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《反证法与缩放法》课件4


不等式证明
复习 不等式证明的常用方法:
(1)比较法(2)综合法(3)分析法

新课 (1)反证法(2)放缩法

(1)反证法
先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条 件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到 和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实 等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成 立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难 的命题常常用反证法证明. (正难则反) 反证法主要适用于以下两种情形

(1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件 推出结论的线索不够清晰;
(2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论 而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形.

例1 已 知x , y ? 0, 且x ? y ? 2, 1? x 1? y 试证 , 中至少有一个小于 2. y x 1? x 1? y 证明 : 假设 , 都不小于2, y x

1? x 1? y 即 ? 2, 且 ? 2, y x ? x , y ? 0,? 1 ? x ? 2 y , 1 ? y ? 2 x , ? 2 ? x ? y ? 2( x ? y ) ? x ? y ? 2, 这与已知条件x ? y ? 2矛盾. 1? x 1? y ? 与 中至少有一个小于2 y x

例2、已知a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0, abc > 0, 求证:a, b, c > 0 证:设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c > ?a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 若a = 0,则与abc > 0矛盾, ∴必有a > 0 同理可证:b > 0, c > 0

例3、设0 < a, b, c < 1,求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a, 不可能同时大于1/4

证明:设(1 ? a)b>1/4, (1 ? b)c>1/4,
(1 ? c)a>1/4,
1 则三式相乘: (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a > 64
又∵0 < a, b, c < 1



1 以上三式相乘: (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤ 64 与①矛盾∴结论成立

1 1 ( 1 ? b ) b ? (1 ? c )c ? 同理: 4 4

1 ? (1 ? a ) ? a ? ? ∴0 ? (1 ? a )a ? ? ? 2 4 ? ?

2

练.设 a 3 ? b3 ? 2 ,求证:
证明:假设 a ? b

a ? b ≤ 2.

? 2,则有 a ? 2 ? b ,从而

a 3 ? 8 ? 12b ? 6b2 ? b3 , a 3 ? b3 ? 6b2 ? 12b ? 8 ? 6(b ? 1)2 ? 2.

因为 6(b ? 1)2 ? 2 ≥ 2 , 所以 a 3 ? b3 ? 2 , 这与题 设条件 a 3 ? b3 ? 2 矛盾, 所以, 原不等式 a ? b ≤ 2 成 立.

(2)放缩法

证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或 缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确 或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达 到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.
通常放大或缩小的方法是不唯一的,因而放缩法具有 较在原灵活性;另外,用放缩法证明不等式,关键是放、 缩适当,否则就不能达到目的,因此放缩法是技巧性较 强的一种证法.

例1: 已知a, b, c, d ? R? ,求证 a b c d 1? ? ? ? ?2 a ?b?d b?c?a c?d ?b d ?a ?c
证明 : ? a , b, c , d ? 0, a a a ? ? ? a?b?c?d a?b?d a ? b b b b ? ? a?b?c?d b?c?a a ? b c c c ? ? a?b?c?d c?d ?b c?d d d d ? ? a?b?c?d d ?a?c c? d

把以上四个不等式相加 得 a?b?c?d a b c d ? ? ? ? a?b?c?d a?b?d b?c?a c?b?d d ?a?c a?b c?d ? ? . 即 a?b c?d a b c d 1? ? ? ? ?2 a?b?d b?c?a c?b?a d ?a?c

放缩法就是将不等式的 一边放大或缩小, 寻找一个 中间量, 如将A放大成C , 即A ? C , 后证C ? B .常用的 放缩技巧有 : (1)舍掉(或加进)一些项; ( 2)在分式中放大或缩小分 子或分母; ( 3)应用基本不等式进行放 缩 .如 1 2 3 1 2 ① (a ? ) ? ? (a ? ) ; 2 4 2 1 1 1 1 1 2 ② 2? , 2 ? , ? , k ( k ? 1) k k ( k ? 1) k k ? k ?1 k 1 2 ? (以上k ? 2且k ? N ? ) k k ? k ?1

例2:已知a,b是实数,求证: a+b 1? a ? b ? a 1? a ? b 1? b .

?0 ? a ? b ? a ? b ,
1 ? ? ? 1? 1? a ? b 1? a ? b 1? a ? b a ?b 1 ? ? 1? 1? a ? b 1? a | ? | b
a b b |a| ? ? . ? ? 1? a 1? b 1? a ? b 1? a ? b

a?b

a ? b ?1?1

例3:求证: 1 1 1 * 2( n+1-1)<1+ ? ? ... ? ? 2 n (n ? n ) 2 3 n
1 2 2 ? ? ? ? 2( k ? k ? 1), k ? N * k 2 k k ? k ?1
1 1 1 ?1 ? ? ? ??? ? 2 3 n ? 2[( 1 ? 0) ? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2) ? ??? ? ( n ? n ? 1)] ? 2 n.

例4:巳知:a、b、c∈
2 2 2

R ?,求证:
2

a ? ab ? b ? a ? ac ? c ? a ? b ? c
略 解

a ? ab ? b ?
2 2

a ? ac ? c
2

2

?

a 2 3 2 (b ? ) ? a ? 2 4

a 2 3 2 (c ? ) ? a 2 4

a 2 ? (b ? ) ? 2 ? a?b?c

a 2 (c ? ) 2


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