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已知正方形ABCD中


【011】已知正方形 ABCD 中,E 为对角线 BD 上一点,过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F,连接 DF,G 为 DF 中点,连接 EG,CG. (1)求证:EG=CG; (2)将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45?,如图②所示,取 DF 中点 G,连接 EG,CG.问(1) 中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. (3)将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否 仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)
A D A G G E F E F E D A D

B

F 第 24 题图①

C

B 第 24 题图②

C

B 第 24 题图③

C

解: (1)证明:在 Rt△FCD 中,∵G 为 DF 的中点,∴ CG= FD.………1 分 同理,在 Rt△DEF 中,EG= FD.…………2 分∴ CG=EG.…………………3 分 (2) (1)中结论仍然成立,即 EG=CG.…………………………4 分 证法一:连接 AG,过 G 点作 MN⊥AD 于 M,与 EF 的延长线交于 N 点. 在△DAG 与△DCG 中,∵ AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG, ∴ △DAG≌△DCG.∴ AG=CG.………………………5 分 在△DMG 与△FNG 中,∵ ∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG, ∴ △DMG≌△FNG.∴ MG=NG 在矩形 AENM 中,AM=EN. ……………6 分 在 Rt△AMG 与 Rt△ENG 中,∵ AM=EN, MG=NG, ∴ △AMG≌△ENG.∴ AG=EG.∴ EG=CG. ……………………………8 分 证法二:延长 CG 至 M,使 MG=CG, 连接 MF,ME,EC, ……………………4 分 在△DCG 与△FMG 中,∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG, ∴△DCG ≌△FMG.∴MF=CD,∠FMG=∠DCG. ∴MF∥CD∥AB.………………………5 分∴ 在 Rt△MFE 与 Rt△CBE 中, ∵ MF=CB,EF=BE,∴△MFE ≌△CBE.∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°.∴ △ MEC 为直角三角形.∵ MG = CG,∴ EG= MC.………8 分 (3) (1)中的结论仍然成立,即 EG=CG.其他的结论还有:EG⊥CG.……10 分
1

【012】如图,在平面直角坐标系 xOy 中,半径为 1 的圆的圆心 O 在坐标原点,且与两坐标轴分别交于

A、B、C、D 四点. C 抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 y 轴交于点 D , 与直线 y ? x 交于点 M 、N , M 、 且 A N
y 分别与圆 O 相切于点 A 和点 C . (1)求抛物线的解析式; (2)抛物线的对称轴交 x 轴于点 E ,连结 DE , 并延长 DE 交圆 O 于 F ,求 EF 的长. (3)过点 B 作圆 O 的切线交 DC 的延长线于点 P , 判断点 P 是否在抛物线上,说明理由. 【012】解: (1)? 圆心 O 在坐标原点,圆 O 的半径为 1, A M D E O B C F x N

0) ? 0) 1) ? 点 A、B、C、D 的坐标分别为 A(?1,、B(0, 1)、C (1,、D(0,

? 抛物线与直线 y ? x 交于点 M 、N ,且 MA、NC 分别与圆 O 相切于点 A 和点 C ,
? , 1) ? , ? M (?1, 1)、N (11) . ? 点 D、M 、N 在 抛 物 线 上 , 将 D(0,、M (?1, 1)、N (11) 的 坐 标 代 入

?c ? 1 ? y ? ax ? bx ? c ,得: ? ?1 ? a ? b ? c ?1 ? a ? b ? c ?
2

? a ? ?1 ? 解之,得: ?b ? 1 ?c ? 1 ?

··········· ·········· ····· ·········· ··········· ···· 4 ? 抛物线的解析式为: y ? ? x2 ? x ? 1. ·························· 分 (2)? y ? ? x 2 ? x ? 1 ? ? ? x ?

? ?

1? 5 ? ? 2? 4

2

y D E A M O B C F x P N

? 抛物线的对称轴为 x ?

1 , 2

1 1 5 ?OE ? ,DE ? ?1 ? . ········ 分 ······· 6 ······· 2 4 2
连结 BF,?BFD ? 90° ,

?△BFD ∽△EOD ,?
又 DE ?

DE OD ? , DB FD

5 ,OD ? 1,DB ? 2 , 2 4 5 , 5 4 5 5 3 5 . ··········· ··········· ···· 分 ··········· ·········· ···· 8 ·········· ··········· ···· ? ? 5 2 10

? FD ?

? EF ? FD ? DE ?

(3)点 P 在抛物线上.···································9 分 ··········· ·········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ··· 设过 D、C 点的直线为: y ? kx ? b ,
2

, 将点 C (1 0) D(0, 的坐标代入 y ? kx ? b ,得: k ? ?1 b ? 1 , ,、 1)
······························· 10 ·········· ··········· ·········· ? 直线 DC 为: y ? ? x ? 1 . ································ 分 过点 B 作圆 O 的切线 BP 与 x 轴平行, P 点的纵坐标为 y ? ?1 , 将 y ? ?1 代入 y ? ? x ? 1 ,得: x ? 2 .

? ? P 点的坐标为 (2, 1) ,当 x ? 2 时, y ? ? x2 ? x ? 1 ? ?22 ? 2 ? 1 ? ?1 ,
所以, P 点在抛物线 y ? ? x2 ? x ? 1上.························· 12 分 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ···· 【013】如图,抛物线经过 A(4,,B(1 0) C (0, 2) 三点. 0) ,, ? (1)求出抛物线的解析式; (2)P 是抛物线上一动点,过 P 作 PM ? x 轴,垂足为 M,是否存在 P 点,使得以 A,P,M 为顶点 的三角形与 △OAC 相似?若存在,请求出符合条件的点 P 的坐标; y 若不存在,请说明理由; (3)在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D, 使得 △DCA 的面积最大,求出点 D 的坐标. x O B1 4A 【013】解: (1)? 该抛物线过点 C (0, 2) , ?
?2

? 可设该抛物线的解析式为 y ? ax ? bx ? 2 .
2

C

(第 26 题图)

将 A(4, , B(1, 代入, 0) 0)

1 ? a?? , 16a ? 4b ? 2 ? 0, ? ? ? 2 得? 解得 ? ?a ? b ? 2 ? 0. ?b ? 5 . ? ? 2
1 5 ···················· (3 ·········· ·········· ? 此抛物线的解析式为 y ? ? x 2 ? x ? 2 . ····················· 分) 2 2
(2)存在. ·······································(4 分) ··········· ·········· ··········· ······· ·········· ··········· ··········· ······ 如图,设 P 点的横坐标为 m , y 1 2 5 D P 则 P 点的纵坐标为 ? m ? m ? 2 , 2 2 A B 当 1 ? m ? 4 时, M 4 1 x O 1 5 E AM ? 4 ? m , PM ? ? m 2 ? m ? 2 . ?2 2 2 C 又? ?COA ? ?PMA ? 90° , (第 26 题图)

? ①当

AM AO 2 ? ? 时, PM OC 1 △ APM ∽△ ACO ,

3

即 4 ? m ? 2? ?

? 1 2 5 ? m ? m ? 2? . 2 ? 2 ?

解得 m1 ? 2 m2 ? 4 (舍去) ? P(2, . ······················ (6 分) , ·········· ··········· · 1) ······················ , ②当

AM OC 1 1 5 ? ? 时, △ APM ∽△CAO ,即 2(4 ? m) ? ? m 2 ? m ? 2 . PM OA 2 2 2

解得 m1 ? 4 , m2 ? 5 (均不合题意,舍去) ·········· ··········· ········ 1) ····························· (7 ? 当 1 ? m ? 4 时, P(2, . ······························ 分) 类似地可求出当 m ? 4 时, P(5, 2) . ························(8 分) ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ·· ? 当 m ? 1 时, P( ? 3, 14) . ? 综上所述,符合条件的点 P 为 (2, 或 (5, 2) 或 ( ? 3, 14) . ···········(9 分) ··········· ·········· 1) ? ?

1 2 5 t ? t?2. 2 2 1 过 D 作 y 轴的平行线交 AC 于 E .由题意可求得直线 AC 的解析式为 y ? x ? 2 .(10 分) 2
(3)如图,设 D 点的横坐标为 t (0 ? t ? 4) ,则 D 点的纵坐标为 ?

? E 点的坐标为 ? t, t ? 2 ? .? DE ? ? t 2 ? t ? 2 ? ? t ? 2 ? ? ? t 2 ? 2t .·(11 分) ·

? 1 ? 2

? ?

1 2

5 2

?1 ?2

? ?

1 2

1 ? 1 ? ? S△DAC ? ? ? ? t 2 ? 2t ? ? 4 ? ?t 2 ? 4t ? ?(t ? 2)2 ? 4 . 2 ? 2 ?
·········· ········· 1) ··················· ? 当 t ? 2 时, △DAC 面积最大.? D(2, . ··················· (13 分) 【014】在平面直角坐标中,边长为 2 的正方形 OABC 的两顶点

A 、 C 分别在 y 轴、 x 轴的正半轴上,点 O 在原点.现将正方形

y y?x
A M B

OABC 绕 O 点顺时针旋转,
当 A 点第一次落在直线 y ? x 上时停止旋转,旋转过程中,

AB 边交直线 y ? x 于点 M , BC 边交 x 轴于点 N (如图).
(1)求边 OA 在旋转过程中所扫过的面积; (2)旋转过程中,当 MN 和 AC 平行时,求正方形 OABC 旋转的度数; (3)设 ?MBN 的周长为 p ,在旋转正方形 OABC 的过程中, p 值是否有变化?请证明你的结论.
0 【014】 (1)解:∵ A 点第一次落在直线 y ? x 上时停止旋转,∴ OA 旋转了 45 .

O C
(第 26 题)

N

x

4

45? ? 22 ? ∴ OA 在旋转过程中所扫过的面积为 ? .……………4 分 360 2
(2)解:∵ MN ∥ AC ,∴ ?BMN ? ?BAC ? 45? , ?BNM ? ?BCA ? 45? . ∴ ?BMN ? ?BNM .∴ BM ? BN .又∵ BA ? BC ,∴ AM ? CN .

? 又 ∵ O A
?AOM ?

O ,C ?OAM ? ?OCN , ∴ ?OAM ? ?OCN . ∴ ?AOM ? ?CON . ∴

1 (90? ? 45?? ? ????? .∴旋转过程中,当 MN 和 AC 平行时,正方形 OABC 旋转的度数为 2

45? ? ????? ? ????? .……………………………………………8 分
(3)答: p 值无变化. 证明:延长 BA 交 y 轴于 E 点,则 ?AOE ? 450 ? ?AOM ,

?CON ? 900 ? 450 ? ?AOM ? 450 ? ?AOM

, ∴

?A O E ? C . O又N ∵ O A ? ?

O, C

?OAE ? 1800 ? 900 ? 900 ? ?OCN .∴ ?OAE ? ?OCN .∴ OE ? ON , AE ? CN .
0 又∵ ?MOE ? ?MON ? 45 , OM ? OM , ∴ ?OME ? ?OMN .

y y?x
A M B

∴ MN ? ME ? AM ? AE .∴ MN ? AM ? CN , ∴ p ? MN ? BN ? BM ? AM ? CN ? BN ? BM ? AB ? BC ? 4 . ∴在旋转正方形 OABC 的过程中, p 值无变化. ……………12 分

E

O C

N

x

(第 26 题)

【015】如图,二次函数的图象经过点 D(0, 7 3 ),且顶点 C 的横坐标为 4,该图象在 x 轴上截得的线段 9 AB 的长为 6. ⑴求二次函数的解析式; ⑵在该抛物线的对称轴上找一点 P,使 PA+PD 最小,求出点 P 的坐标; ⑶在抛物线上是否存在点 Q,使△QAB 与△ABC 相似?如果存在,求出点 Q 的坐标;如果不存在, 请说明理由.

5

【015】⑴设二次函数的解析式为:y=a(x-h) +k∵顶点 C 的横坐标为 4,且过点(0, 7 3 ) 9
2

∴y=a(x-4) +k

2

7 3 ? 16 a ? k 9

………………① ∴A(1,0),B(7,0)

又∵对称轴为直线 x=4,图象在 x 轴上截得的线段长为 6

∴0=9a+k ………………②由①②解得 a= 3 ,k=- 3 ∴二次函数的解析式为:y= 3 (x-4)2- 3 9 9 ⑵∵点 A、 关于直线 x=4 对称 ∴PA=PB ∴PA+PD=PB+PD≥DB ∴当点 P 在线段 DB 上时 PA+PD 取得最小值 ∴ B DB 与对称轴的交点即为所求点 P 设直线 x=4 与 x 轴交于点 M ∵PM∥OD,∴∠BPM=∠BDO,又∠PBM=∠DBO ∴△BPM∽△BDO∴ PM ? BM DO BO
7 3 ?3 3 ∴点 P 的坐标为(4, 3 ) ∴ PM ? 9 ? 3 7 3

⑶由⑴知点 C(4, ? 3 ),又∵AM=3,∴在 Rt△AMC 中,cot∠ACM= 3 , 3 ∴∠ACM=60 ,∵AC=BC,∴∠ACB=120
o o

①当点 Q 在 x 轴上方时,过 Q 作 QN⊥x 轴于 N 如果 AB=BQ,由△ABC∽△ABQ 有 BQ=6,∠ABQ=120 ,则∠QBN=60 ∴QN=3 3 ,BN=3,ON=10,此时点 Q(10, 3 3 ), 如果 AB=AQ,由对称性知 Q(-2, 3 3 ) ②当点 Q 在 x 轴下方时,△QAB 就是△ACB,此时点 Q 的坐标是(4, ? 3 ), 经检验,点(10, 3 3 )与(-2, 3 3 )都在抛物线上
o o

综上所述,存在这样的点 Q, 使△QAB∽△ABC y 点 Q 的坐标为(10, 3 3 )或(-2, 3 3 )或(4, ? 3 ). 3 【016】如图 9,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A(3, . 3) (1)求正比例函数和反比例函数的解析式; D A B O 3 C 6 x

6

(2)把直线 OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点 B(6,m) , 求 m 的值和这个一次函数的解析式; (3)第(2)问中的一次函数的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 C、D, 求过 A、B、D 三点的二次函数的解析式; (4)在第(3)问的条件下,二次函数的图象上是否存在点 E, 使四边形 OECD 的面积 S1 与四边形 OABD 的面积 S 满足: S1 ? ?若存在,求点 E 的坐标; 若不存在,请说明理由. 【016】解: (1)设正比例函数的解析式为 y ? k1 x(k1 ? 0) , 因为 y ? k1 x 的图象过点 A(3, ,所以 3 ? 3k1 ,解得 k1 ? 1 . 3) 这个正比例函数的解析式为 y ? x . ··························(1 分) ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ···· 设反比例函数的解析式为 y ?

2 S 3

k2 k (k2 ? 0) .因为 y ? 2 的图象过点 A(3, ,所以 3) x x k 9 3 ? 2 ,解得 k2 ? 9 .这个反比例函数的解析式为 y ? .·············(2 分) ··········· ·· ·········· ·· 3 x 9 9 3 ? 3? 的图象上,所以 m ? ? ,则点 B ? 6, ? .··· (3 分) ··· ··· x 6 2 ? 2?

(2)因为点 B(6,m) 在 y ?

设一次函数解析式为 y ? k3 x ? b(k3 ? 0) .因为 y ? k3 x ? b 的图象是由 y ? x 平移得到的, 所以 k3 ? 1,即 y ? x ? b .又因为 y ? x ? b 的图象过点 B ? 6, ? ,所以

? ?

3? 2?

3 9 9 ? 6 ? b ,解得 b ? ? ,? 一次函数的解析式为 y ? x ? . ···········(4 分) ··········· ·········· 2 2 2
(3)因为 y ? x ?

9 9? ? 的图象交 y 轴于点 D ,所以 D 的坐标为 ? 0, ? . ? 2 2? ?

设二次函数的解析式为 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) . 因为 y ? ax ? bx ? c 的图象过点 A(3, 、 B ? 6, ? 、和 D ? 0, 3) ?
2

? ?

3? 2?

? ?

9? ?, 2?

? ?9a ? 3b ? c ? 3, ? 3 ? 所以 ?36a ? 6b ? c ? ,······· 分) ······· (5 ······· 2 ? 9 ? ?c ? ? 2 . ?
这个二次函数的解析式为 y ? ?

1 ? ?a ? ? 2 , ? 解得 ?b ? 4, ? 9 ?c ? ? . 2 ?

1 2 9 x ? 4 x ? .···················· 分) ··················· (6 ·········· ········· 2 2
7

(4)? y ? x ? 如图所示, S ?

9 ?9 ? 交 x 轴于点 C ,? 点 C 的坐标是 ? ,? , 0 2 ?2 ?

15 1 1 3 1 ? 6 ? ? 6 ? 6 ? ? ? 3 ? ? 3? 3 2 2 2 2 2 9 9 ? 45 ? 18 ? ? 4 2 81 ? . 4 2 81 2 27 ? ? 假设存在点 E ( x0,y0 ) ,使 S1 ? S ? . 3 4 3 2

y A 3 E O 3 B C 6 x

? 四边形 CDOE 的顶点 E 只能在 x 轴上方,? y0 ? 0 ,
D 1 9 9 1 9 81 9 ? S1 ? S△OCD ? S△OCE ? ? ? ? ? ?y0 ? ? y0 . 2 2 2 2 2 8 4 81 9 27 3 ? ? y0 ? ,? y0 ? .? E ( x0,y0 ) 在二次函数的图象上, 8 4 2 2 1 2 9 3 ?? x0 ? 4 x0 ? ? .解得 x0 ? 2 或 x0 ? 6 . 2 2 2 当 x0 ? 6 时,点 E ? 6, ? 与点 B 重合,这时 CDOE 不是四边形,故 x0 ? 6 舍去,

? ?

3? 2?

? 3? ? 点 E 的坐标为 ? 2, ? . (8 分) ? 2?
【017】如图,已知抛物线 y ? x2 ? bx ? c 经过 A(1 0) , B(0, 两点,顶点为 D . , 2) (1)求抛物线的解析式; (2)将 △OAB 绕点 A 顺时针旋转 90°后,点 B 落到点 C 的位置, 将抛物线沿 y 轴平移后经过点 C ,求平移后所得图象的函数关系式; (3)设(2)中平移后,所得抛物线与 y 轴的交点为 B1 ,顶点为 D1 , 若点 N 在平移后的抛物线上,且满足 △NBB1 的面积是 △NDD1 面积的 2 倍, 求点 N 的坐标. 【017】解: (1)已知抛物线 y ? x ? bx ? c 经过 A(1 0) B(0, , ,, 2)
2

y

B

O

A D (第 26 题)

x

?0 ? 1 ? b ? c ?? ?2 ? 0 ? 0 ? c

解得 ?

?b ? ?3 ?c ? 2

··········· ·········· ··· 2 ·········· ··········· ··· ? 所求抛物线的解析式为 y ? x2 ? 3x ? 2 . ························· 分

, , 2) (2)? A(1 0) , B(0, ,? OA ? 1 OB ? 2
8

可得旋转后 C 点的坐标为 (31) ································ 分 ·········· ··········· ·········· , ··········· ·········· ·········· 3 当 x ? 3 时,由 y ? x2 ? 3x ? 2 得 y ? 2 , 可知抛物线 y ? x2 ? 3x ? 2 过点 (3, 2)

? 将原抛物线沿 y 轴向下平移 1 个单位后过点 C .
··········· ·········· · ·········· ··········· · ? 平移后的抛物线解析式为: y ? x2 ? 3x ? 1 .······················5 分
2 (3)? 点 N 在 y ? x 2 ? 3x ? 1 上,可设 N 点坐标为 ( x0,x0 ? 3x0 ? 1)

将 y ? x 2 ? 3x ? 1 配方得 y ? ? x ? ①当 0 ? x0 ?

? ?

3 3? 5 ··········· ·········· · ? ? ,? 其对称轴为 x ? 2 . ···········6 分 2? 4
y

2

3 时,如图①, 2

? S△NBB1 ? 2S△NDD1
1 1 ?3 ? ? ?1? x0 ? 2 ? ?1? ? ? x0 ? 2 2 ?2 ?
B1 O

B C x

A D N D 1 图①

? x0 ? 1
2 此时 x0 ? 3x0 ? 1 ? ?1

? N 点的坐标为 (1, 1) . ··································8 分 ··········· ·········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· ·· ?
3 ②当 x0 ? 时,如图② 2
同理可得 y

1 1 ? 3? ?1? x0 ? 2 ? ? ? x0 ? ? 2 2 ? 2?
B1 O

B N C x

? x0 ? 3
2 此时 x0 ? 3x0 ? 1 ? 1

A D D1 图②

, ? 点 N 的坐标为 (31) .
综上,点 N 的坐标为 (1 ? 1) 或 (31) . ··························· 分 ·········· ··········· ····· , , ·························· 10 y 【018】如图,抛物线 y ? ax ? bx ? 4a 经过
2

A(?1, 、 C (0, 两点,与 x 轴交于另一点 B . 0) 4)
(1)求抛物线的解析式;
9

C

A O

B

x

(2)已知点 D(m,m ? 1) 在第一象限的抛物线上, 求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标; (3)在(2)的条件下,连接 BD ,点 P 为抛物线上一点, 且 ?DBP ? 45° ,求点 P 的坐标. 【018】解: (1) ? 抛物线 y ? ax2 ? bx ? 4a 经过 A(?1 0) , C (0, 两点, , 4)

?a ? b ? 4a ? 0, ?a ? ?1, 解得 ? ?? ??4a ? 4. ?b ? 3.
? 抛物线的解析式为 y ? ? x2 ? 3x ? 4 .
(2) ? 点 D(m,m ? 1) 在抛物线上, ? m ? 1 ? ?m2 ? 3m ? 4 , y 即 m2 ? 2m ? 3 ? 0 , ? m ? ?1 或 m ? 3 .

4) ? 点 D 在第一象限, ? 点 D 的坐标为 (3, .

C

D

?? 由(1)知 OA ? OB, CBA ? 45°. 设点 D 关于直线 BC 的对称点为点 E .
? C (0, , ? CD ∥ AB ,且 CD ? 3 , 4)

E A O B x

??ECB ? ?DCB ? 45° ,
? E 点在 y 轴上,且 CE ? CD ? 3 .

? OE ? 1,? E (0, . 1)
即点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标为(0,1) . (3)方法一:作 PF ⊥ AB 于 F , DE ⊥ BC 于 E . ?? 由(1)有: OB ? OC ? 4, OBC ? 45°, ? ?DBP ? 45°, CBD ? ?PBA . ??

y

C P A F O E

D

? C (0,,D(3, , ? CD ∥ OB 且 CD ? 3 . 4) 4)

B

??DCE ? ?CBO ? 45° ,

x

? DE ? CE ?

3 2 . 2 5 2 , 2

? OB ? OC ? 4 ,? BC ? 4 2 ,? BE ? BC ? CE ?
? tan ?PBF ? tan ?CBD ? DE 3 ? . BE 5 设 PF ? 3t ,则 BF ? 5t , ? OF ? 5t ? 4 ,

? P(?5t ? 4, ) . 3t
? P 点在抛物线上,
10

? 3t ? ?(?5t ? 4)2 ? 3(?5t ? 4) ? 4 ,
? t ? 0 (舍去)或 t ?
22 ? 2 66 ? ,? P ? ? , ? . 25 ? 5 25 ?

方法二:过点 D 作 BD 的垂线交直线 PB 于点 Q ,过点 D 作 DH ⊥ x 轴于 H .过 Q 点作 QG ⊥ DH 于G .

? ?PBD ? 45° ?QD ? DB . , ??QDG ? ?BDH ? 90° ,
又 ?DQG ? ?QDG ? 90° ,??DQG ? ?BDH . Q

y

C P G

D

? QDG ≌△DBH , ? QG ? DH ? 4 , DG ? BH ? 1 . △
由(2)知 D(3, ,? Q(?1 3) . 4) ,

A O H

B

x

3 12 ? B(4, , ? 直线 BP 的解析式为 y ? ? x ? . 0) 5 5

2 ? ? y ? ? x 2 ? 3x ? 4, ? x2 ? ? 5 , ? x1 ? 4, ? ? 解方程组 ? ? 3 12 得 ? y ? 0; ? y ? 66 . ?y ? ? x ? , ? 1 5 5 ? ? 2 25 ?
【019】如图所示,将矩形 OABC 沿 AE 折叠,使点 O 恰好落在 BC 上 F 处,以 CF 为边作正方形 CFGH, 延长 BC 至 M,使 CM=|CF—EO|,再以 CM、CO 为边作矩形 CMNO

(1)试比较 EO、EC 的大小,并说明理由 (2)令 m ?

S四边形CFGH

S四边形CNMN;

,请问 m 是否为定值?

若是,请求出 m 的值;若不是,请说明理由

11

(3)在(2)的条件下,若 CO=1,CE=

1 2 ,Q 为 AE 上一点且 QF= , 3 3

抛物线 y=mx2+bx+c 经过 C、Q 两点,请求出此抛物线的解析式. (4)在(3)的条件下,若抛物线 y=mx2+bx+c 与线段 AB 交于点 P, 试问在直线 BC 上是否存在点 K,使得以 P、B、K 为顶点的三角形与△AEF 相似? 若存在,请求直线 KP 与 y 轴的交点 T 的坐标?若不存在,请说明理由。

? 2 66 ? ? 点 P 的坐标为 ? ? , ? . ? 5 25 ?
【019】 (1)EO>EC,理由如下: 由折叠知,EO=EF,在 Rt△EFC 中,EF 为斜边,∴EF>EC, 故 EO>EC …2 分 (2)m 为定值 ∵S 四边形 CFGH=CF2=EF2-EC2=EO2-EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC) S 四边形 CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO ∴m ?

S四边形CFGH ?1 S四边形CMNO
1 3

……………………………………………………4 分

(3)∵CO=1, CE ? ,QF ? ∴cos∠FEC=

2 3

∴EF=EO= 1 ?

1 2 ? ? QF 3 3

1 ∴∠FEC=60°, 2 180 ? ? 60? ? 60? ? ?OEA ,?EAO ? 30? ∴ ?FEA ? 2 2 ∴△EFQ 为等边三角形, EQ ? …………………………………………5 分 3
作 QI⊥EO 于 I,EI=

1 1 3 3 EQ ? ,IQ= EQ ? 2 3 2 3

∴IO=

2 1 1 ? ? 3 3 3

∴Q 点坐标为 (

3 1 , ) 3 3

……………………………………6 分

∵抛物线 y=mx2+bx+c 过点 C(0,1), Q ( ∴可求得 b ? ? 3 ,c=1 ∴抛物线解析式为 y ? x 2 ? 3x ? 1 (4)由(3) AO ? , 当x ?

3 1 , ) ,m=1 3 3

……………………………………7 分

3EO ?

2 3 3

2 2 2 1 3 时, y ? ( 3 ) 2 ? 3 ? 3 ? 1 ? <AB 3 3 3 3

∴P 点坐标为 (

2 3 1 , ) 3 3

…………………8 分

12

∴BP= 1 ?

1 2 ? AO 3 3

方法 1:若△PBK 与△AEF 相似,而△AEF≌△AEO,则分情况如下:
2 2 3 4 3 8 3 BK ① ∴K 点坐标为 ( ,1) 或 ( ,1) ? 3 时, BK ? 9 9 9 2 2 3 3 3

② BK ? 3 时, BK ?
2 3 3 2 3

2

2 3 3

∴K 点坐标为 (

4 3 ,1) 或 (0,1) …………10 分 3

故直线 KP 与 y 轴交点 T 的坐标为

5 7 1 (0,? )或(0, )或(0,? )或(0,1) 3 3 3

…………………………………………12 分

方法 2:若△BPK 与△AEF 相似,由(3)得:∠BPK=30°或 60°,过 P 作 PR⊥y 轴于 R,则∠RTP=60° 或 30° ①当∠RTP=30°时, RT ?

2 3 ? 3?2 3 2 3 2 ? 3? 3 3
1 3
……………………………12 分

②当∠RTP=60°时, RT ?

∴ T1 (0, ),T 2(0,? ),T3 (0,? ),T4 (0,1)

7 3

5 3

【020】如图甲,在△ABC 中,∠ACB 为锐角,点 D 为射线 BC 上一动点,连结 AD,以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF。 解答下列问题: (1)如果 AB=AC,∠BAC=90°,①当点 D 在线段 BC 上时(与点 B 不重合) ,如图乙,线段 CF、 BD 之间的位置关系为 ,数量关系为 。 ②当点 D 在线段 BC 的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么? (2)如果 AB≠AC,∠BAC≠90°点 D 在线段 BC 上运动。 试探究:当△ABC 满足一个什么条件时,CF⊥BC(点 C、F 重合除外)?画出相应图形,并说明理 由。 (画图不写作法) (3)若 AC=4 2 ,BC=3,在(2)的条件下,设正方形 ADEF 的边 DE 与线段 CF 相交于点 P,求线 段 CP 长的最大值。

【020】解: (1)①CF⊥BD,CF=BD ②成立,理由如下:∵∠FAD=∠BAC=90° ∴∠BAD=∠CAF 又 BA=CA ,AD=AF ∴△BAD≌△CAF∴CF=BD ∠ACF=∠ACB=45° ∴∠BCF=90° ∴CF⊥BD ……(1 分)
13

(2)当∠ACB=45°时可得 CF⊥BC,理由如下: 如图:过点 A 作 AC 的垂线与 CB 所在直线交于 G 则∵∠ACB=45° ∴AG=AC ∠AGC=∠ACG=45° ∵AG=AC AD=AF ………(1 分) ∴△GAD≌△CAF(SAS) ∴∠ACF=∠AGD=45° ∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90° ∴CF⊥BC …………(2 分) (3)如图:作 AQBC 于 Q ∵∠ACB=45° AC=4 2 ∴CQ=AQ=4

∵∠PCD=∠ADP=90°∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90° ∴△ADQ∽△ DPC PC CD ∴ = DQ AQ 设
x 4

…(1 分)

CD



x



0



x



3





DQ=CQ



CD=4



x



PC 4? x

=

…………(1 分) ∴PC=
1 1 (-x2+4x)=- (x-2)2+1≥1 4 4

当 x=2 时,PC 最长,此时 PC=1

………(1 分)

14


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