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导与练普通班2017届高三数学一轮复习第十五篇坐标系与参数方程第1节坐标系课件理


第十五篇 坐标系与参数方程(选修4—4)

第1节 坐标系

最新考纲 1.了解坐标系的作用,了解在 平面直角坐标系伸缩变换作 用下平面图形的变化情况.

2.了解极坐标的基本概念,会在极 坐标系中用极坐标刻画点的位置, 能进行极坐标和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形表 示的极坐标方程.

知识链条完善
考点专项突破 经典考题研析

知识链条完善

把散落的知识连起来
知识梳理

1.平面直角坐标系中的伸缩变换
? ? x ' ? ? ? x ? ? ? 0? , 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ? : ? 的作 ? ? y ' ? ? ? y ? ? ? 0?

用下,点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′),称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩 变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系 (1)设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的 极径 ,记为ρ .以极轴 Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的 极角 ,记为θ .有序数对(ρ ,θ )叫 做点M的极坐标,记为M(ρ ,θ ).

(2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作 为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设 M 是平面内任意一点,它的直 ρ cos θ 角坐标是(x,y),极坐标为(ρ ,θ ),则它们之间的关系为 x= , y=
ρ sin θ
2+y2 x ,由此得ρ =
2

,tan θ =

y ? x ? 0? . x

3.常用简单曲线的极坐标方程 曲线 圆心在极点,半径为 r 的圆 圆心为(r,0),半径为 r 的圆

图形

极坐标方程 ρ =r ρ =2rcos θ (-

π π <θ ≤ ) 2 2

? π? 圆心为 ? r , ? ,半径为 r 的圆 ? 2?
过极点,倾斜角为α 的直线 过点(a,0),与极轴垂直的直线
? π? 过点 ? ? , ? ,与极轴平行的直线 ? 2?

ρ =2rsin θ (0≤θ <π ) θ =α (ρ ∈R) 或θ =π +α (ρ ∈R) ρ cos θ =a ρ sin θ =a

夯基自测
? x ' ? 3x, 1.直线 3x-2y+1=0 经过变换 ? 后的直线方程为 y ' ? 2 y ?
? x? ? x ' ? 3x, ? ? 解析:由变换 ? 得? ?y' ? 2y ? y ? ? ? x' , 3 代入直线方程, y' , 2

.

得 3×

x' y' -2× +1=0,得 x′-y′+1=0,即变换后的直线方程为 x-y+1=0. 3 2

答案:x-y+1=0

? π? 2.(2015 高考北京卷)在极坐标系中,点 ? 2, ? 到直线ρ (cos θ + 3 sin θ )= ? 3?

6 的距离为

.

解析:由极坐标与直角坐标的互化公式可得极坐标系中点(2,

π )对应的直角 3

坐标为(1, 3 ),直线ρ(cos θ+ 3 sin θ)=6 对应的直角坐标方程为 x+ 3 y =6,由点到直线距离公式可得,所求距离为
答案:1

1? 3 ? 3 ? 6 12 ?

? 3?

2

=1.

3.(2015 高考安徽卷)在极坐标系中,圆ρ =8sin θ 上的点到直线θ = (ρ ∈R)距离的最大值是 .

π 3

解析:圆ρ=8sin θ化为直角坐标方程为 x2+y2=8y,即 x2+(y-4)2=16, 直线θ=

π (ρ∈R)化为直角坐标方程为 y= 3 x. 3
?4

圆心(0,4)到直线 3 x-y=0 的距离 d=

? 3?

2

? ? ?1?

=2.
2

又圆的半径为 4,故圆上的点到直线距离的最大值是 2+4=6.
答案:6

4.(2014高考广东卷)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρ sin2θ =cos θ 和 ρ sin θ =1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直 角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为
2 2 2

.

解析:C1 的方程可化为ρ sin θ=ρcos θ,即 y =x, C2 的方程可化为 y=1,
? y 2 ? x, ? x ? 1, ? 由? 得? ? ? y ? 1, ? y ? 1.

所以 C1 与 C2 交点的直角坐标为(1,1).
答案:(1,1)

5.给出下列命题:

?3x ' ? x, ①点(3,2)经过伸缩变换 ? : ? 后所得点的坐标为(1,1); ?2 y ' ? y
②将函数 y=sin 2x 的图象的横坐标伸长到原来的 2 倍,得到函数 y=sin x 的图象; ③在极坐标系中,点(2,

π 5π )与(2,)为同一点; 3 3
.(写出所有正确命题的序号)

④在极坐标系中,方程ρ cos θ =1 表示圆. 其中正确命题的序号是

1 ? x ' ? x, ? ? 3 解析:①正确.在平面直角坐标系中,已知伸缩变换为 ? : ? ? y ' ? 1 y, ? 2 ?

则点(3,2)经过变换 ? 后的点的坐标为(1,1); ②正确.将函数 y=sin 2x 的图象的横坐标伸长到原来的 2 倍,得到函数
1 y=sin[2( x)]=sin x 的图象; 2

π π ③正确.极坐标系中,点(2, )与(2, +2kπ) (k∈Z)为同一点. 3 3
④错误.极坐标系中,方程ρcos θ=1 表示垂直于极轴的直线.
答案:①②③

考点专项突破
x2 y 2 圆 + =1. 9 4

在讲练中理解知识
2 2

考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换
【例 1】 在同一平面直角坐标系中,求一个伸缩变换,使得圆 x +y =1 变换为椭

2 2 ? ? 2 x2 ? 2 y 2 ? x ' ? ? x ? ? ? 0? , ??? 2 ??? 2 解:设伸缩变换为 ? 由题知 + =1,即 ? ? x + ? ? y =1. 9 4 ?3? ?2? ? ? y ' ? ? y ? ? ? 0? ,

?? ? ? 2 ?? ? ? 1, ?? ? 3, ? x ' ? 3x, ?? 3 ? 2 2 与 x2+y2=1 比较系数,得 ? 故 所以伸缩变换为 即先使圆 x +y =1 ? ? 2 ? ? 2, ? ?y' ? 2y ?? ? ? ? 1, ?? 2 ? ?? ?

x2 2 上的点的纵坐标不变,将圆上的点的横坐标伸长到原来的 3 倍,得到椭圆 +y =1,再将 9 x2 y 2 该椭圆的点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 2 倍,得到椭圆 + =1. 9 4

? ? x ' ? ? x ? ? ? 0? , 反思归纳 平面上的曲线 y=f(x)在变换 ? : ? 的作用下得 ? ? y ' ? ? y ? ? ? 0?

? x? ? ? 到的方程的求法是将 ? ?y ? ? ?

x'

?
y'

,

代入 y=f(x),得

?

? x' ? =f ? ? ,整理之后得到 ? ???
y'

y′=h(x′),即为所求变换之后的方程.

? x ' ? 2 x, 【即时训练】 若函数 y=f(x)的图象在伸缩变换 ? : ? 的作用下得到曲 ? y ' ? 3y
线的方程为 y′=3sin(x′+

π ),求函数 y=f(x)的最小正周期. 6

解:由题意,把变换公式代入曲线 y′=3sin(x′+ 3y=3sin(2x+

π )得 6

π π π ),整理得 y=sin(2x+ ),故 f(x)=sin(2x+ ). 6 6 6
2π =π. 2

所以 y=f(x)的最小正周期为

考点二

极坐标与直角坐标的互化

【例2】 (2015高考新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程; 解:(1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,

C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.

(2)若直线 C3 的极坐标方程为θ = 的面积.

π (ρ ∈R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△C2MN 4

解:(2)将θ=

π 代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0, 4
1 . 2

2 得ρ -3 2 ρ+4=0,解得ρ1=2 2 ,ρ2= 2 ,故ρ1-ρ2= 2 ,即|MN|= 2 .

由于 C2 的半径为 1,所以△C2MN 的面积为

反思归纳

(1)直角坐标方程化为极坐标方程,只要运用公式

x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入并化简即可;(2)极坐标方程化为 直角坐标方程时常通过变形,构造形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形 式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边 平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须同解,因此应 注意对变形过程的检验.

【即时训练】 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐
π? ? 标系.曲线 C 的极坐标方程为ρ cos ? ? ? ? =1(0≤θ <2π ),M,N 分别为 C 与 x 3? ?

轴、y 轴的交点. (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M、N 的极坐标;
?1 ? 3 π? ? cos ? ? sin ? ? 解:(1)由ρcos ? ? ? ? =1 得ρ ? =1. ? ? 2 3? ? ?2 ?

从而 C 的直角坐标方程为

3 1 x+ y=1,即 x+ 3 y=2. 2 2

当θ=0 时,ρ=2,所以 M(2,0).
?2 3 π? 2 3 π , ? 当θ= 时,ρ= ,所以 N ? . ? ? 3 2 3 2 ? ?

(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.

? 2 3? 解:(2)M 点的直角坐标为(2,0).N 点的直角坐标为 ? ? 0, 3 ? ?. ? ? ? ?2 3 π? 3? 所以 P 点的直角坐标为 ? ?1, 3 ? ? ,则 P 点的极坐标为 ? ? 3 ,6? ?, ? ? ? ?

π 所以直线 OP 的极坐标方程为θ= (ρ∈R). 6

考点三

简单曲线的极坐标方程及应用

【例3】 在极坐标系中,已知曲线C1与C2的极坐标方程分别为ρ =2sin θ 与 ρ cos θ =-1(0≤θ <2π ),求: (1)两曲线(含直线)的公共点P的极坐标;

? x ? ? cos? , 解:(1)由公式 ? 得曲线 C1:ρ=2sin θ与 C2:ρcos θ ? y ? ? sin ?
=-1(0≤θ<2π)的直角坐标方程分别为 x +y =2y,x=-1.
?? ? x2 ? y 2 , ? x ? ?1. ? 联立方程组,解得 ? 由公式 ? y y ? 1. ? ? tan ? ? ? x ? 0 ? x ?
2 2

得点 P(-1,1)的极坐标为( 2 ,

3π ). 4

(2)过点 P 被曲线 C1 截得弦长为 2 的直线的极坐标方程.
解:(2)由(1)可知,曲线 C1:ρ=2sin θ即圆 x +(y-1) =1,如图所示, 过 P(-1,1)被曲线 C1 截得弦长为 2 的直线有两条:
2 2

3π 一条过原点 O,倾斜角为 ,直线的直角坐标方 4
程为 y=-x,极坐标方程为θ=

3π (ρ∈R); 4

π 另一条过点 A(0,2),倾斜角为 ,直线的直角坐标方程为 y=x+2,极坐 4 π 标方程为ρ(sin θ-cos θ)=2,即ρsin (θ- )= 2 . 4

反思归纳

(1)求曲线的极坐标方程,就是找出动点M的坐标ρ与

θ之间的关系,然后列出方程f(ρ,θ)=0,再化简并检验特殊点. (2)极坐标方程涉及的是长度与角度,因此列方程的实质是解三角形.

(3)极坐标方程应用时多化为直角坐标方程求解,然后再转化为极坐
标方程,注意方程的等价性.

【即时训练】 已知☉O1 和☉O2 的极坐标方程分别是ρ =2cos θ 和ρ =2asin θ (a 是非零常数). (1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若两圆的圆心距为 5 ,求 a 的值.
解:(1)由ρ=2cos θ得ρ2=2ρcos θ. 所以☉O1的直角坐标方程为x2+y2=2x,

即(x-1)2+y2=1.
由ρ=2asin θ得ρ2=2aρsin θ. 所以☉O2的直角坐标方程为x2+y2=2ay,

即x2+(y-a)2=a2.

(2)O1 与☉O2 的圆心距为 12 ? a 2 = 5 ,解得 a=±2.

备选例题
【例 1】求直线ρ =

π 5 关于θ = (ρ ∈R)对称的直线方程. 3cos? ? 2sin ? 4
π (ρ∈R)的对 4

解:法一 设点 P(ρ,θ)为所求直线上一点,该点关于θ=
? ? ? ?0 , ? ?0 ? ? , ? ? 称点为 P0(ρ0,θ0),则 ? 所以 ? π π ? ? ? ? , ? ? ??. 0 ? ? 0 2 2 ? ?

又 P0(ρ0,θ0)在已知直线上,所以ρ=

5 ?π ? ?π ? 3cos ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? ?2 ? ?2 ?

=

5 5 .故所求直线方程为ρ= . 3sin ? ? 2cos? 3sin ? ? 2cos?

法二

ρ=

5 化为直角坐标方程为 3x-2y=5, 3sin ? ? 2cos?

θ=

π (ρ∈R)化为直角坐标方程为 y=x, 4

3x-2y=5 关于 y=x 的对称直线方程为 3y-2x=5. 化为极坐标方程为 3ρsin θ-2ρcos θ=5, 即ρ=
5 . 3sin ? ? 2cos?

π 【例 2】 在极坐标系中定点 A(1, ),点 B 在直线 2
l:ρ cos θ +ρ sin θ =0(0≤θ <2π )上运动,当线 段 AB 最短时,求点 B 的极坐标.
解:因为ρcos θ+ρsin θ=0,所以 cos θ=-sin θ,tan θ=-1. 所以直线 l 的极坐标方程化为θ=

3π (ρ∈R)(直线如图). 4
2 . 2

过 A 作 AB 垂直 l,垂足为 B,此时 AB 最短.易得|OB|= 所以 B 点的极坐标为(
2 3π , ). 2 4

【例 3】 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标 系,设☉C 的极坐标方程为ρ =2sin θ ,点 P 为☉C 上一动点,点 M 的极坐标为 (4,

π ),点 Q 为线段 PM 的中点. 2

(1)求点 Q 的轨迹 C1 的方程;
解:(1)由☉C 的极坐标方程为ρ=2sin θ得ρ =2ρsin θ,所以☉C 的直角坐 标方程为 x +y -2y=0,又点 M 的极坐标为(4,
2 2 2 2

π ),所以点 M 的直角坐标为(0,4). 2
2

设点 P(x0,y0),点 Q(x,y),则有 x 02 +(y0-1) =1.(*)因为点 Q 为线段 PM 的中点,所

? x ? 2 x, 5? 1 2 ? 以? 0 代入(*)得轨迹 C1 的方程为 x + ? y ? ? = . 2? 4 ? ? y0 ? 2 y ? 4,

(2)试判定轨迹C1和☉C的位置关系,并说明理由.
解:(2)因为☉C 的直角坐标方程为 x2+(y-1)2=1,圆心为(0,1),半径为 1,
1 3 ? 5? 而轨迹 C1 是圆心为 ? 0, ? ,半径为 的圆,所以两圆的圆心距为 ,等于 2 2 ? 2?

两圆半径和,所以两圆外切.

经典考题研析

在经典中学习方法
极坐标方程的应用

【典例】(2015 高考新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,曲线

? x ? t cos? , C1: ? (t 为参数,t≠0),其中 0≤α <π .在以 O 为极点,x 轴正半 ? y ? t sin ?
轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ =2sin θ ,C3:ρ =2 3 cos θ . (1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求|AB|的最大值.

审题指导 关键点 求曲线 C2 与 C3 交点的直 角坐标

所获信息 化曲线 C2 与 C3 的极坐标方程为直角坐标方程

化曲线 C1 的参数方程为极坐标方程, 利用极坐 求|AB|的最大值 标求距离最大值 解题突破:(1)联立曲线 C2 与 C3 的直角坐标方程;(2)由两点间距离公式和 三角恒等变换求|AB|的最大值.
解:(1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x +y -2y=0,曲线 C3 的直角坐标方程为 ? 3 2 2 x ? , ? ? x ? 0, ? ? x ? y ? 2 y ? 0, ? 2 2 2 x +y -2 3 x=0.联立 ? 2 解得 或 ? ? 2 ? ? y ? 0, ? y ? 3 . ? x ? y ? 2 3 x ? 0, ? 2 ? 所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和(
2 2

3 3 , ). 2 2

(2)曲线 C1 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中 0≤α<π. 因此 A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2 3 cos α,α). 所以|AB|=|2sin α-2 3 cos α|=4|sin(α|AB|取得最大值,最大值为 4.
命题意图:通过极坐标方程与直角坐标方程之间互化考查了极坐标与直
角坐标以及极坐标系中的距离公式,体现了化归与转化的数学思想、属 中下等题.

π 5π )|.当α= 时, 3 6


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