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【一模】上海市金山区2015届高三一模数学试题及答案


金山区 2014 学年第一学期期末考试 高三数学试卷
(满分:150 分,完卷时间:120 分钟) (答题请写在答题纸上) 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若集合 M={ y | y ? ? x 2 ? 5 ,x?R},N={ y | y ? x ? 2

,x≥–2},则 M∩N= 2.计算: lim 3.不等式: .

3n ? 2n = n ?? 3n ?1 ? 2n ?1
1 ? 1 的解是 x

. . .

4.如果复数 z =

2 ? bi (b?R)的实部与虚部相等,则 z 的共轭复数 z = 1? i


5.方程:sinx+cosx =1 在[0,π]上的解是

6.等差数列{an}中,a2=8,S10=185,则数列{an}的通项公式 an= 7.当 a>0,b>0 且 a+b=2 时,行列式 8.若 ( x ?
a 1 的值的最大值是 1 b

(n?N*). .

2 12 ) 的二项展开式中的常数项为 m,则 m= x2



9.从一堆苹果中任取 5 只,称得它们的质量分别是:(单位:克)125,124,121,123,127, 则该样本的标准差是 克.

10.三棱锥 O–ABC 中,OA=OB=OC=2,且∠BOC=45?,则三棱锥 O–ABC 体积的最大值 是 .

11.从集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}中任取两个数,欲使取到的一个数大于 k,另一个数小于 k(其中 k?{5, 6, 7, 8, 9})的概率是

2 ,则 k= 5



12.已知点 A(–3,–2)和圆 C:(x–4)2+(y–8)2=9,一束光线从点 A 发出,射到直线 l:y=x–1 后反 射(入射点为 B),反射光线经过圆周 C 上一点 P,则折线 ABP 的最短长度是 . B E F 第 13 题图 G A C M H D

13.如图所示,在长方体 ABCD–EFGH 中,AD=2,AB=AE=1, M 为矩形 AEHD 内的一点,如果∠MGF=∠MGH,MG 和平面 EFG 所成角的正切值为 是 .

1 ,那么点 M 到平面 EFGH 的距离 2

1

14.已知点 P(x0, y0) 在椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)上,如果经过点 P 的直线与椭圆只有一个 a 2 b2

xx y y 公共点时, 称直线为椭圆的切线, 此时点 P 称为切点, 这条切线方程可以表示为: 02 ? 02 ? 1 . a b
根据以上性质,解决以下问题: 已知椭圆 L:

x2 y 2 ? ? 1 ,若 Q(u,v)是椭圆 L 外一点(其中 u,v 为定值),经过 Q 点作椭 16 9


圆 L 的两条切线,切点分别为 A、B,则直线 AB 的方程是

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.复数 z1=a+bi(a、b?R,i 为虚数单位),z2=–b+i,且|z1|<|z2|,则 a 的取值范围是( ). (A)a>1 (B)a>0 (C)–l<a<1 (D)a<–1 或 a>1

16.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中偶数有( ). (A) 60 个 (B) 48 个 (C) 36 个 (D) 24 个

17.设 k>1,f(x)=k(x–1) (x?R),在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y=f(x)的图像与 x 轴交于 A 点,它的反函数 y=f –1(x)的图像与 y 轴交于 B 点,并且这两个函数的图像相交于 P 点. 已知四 边形 OAPB 的面积是 3,则实数 k 等于( ). (A) 3 (B)

3 2

(C)

4 3

(D)

6 5

18. 若集合 A1、 A2 满足 A1∪A2=A, 则称(A1, A2)为集合 A 的一个分拆, 并规定: 当且仅当 A1=A2 时,(A1,A2)与(A2,A1)为集合 A 的同一种分拆,则集合 A={a1,a2,a3}的不同分拆种数是( ). (A)8 (B)9 (C)26 (D)27

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)

?? ? a、 b、 c 分别是锐角△ABC 的内角 A、 B、 C 的对边, 向量 p =(2–2sinA, cosA+sinA), q =(sinA–cosA, ?? ? 3 3 1+sinA),且 p ∥ q .已知 a= 7 ,△ABC 面积为 ,求 b、c 的大小. 2

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 如图, 在四棱锥 P–ABCD 的底面梯形 ABCD 中, AD∥BC, AB⊥BC, AB=2, AD=3, ∠ADC=45? .
2

已知 PA⊥平面 ABCD,PA=1. 求:(1)异面直线 PD 与 AC 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示); (2)三棱锥 C–APD 的体积.

P A B C
第 20 题图

D

21.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 已知 a>0 且 a?1, 数列{an}是首项与公比均为 a 的等比数列, 数列{bn}满足 bn=an?lgan(n?N*). (1)若 a=3,求数列{bn}的前 n 项和 Sn; (2)若对于 n?N*,总有 bn < bn+1,求 a 的取值范围.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 动点 P 与点 F (0,1) 的距离和它到直线 l : y ? ?1 的距离相等,记点 P 的轨迹为曲线 C . (1) 求曲线 C 的方程; (2) 设点 A ? 0, a ? (a ? 2 ) ,动点 T 在曲线 C 上运动时, AT 的最短距离为 a ? 1 ,求 a 的值以及取 到最小值时点 T 的坐标;
C 的任意两点,满足 OP O 为原点),试问直线 P (3) 设 P 1 ? OP 2( 1, P 2 为曲线 1P 2 是否恒过一个定

点?如果是,求出定点坐标;如果不是,说明理由.

23.(本小题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小

3

题满分 8 分. 设函数 f(x)=2kax+(k–3)a–x (a>0 且 a?1)是定义域为 R 的奇函数. (1) 求 k 值; (2) 若 f(2)<0,试判断函数 f(x)的单调性,并求使不等式 f(x2–x)+f(tx+4)<0 恒成立的 t 的取值范 围; (3) 若 f(2)=3,且 g(x)=2x+2 –x – 2mf(x)在 [ 2,+∞ ) 上的最小值为–2,求 m 的值.

金山区 2014 学年第一学期期末考试
评分标准
4

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.[0, 5]; 8.7920;

1 2. ; 3
9.2;

3.0<x<1; 10.
2 2 ; 3

4.1–i; 11.7;

5.

? 或 0; 6.3n+2; 7.0 2
2 ux vy ;14. ? ? 1 2 16 9

12.10; 13.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.C; 16.B; 17.B; 18.D

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)

?? ? ? ? ? 解: p ? ? 2 ? 2sin A,cos A ? sin A? , q ? ?sin A ? cos A,1 ? sin A? ,又 p ‖ q
(2–2sinA)(1+sinA)–(cosA+sinA)(sinA–cosA)=0, 即: 4sin 2 A ? 3 ? 0 又 ?A 为锐角,则 sin A ? 因为△ABC 面积为
3 ,所以∠A=60?…………………………………………6 分 2

3 3 3 3 1 ,所以 bcsinA= ,即 bc=6, 2 2 2

又 a= 7 ,所以 7=b2+c2–2bccosA,b2+c2=13,
?b ? 3 ?b ? 2 解之得: ? 或? ………………………………………………………………12 分 ?c ? 2 ?c ? 3

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 解:(1) 过点 C 作 CF∥AB 交 AD 于点 F,延长 BC 至 E,使得 CE=AD,连接 DE,则 AC∥ DE,所以∠PDE 就是异面直线 PD 与 AC 所成的角或其补角,………………2 分 因 为 ∠ ADC=45? , 所 以 FD=2 , 从 而 BC=AF=1 , 且 DE=AC= 5 ,AE= 20 ,PE= 21 ,PD= 10 ,在△ PDE 中, cos ?PDE ? ?
3 2 ,所以,异面直线 PD 与 AC 所成角 B 10
P A C F D E

5

的大小为 arccos

3 2 ………………………………………………………………8 分 10

(2) 因为 VC–APD=VP–ACD, S△ACD=

1 ?CF?AD=3 2

PA⊥底面 ABCD,三棱锥 P–ACD 的高为 PA=1,

1 VP–ACD= ? S△ACD ? PA=1, 3
所以,三棱锥 C–APD 的体积为 1.………………………………………………………14 分

21.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. (1) 由已知有 an ? 3n , bn ? an lg an ? n ? 3n lg3
Sn ? [3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ? ? (n ? 1)3n?1 ? n ? 3n ]lg3 , 3Sn ? [32 ? 2 ? 33 ? ? ? (n ? 1)3n ? n ? 3n?1 ]lg3 ,

所以 ?2Sn ? (3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n?1 ? 3n ? n ? 3n?1 )lg3 ,

3 (2n ? 1) n?1 Sn ? lg3 ? ? 3 lg3 . ………………………………………………………7 分 4 4
(2) bn ? bn ?1 即 nan lg a ? (n ? 1)a n?1 lg a .由 a ? 0 且 a ? 1 ,得 n lg a ? (n ? 1)a lg a ,
?lg a ? 0 ?lg a ? 0 所以 ? 或? ?(n ? 1)a ? n ? 0 ?(n ? 1)a ? n ? 0

?0 ? a ? 1 ? a ? 1 ? ? 即? n 或? n 对任意 n?N*成立, a ? a? ? ? n ?1 ? n ?1 ?
且1 ?

n 1 1 ? ,所以 0 ? a ? 或 a ? 1 ……………………………………………14 分 n ?1 2 2

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. (1) 根据抛物线的定义可知, 动点 P 的轨迹是抛物线 所以曲线 C 的方程为 x2=4y;……………………………………………………………4 分 (2) 设点 T(x0, y0), x02=4y0 (y0≥0),

6

|AT|= ( x0 ? 0)2 ? ( y0 ? a)2 = [ y0 ? (a ? 2)]2 ? 4a ? 4 , a–2>0,则当 y0=a–2 时,|AT|取得最小值为 2 a ? 1 , 2 a ? 1 =a–1, a2–6a+5=0,a=5 或 a=1 (舍去),

所以 y0=a–2=3,x0=?2 3 ,所以 T 坐标为(?2 3 , 3);……………………………10 分

1 (3) 显然直线 OP1、OP2 的斜率都必须存在,记为 k, ? , k
? y ? kx 4 4 ,解之得 P1( , 2 ),同理 P2(–4k, 4k2), ? 2 k k ?x ? 4 y

1? k2 1? k2 ,直线 P1P2 方程为: y ? 4k 2 ? ( x ? 4k ) k k 整理得:k(y–4)+(k2–1)x=0,所以直线 P1P2 恒过点(0, 4)………………………………16 分
直线 P1P2 的斜率为

23.(本小题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 解(1) 因为 f(x)是定义域为 R 的奇函数,所以 f(0)=0, 所以 2k+(k–3)=0,即 k=1,检验知,符合条件……………………………………… 4 分 (2) f(x)=2(ax–a –x) (a>0 且 a?1) 因为 f(2)<0, a 2 ?

1 <0,又 a>0 且 a?1,所以 0<a<1 a2

因为 y=ax 单调递减,y=a –x 单调递增,故 f(x)在 R 上单调递减。……………………7 分 不等式化为 f(x2–x)<f(–tx–4) 所以 x2–x >–tx–4,即 x2+(t–1)x+4>0 恒成立, 所以Δ =(t–1)2–16<0,解得–3<t<5.…………………………………………………… 10 分 (3) 因为 f(2)=3,所以 2( a 2 ?
x ?

1 )=3,即 2a4 – 3a2 – 2=0,所以 a= 2 ……………12 分 a2
x x ? x x ? x

所以 g(x)=2x+2–x–4m( 2 2 – 2 2 )=( 2 2 – 2 2 )2-4m( 2 2 – 2 2 )+2.
x

令 t= 2 2 – 2 2 ,由(1)可知 t= 2 2 – 2 2 为增函数,因为 x≥2,所以 t≥ 令 h(t)=t2-4mt+2=(t–2m)2+2–4m2 若 m≥ 若 m< (t≥

?

x

x

?

x

3 , 2

3 )…………………………………………15 分 2

3 ,当 t=2m 时,h(t)min=2-4m2=–2,∴m=1 4 3 3 17 25 3 ,当 t= 时,h(t)min= -6m=–2,解得 m= > ,舍去 4 2 4 24 4
7

综上可知 m=1.…………………………………………………………………………18 分

8


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