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函数的概念。直击高考


在一个变化过程中,发生变化的量叫变量(数学中,常常为 x,而 y 则随 x 值的变化而 变化) ,有些数值是不随变量而改变的,我们称它们为常量。 自变量,函数一个与它量有关联的变量,这一量中的任何一值都能在它量中找到对应 的固定值。 因变量(函数),随着自变量的变化而变化,且自变量取唯一值时,因变量(函数)有且只 有唯一值与其相对应。 函数值,在 y 是 x 的函数中,x 确定一个值,y 就随之确定一个值,当 x 取 a 时,y 就 随之确定为 b,b 就叫做 a 的函数值。

映射定义
设 A 和 B 是两个非空集合, 如果按照某种对应关系 f, 对于集合 A 中的任何一个元素 a, 在集合 B 中都存在唯一的一个元素 b 与之对应,那么,这样的对应(包括集合 A,B,以及 集合 A 到集合 B 的对应关系 f)叫做集合 A 到集合 B 的映射(Mapping),记作 f:A→B。其 中,b 称为 a 在映射 f 下的象,记作:b=f(a); a 称为 b 关于映射 f 的原象。集合 A 中所有元 素的象的集合记作 f(A)。 则有:定义在非空数集之间的映射称为函数。 (函数的自变量是一种特殊的原象,因变 量是特殊的象)

几何含义
函数与不等式和方程存在联系(初等函数) 。令函数值等于零,从几何角度看,对应的 自变量的值就是图象与 X 轴的交点的横坐标;从代数角度看,对应的自变量是方程的解。 另外,把函数的表达式(无表达式的函数除外)中的“=”换成“<”或“>”,再把“Y”换成其它代 数式,函数就变成了不等式,可以求自变量的范围。

函数的集合论
如果 X 到 Y 的二元关系 f:X× Y,对于每个 x∈X,都有唯一的 y∈Y,使得<x,y>∈f, 则称 f 为 X 到 Y 的函数,记做:f:X→Y。 当 X=X1×…×Xn 时,称 f 为 n 元函数。 其特点: 前域和定义域重合 单值性:<x,y>∈f∧<x,y’>∈f →y=y’

编辑本段函数元素

输入值的集合 X 被称为 f 的定义域; 可能的输出值的集合 Y 被称为 f 的值域。 函数的值 域是指定义域中全部元素通过映射 f 得到的实际输出值的集合。注意,把对应域称作值域是 不正确的,函数的值域是函数的对应域的子集。 计算机科学中,参数和返回值的数据类型分别确定了子程序的定义域和对应域。因此 定义域和对应域是函数一开始就确定的强制进行约束。 另一方面, 值域是和实际的实现有关。

编辑本段分类

单射函数,将不同的变量映射到不同的值。即:若 x 和 y 属于定义域,则仅当 x 不等 于 y 时有 f(x)不等于 f(y) 。

单射满射 双射

满射函数,其值域即为其对映域。即:对映射 f 的对映域中之任意 y,都存在至少一个 x 满足 f(x)= y。 双射函数,既是单射的又是满射的。也叫一一对应。双射函数经常被用于表明集合 X 和 Y 是等势的,即有一样的基数。如果在两个集合之间可以建立一个一一对应,则说这两 个集合等势。

编辑本段象和原象

元素 x∈X 在 f 的象就是 f(x) ,他们所取的式值为0。 子集 A?X 在 f 的象是以其元素的象组成 Y 的子集,即 f(

编辑本段函数图象

函数 f 的图象是平面上点对(x,f(x) )的集合,其中 x 取定义域上所有成员的。函数图 象可以帮助理解证明一些定理。 如果 X 和 Y 都是连续的线, 则函数的图象有很直观表示注意两个集合 X 和 Y 的二元关 系有两个定义:一是三元组(X,Y,G) ,其中 G 是关系的图;二是索性以关系的图定义。用

第二个定义则函数 f 等于其图象。 当 k<0时,直线为升,过一三象限或向上平移,向下平移象限;当 k>0时,直线为降, 过二四象限,向上或向下平移象限。

编辑本段性质

函数的有界性
设函数 f(x)的定义域为 D, 数集 X 包含于 D。 如果存在数 K1, 使得 f(x)≤K1对任一 x∈X 都成立,则称函数 f(x)在 X 上有上界,而 K1称为函数 f(x)在 X 上的一个上界。如果存在数 K2,使得 f(x)≥K2对任一 x∈X 都成立,则称函数 f(x)在 X 上有下界,而 K2称为函数 f(x)在 X 上的一个下界。如果存在正数 M,使得|f(x)|<=M 对任一 x∈X 都成立,则称函数 f(x)在 X 上有界,如果这样的 M 不存在,就称函数 f(x)在 X 上无界。 函数 f(x)在 X 上有界的充分必要条件是它在 X 上既有上界又有下界。

函数的单调性
设函数 f(x)的定义域为 D,区间 I 包含于 D。如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2,当 x1<x2时,恒有 f(x1)<f(x2),则称函数 f(x)在区间 I 上是单调增加的;如果对于区间 I 上任意 两点 x1及 x2,当 x1<x2时,恒有 f(x1)>f(x2),则称函数 f(x)在区间 I 上是单调减少的。单调 增加和单调减少的函数统称为单调函数。

函数的奇偶性
设 f(x)为一个实变量实值函数,则 f 为奇函数若下列的方程对所有实数 x 都成立: f( -x) = - f(x) 几何上,一个奇函数与原点对称,亦即其图在绕原点做180度旋转后不会 改变。 奇函数的例子有 x、sin(x)、sinh(x)和 erf(x)。 设 f(x)为一实变量实值函数,则 f 为偶函数若下列的方程对所有实数 x 都成立: f(x) = f( - x) 几何上, 一个偶函数会对 y 轴对称, 亦即其图在对 y 轴为镜射后不会改变。 偶函数的例子有|x|、x^2、cos(x)和 cosh(sec)(x)。 偶函数不可能是个双射映射。

函数的周期性

狄利克雷函数

设函数 f(x)的定义域为 D。如果存在一个正数 l,使得对于任一 x∈D 有(x 士 l)∈D,且 f(x+l)=f(x)恒成立,则称 f(x)为周期函数,l 称为 f(x)的周期,通常我们说周期函数的周期是 指最小正周期。周期函数的定义域 D 为至少一边的无界区间,若 D 为有界的,则改函数不 具周期性。 并非每个周期函数都有最小正周期,例如狄利克雷(Dirichlet)函数。

函数的连续性
在数学中,连续是函数的一种属性。直观上来说,连续的函数就是当输入值的变化足 够小的时候, 输出的变化也会随之足够小的函数。 如果输入值的某种微小的变化会产生输出 值的一个突然的跳跃甚至无法定义, 则这个函数被称为是不连续的函数 (或者说具有不连续 性) 。 设 f 是一个从实数集的子集射到 的函数: 在中的某个点 c 处是连续的当且仅当以下 。f 的两个条件满足: f 在点 c 上有定义。c 是中的一个聚点,并且无论自变量 x 在中以什么方式接近 c,f(x) 的极限都存在且等于 f(c)。我们称函数到处连续或处处连续,或者简单的连续,如果它在其 定义域中的任意点处都连续。 更一般地, 我们说一个函数在它定义域的子集上是连续的当它 在这个子集的每一点处都连续。 不用极限的概念,也可以用下面所谓的 方法来定义实值函数的连续性。 仍然考虑函数。假设 c 是 f 的定义域中的元素。函数 f 被称为是在 c 点连续当且仅当以 下条件成立: 对于任意的正实数, 存在一个正实数 δ> 0 使得对于任意定义域中的, 只要 x 满足 c - δ< x < c + δ,就有成立。

函数的凹凸性
设函数 f(x)在 I 上连续。如果对于 I 上的两点 x1≠x2,恒有 f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2, ( f((x1+x2)/2)<(f(x1)+f(x2))/2 ) 那 么 称 f(x) 是 区 间 I 上 的 ( 严 格 ) 凸 函 数 ; 如 果 恒 有 f((x1+x2)/2)≥(f(x1)+f(x2))/2, (f((x1+x2)/2)>(f(x1)+f(x2))/2)那么称 f(x)是区间上的(严格)凹 函数。

实函数或虚函数
实函数(Real function) ,指定义域和值域均为实数域的函数。实函数的特性之一是可 以在坐标上画出图形。 虚函数是面向对象程序设计中的一个重要的概念。当从父类中继承的时候,虚函数和 被继承的函数具有相同的签名。但是在运行过程中,运行系统将根据对象的类型,自动地选 择适当的具体实现运行。虚函数是面向对象编程实现多态的基本手段。

编辑本段发展史

早期函数概念
十七世纪伽俐略(G.Galileo,意,1564-1642)在《两门新科学》一书中,几乎全部 包含函数或称为变量关系的这一概念,用文字和比例的语言表达函数的关系。1637年前后 笛卡尔(Descartes,法,1596-1650)在他的解析几何中,已注意到一个变量对另一个变量 的依赖关系,但因当时尚未意识到要提炼函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹 建立微积分时还没有人明确函数的一般意义,大部分函数是被当作曲线来研究的。 1673年,莱布尼兹首次使用“function”(函数)表示“幂”,后来他用该词表示曲线上点 的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时,牛顿在微积分的讨论中, 使用 “流量”来表示变量间的关系。

十八世纪函数
1718年约翰· 柏努利(Johann Bernoulli ,瑞士,1667-1748)在莱布尼兹函数概念的基 础上对函数概念进行了定义:“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变 量 x 和常量构成的式子都叫做 x 的函数,并强调函数要用公式来表示。 1748年,柏努利的 学生欧拉在《无穷分析引论》一书中说:“一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任 何一种方式构成的解析表达式。 1755,欧拉(L.Euler,瑞士,1707-1783) 把函数定义为“如果某些变量,以某一种 方式依赖于另一些变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随着变化,我们把前面 的变量称为后面变量的函数。” 18世纪中叶欧拉(L.Euler,瑞士,1707-1783)给出了定义:“一个变量的函数是由这 个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰· 贝努利给出的函数定义称 为解析函数,并进一步把它区分为代数函数和超越函数,还考虑了“随意函数”。不难看出, 欧拉给出的函数定义比约翰· 贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。

十九世纪函数
1821年,柯西(Cauchy,法,1789-1857) 从定义变量起给出了定义:“在某些变数间

存在着一定的关系,当一经给定其中某一变数的值,其他变数的值可随着而确定时,则将最 初的变数叫自变量,其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中,首先出现了自变量一词,同 时指出对函数来说不一定要有解析表达式。 不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表 示,这是一个很大的局限。 1822年傅里叶(Fourier,法国,1768——1830)发现某些函数也已用曲线表示,也可 以用一个式子表示, 或用多个式子表示, 从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争 论,把对函数的认识又推进了一个新层次。 1837年狄利克雷(Dirichlet,德国,1805-1859) 突破了这一局限,认为怎样去建立 x 与 y 之间的关系无关紧要,他拓广了函数概念,指出:“对于在某区间上的每一个确定的 x 值,y 都有一个确定的值,那么 y 叫做 x 的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系 的描述,以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。 等到康托(Cantor,德国,1845-1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后,维 布伦(Veblen,美,1880-1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义,通过集合概 念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了,且打破了“变量是数”的极限,变量可 以是数,也可以是其它对象。

现代函数概念
1914年豪斯道夫(F. Hausdorff)在 《集合论纲要》 中用不明确的概念“序偶”来定义函数, 其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概 念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。 1930 年新的现代函数定义为“若对集合 M 的任意元素 x,总有集合 N 确定的元素 y 与 之对应,则称在集合 M 上定义一个函数,记为 y=f(x)。元素 x 称为自变元,元素 y 称为因 变元。”

编辑本段特殊函数

反函数
一般地,设函数 y=f(x)(x∈A)的值域是 C,根据这个函数中 x,y 的关系,用 y 把 x 表示 出,得到 x= f(y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值,通过 x= f(y),x 在 A 中都有唯一的值和它 对应,那么,x= f(y)就表示 y 是自变量,x 是自变量 y 的函数,这样的函数 x= f(y)(y∈C)叫 做函数 y=f(x)(x∈A)的反函数,记作 x=f^-1(y).。反函数 y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函 数 y=f(x)的值域、定义域。 说明:⑴在函数 x=f^-1(y)中,y 是自变量,x 是函数,但习惯上,我们一般用 x 表示自 变量, y 表示函数, 用 为此我们常常对调函数 x=f^-1(y)中的字母 x,y, 把它改写成 y=f^-1(x),

今后凡无特别说明,函数 y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式; ⑵反函数也是函数,因为它符合函数的定义。 从反函数的定义可知,对于任意一个函 数 y=f(x)来说,不一定有反函数,若函数 y=f(x)有反函数 y=f^-1(x),那么函数 y=f^-1(x)的反 函数就是 y=f(x),这就是说,函数 y=f(x)与 y=f^-1(x)互为反函数; ⑶从映射的定义可知, 函数 y=f(x)是定义域 A 到值域 C 的映射, 而它的反函数 y=f^-1(x) 是集合 C 到集合 A 的映射,因此,函数 y=f(x)的定义域正好是它的反函数 y=f^-1(x)的值域; 函数 y=f(x)的值域正好是它的反函数 y=f^-1(x)的定义域(如下表) : 函数 y=f(x) 反函数 y=f^-1(x) 定义域 A C 值域 C A; ⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为: 若确定函数 y=f(x)的映射 f 是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”,那么由 f 的“逆” 映射 f^-1所确定的函数 x=f^-1(x)就叫做函数 y=f(x)的反函数. 反函数 x=f^-1(x)的定义域、值 域分别是函数 y=f(x)的值域、定义域。 开始的两个例子:s=vt 记为 f(t)=vt,则它的反函数就可以写为 f^-1(t)=t/v,同样 y=2x+6 记为 f(x)=2x+6,则它的反函数为:f^-1(x)=x/2-3。 有时是反函数需要进行分类讨论,如:f(x)=X+1/X,需将 X 进行分类讨论:在 X 大于0 时的情况, 小于0的情况, X 多是要注意的。 一般分数函数的反函数的表示为 y=ax+b/cx+d(a/c 不等于 b/d)--y=b-dx/cx+a。 反函数的应用: 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域,求反 函数的步骤是这样的: 1.先求出原函数的值域,因为原函数的值域就是反函数的定义域 (我们知道函数的三要素是定义域,值域,对应法则,所以先求反函数的定义域是求 反函数的第一步) 2.反解 x,也就是用 y 来表示 x 3.改写,交换位置,也就是把 x 改成 y,把 y 改成 x 4.写出反函数及其定义域

就关系而言,一般是双向的 ,函数也如此,设 y=f(x)为已知的函数,若对每个 y∈Y, 有唯一的 x∈X,使 f(x)=y,这是一个由 y 找 x 的过程 ,即 x 成了 y 的函数,记为 x=f -1 (y)则 f -1为 f 的反函数。 。 习惯上用 x 表示自变量, 故这个函数仍记为 y=f -1 x)例如 y=sinx ( , 与 y=arcsinx 互为反函数。在同一坐标系中,y=f(x)与 y=f -1(x)的图形关于直线 y=x 对称。

隐函数
若能由方程 F(x,y)=0 确定 y 为 x 的函数 y=f(x) ,即 F(x,f(x) )≡0,就称 y 是 x 的隐函数。 注意:此处为方程 F(x,y )= 0 并非函数。 思考:隐函数是否为函数? 不是,因为在其变化的过程中并不满足“一对一”和“多对一”。


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