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13级高三数学入学考试题(理科)答案


成都七中 2013 级高三入学考试 数学试题(理科)参考答案 一、选择题 1 C 2 A 3 B 4 C 5 D 6 D 7 D 8 A 9 C 10 A 11 C 12 B

二、填空题 13、

6 2

14、 ?160

15、

5 2

16、150



三、解答题 17 、 解 : (1)因为

? a b c a ? ? s i nB ? 2 s i nB , c ? 2 sin( B ? ) , 所 以 ,所以 b ? 3 s i nA s i nB s i nC s i nA

f ( B) ? a ? b ? c ? 2 3 s i n( B?
( 2 ) 由 题 意 易 得 sin(B ?

?

) ? 3 ,B?( , ); 6 6 2

? ?

?
6
?

)?

? 2 ? 2 ,从而 B? 为 锐 角 , 所 以 cos(B ? ) ? , 6 2 6 2

f (B ?

?
2

) ? 2 3 sin( B ?

?
2

?
6

) ? 3 ? ?2 3 cos( B ?

?
6

)? 3 ? 3? 6.

18、解: (1)过 F 做 FG // BC ,由中位线易得 FG // AE ,且 FG ? AE ,所以 EF // AG ,得证; (2)以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则 A,B,C,D,P 的 坐 标 为

A(0,0,0), B(2,0,0), C(2, 2 2,0), D(0, 2 2,0),

P(0, 0, 2)



E(0, 2,0), F (1, 2,1) , ? ? 平面 BEF 的法向量取 n1 ? (2,2 2,?2) ,平面 BAP 的法向量取 n2 ? (0,2 2 ,0) ,设平面 BEF
?? ?? ? n1 ? n2 2 ,即 ? ? ? . 与平面 BAP 的锐二面角为θ ,则 cos? ? ?? ?? ? ? 4 2 n1 n2

19、解: (1)分布列为

?
P (2) E? ? 3.5 .

1

3

4

6

1 3

1 6

1 6

1 3

2 20、解: (1)由 2Sn ? an ? n ,令 n ? 1 ,得 a1 ? 1 . 2 2 an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 可 得 由 2Sn ? an ? n , 2Sn?1 ? an ?1 ? n ? 1 两 式 作 差 及
2 2 2 2 2an ? an ? an ?1 ? 1 ,即 (an ? 1) ? an?1 ,又数列 {an } 单调递增,故 an ? an ?1 ? 1 , an ? n .

(2)由 an?1 ? log3 bn ? log3 an 及 an ? n 得 bn ?
1

n 3
n ?1





1 3 n An ? B A(n ? 1) ? B ? n ?1 ? ,对比系数可得 A ? ? , B ? ? , n 2 4 3 3 3
n ?1

利用裂项求和有 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

An ? B A(1 ? 1) ? B ? ,即 3n ?1 3n

1 1 1 1 ? ( n ? ) n .(利用错位相减法亦可) 4 6 4 3 ??? ? ??? ? 21、解: (1)设 D ( x, y ) , P( x,2 y) ,由 PA ?PB ? 2 得 ( x ? 1)( x ? 1) ? (2 y ? 1)(2 y ? 1) ? 2 ,即 x2 ? 4 y 2 ? 4 . Tn ?
( 2 )设 D(2cos? ,sin ? ) , ?ABD 面积 S ?

1 AB dD ,其中 d D 为点 D 到直线 AB 的距离,而 2

S?

2cos? ? sin ? 1 ?2 2 ? ? 5. 2 2

(3)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m , 联立 ?

? y ? kx ? m
2 2 ?x ? 4 y ? 4

得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 .

由 ? ? 0 得 m2 ? 1 ? 4k 2 ?①, 设 M ( x0 , y0 ) ,由韦达定理及中点公式得

x0 ? ?

4km m , y0 ? kx0 ? m ? , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

2 2 由 MA ? MB ? 0 可知 x0 ? y0 ? 2 ,代入上式得 m2 ? 2

???? ????

(1 ? 4k 2 )2 ?②, 1 ? 16k 2

由①和②消去 m 得 k ? ?

2 2 或k ? . 4 4
1 ( 2 x ? 1)( 2 x ? 1) ? , 而 f ?( x) ? 0 x x

22、 解: (1) 函数 f ( x) 定义域为 {x x ? 0} , f ?( x) ? ( x 2 ? ln x)? ? 2 x ? 有x?

2 2 2 ) 上单减,在 ( , ??) 上单增. ,结合定义域可知 f ( x) 在 (0, 2 2 2

(2)由 f ( x) ? 0 得 x? ? ln x , 当 0 ? x ? 1 时, x? ? 0 ? ln x ,不等式恒成立; 当 x ? 1 时,有 ? ln x ? ln(ln x) ,即 ? ? 设 g (t ) ?
1 1 1 4

ln(ln x) ,令 t ? ln x , ln x

ln t 1 1 ,可证 g (t ) max ? g (e) ? ,故 ? ? . t e e
1 9 1 n2

(3)由 1 ? 2 ? 3 ?? ? n
1 1

? 4 知即证
1 4 1 9 1 16

ln 2 ln 3 ln n ? ? ? ? 2 ? 2ln 2 . 4 9 n
1 2 1 2 1 8 1 2

当 n ? 4 时,由 1 ? 2 ? 3 ? 4

? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 可知命题成立;
2

当 n ? 5 时,由(2)知 n ? ln n ,即

ln n n 1 , ? 2 ? 2 n n n n

由分析法可证

1 n n

? 2(

1 1 ? ) ,则有 n ?1 n

ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ln n ? ? ? 2 ?? 2 4 9 16 5 n ln 2 ln 3 ln 4 1 1 1 1 ? ? ? ? 2( ? ) ? ? ? 2( ? ) 4 9 16 5 ?1 5 n ?1 n ln 2 ln 3 ln 4 1 1 ? ? ? ? 2( ? ) 4 9 16 2 n ln 2 ln 3 ln 4 ? ? ? ?1 4 9 16 3ln 2 ln 3 ? ? ? 1 ? 2ln 2 (ln 2 ? 0.693,ln 3 ? 1.099) 8 9
综上,命题获证.

3


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