ? 2 x( x ? 0) ? ( x ? 0) 17. (本小题 14 分)已知奇函数 f ( x) ? ?0 ? x 2 ? mx( x ? 0) ?
(1)求实数 m 的值,并在给出的直角坐标系中画出 y ? f ( x) 的图象; (2)若函数 f ( x) 在区间[-1, a -2]上单调递增,试确定 a 的取值范围.

[来源:Ks5u.com]

第3页

18 、 (本小题 14 分)已知 f ( x) 为定义在 (?1,1) 上的奇函数,当 x ? (0,1) 时,
2x f ( x) ? x 2 ?1

(1)证明函数 f ( x) 在 (0,1) 是增函数 (2)求 f ( x) 在(-1,1)上的解析式

x ?x 19. (本小题 14 分)已知函数 f ( x) ? 1 ? 2a ? a (a ? 1) (1)求函数 f ( x) 的值域;

(2)若 x ?[?2,1] 时,函数 f ( x) 的最小值为 ?7 ,求 a 的值和函数 f ( x) 的最 大值。

f ( x) ? 1 ?
20. (本题满分 14 分)已知函数

1 x ,(x>0).

1 1 ? (1) 当0 ? a ? b, 且f (a) ? f (b)时 ,求 a b 的值;

第4页

(2)是否存在实数 a,b(a<b) ,使得函数 y ? f ( x) 的定义域、值域都是[a,b]? 若存在,请求出 a,b 的值,若不存在,请说明理由.

惠州一中高一级 2011—2012 学年度(上)期中考试

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 位置)

数学科答题卷
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)

题号
答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

座号

二.填空题

(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答卷的相应



11. 13.

12. 14.

姓名

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演


线


第5页

算步骤.)

15. (本题 12 分)

16. (本题 12 分)

第6页

17. (本题 14 分)

18. (本题 14 分)

第7页

20. (本题 14 分)

19. (本题 14 分)

?????????????????? 封 ?????????????????????? ?????????????????O

第8页

惠州一中 2011-2012 学年度高一上学期期中考试 数学参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)

1~5

B A D B C

6~10

A C B A C

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

第9页

11、[?4,1) 10

(1, ??) ;

12、 f ( x) ? 3x ;

13、(?5, ?2)(写闭区间也正确) ; 14、

三、解答题:(共 80 分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(1) 2 2 ,

(2) 16.

?log2 ?a ? b ? ? 1 ?a ? b ? 2 ?a ? 4 16. ?1? 由已知得? ?? 2 ?? 2 2 2 ?log2 a ? b ? 12 ?a ? b ? 12 ?b ? 2

?

?

(2)由(1)得 f ( x) ? log2 4 x ? 2 x

?

?

1? 1 ? 令 t ? 4 ? 2 ? ? 2x ? ? ? 2? 4 ?
x x

2

?1 ? x ? 2 ? 2 ? 2 x ? 4 ? ? 2 ? t ? 12 又y ? log2 t在t ? ?2, 12?递增

9 ? x 1? 49 ? ?2 ? ? ? 4 ? 2? 4

2

? x ? 4时,y max ? log2 12 ? 2 ? log2 3

17.(1)当x<0 时,-x>0,f(x)=-(x)2+2(-x)=-x2-2x, 又 f(x)为奇函数,f(x)=-f(-x)=x2+2x,
所以 m=2.

f(x)的图象略.
?? x 2 ? 2 x ? (2)由(1)知 f ( x) = ?0 ?x 2 ? 2x ? ( x ? 0) ( x ? 0) , ( x ? 0)

由图象可知, f ( x) 在[-1,1]上单调递增,要使 f ( x) 在[-1, a -2]上单调递增,只需

?a ? 2 ? ?1 ? ?a ? 2 ? 1

解之得

1? a ? 3

18. ①任取 0 ? x1 ? x2 ? 1 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2 x1 2 x2 2 x1 ? 2 x2 ? ? 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

第 10 页

? 0 ? x1 ? x2 ? 1
? 2 x1 ? 2 x2

2 x1 ? 1 ? 0

2 x2 ? 1 ? 0

? f ( x1 ) ? f ( x2 )
上是增函数 ? f ( x)在(0,1 ) ②当 x ? (?1,0) 时, ? x ? (?1,0)

f (? x) ?

2?x 1 ? x ?x 1? 2 2 ?1
1 2 ?1
x

? f ( x) ? ? f (? x) ? ?
当 x ? 0 时, f (0) ? 0

? 2x ? x 2 ?1 ? ? ? f ( x) ? ? ? 0 ?? 1 ? ? 2x ?1
x

0 ? x ?1 x?0 ?1 ? x ? 0
2 2

19.解:设 a ? t ? 0 ? y ? ?t ? 2t ? 1 ? ?(t ? 1) ? 2 (1)

t ? ?1? (0, ??)

? y ? ?t 2 ? 2t ? 1 在 (0, ??) 上是减函数
…… 6 分

? y ? 1 所以值域为 (??,1)
(2)

x ? [?2,1] a ? 1 ? t ? [

1 , a] a2

由 t ? ?1 ? [

1 , a] a2

所以 y ? ?t 2 ? 2t ? 1 在 [

1 , a ] 上是减函数 a2

?a2 ? 2a ? 1 ? ?7 ?a ? 2 或 a ? ?4 (不合题意舍去)
1 1 ? 时 y 有最大值, a2 4 1 2 1 7 即 ymax ? ?( ) ? 2 ? ? 1 ? 4 4 16
当t ? 20.解: (1) ∵x>0,

…… 14 分

第 11 页



? 1 1 ? , x ? 1, ? ? x f (x) ? ? ? 1 ? 1, 0 ? x ? 1. ? ?x
∴f(x)在(0,1)上为减函数,在 (1, ??) 上是增函数.

1 1 1 1 ?1 ? 1? ? ?2 b .即 a b 由 0<a<b,且 f(a)=f(b),可得 0<a ? 1<b 和 a .
(2)不存在满足条件的实数 a,b.

f (x) ? 1 ?
若存在满足条件的实数 a,b,使得函数 y=

1 x 的定义域、值域都是[a,b],则 a>0

? 1 1 ? , x ? 1, ? ? x f ( x) ? ? ? 1 ? 1, 0 ? x ? 1. ? ?x 而
①当 a , b ? (0,1) 时,

f (x) ?

1 ?1 x 在(0,1)上为减函数.

?f (a ) ? b, ? f (b) ? a. 故?



?1 ? 1 ? b, ? ?a ? ? 1 ? 1 ? a. ? ?b 解得 a=b.
1 x 在 (1, ??) 上是增函数.

故此时不存在适合条件的实数 a,b. ② 当 a , b ? [1,??) 时,

f (x) ? 1 ?

?f (a ) ? a, ? f (b) ? b. 故?



? 1 1 ? ? a, ? ? a ? ?1 ? 1 ? b. ? ? b

2 此时 a,b 是方程 x ? x ? 1 ? 0 的根,此方程无实根.故此时不存在适合条件的实数 a,b.

第 12 页

③ 当 a ? (0,1) , b ? [1,??) 时,由于 1 ? [a , b] ,而 f (1) ? 0 ? [a, b] ,故此时不存在适合条件的 实数 a,b. 综上可知,不存在适合条件的实数 a,b.

第 13 页


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