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雅安田中 高2015级第一次月考数学试题


雅安田中高一第一次月考数学试题
一.选择题(本大题共 12 小题,第小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符是合题目要求的.) 1.设集合 A ? x ? Q x ? ?1 ,则( A. ?? A B. 2 ? A

?

?

) C. 2 ? A D.

? 2

? ? A
)

2、已知集合 A 到 B 的映射 f:x→y=2x+1,那么集合 A 中元素 2 在 B 中对应的元素是: A、2 B、5 C、6 D、8 3.设集合

A ? {x |1 ? x ? 2}, B ? {x | x ? a}. 若 A ? B, 则 a 的范围是(
B. a ? 1 C. a ? 1 D. a ? 2

A. a ? 2 4.函数

y ? 2 x ? 1 的定义域是( )
1 B. [ , ??) 2 1 C. (??, ) 2 1 D. (??, ] 2


1 A. ( , ??) 2

(C 5.全集 U={0,1,3,5,6,8},集合 A={ 1,5, 8 }, B ={2},则集合 U A) ? B ? (
A.{0,2,3,6} B.{ 0,3,6} C. {2,1,5,8} D. ? )

6.已知集合 A ? x ?1 ? x ? 3 , B ? x 2 ? x ? 5 ,则A ? B ? ( A. ( 2, 3 ) B. [-1,5] C. (-1,5) 7.下列函数是奇函数的是( ) A. y ? x
2

?

?

?

?

D. (-1,5]
1 2

B. y ? 2 x ? 3
2

C. y ? x

D. y ? x , x ? [0,1]
2

8.化简: (? ? 4) +? =( A. 4

) C. 2? - 4 或 4 D.

B. 2? - 4

4 - 2?

9.设集合 M ? x ? 2 ? x ? 2 , N ? y 0 ? y ? 2 ,给出下列四个图形,其中能表示以 集合 M 为定义域, N 为值域的函数关系的是( )

?

?

?

?

10、已知 f(x)=g( x)+2, 且 g(x)为奇函数,若 f(2)=3,则 f(-2)= A 0 B.-3 C.1 D.3



? x2 x ? 0 ? 11、已知 f(x)= ?? x ? 0 ,则 f [ f (-3)]等于 ?0 x ? 0 ?
A、0 B、π C、π2 D、9
[来源:学+科+网]

12. 已知函数 f ? x ? 是 R 上的增函数, A?0,?1? ,B?3,1? 是其图像上的两点, 那么 f ? x ? ? 1 的解集是( A. ? ?3, 0 ? ) B. ? 0, 3 ? C. ? ??, ?1? ? ?3, ?? ? D. ? ??, 0? ? ?1, ?? ?

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. ) 13.已知 f ( x) ? ?

? x ? 5( x ? 1) ,则 f [ f (1)] ? 2 ?2 x ? 1( x ? 1)
2

.

14.已知 f ( x ? 1) ? x ,则 f ( x) ?

.

15 . 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) , 当 x ? 0 时 , 是 . 16.关于下列命题:

f ( x) ? 2 ; 则 奇 函 数 f ( x ) 的 值 域

①若函数 y ? 2 的定义域是{ x | x ? 0} ,则它的值域是 { y | y ? 1} ;
x

② 若函数 y ?

1 1 的定义域是 {x | x ? 2} ,则它的值域是 { y | y ? } ; 2 x
2

③若函数 y ? x 的值域是 { y | 0 ? y ? 4},则它的定义域一定是 {x | ?2 ? x ? 2} ; ④若函数 y ? 2 的定义域是 { y | y ? 4} ,则它的值域是 {x | 0 ? x ? 8} .
x

其中不正确的命题的序号是_____________( 注:把你认为不正确的命题的序号都填上).

雅安田中高一第一次月考数学试题
一、选择题答案表:本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分 题 1 号 答 案 二、填空题答案:本大题共有 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分 13、 15、 14、 16、 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

(第 II 卷)
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.题解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17 .( 12 分 ) 已 知 全 集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8} , A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} ,
2

学号

B ? {x |1 ? x ? 5, x ? Z}, C ? {x | 2 ? x ? 9, x ? Z} .
(1)求 A ? ( B ? C ) ; (2)求 (CU B) ? (CU C) .

班次

姓名

18、 (12 分)已知函数 f ( x) ? (1)求 f ( x) 的定义域; (2)求 f (?1), f (2) 的值;

x ?1 . x

19. (12 分) 已知函数 f ( x) ?

3? x ?

1 的定义域为集合 A, B ? { x | x ? a} x?2

(1)若 A ? B ,求 a 的取值范围; (2)若全集 U ? {x | x ? 4 } ,a= ? 1 ,求 CU A 及 A ? (CU B)

20.(12 分)已知函数 f ( x) ? x ?

1 . x

(I)判断函数的奇偶性,并加以证明; (II)用定义证明 f ( x) 在 ? 0,1? 上是减函数; (III)函数 f ( x) 在 ? ?1, 0 ? 上是单调增函数还是单调减函数?(直接写出答案, 不要求写证明 过程).

21. (12 分) 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且当

x ≤0 时, f ( x) ? x2 ? 2 x . (1)现已画出函数 f ( x) 在 y
轴左侧的图像,如图所示,请补出完整函数 f ( x) 的图像, 并根据图像写出函数 f ( x) 的增区间; (2)写出函数 f ( x) 的 解析式和值域.

22. 14 分) ( 定义: 若函数 f (x) 对于其定义域内的某一数 x 0 , f ( x0 ) ? x0 , 有 则称 x 0 是 f (x) 的一个不动点. 已知函数 f ( x) ? ax ? (b ? 1) x ? b ? 1(a ? 0) .
2

(1)当 a ? 1 , b ? ?2 时,求函数 f (x) 的不动点; (2)若对任意的实数 b,函数 f (x) 恒有两个不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下, y ? f (x) 图象上两个点 A、B 的横坐标是函数 f (x) 的不动点,且 A、 若 B 的中点 C 在函数 g ( x) ? ? x ?

a 的图象上,求 b 的最小值.(参考公式: 5a ? 4a ? 1
2

? x ? x 2 y1 ? y 2 ? , A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 的中点坐标为 ? 1 ?) 2 ? ? 2

雅安田中高一第一次月考数学试题
试题答案
1、B 2、B 3、A 4.B.提示: 2 x ?1 ? 0 . 5.A. 6.B.提示:运用数轴. 7.A.提示:B 为偶函数,C、D 为非奇非偶函数.
2 8.A.提示: (? ? 4) +? = ? ? 4 +? ? ? ? 4 ? ? = 2? - 4 .

9.B.提示: 10 . C 11 B 12 . B . 提 示 : ∵ ?1 ? f ? x ? ? 1 , 而 f ? 0 ? ? ? 1,f

? ?3?

1 ∴ ,

f ? 0 ? ? f ? x ? ? f ? 3? ,∴ 0 ? x ? 3 .
13.8.提示: f (1) =3, f (3) =8.
2 14. f ( x) ? ? x ? 1? .提示:∵ f ( x ? 1) ? x ? ?? x ? 1? ? 1? ,∴ f ( x) ? ? x ? 1? ? ?

2

2

2

15.{-2,0,2 }. 提示: 因为 f (0) ? 0 ;x ? 0 时, f ( x) ? ?2 , 所以 f ( x) 的值域是{-2,0,2 }. 16.①②④.提示:若函数 y ? 2 的定义域是{ x | x ? 0} ,则它的值域是 { y | 0 ? y ? 1} ;
x

若函数 y ?

1 1 的定义域是 {x | x ? 2} ,则它的值域是 { y | 0 ? y ? } . 2 x

三.17、解:(1)依题意有: A ? {1, 2}, B ? {1, 2,3, 4,5}, C ? {3, 4,5,6,7,8} ∴ B ? C ? {3, 4,5} ,故有 A ? ( B ? C ) ? {1, 2} ? {3, 4,5} ? {1, 2,3, 4,5} .

8 , 7 { 6 (2) CU B ? } 由
18、 (1)由 ? 解:

2 CU C ? } ,{ 1

; 故有 (痧B) ? ( U C ) ? {6, 7,8} ? (1, 2) ? {1, 2, 6, 7,8} . U

?x ?1 ? 0 ? x ? ?1 且 x ? 0 , 所以函数 f ( x) 的定义域为 {x | x ? ?1 且 x ? 0} ; ?x ? 0

(2) f (?1) ? 19、

1?1 ? 0 ; f (2) ? ?1

2 ?1 3 ? ; 2 2

20. 证明:(I)函数为奇函数 f (? x) ? ? x ? (II)设 x1 , x2 ? ?0,1? 且 x1 ? x2

1 1? ? ? ? ? x ? ? ? ? f ( x) x x? ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ?

? 1 1 1 ? ( x2 ? x1 )( x1 x2 ? 1) ? x1 ? ? ? x2 ? x1 ? ?1 ? ?? x2 x1 x1 x2 ? x1 x2 ?

.? 0 ? x1 ? x2 ? 1,? x1 x2 ? 1, x1 x2 ? 1 ? 0

? x2 ? x1 ? x2 ? x1 ? 0 .

? f ?x2 ? ? f ?x1 ? ? 0, f ?x2 ? ? f ?x1 ?
因此函数 f ( x) 在 ? 0,1? 上是减函数 (III)

f ( x) 在 ?? 1,0? 上是减函数.

21.(1)函数图像如右图所示:

f ( x) 的递增区间是 (?1,0) , (1, ??) .
? x 2 ? 2 x, x ? 0 ( 2 ) 解 析 式 为 : f ( x) ? ? 2 ,值域为: ? x ? 2 x, x ? 0

? y | y ? ?1? .
20.解: y ? 2
x x?2

? 3 ? 4 x ? ?3 ? (2 x ) 2 ? 4 ? 2 x ,
2

2 4 3 3 1 1 2 1 ? ?1 ? x ? 0 ,? ? 2 x ? 1即t ? [ ,1] ,又∵对称轴 t ? ? [ ,1] , 2 2 3 2 2 4 2 ∴当 t ? ,即 x ? log 2 时y max ? ;当 t ? 1 即 x=0 时, y min ? 1 . 3 3 3
2 令 t ? 2 , 则y ? ?3t ? 4t ? ?3(t ? ) ?

22、(14 分)解: (1) f ( x) ? x ? x ? 3 ,由 x ? x ? 3 ? x ,
2

2

……………………1 分 ……………………3 分

解得 x ? 3 或 x ? ?1 ,所以所求的不动点为 ? 1或 3. (2)令 ax ? (b ? 1) x ? b ? 1 ? x ,则 ax ? bx ? b ? 1 ? 0 ①
2

2

由题意,方程①恒有两个不等实根,所以 ? ? b ? 4a(b ? 1) ? 0 , ……………………5 分
2

即 b ? 4ab ? 4a ? 0对任意的b ? R 恒成立,
2

……………………6 分

则 ?? ? 16a 2 ? 16a ? 0 , ? 0 ? a ? 1 (3)依题意设 A( x1 , x1 ) , B( x2 , x2 ) ( x1 ? x2 ) 则 AB 中点 C 的坐标为 ?

……………………8 分 ……………………9 分

? x1 ? x2 x1 ? x2 ? , ? 2 ? ? 2

又 AB 的中点在直线 g ( x) ? ? x ?

a 上 5a ? 4a ? 1
2

?

x1 ? x2 x ?x a a ∴ x1 ? x2 ? ,……………………10 分 ?? 1 2 ? 2 2 2 2 5a ? 4a ? 1 5a ? 4a ? 1 b b a ,即 ? ? , 2 a a 5a ? 4a ? 1
……………………12 分

又 x1 , x2 是方程①的两个根, ? x1 ? x2 ? ? ∴b ? ?

1 a2 1 ==2 2 1 5a ? 4a ? 1 ? 1 ? 2 ?1? ? ? ? 4? ? ? 5 ( a ? 2) ? 1 ?a? ?a?
1 ? ?1 a

?0 ? a ? 1
∴当

1 1 ? 2 即a ? 时,bmin= ? 1 a 2

……………………14 分


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